复变函数重点知识点总结
复变函数知识点(统)
复数的模，辐角及辐角主值 P2 复数的三角表示形式P2 共轭复数的定义及性质 P3 z的n(n>=2)次方根的计算(多值函数) P4-5 无界域，多连通域 P9 点z的轨迹
(1) | z z0 | r
表示以
z0 为圆心，r
为半径的圆方程
(2) | z z1 | | z z2 | 2a (a 0,2a | z1 z2 |)
第三章 复变函数的积分
曲线C为直线段的线积分 P31 积分的性质P33 柯西-古萨特定理 P35 复合闭路定理 P35-36 利用原函数求定积分 P39 柯西积分公式 P41 高阶导数公式P43
第四章 级数
复数项级数的收敛性 P53-54 幂级数的收敛半径P56 将函数展成幂级数，并求其收敛域
( z )
第五章 留数
m级极点的判别 P76 留数的计算 P84-85
第七章 傅里叶变换
傅氏变换 P126 用单位脉冲函数表示电流强度P131 单位脉冲函数的筛选性质 P133 广义傅氏变换P134-135
第八章 拉普拉斯变换
拉氏变换 P150-152
表示以 z1 , z2 为焦点， 2a 为长轴的椭圆方程
(3) || z z1 | | z z2 || 2a (0 2a | z1 z2 |)
表示以 z1 , z2 为焦点， 2a 为长轴的双曲线方程
第二章 解析函数
函数的奇点 P16 判断复变函数可导的点 P18-19 函数解析的充要条件P19 指数函数的性质P21 对数函数的定义，计算及性质P22-23 幂函数的定义及性质P24 三角函数的定义及性质P25
复变函数知识点
复变函数知识点
以下是 7 条复变函数知识点：
1. 复数到底是啥玩意儿呀？就好比孙悟空有七十二变，复数就是实数加上虚数这个奇特的组合。
比如说，3+4i 就是一个复数，例子就是在研究交流电信号的时候就会用到复数呀。
2. 复变函数的极限可重要啦！这就好像跑步比赛中朝着终点冲刺的那个瞬间。
例如计算当 z 趋近于某个值时函数值的趋向，这在很多工程问题中可关键了呢！
3. 连续性呀，那可是复变函数的一大特点哦！好比一条顺畅的道路没有任何颠簸。
想想看，一个复变函数在某个区域内连续，多干脆利落呀，比如研究弹性力学中的问题时就能体现出来。
4. 导数呢，就好像汽车的速度表，能告诉我们函数变化的快慢。
例如函数 f(z)=z^2 的导数就是 2z 呀，这在分析信号变化率的时候很有用呢！
5. 积分也是超级有趣的呢！就像是积累财富一样，一点一点地攒起来。
比如说计算沿着一条曲线对复变函数的积分，在电磁学里可常见啦。
6. 解析函数，哇哦，这可是相当厉害的角色呢！好比一个武林高手，有着非凡的能力。
像指数函数就是解析函数呀，在解决电路问题时经常能看到它的身影。
7. 柯西定理，嘿，这可是复变函数里的宝贝呀！就像一把万能钥匙。
比如利用它可以很巧妙地计算一些复杂的积分呢。
我觉得呀，复变函数虽然有点抽象，但真的超级有意思，里面充满了各种奇妙的东西等你去发现呢！。
复变函数重点与难点
(3) eiz cos z i sin z.
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(4) sin2 z cos2 z 1,但sin z, cos z不是有界函数.
定义 tan z sin z 称为正切函数. cos z
性质 (1) tan z 是奇函数 : tan( z) tan( z). (2) tan z 是以为周期的周期函数: tan(z ) tan z.
ln z i arg z 2ki (k 0,1, 2,). 其中ln z ln z i arg z( arg z )称为对数函 数Ln z的主值(支),所以
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(5) 边界点、边界
设D是复平面内的一个区域,如果点P 不属 于D, 但在P 的任意小的邻域内总有D中的点,这 样的P点我们称为D的边界点.
D的所有边界点组成D的边界. (6)闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域. (7)有界区域和无界区域
如果一个区域 D 可以被包含在一个以原点 为中心的圆里面, 即存在 M 0, 使区域的每一个 点都满足 z M , 那末 D 称为有界的, 否则称为无
z0 的去心邻域. （2）内点
设 G 为一平面点集, z0 为G 中任意一点. 如果 存在 z0 的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于 G, 那末 z0 称为G 的内点.
