(江苏专用)2020版高考数学一轮复习加练半小时专题9平面解析几何第68练直线的方程理(含解析)
2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第九章 平面解析几何 9.9 Word版含解析
§9.9曲线与方程考情考向分析以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主．题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在填空题中出现．1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的基本步骤3．几种常见的求轨迹方程的方法(1)直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这个等式，化简得曲线的方程，这种方法叫做直接法．(2)定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或能利用平面几何知识分析得出这些条件．(3)相关点法若动点P (x ，y )随已知曲线上的点Q (x 0，y 0)的变动而变动，且x 0，y 0可用x ，y 表示，则将点Q 的坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程，这种方法称为相关点法(或代换法)．概念方法微思考1．f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件吗？提示是．如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，则曲线C 上的点的坐标满足f (x ，y )＝0，以f (x ，y )＝0的解为坐标的点也都在曲线C 上，故f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．2．曲线的交点与方程组的关系是怎样的？提示曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．(×)(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.(×)(3)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．(×) (4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．(×)题组二教材改编2．[P64T10]已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹方程是________．答案y 2＝x解析由已知MF ＝MB ，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．3．[P64T9]设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心的轨迹方程为________．答案x 2＝8y －84．[P64T8]设P 为曲线x24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________． 答案x 2－4y 2＝1。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9 (2)
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.11 圆锥曲线中定点与定值问题题型一 定点问题例1 已知定圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆M 过点B (3，0)，且和圆A 相切．(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的两点P ，Q ，点N (4,0)．若P ，Q ，N 三点不共线，且∠ONP ＝∠ONQ .证明：动直线PQ 经过定点．(1)解 圆A 的圆心为A (－3，0)，半径r 1＝4.设动圆M 的半径为r 2，依题意有r 2＝|MB |.由|AB |＝23，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ，故|MA |＝r 1－r 2，即|MA |＋|MB |＝4>2 3.所以动点M 的轨迹E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋4y 2＝4， 消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－b 2＋1)>0，设P (x 1，kx 1＋b )，Q (x 2，kx 2＋b )，则x 1＋x 2＝－8kb 1＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－41＋4k 2， 于是k PN ＋k QN ＝kx 1＋b x 1－4＋kx 2＋b x 2－4＝2kx 1x 2－4k －bx 1＋x 2－8b x 1－4x 2－4， 由∠ONP ＝∠ONQ 知k PN ＋k QN ＝0.即2kx 1x 2－(4k －b )(x 1＋x 2)－8b ＝2k ·4b 2－41＋4k 2－(4k －b )－8kb 1＋4k 2－8b ＝8kb 2－8k 1＋4k 2＋32k 2b －8kb 21＋4k 2－8b ＝0， 得b ＝－k ，Δ＝16(3k 2＋1)>0.故动直线l 的方程为y ＝kx －k ，过定点(1,0)．教师备选在平面直角坐标系中，已知动点M (x ，y )(y ≥0)到定点F (0,1)的距离比到x 轴的距离大1.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点N (4,4)作斜率为k 1，k 2的直线分别交曲线C 于不同于N 的A ，B 两点，且1k 1＋1k 2＝1.证明：直线AB 恒过定点．(1)解 由题意可知x 2＋y －12＝y ＋1，化简可得曲线C ：x 2＝4y .(2)证明 由题意可知，N (4,4)是曲线C ：x 2＝4y 上的点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则l NA ：y ＝k 1(x －4)＋4，l NB ：y ＝k 2(x －4)＋4，联立直线NA 的方程与抛物线C 的方程，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x －4＋4，x 2＝4y⇒x 2－4k 1x ＋16(k 1－1)＝0，解得x 1＝4(k 1－1)，①同理可得x 2＝4(k 2－1)，②而l AB ：y －x 214＝x 1＋x 24(x －x 1)，③又1k 1＋1k 2＝1，④ 由①②③④整理可得l AB ：y ＝(k 1＋k 2－2)x －4，故直线AB 恒过定点(0，－4)．思维升华 求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．跟踪训练1 (2022·邯郸质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，且过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线x ＝12上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点N .(1)解 椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12，即3a 2＋14b2＝1， 又2c ＝23，得a 2＝b 2＋3，所以a 2＝4，b 2＝1，即椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，设AB 的中点M 为(x 0，y 0)，得x 0＝－4km 1＋4k 2＝12， 即1＋4k 2＝－8km ，所以y 0＝kx 0＋m ＝12k －1＋4k 28k ＝－18k. 所以AB 的中垂线方程为y ＋18k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －12， 即y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －38， 故AB 的中垂线恒过点N ⎝⎛⎭⎫38，0.题型二 定值问题例2 (2022·江西赣抚吉名校联考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)上的动点M 到直线x ＝－1的距离比到抛物线E 的焦点F 的距离大12. (1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点Q 是直线x ＝－1(y ≠0)上的任意一点，过点P (1,0)的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，记直线AQ ，BQ ，PQ 的斜率分别为k AQ ，k BQ ，k PQ ，证明：k AQ ＋k BQ k PQ为定值． (1)解 由题意可知抛物线E 的准线方程为x ＝－12， 所以－p 2＝－12，即p ＝1， 故抛物线E 的标准方程为y 2＝2x .(2)证明 设Q (－1，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 的斜率显然不为0，故可设直线l 的方程为x ＝ty ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝2x ，消去x ，得y 2－2ty －2＝0.Δ＝4t 2＋8>0，所以y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2，k PQ ＝－y 02. 又k AQ ＋k BQ ＝y 1－y 0x 1＋1＋y 2－y 0x 2＋1 ＝y 1－y 0x 2＋1＋y 2－y 0x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝y 1－y 0ty 2＋2＋y 2－y 0ty 1＋2ty 1＋2ty 2＋2＝2ty 1y 2＋2－ty 0y 1＋y 2－4y 0t 2y 1y 2＋2t y 1＋y 2＋4 ＝2t ·－2＋2－ty 0·2t －4y 0t 2·－2＋2t ·2t ＋4＝－y 0t 2＋2t 2＋2＝－y 0. 