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(3) 开集 如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为
开集. (4) 区域
如果平面点集D满足以下两个条件, 则称 它为一个区域. (a) D是一个开集； (b) D是连通的,即D中任何两点都可以用完全 属于D的一条折线连结起来.
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2. 复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 , 1) 两复数的和
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ). 2) 两复数的积
大一复变函数一知识点总结
大一复变函数一知识点总结
1. 复数的基本概念
- 复数是由实数部分和虚数部分组成的数，可以表示为 a + bi 的形式。
其中，a 为实数部分，b 为虚数部分，i 为虚数单位。
- 实数可以看作虚数部分为 0 的复数，而虚数可以看作实数部分为 0 的复数。
2. 复数的运算
- 复数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
- 复数的加法和减法直接对实部和虚部进行相应运算。
- 复数的乘法按照分配律和虚数单位的平方等于 -1 进行计算。
- 复数的除法可以通过乘以共轭复数的方式进行。
3. 复数的模和幅角
- 复数的模是指复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算得出。
- 复数的幅角是指复数与正实轴之间的角度，可以通过反三角函数计算得出。
4. 欧拉公式
- 欧拉公式将复数的幅角和指数函数联系起来，表达式为：
e^(ix) = cos(x) + i sin(x)。
5. 复变函数的连续性和可微性
- 和实变函数类似，复变函数也具有连续性和可微性的概念。
- 连续性表示函数在定义域内的任意一点都存在极限，连续函数的定义域内每个点求极限都存在。
- 可微性表示函数在某一点处存在导数，可微函数一定是连续的。
以上是大一复变函数一的知识点总结，希望对你的学习有所帮助！。
复变函数初步例题和知识点总结
复变函数初步例题和知识点总结一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数。
一个复变函数通常可以表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z ＝ x ＋ iy$ 是复数，＄x$ 和＄y$ 分别是实部和虚部，＄w ＝ u ＋ iv$ 也是复数，＄u$ 和＄v$ 分别是其实部和虚部。
例如，函数＄f(z) ＝ z^2$ 就是一个简单的复变函数。
将＄z ＝ x ＋iy$ 代入，可得：＼＼begin{align}f(z)＆＝（x ＋ iy)＾2\＼＆＝x^2 y^2 ＋ 2ixy＼end{align}＼从而得到实部＄u ＝ x^2 y^2$，虚部＄v ＝ 2xy$。
二、复变函数的极限与连续（一）极限如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，都存在正数＄＼delta$，使得当＄0 ＜｜z z_0| ＜＼delta$ 时，有＄｜f(z) A| ＜＼epsilon$，则称＄A$ 为函数＄f(z)＄当＄z$ 趋向于＄z_0$ 时的极限，记作＄＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A$。
例如，考虑函数＄f(z) ＝＼frac{z}｛｜z|｝＄，当＄z$ 沿着实轴正方向趋近于＄0$ 时，极限为＄1$；当＄z$ 沿着实轴负方向趋近于＄0$ 时，极限为＄－1$。
由于这两个极限不相等，所以该函数在＄z ＝ 0$ 处极限不存在。
（二）连续如果函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处的极限存在且等于＄f(z_0)＄，则称函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处连续。
例如，函数＄f(z) ＝ z$ 在整个复数域上都是连续的。
三、复变函数的导数复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程。
设函数＄f(z) ＝ u(x, y) ＋ iv(x, y)＄，则其导数为：＼f'（z) ＝＼lim_{＼Delta z ＼to 0} ＼frac{f(z ＋＼Delta z) f(z)｝｛＼Delta z}＼柯西黎曼方程为：＼＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}，＼quad ＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＼例如，函数＄f(z) ＝ z^2 ＝（x ＋ iy)＾2 ＝ x^2 y^2 ＋ 2ixy$，则＄u ＝ x^2 y^2$，＄v ＝ 2xy$。
复变函数复习(主要知识点)
• Ch6. 留数及应用
1.留数的定义及计算 2.利用留数定理计算复积分 3.利用 点的留数计算复积分 4. 利用留数计算实积分
部分实例
1. ez
|z|3
(
z
i)2
(
z
dz 1)
2. z |z|3(z1)12(z2)(z4)dz
3. I
dx
0 (4 x2)2
4.
I xsin xdx 0 x2 1
• Ch3. 复积分
1. 利用参数方程计算积分：
b
Cf(z)dzaf(z(t))z'(t)dt (C :zz(t),t:a b )
2. Cauchy积分定理、推广的Cauchy积分定理（复 合闭路定理）、Cauchy积分公式、高阶导数公 式
3. 利用原函数计算复积分 4. 调和函数及相关计算
部分实例
• Ch4. 幂级数
1.复数项级数的敛散性（绝对收敛、条件收敛） 2.幂级数收敛半径的计算 3.解析函数的Taylor展开 4. 三大定理
• Ch5. 洛朗级数与孤立奇点
1. 解析函数在圆环域内展开为洛朗级数 2.孤立奇点的定义、分类及判断
部分实例
1.
f(z)1在 1 |z 1 | 内 展 开 为 洛 朗 级 数 z(z 1 )
复数复数的表示复数的模辐角和辐角主值区域与曲线相关概念复变函数概念2复数的化简复数的四则运算2
主要知识点
• Ch1. 复数与复变函数
1. 复数、复数的表示、复数的模辐角和辐角主值、 区域与曲线相关概念、复变函数概念 2. 复数的化简、复数的四则运算、复数的乘方与 开方 Nhomakorabea 部分实例
1. ，求 z 2 2 3i 3 4i
复变函数知识点
复变函数知识点复变函数是高等数学中的一个重要分支，它研究的是定义在复数域上的函数。
复变函数理论在物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍一些复变函数的基本知识点。
一、复数与复变函数复数是由实部和虚部构成的数学对象，常用形式为a+bi，其中a和b均为实数，i为虚数单位。
复数可以进行加减乘除等运算，实部和虚部分别是复数的实部和虚部。
根据复变函数的定义，一个函数如果将复数域的数映射到复数域上的数，那么它就是一个复变函数。
例如，f(z)=z^2是一个复变函数，它将任意一个复数z映射到z的平方。
二、解析函数与全纯函数解析函数是指在其定义域上处处可导的复变函数。
全纯函数是指在其定义域上解析且导数连续的函数。
一个函数是解析函数，则表示它在定义域上的所有点处都存在导数。
对于一个复变函数f(z)，如果它在一个区域上解析，则它在这个区域上是全纯的。
解析和全纯函数有着重要的性质，如洛朗级数展开和辐角原理等。
三、复变函数的积分复变函数的积分是计算复平面上路径围成的面积。
复变函数的积分可以通过路径积分的方式进行计算。
考虑一个复变函数f(z)，如果在一条路径C上，f(z)的积分与路径C无关，那么f(z)在路径C所包围的区域上的积分就是0。
这个性质称为Cauchy积分定理。
四、级数展开与留数定理复变函数可以用幂级数表示。
一个函数可以被表示为无穷级数的形式，这种展开方式称为级数展开。
留数定理是计算复变函数积分的一个重要方法。
在计算某些特定积分时，可以通过计算函数在其奇点处的留数来简化计算。
五、解析延拓与边值问题解析延拓指的是通过已知函数的解析域外的信息，将函数延拓到更大的解析域上。
解析延拓可以帮助求解边值问题，即在边界上已知函数的一些信息，求解函数在整个区域上的取值。
六、共角线性与保角映射共角线性是指复平面上三个点按照一定的比例取共角线。
复变函数的保角映射可以保持共角线性。
保角映射是复变函数理论中重要的概念。
它在物理学中的流体力学、电学、热学等方面有着广泛的应用。
《复变函数》重点难点
《复变函数》重点难点重点难点第一篇复变函数论本篇重点：解析函数、复变函数的积分与留数定理..第一章复数与复变函数本章重点：复数的基本知识和复变函数区域的基本概念及其判断方法；复变函数连续和极限的概念；区域概念及其判断；复变函数的极限和连续。
本章难点：涉及到计算机编程实践,以培养读者的计算机仿真能力.读者可以利用Matlab,Mathcad,Mathmatic等数学工具软件直接进行复数及复变函数的基本运算,详细参考第四篇：计算机仿真编程实践部分本章知识点摘要：1.复数的概念定义形如某iy的数为复数，记作z某iy.其中某、y分别称为复数z的实部、虚，部，记作间一般不能比较大小.2.复数的表示法某RezyImz2，i称为虚数单位，它满足i1.与实数不同，两个复数之OP矢量（或向量）表示；O0,0P某,y（1）几何表示：对于复数z某iy可以用平面上起点在，终点在的P某,y（2）代数表示：对于平面上的点可用代数形式z某iy表示复数，这种表示法称为代数表示，也可称为直角坐标表示；zrcoiin（3）三角表示：当z某iy0时，复数可用三角函数形式表示.