所以k AQ ＋k BQ k PQ ＝－y 0－y 02＝2(定值)． 教师备选(2022·邯郸模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若|F 1F 2|＝2，△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)MA →＝λF 1A —→，MB →＝μF 1B —→，试分析λ＋μ是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由．解 (1)因为△ABF 2的周长为8，所以4a ＝8，解得a ＝2，由|F 1F 2|＝2，得2a 2－b 2＝24－b 2＝2，所以b 2＝3，因此椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1，x 24＋y 23＝1， 整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.设M (0，k )，又F 1(－1,0)，所以MA →＝(x 1，y 1－k )，F 1A —→＝(x 1＋1，y 1)，则λ＝x 1x 1＋1. 同理可得MB →＝(x 2，y 2－k )，F 1B —→＝(x 2＋1，y 2)，则μ＝x 2x 2＋1. 所以λ＋μ＝x 1x 1＋1＋x 2x 2＋1＝x 1x 2＋1＋x 2x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝2×4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 24k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝8k 2－24－8k 24k 2－12－8k 2＋3＋4k 2＝－24－9＝83， 所以λ＋μ为定值83. 思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，AB 为椭圆的一条弦，直线y ＝kx (k >0)经过弦AB 的中点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线AB的斜率为k 1，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)求证：k 1k 为定值．(1)解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 为椭圆C 上的点， 所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1， 两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＝－y 1＋y 2y 1－y 23， 所以k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 1＋x 24y 1＋y 2＝－3x 04y 0. 又k ＝y 0x 0， 故k 1k ＝－34，为定值． 课时精练1．(2022·运城模拟)已知P (1,2)在抛物线C ：y 2＝2px 上．(1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线P A 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．(1)解 将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝2px ，得4＝2p ，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 设AB ：x ＝my ＋t ，将AB 的方程与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4t ＝0，Δ>0⇒16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，k P A ＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2， 同理k PB ＝4y 2＋2，由题意知4y 1＋2＋4y 2＋2＝2， 即4(y 1＋y 2＋4)＝2(y 1y 2＋2y 1＋2y 2＋4)，解得y 1y 2＝4，故－4t ＝4，即t ＝－1，故直线AB ：x ＝my －1恒过定点(－1,0)．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为23，且其左顶点到右焦点的距离为5. (1)求椭圆的方程；(2)设点M ，N 在椭圆上，以线段MN 为直径的圆过原点O ，试问是否存在定点P ，使得P 到直线MN 的距离为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设可知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝23，a ＋c ＝5，解得a ＝3，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆的方程为x 29＋y 25＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①若直线MN 与x 轴垂直，由对称性可知|x 1|＝|y 1|，将点M (x 1，y 1)代入椭圆方程，解得|x 1|＝37014， 原点到该直线的距离d ＝37014； ②若直线MN 不与x 轴垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 25＝1，消去y 得(9k 2＋5)x 2＋18kmx ＋9m 2－45＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1x 2＝9m 2－459k 2＋5，x 1＋x 2＝－18km 9k 2＋5，由题意知，OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0， 得(k 2＋1)9m 2－459k 2＋5＋km ⎝⎛⎭⎫－18km 9k 2＋5＋m 2＝0， 整理得45k 2＋45＝14m 2，则原点到该直线的距离d ＝|m |k 2＋1＝4514＝37014， 故存在定点P (0,0)，使得P 到直线MN 的距离为定值．3．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，右焦点F (c ,0)到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)过F 作斜率为k 的直线l 交双曲线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于D ，求证：|AB ||FD |为定值．(1)解 设双曲线方程为3x 2－y 2＝λ(λ>0)，由题意知c ＝2，所以λ3＋λ＝4⇒λ＝3， 所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)代入x 2－y 23＝1， 整理得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，Δ＝36(k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－4k 23－k 2，x 1x 2＝－4k 2－33－k 2， 由弦长公式得|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝6k 2＋1|3－k 2|， 设AB 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－2k 23－k 2， 代入l 得y 0＝－6k 3－k 2， AB 的垂直平分线方程为y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋2k 23－k 2－6k 3－k 2，令y ＝0得x D ＝－8k 23－k 2， 即|FD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8k 23－k 2－2＝61＋k 2|3－k 2|， 所以|AB ||FD |＝1为定值． 当k ＝0时，|AB |＝2，|FD |＝2，|AB ||FD |＝1， 综上所述，|AB ||FD |为定值．4．(2022·河南九师联盟模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 相交于E ，D 两点，试问在x 轴上是否存在一个点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)因为焦距为2，长轴长为4，即2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知F 1(－1,0)，设点E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m ，0)，因为直线l 不与x 轴重合，所以设直线l 的方程为x ＝ny －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny －1，x 24＋y 23＝1， 得(3n 2＋4)y 2－6ny －9＝0，所以Δ＝(－6n )2＋36(3n 2＋4)>0，所以y 1＋y 2＝6n 3n 2＋4，y 1y 2＝－93n 2＋4， 又x 1x 2＝(ny 1－1)(ny 2－1)＝n 2y 1y 2－n (y 1＋y 2)＋1＝－9n 23n 2＋4－6n 23n 2＋4＋1 ＝－12n 2－43n 2＋4， x 1＋x 2＝n (y 1＋y 2)－2＝6n 23n 2＋4－2 ＝－83n 2＋4. 直线ME ，MD 的斜率分别为k ME ＝y 1x 1－m，k MD ＝y 2x 2－m ， 所以k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m＝y 1y 2x 1－m x 2－m＝y 1y 2x 1x 2－m x 1＋x 2＋m 2＝－93n 2＋4－12n 2－43n 2＋4－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83n 2＋4＋m 2 ＝－9－12n 2＋4＋8m ＋3m 2n 2＋4m 2＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12， 要使直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值，3m 2－12＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，存在点M (2,0)，使得k ME ·k MD ＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12＝－936＝－14， 当m ＝－2时，存在点M (－2,0)，使得k ME ·k MD ＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12＝－94， 综上，在x 轴上存在点M ，使得ME ，MD 的斜率之积恒为定值，当点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14， 当点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.。
高三数学 专题9.1 直线的方程(讲+练)(原卷版+解析版)
专题9.1 直线的方程1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识点一 直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 知识点二 直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan θ.(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1 .知识点三 直线方程的五种形式考点一 直线的倾斜角与斜率【典例1】（山西平遥中学2019届模拟）(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是__________．【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【解析】(1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3. (2)如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， 所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．【方法技巧】直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此求倾斜角或斜率的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2和⎝⎛⎭⎫π2，π三种情况讨论．当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．【变式1】（湖南浏阳一中2019届模拟）直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π【答案】B【解析】因为a 2＋1≠0，所以直线的斜截式方程为y ＝－1a 2＋1x －1a 2＋1，所以斜率k ＝－1a 2＋1，即tan α＝－1a 2＋1，所以－1≤tan α<0，解得3π4≤α<π，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.故选B. 考点二 直线方程的求法【典例2】（ 北京师范大学实验中学2019届模拟）根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010， 则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1.又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 【方法技巧】求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．(2)待定系数法：设出所求直线方程的某种形式，由条件建立所求参数的方程(组)，解这个方程(组)求出参数，再把参数的值代入所设直线方程即可．【变式2】（河北正定中学2019届模拟）过点P (3，1)，且比直线l ：x ＋3y －1＝0的倾斜角小30°的直线方程为__________．【答案】 3x ＋y －4＝0【解析】直线l ：x ＋3y －1＝0的斜率为－33，所以其倾斜角为150°，则所求直线的倾斜角为120°，因此所求直线的斜率k ＝－ 3.又直线过点P (3，1)，所以所求直线的方程为y －1＝－3(x －3)，即3x＋y －4＝0.考点三 直线方程的综合应用【典例3】（ 辽宁阜新实验中学2019届模拟）(1)已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．(2)已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．故当四边形的面积最小时，实数a 的值为12.(2)依题意知直线l 的斜率k 存在且k <0， 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 可得A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， 所以S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋－9k ＋4－k ≥ 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k4－k ＝12×(12＋12) ＝12， 当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立．故△ABO 的面积的最小值为12， 此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 【方法技巧】(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．【变式3】（吉林长春市实验中学2019届模拟）当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为__________．【答案】24【解析】因为2x ＋ky －2＝0与x 轴交于点(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝0，2x ＋ky －2＝0，解得y ＝2kk 2＋2，所以两直线kx －y＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积为12×1×2k k 2＋2＝1k ＋2k≤122，故三角形面积的最大值为24.考点四 综合考查【典例4】（黑龙江哈尔滨市第六中学2019届质检）若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )A ．－12 B.－12或－2 C.12或2D ．－2【答案】D【解析】∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝15，∴2sin θ cos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.【变式4】（江苏扬州中学2019届模拟）已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.专题9.1 直线的方程1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°2．（河南省鹤壁一中2019届期末）若函数y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( )A.2π12B.＋272C.＋212D.－33＋152723．（山西省晋城一中2019届质检）如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 24．（湖北省黄石一中2019届月考）若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)5．(陕西师大附中2019届月考)如果AB ＞0，且BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．（黑龙江省牡丹江一中2019届期中）设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞7．（ 浙江省舟山一中2019届期末）直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为________．8．（湖北省鄂州一中2019届期中）过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．9．（江西省南昌二中2019届期末）若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．10．（河北衡水中学2019届期中）已知点A (3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程． (1)经过点A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．11．（江西省鹰潭一中2019届模拟）在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )12．（广东惠州一中2019届质检）直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 13．（安徽省亳州一中2019届模拟）在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝014．（广西省来宾一中2019届模拟）若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)15．（山东省滨州一中2019届质检）已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π416．（四川省德阳一中2019届模拟）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 的面积最大值是( )A ．