称为复数z的模；=Argzargz2k（k取整数）称为z的辐角.当k0时，对应于辐角的主值0argz，在本书中规定为πargzπ；3.复数的运算（1）复数满足常规的四则运算规律.zrco1iin1z2r2co2iin2（2）若11，，则z1z2rrco12iin1212z02zrcoiin（3）方根：设，则2kπ2kπnn其中关于复数的模和辐角有以下运算公式z1z2z1z2zrconiinnk0,1,2,,n1rz某2y2z20；Argz1z2Argz1Argz2zz11z2z24.区域和平面曲线本章我们给出了系统的有关区域和平面曲线的概念.（1）区域：严格的定义是指同时满足下列两个条件的点集D：(i)全由内点组成；(ii)具有连通性:即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且折线上的点全都属于该点集；满足这两个条件的点集D称为区域.连通的开集称为区域，区域与它的边界一起构成的点集称为闭区域.区域可分为有界区域和无界区域，区域还有单连通区域与复连通区域之分.（2）简单曲线:没有重点的连续曲线,称为简单曲线.简单闭曲线:如果简单曲线的两个端点重合，则称为简单闭曲线.5.复变函数极限与连续fzu某,yiv某,yuu某,yvv某,y函数的极限等价于两个二元实函数和的极限.fzu某,y,yiv某函数在点z0某0iy0处的连续性等价于两个二元实函数u某,yv某,y和在该点的连续性.解题思路:2例研究什么原像通过映射wz后变为相互垂直的直线ua,vb,(a,b0).【解】由wz(某iy)某yi2某y，可以视为从某y平面到uv平面的映射，即为从z平面(原像)到w平面（像）的映射，易得u某y,v2某y我们具体考察在w平面的像为相互垂直的直线,原像应该是什么？由题得到u某ya,v=2某yb,(a,b0)22某ya,(a0)显然原像为双曲线，如图1.11(a)实线所示；即有即有v=2某yb,(b0)显然原像为双曲线，如图1.11(a)虚线所示.22222222另外我们还可以进一步观察双曲线对应的变化关系.特别地，当原像点在如图1.11(a)的双曲线右分支实线上时，由ua 且v2某y，得到，v2yy2a.因此双曲线的右分支的像可以表示为参数形式：yvua0vb0ua,v2yy2a(y)很明显，当点(某,y)沿0（a）某图1.110(b)u着右分支实线向上运动时，它的像如图1.11(b)沿直线ua向上运动.同样，双曲线左分支的像的参数形式表示为ua,v2yya(y)当左分支上的点沿曲线向下运动时，它的像也沿直线ua 向上运动.同样地可以分析：另一双曲线22某yb(b0)映像到直线vb.变化趋势如图1.11(a),(b)虚线所示，读者可自行分析.重点难点第二章解析函数重点：复变函数导数的定义、求导法则及可微性概念；解析函数的概念；保角映射的概念；常用的初等解析函数；解析函数与调和函数的关系难点：多值函数产生多值性的原因；如何找出支点以及在什么样的区域内多值函数可以划分为单值的解析分支；从几何意义上描述解析函数的特征.特色：（Matlab，Mathcad，Mathmatic）编程计算简单的复数方程本章知识点摘要：1.复变函数的导数与微分复变函数的导数定义在形式上和一元实函数的导数定义是类似的：f(z)limz0f(zz)f(z)z微分的定义和高等数学里面一元实函数的微分定义也相似，而且可导和可微是等价的，df(z)f(z)dz.2.解析函数的概念解析函数是复变函数中一个十分重要的概念，它是用复变函数的可导性来定义的，若f(z)在z0及其一个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析.函数在某一点可导，在这点未必解析，而在某一点解析，在这点一定可导.函数在一个区域内的可导性和解析性是等价的.3.柯西－黎曼条件方程复函数的解析性除了要求其实部和虚部的可微性外，还要求其实部和虚部满足柯西－黎曼方程（即C-R方程）.函数f(z)uiv在区域D内解析u,v在D内可微，且满足C-R条件：.4.关于解析函数的求导方法(1)利用导数的定义求导数(2)若已知导数存在，可以利用公式f(z)u某iv某vyiuyu某iuyvyiv某u某vy,v某uy求导.5初等复变函数初等复变函数的解析性：初等函数解析性的讨论是以指数函数的解析性为基础的，因此在研究初等解析函数的性质时，都可归结到指数函数来研究.6解析函数与调和函数的关系区域D内的解析函数f(z)u(某,y)iv(某,y)的实部和虚部都是D内的调和函数.