2 5B ．5 C.52D. 5 17．（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．18. （广东省云浮一中2019届模拟）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．19．（ 甘肃省兰州一中2019届调研）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.20．（四川省雅安一中2019届模拟）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．1.（2019·浙江高三学业考试）直线y -26x =+的斜率为( )A.2B.-2C.12 D.12- 2．（2019·浙江高三学业考试）直线210x y +-=经过点（ ）A.（1，0）B.（0，1）C.11,22⎛⎫⎪⎝⎭D.11,2⎛⎫⎪⎝⎭专题9.1 直线的方程1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°【答案】A【解析】由直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0可得直线l 的斜率为k ＝－33，设直线l 的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－33，所以α＝150°.故选A. 2．（河南省鹤壁一中2019届期末）若函数y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( )A.2π12B.＋272C.＋212D.－33＋272【答案】B【解析】设z ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，则z 的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方．因为y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以y 1′＝2cos 2x 1.因为函数y 2＝x 2＋3的斜率为1，所以令y 1′＝2cos 2x 1＝1，解得x 1＝π6，则y 1＝0，即函数在⎝⎛⎭⎫π6，0处的切线和直线y 2＝x 2＋3平行，则最短距离为d ＝⎪⎪⎪⎪π6＋32.所以(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪π6＋322＝＋272.故选B.3．（山西省晋城一中2019届质检）如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2【答案】D【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.故选D.4．（湖北省黄石一中2019届月考）若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)【答案】A【解析】因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．5．(陕西师大附中2019届月考)如果AB ＞0，且BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距为－C B＞0，所以直线不经过第三象限． 6．（黑龙江省牡丹江一中2019届期中）设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 【答案】B【解析】易知直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a .因为k MA ＝3－－－2－0＝－52， k MB ＝2－－3－0＝43， 由图可知－a ＞－52且－a ＜43，所以a ∈⎝⎛⎭⎫－43，52. 7．（ 浙江省舟山一中2019届期末）直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为________．【答案】y ＝23x 【解析】直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，则直线l 过BD 的中点(3,2)，则直线l ：y ＝23x . 8．（湖北省鄂州一中2019届期中）过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．【答案】y ＝－53x 或x －y ＋8＝0 【解析】当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y －a＝1，即x －y ＝a .代入点(－3,5)，得a ＝－8.即直线方程为x －y ＋8＝0.9．（江西省南昌二中2019届期末）若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．【答案】16【解析】根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，可得ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时，等号成立．故ab 的最小值为16.10．（河北衡水中学2019届期中）已知点A (3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程．(1)经过点A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【解析】(1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a .①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)，所以直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0. ②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋y a ＝1.又点(3,4)在直线上，所以3a ＋4a＝1，所以a ＝7.所以直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0.(2)由题意可知所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.11．（江西省鹰潭一中2019届模拟）在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )【答案】B【解析】由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．12．（广东惠州一中2019届质检）直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－1，12C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【答案】D【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12. 13．（安徽省亳州一中2019届模拟）在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0【答案】C【解析】因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.14．（广西省来宾一中2019届模拟）若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2] B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)【答案】C【解析】令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]． 15．（山东省滨州一中2019届质检）已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4【答案】D【解析】由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a b ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4，故选D.16．（四川省德阳一中2019届模拟）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx－y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 的面积最大值是( )A ．2 5B ．5C.52D. 5 【答案】C【解析】由题意可知动直线x ＋my ＝0过定点A (0,0)．动直线mx －y －m ＋3＝0⇒m (x －1)＋3－y ＝0，因此直线过定点B (1,3)．当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P (0,3)，S △P AB ＝12×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．当|P A |＝|PB |时，△P AB 的面积取得最大值．由2|P A |＝|AB |＝12＋32＝10，解得|P A |＝ 5.所以S △P AB ＝12|P A |2＝52.综上可得，△P AB 的面积最大值是52. 17．（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．【答案】4x －3y －4＝0【解析】由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12， 所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)， 即4x －3y －4＝0.18. （广东省云浮一中2019届模拟）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．【答案】(3＋3)x －2y －3－3＝0【解析】由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.19．（ 甘肃省兰州一中2019届调研）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16. 【解析】(1)由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.20．（四川省雅安一中2019届模拟）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．【解析】(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2， 即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2. BC 边的中线AD 经过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y 2＝1， 即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12， 则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.1.（2019·浙江高三学业考试）直线y -26x =+的斜率为( )A.2B.-2C.12D.12- 【答案】B【解析】由26y x =-+可知斜率2k =-，本题选B 。