要想使得f(z)uiv在区域D内解析，u和v还必须满足C-R条件.因此若己知一调和函数，可由它构成某解析函数的实部（或虚部），并可相应地求出该解析函数的虚部（或实部），从而求出该解析函数.平面稳定场求复势就是其典型应用，也是解析函数物理意义的体现.解题思路【解】若设22某yc，求复势.例已知等势线的方程为u某某2,uyy2uu0u某2y2某某yy，则，故u不是调和函数.因而不u0222某y,uF()能构建为复势的实部（或虚部）.若令，采用极坐标有，故1u12uu()202把极坐标系中的拉普拉斯方程简化为1u()0，即为uC1,uC1lnC2vuC1,v=C1C3根据极坐标C-R条件的得到，故复势为f(z)C1lnC2iC1iC3C1(lni)C2iC3C1lnzC,(CC2iC3)22n我们可以总结出，当u,v具有(某y)的函数形式时，一般采用极坐标运算较为方便.重点难点第三章复变函数的积分重点：复变函数积分的概念、性质及计算方法；解析函数积分的基本定理柯西积分定理；推广得到的复合闭路定理，闭路变形定理；由柯西积分定理推导出一个基本公式柯西积分公式.难点：理解分别以有界单连通域、有界复连通域、无界区域对柯西积分公式进行的证明；理解复变函数积分理论既是解析函数的应用推广特色：尝试计算机仿真计算积分的值。
复变函数知识点
第三章 复变函数的积分
曲线C为直线段的线积分 柯西-古萨特定理 复合闭路定理 柯西积分公式 解析函数的高阶导数
第四章 级数
复数项级数的收敛性 幂级数的收敛半径 将函数展成幂级数，并求其收敛域
2 n n z z z z ( z ) (1) e 1 z , 2! n! n 0 n ! 1 ( z 1) (2) 1 z z2 zn zn , 1 z n 0 1 (3) 1 z z 2 ( 1)n z n ( 1)n z n , ( z 1) 1 z n 0
2 n 1 z3 z5 z (4) sin z z ( 1)n , ( z ) 3! 5! (2n 1)! 2n z2 z4 z ( z ) (5) cos z 1 ( 1)n , 2! 4! (2n)!
第五章 留数
m级极点的判别 留数的计算
第七章 傅里叶变换
傅氏变换与傅氏逆变换 单位脉冲拉斯变换
拉氏变换
第一章 复数与复变函数
复数的模，辐角及辐角主值
复数z的n次幂(复数的三角表
示式) 复数z的n次根(复数的三角表 示式) 无界域，多连通域
第二章 解析函数
复变函数求导 复变函数解析的充要条件 指数函数的性质 对数函数的定义，计算及性质 幂函数的定义及计算 三角函数的定义及性质
第一章复数与复变函数?复数的模辐角及辐角主值?复数z的n次幂复数的三角表示式?复数z的n次根复数的三角表示式?无界域多连通域第二章解析函数?复变函数求导?复变函数解析的充要条件?指数函数的性质?对数函数的定义计算及性质?幂函数的定义及计算?三角函数的定义及性质第三章复变函数的积分?曲线c为直线段的线积分?柯西古萨特定理?复合闭路定理?柯西积分公式?解析函数的高阶导数第四章级数?复数项级数的收敛性?幂级数的收敛半径?将函数展成幂级数并求其收敛域20112
复变函数初步例题和知识点总结
复变函数初步例题和知识点总结在数学的广阔领域中，复变函数犹如一座神秘而又充满魅力的城堡。
它不仅为我们打开了理解数学世界的新视角，还在众多科学和工程领域有着广泛的应用。
接下来，让我们一起走进复变函数的世界，通过一些例题来深入理解其重要的知识点。
一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数，通常可以表示为＼（f(z) ＝u(x,y) ＋ iv(x,y)＼），其中＼（z ＝ x ＋ iy\），＼（x\）和＼（y\）是实数，＼（i\）是虚数单位，＼（u(x,y)＼）和＼（v(x,y)＼）是实函数。
例如，＼（f(z) ＝ z^2 ＝（x ＋ iy)＾2 ＝ x^2 y^2 ＋ 2ixy\）就是一个复变函数。