(江苏专用)2020版高考数学一轮复习加练半小时专题9平面解析几何第70练圆的方程理(含解析)
第70练 圆的方程[基础保分练]1．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为________．2．已知点P (2a ，a )在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝20的内部，则实数a 的取值范围是________．3．(2019·常州质检)已知△ABC 顶点的坐标为A (4,3)，B (5，2)，C (1,0)，则其外接圆的一般方程为________________.4．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________________．5．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝________.6．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．7．若圆C 的半径为2，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为___________．8．(2019·无锡模拟)已知点A (－2,3)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是________________．9．(2018·苏州调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A (2，－1)的圆C 和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的标准方程为________________．10．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________． [能力提升练]1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为________________．2．光线从A (1,1)出发，经y 轴反射到圆C ：x 2＋y 2－10x －14y ＋70＝0的最短路程为________．3．(2018·苏锡常镇四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2，点A (2,0)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2≤10，则点M 的纵坐标的取值范围是________．4．(2018·南京质检)已知点P (0,2)为圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2外一点，若圆C 上存在一点Q ，使得∠CPQ ＝60°，则正数a 的取值范围是________．5．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，则实数m ＝________.6．已知P (2,0)为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2my ＋m 2－7＝0(m >0)内一点，过点P 的直线AB 交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 面积的最大值为4，则正实数m 的取值范围为________．答案精析基础保分练1．2 2.(－2,2)3．x 2＋y 2－6x －2y ＋5＝04．(x －1)2＋(y －1)2＝1 5.－436.213 解析 由已知可得AB ＝AC ＝BC ＝2，所以△ABC 是等边三角形，所以其外接圆圆心即为三角形的重心，则圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋0＋23，0＋3＋33， 即⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故圆心到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213. 7．x 2＋(y －1)2＝4 解析 根据题意，设圆心的坐标为(m ，n )，若圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则m ＋12＝n 2且nm －1＝－1， 解得m ＝0，n ＝1，即圆心的坐标为(0,1)，又由圆C 的半径为2，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝4.8．(x －2)2＋(y －1)2＝20解析 ∵A (－2,3)，B (6，－1)，∴AB 的中点C 的坐标为(2,1)， AB ＝82＋42＝45，∴圆C 的半径R ＝25，∴以AB 为直径的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝20.9．(x －1)2＋(y ＋2)2＝2解析 ∵圆心在y ＝－2x 上，∴可设圆心坐标为(a ，－2a )， 又∵圆过A (2，－1)，圆C 和直线x ＋y ＝1相切，∴a －2＋－2a ＋2＝|a －2a －1|2，解得a ＝1，∴圆的半径r ＝|1－2－1|2＝2， 圆心(1，－2)，∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.10．(x －2)2＋y 2＝9解析 因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455， 解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝CM ＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.能力提升练1．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 2.62－23.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，72 解析 设点M (x ，y )，因为MA 2＋MO 2≤10，所以(x －2)2＋y 2＋x 2＋y 2≤10，即x 2＋y 2－2x －3≤0，因为(x ＋1)2＋y 2＝2，所以y 2＝2－(x ＋1)2，所以x 2＋2－(x ＋1)2－2x －3≤0，化简得x ≥－12. 因为y 2＝2－(x ＋1)2，所以y 2≤74， 所以－72≤y ≤72. 4．[15－3,1)解析 由题意知，圆的圆心为C (a ，a )，半径r ＝2|a |，∴PC ＝a 2＋a －2，QC ＝2|a |，∵PC 和QC 长度固定，∴当Q 为切点时，∠CPQ 最大，∵圆C 上存在点Q 使得∠CPQ ＝60°，∴若最大角度大于60°，则圆C 上存在点Q 使得∠CPQ ＝60°，∴QC PC ＝2|a |a 2＋a －2≥sin∠CPQ ＝sin60°＝32， 整理可得a 2＋6a －6≥0，解得a ≥15－3或a ≤－15－3，又点P (0,2)为圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2外一点，∴02＋22－4a >0，解得a <1，又a >0，∴15－3≤a <1.5．－1解析 因为圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为C (1,2)，且圆上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，所以直线l 过C (1,2)，即1＋2m ＋1＝0，得m ＝－1.6．[3，7)解析 圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋m )2＝8，则圆心为C (1，－m )，半径r ＝22， S △ABC ＝12r 2sin∠ACB ＝4sin∠ACB ，当∠ACB ＝90°时，△ABC 的面积取得最大值4，此时△ABC 为等腰直角三角形， AB ＝2r ＝4，则点C 到直线AB 的距离等于2，故2≤PC <22，即2≤1＋m 2<22，所以4≤1＋m 2<8，即3≤m 2<7，因为m >0，所以3≤m <7.。
2025年高考数学一轮复习-8.1直线的方程【课件】
tan−tan45°
2−1
1
kOA ＝tan（θ－45°）＝
＝
＝ ， kOC ＝tan（θ＋45°）
1+2
3
1+tantan45°
tan＋tan45°
2+1
＝
＝
＝－3.
1−2
1−tantan45°
目录
高中总复习·数学（提升版）
4
C.
π
0，
4
解析：
∪
π
，π
2
B.
3π
，π
4
D.
π
π
，
4
2
∪
）
3π
，π
4
1
1
由直线方程可得该直线的斜率为－ 2 ，又－1≤－ 2
+1
+1
＜0，由结论1得倾斜角的取值范围是
3π
，π
4
.
目录
课堂演练
考点 分类突破
精选考点 典例研析 技法重悟通
PART
2
目录
高中总复习·数学（提升版）
直线的倾斜角与斜率
角为α，则tan α＝－
3
，设直线的倾斜
3
3
5π
，又α∈[0，π），所以α＝ .故选D.
3
6
目录
高中总复习·数学（提升版）
2. 已知直线 l 的倾斜角为60°，在 y 轴上的截距为－2，则直线 l 的方程
为（
）
A. y ＝ 3 x ＋2 3
B. y ＝
3
x －2
3
C. y ＝ 3 x －2
(江苏专用)2020版高考数学一轮复习加练半小时专题9平面解析几何第70练圆的方程(理)(含解析)
第70练 圆的方程[基础保分练]1．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为________．2．已知点P (2a ，a )在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝20的内部，则实数a 的取值范围是________．3．(2019·常州质检)已知△ABC 顶点的坐标为A (4,3)，B (5，2)，C (1,0)，则其外接圆的一般方程为________________.4．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________________．5．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝________.6．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．7．若圆C 的半径为2，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为___________．8．(2019·无锡模拟)已知点A (－2,3)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是________________．9．(2018·苏州调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A (2，－1)的圆C 和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的标准方程为________________．10．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________． [能力提升练]1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为________________．2．光线从A (1,1)出发，经y 轴反射到圆C ：x 2＋y 2－10x －14y ＋70＝0的最短路程为________．3．(2018·苏锡常镇四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2，点A (2,0)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2≤10，则点M 的纵坐标的取值范围是________．4．(2018·南京质检)已知点P (0,2)为圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2外一点，若圆C 上存在一点Q ，使得∠CPQ ＝60°，则正数a 的取值范围是________．5．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，则实数m ＝________.6．已知P (2,0)为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2my ＋m 2－7＝0(m >0)内一点，过点P 的直线AB 交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 面积的最大值为4，则正实数m 的取值范围为________．答案精析基础保分练1．2 2.(－2,2)3．x 2＋y 2－6x －2y ＋5＝04．(x －1)2＋(y －1)2＝1 5.－43 6.213 解析 由已知可得AB ＝AC ＝BC ＝2，所以△ABC 是等边三角形，所以其外接圆圆心即为三角形的重心，则圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋0＋23，0＋3＋33，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，故圆心到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.7．x 2＋(y －1)2＝4解析 根据题意，设圆心的坐标为(m ，n )，若圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则m ＋12＝n 2且nm －1＝－1，解得m ＝0，n ＝1，即圆心的坐标为(0,1)，又由圆C 的半径为2，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝4.8．(x －2)2＋(y －1)2＝20解析 ∵A (－2,3)，B (6，－1)，∴AB 的中点C 的坐标为(2,1)，AB ＝82＋42＝45，∴圆C 的半径R ＝25，∴以AB 为直径的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝20.9．(x －1)2＋(y ＋2)2＝2解析 ∵圆心在y ＝－2x 上，∴可设圆心坐标为(a ，－2a )，又∵圆过A (2，－1)，圆C 和直线x ＋y ＝1相切，∴a －22＋－2a ＋12＝|a －2a －1|2，解得a ＝1，∴圆的半径r ＝|1－2－1|2＝2，圆心(1，－2)，∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.10．(x －2)2＋y 2＝9解析 因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝CM ＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.能力提升练1．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 2.62－23.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，72解析 设点M (x ，y )，因为MA 2＋MO 2≤10，所以(x －2)2＋y 2＋x 2＋y 2≤10，即x 2＋y 2－2x －3≤0，因为(x ＋1)2＋y 2＝2，所以y 2＝2－(x ＋1)2，所以x 2＋2－(x ＋1)2－2x －3≤0，化简得x ≥－12.因为y 2＝2－(x ＋1)2，所以y 2≤74，所以－72≤y ≤72.4．[15－3,1)解析 由题意知，圆的圆心为C (a ，a )，半径r ＝2|a |，∴PC ＝a 2＋a －22，QC ＝2|a |，∵PC 和QC 长度固定，∴当Q 为切点时，∠CPQ 最大，∵圆C 上存在点Q 使得∠CPQ ＝60°，∴若最大角度大于60°，则圆C 上存在点Q 使得∠CPQ ＝60°， ∴QC PC ＝2|a |a 2＋a －22≥sin∠CPQ ＝sin60°＝32， 整理可得a 2＋6a －6≥0，解得a ≥15－3或a ≤－15－3，又点P (0,2)为圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2外一点，∴02＋22－4a >0，解得a <1，又a >0，∴15－3≤a <1.5．－1解析 因为圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为C (1,2)，且圆上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，所以直线l 过C (1,2)，即1＋2m ＋1＝0，得m ＝－1.6．[3，7)解析 圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋m )2＝8，则圆心为C (1，－m )，半径r ＝22， S △ABC ＝12r 2sin∠ACB ＝4sin∠ACB ，当∠ACB ＝90°时，△ABC 的面积取得最大值4，此时△ABC 为等腰直角三角形， AB ＝2r ＝4，则点C 到直线AB 的距离等于2， 故2≤PC <22，即2≤1＋m 2<22， 所以4≤1＋m 2<8，即3≤m 2<7，因为m >0，所以3≤m <7.。
2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第九章 平面解析几何 9.4 Word版含解析
姓名，年级：时间：§9。