二、复变函数的极限与连续（一）极限若对于任意给定的正数\（＼epsilon\），存在正数\（＼delta\），使得当＼（0 ＜｜z z_0| ＜＼delta\）时，都有＼（｜f(z) A| ＜＼epsilon\），则称＼（A\）为＼（f(z)＼）当＼（z\）趋于＼（z_0\）时的极限，记作＼（＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A\）。
例题：求\（＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} （z^2 2z ＋ 2)＼）解：将＼（z ＝ 1 ＋ i\）代入＼（z^2 2z ＋ 2\）得：＼＼begin{align}＆（1 ＋ i)＾2 2(1 ＋ i) ＋ 2\＼＝＆1 ＋ 2i ＋ i^2 2 2i ＋ 2\＼＝＆1 ＋ 2i 1 2 2i ＋ 2\＼＝＆0＼end{align}＼（二）连续如果\（＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ f(z_0)＼），则称＼（f(z)＼）在＼（z_0\）处连续。
三、复变函数的导数复变函数的导数定义为：＼（f'（z) ＝＼lim_{＼Delta z ＼to 0} ＼frac{f(z ＋＼Delta z) f(z)｝｛＼Delta z}＼）例题：求＼（f(z) ＝ z^3\）的导数解：＼（f'（z) ＝ 3z^2\）四、解析函数如果函数＼（f(z)＼）在区域＼（D\）内处处可导，则称＼（f(z)＼）在＼（D\）内解析。
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复变函数重点知识点总结
复变函数是数学分析中的一门重要课程，主要研究复数域上的函数。
复变函数具有许多特殊性质和重要应用，在数学、物理学等领域有广泛的
运用。
以下是复变函数的一些重点知识点总结。
1.复变函数的定义及运算法则：
-复变函数是定义在复数域上的函数，可以表示为
f(z)=u(x,y)+i*v(x,y)，其中z=x+i*y为复数，u(x,y)和v(x,y)为实函数，分别称为f的实部和虚部。
-复变函数的加法、减法、乘法和除法运算法则与实数类似，可以进
行复数的加减乘除运算。
-复变函数可以表示为级数形式，如幂级数、三角级数等。
2.复变函数的解析性：
- 解析函数是指在其定义域内可导的函数，复变函数的解析性与其实
部和虚部的连续性及Cauchy-Riemann条件密切相关。
- Cauchy-Riemann条件是解析函数必须满足的条件，即函数的实部
和虚部的偏导数满足一定的关系。
-如果一个复变函数在其定义域内解析，则其在该域内无穷次可导，
并且导数处处存在。
3.高阶导数及全纯函数：
-复变函数的高阶导数可以通过对复变函数的导数进行重复求导得到。
-如果一个复变函数在其定义域内高阶导数均存在，则称该函数为全纯函数。
-全纯函数具有许多优良性质，如解析、无奇点等。
4. 路径积分及Cauchy定理：
-路径积分是指沿着一条曲线对复变函数进行积分的操作，复变函数的路径积分与路径无关。
- Cauchy定理是复分析中的重要定理之一，它指出如果一个函数在一个简单连通区域内解析，那么它在该区域中的曲线积分等于零。
5.解析延拓及解析函数的唯一性定理：
-解析延拓是指将一个函数的定义域扩展到更大的区域上，使得该函数在扩展后的区域内解析。
-解析函数的唯一性定理是指如果两个解析函数在一些区域内相等，那么它们在该区域内处处相等。
-解析函数的唯一性定理是复分析中的一个重要定理，它可以用于证明解析函数的存在性、奇点的性质等。
6.高阶亚纯函数及留数计算：
-亚纯函数是指解析函数和有限阶极点函数的叠加，亚纯函数可以表示为f(z)=P(z)+Q(z)，其中P(z)为解析函数，Q(z)为有限阶极点函数。
-极点是亚纯函数的奇点之一，留数是计算亚纯函数在极点处的积分的重要方法。
- 留数计算是通过Laurent级数展开和留数的计算公式来计算亚纯函数在极点处的积分值。
7.应用领域：
-复分析作为数学基础学科，在物理学、工程学、计算机科学等领域有广泛的应用。
-典型的应用包括电路分析、流体力学、调和函数、数论、图论、特殊函数等。
-复变函数的应用还涵盖量子力学、电磁学、流体力学、信号处理等现代科学领域。
复变函数是数学中的一门重要课程，通过对复变函数的研究，可以更深入地理解和应用数学在自然科学和工程技术中的问题。
掌握复变函数的基本概念、运算法则和重要定理，对于进一步学习和研究复杂问题具有重要意义。