4 直线与圆的位置关系考情考向分析考查直线与圆的位置关系的判断,根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等．题型以填空题为主．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．d〈r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．（2）代数法：错误!错误!概念方法微思考1．过一定点作圆的切线，切线条数可能有几种情况．提示三种情况，若点在圆上则该点为切点,切线只有一条;若点在圆外，切线应有两条;若点在圆内，切线为零条．2．求圆的弦长有几种常用方法．提示三种．（1）用代数法求出弦的端点坐标,然后利用两点间的距离公式．(2)利用半径、半弦和圆心到直线的垂线段构成的直角三角形．(3)利用弦长公式．若斜率为k的直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB＝错误!｜x－x2|＝错误!|y1－y2｜(其中k≠0），特别地,当k＝0时,AB＝｜x1－x2|，当斜1率不存在时，AB＝|y1－y2|.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)(1）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( ×)（2）直线y＝kx＋1和圆x2＋y2＝4一定相交．（√）（3）过圆O：x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( √)（4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A,B，则O，P,A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( √)（5）如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √）题组二教材改编2．[P115T1］圆（x－1）2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是________．答案相交解析圆心（1,－2)到直线2x＋y－5＝0的距离为错误!＝错误!<错误!，故直线与圆相交．3．[P117习题T2(3）］若过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为错误!，则直线l的斜率为________．答案1或错误!解析将圆的方程化为标准方程得(x－1)2＋（y－1)2＝1,∴圆心坐标为(1,1），半径r＝1，又弦长为错误!,∴圆心到直线l的距离d＝错误!＝错误!,设直线l的斜率为k，又直线l过点(－1，－2），∴直线l的方程为y＋2＝k（x＋1)，即kx－y＋k－2＝0,∴错误!＝错误!,即（k－1)(7k－17)＝0，解得k＝1或k＝错误!，则直线l的斜率为1或错误!。
(江苏专版)2020版高考数学一轮复习 直线、平面平行的判定及其性质(理)(含解析)苏教版
课时跟踪检测（三十八） 直线、平面平行的判定及其性质 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·汇龙中学测试)已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的位置关系为________．解析：依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．答案：平行或直线b 在平面α内2．(2018·南京模拟)在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是________． 解析：如图，由AE EB ＝CF FB得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .答案：AC ∥平面DEF3．(2018·天星湖中学测试)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列四对截面中彼此平行的是________(填序号)．①平面A 1BC 1和平面ACD 1；②平面BDC 1和平面B 1D 1A ；③平面B 1D 1D 和平面BDA 1；④平面ADC 1和平面A 1D 1C .解析：如图，结合正方体的性质及面面平行的判定可知平面A 1BC 1∥平面ACD 1，平面BDC 1∥平面B 1D 1A .答案：①②4．如图，α∥β，△PAB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：因为α∥β，所以CD ∥AB ，则PC PA ＝CD AB ，所以AB ＝PA ×CD PC ＝5×12＝52. 答案：525．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MN Q 平行的是________．(填序号)解析：因为点M ，N ，Q 分别为所在棱的中点，所以在①中AB 与平面MN Q 相交，在②③中均有AB ∥M Q ，在④中，有AB ∥N Q ，所以在②③④中均有AB 与平面MN Q 平行．答案：②③④二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·滨海期末)已知m，n是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，已知α∩β＝m，n⊂γ，若增加一个条件就能得出m∥n，则下列条件中能成为增加条件的序号是________．①m∥γ，n∥β；②α∥γ，n⊂β；③n∥β，m⊂γ.解析：对于①，若β∥γ，由m⊂β，满足m∥γ，由n⊂γ，满足n∥β，但m，n可为异面直线，则不成立；对于②，由α∥γ，且α∩β＝m，β∩γ＝n，由面面平行的性质定理可得m∥n，则成立；对于③，n∥β，m⊂γ，则γ∩β＝m，由线面平行的性质定理可得n∥m，则成立．答案：②或③2．(2019·连云港调研)一条直线与两个平行平面中的一个成30°角，且被两平面所截得的线段长为2，那么这两个平行平面间的距离是________．解析：由题意知，两个平行平面间的距离d＝2sin 30°＝1.答案：13．(2018·前黄高级中学检测)已知正方体ABCDA1B1C1D1，下列结论中，正确的是________(填序号)．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.解析：如图，因为AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，故AD1∥BC1，从而①正确；易证AB1∥DC1，BD∥B1D1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正确．答案：①②④4．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值；③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值．其中正确命题的个数是________．解析：由题图，显然①是正确的，②是错误的；对于③，因为A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，所以A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，所以A 1D 1∥平面EFGH (水面)．所以③是正确的；对于④，因为水是定量的(定体积V )，所以S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V . 所以BE ·BF ＝2V BC(定值)，即④是正确的． 答案：35．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：86．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③7．(2018·盐城期末)已知棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，E 为棱AD 的中点，现有一只蚂蚁从点B 1出发，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1表面上行走一周后再回到点B 1，这只蚂蚁在行走过程中与平面A 1EB 的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为________．解析：要满足题意，则需在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1上过B 1作与平面A 1EB 平行的平面．取A 1D 1和BC 的中点分别为F ，G ，连结B 1F ，FD ，DG ，GB 1，则A 1F 綊ED ，所以四边形A 1FDE 是平行四边形，所以A 1E ∥FD .因为FD ⊄平面A 1EB ，A 1E ⊂平面A 1EB ，所以FD ∥平面A 1EB .同理：DG ∥平面A 1EB .又FD ∩DG ＝D ，所以平面DFB 1G ∥平面A 1EB ，则四边形DFB 1G 所围成图形的面积即为所求．易知四边形DFB 1G 为菱形，由正方体的棱长为2，得菱形DFB 1G 的边长为5，cos ∠A 1EB ＝15，∴sin ∠A 1EB ＝265，∵∠A 1EB ＝∠FDG ， ∴S 菱形DFB 1G ＝5×5×sin∠FDG ＝2 6.答案：2 68．(2019·海安中学检测)如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是________．解析：取B 1C 1的中点M ，BB 1的中点N ，连结A 1M ，A 1N ，MN ，可以证明平面A 1MN ∥平面AEF ，所以点P 位于线段MN 上，因为A 1M ＝A 1N ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52，MN ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，所以当点P 位于M ，N 处时，A 1P 的长度最长，取MN 的中点O ，连结A 1O ，当P 位于MN 的中点O 时，A 1P 的长度最短，此时A 1O ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝324，所以A 1O ≤A 1P ≤A 1M ，即324≤A 1P ≤52，所以线段A 1P 长度的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52 9．如图，在四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．求证：(1)AP ∥平面BEF ；(2)GH ∥平面PAD .证明：(1)连结EC ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ， 所以BC 綊AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以O 为AC 的中点．又因为F 是PC 的中点，所以FO ∥AP ，因为FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .(2)连结FH ，OH ，因为F ，H 分别是PC ，CD 的中点，所以FH ∥PD ，因为PD ⊂平面PAD ，FH ⊄平面PAD ，所以FH ∥平面PAD .又因为O 是AC 的中点，H 是CD 的中点，所以OH ∥AD ，因为AD ⊂平面PAD ，OH ⊄平面PAD ，所以OH ∥平面PAD .又FH ∩OH ＝H ，所以平面OHF ∥平面PAD .因为GH ⊂平面OHF ，所以GH ∥平面PAD .10.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证：(1)BF ∥HD 1；(2)EG ∥平面BB 1D 1D ；(3)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图所示，取BB 1的中点M ，连结MH ，MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，所以HD 1∥MC 1.又因为MC 1∥BF ，所以BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ，连结EO ，D 1O ，则OE 綊12DC ，又D 1G 綊12DC ，所以OE 綊D 1G ， 所以四边形OEGD 1是平行四边形，所以GE ∥D 1O .又GE ⊄平面BB 1D 1D ，D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，所以EG ∥平面BB 1D 1D .(3)由(1)知BF ∥HD 1，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1，HD 1⊂平面B 1D 1H ，BF ，BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1＝D 1，DB ∩BF ＝B ， 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·扬州期中)若半径为5的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3和4，则这两个平面之间的距离为________．解析：∵半径为5的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3和4，∴圆心到两个平面的距离分别为： 52－32＝4，52－42＝3，∴当两个平面位于球心同侧时，两平面间的距离为4－3＝1，当两个平面位于球心异侧时，两平面间的距离为4＋3＝7.答案：1或72．如图所示，设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a 3，过B 1，D 1，P 的平面交平面ABCD 于P Q ，Q 在直线CD 上，则P Q ＝________.解析：因为平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD＝P Q ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥P Q.又因为B 1D 1∥BD ，所以BD ∥P Q ，设P Q ∩AB ＝M ，因为AB ∥CD ，所以△APM ∽△DP Q.所以P Q PM ＝PD AP＝2， 即P Q ＝2PM .又知△APM ∽△ADB ，所以PM BD ＝AP AD ＝13， 所以PM ＝13BD ，又BD ＝2a ， 所以P Q ＝223a . 答案：223a 3．(2019·南通调研)如图，已知三棱柱ABC A 1B 1C 1，E ，F 分别为CC 1，BB 1上的点，且EC ＝B 1F ，过点B 做截面BMN ，使得截面交线段AC于点M ，交线段CC 1于点N .(1)若EC ＝3BF ，试确定M ，N 的位置，使平面BMN ∥平面AEF ，并说明理由；(2)若K ，R 分别为AA 1，C 1B 1的中点，求证：KR ∥平面AEF .解：(1)当AM AC ＝EN EC ＝13时，平面BMN ∥平面AEF . 理由如下：∵EN ＝13EC ，BF ＝13EC ， ∴EN 綊BF ，∴四边形BFEN 是平行四边形，∴BN ∥EF .∵AM AC ＝EN EC，∴MN ∥AE ，∵MN ⊂平面BMN ，BN ⊂平面BMN ，且MN ∩BN ＝N ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，且AE ∩EF ＝E ， ∴当AM AC ＝EN EC ＝13时，平面BMN ∥平面AEF . (2)证明：连结BC 1，交FE 于点Q ，连结Q R .∵△B Q F ≌△C 1Q E ，∴B Q ＝C 1Q ，∴Q R ∥BB 1，且Q R ＝12BB 1， ∴Q R 綊AK .∴四边形AKR Q 为平行四边形．连结A Q ，则A Q ∥KR ，∵A Q ⊂平面AEF ，KR ⊄平面AEF ，∴KR ∥平面AEF .。
2020高考数学大一轮复习2020高考试题汇编 第九章 直线与圆的方程 Word版含解析
第九章 直线与圆的方程第|一节 直线的方程与两条直线的位置关系1． (2021浙江11 )我国古代数学家刘徽创立的 "割圆术〞可以估算圆周率π ,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并开展了 "割圆术〞 ,将π的值精确到小数点后七位 ,其结果领先世|界一千多年 , "割圆术〞的第|一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ,6S = .1.解析 正六边形的面积为6个正三角形的面积和 ,所以6133=611sin 6022S . 题型102 倾斜角与斜率的计算 - -暂无 题型103 直线的方程 - -暂无题型104 两直线位置关系的判定 - -暂无 题型105 有关距离的计算第二节 圆的方程题型106 求圆的方程 - -暂无 题型107 与圆有关的轨迹问题 - -暂无第三节 直线与圆、圆与圆的位置关系题型108 直线与圆的位置关系 题型109 直线与圆的相交关系及其应用题型110 直线与圆相切、相离关系及其应用 - -暂无 题型111 直线与圆的综合2. (2021江苏13 )在平面直角坐标系xOy 中 ,点()12,0A - ,()0,6B ,点P 在圆22:50O x y +=上．假设20PA PB ⋅ ,那么点P 的横坐标的取值范围是 ．2.解析 不妨设()00,P x y ,那么220050x y += ,且易知0x ⎡∈-⎣．因为PA PB AP BP =⋅⋅()()000012,,6x y x y =+⋅-=220000126x x y y ++-005012620x y =+- ,故00250x y -+．所以点()00,P x y 在圆22:50O x y +=上 ,且在直线250x y -+=的左上方 (含直线 ).联立2250250x y x y ⎧+=⎨-+=⎩ ,得15x =- ,21x = ,如以下图 ,结合图形知0x ⎡⎤∈-⎣⎦．故填⎡⎤-⎣⎦．2评注 也可以理解为点P 在圆22000012620x y x y +=+-的内部来解决 ,与解析中的方法一致．3． (2107全国3卷理科20 )抛物线22C y x =： ,过点()20，的直线l 交C 与A ,B 两点 ,圆M 是以线段AB 为直径的圆． (1 )求证：坐标原点O 在圆M 上；(2 )设圆M 过点()42P -，,求直线l 与圆M 的方程． 3．解析 (1 )显然当直线斜率为0时 ,直线与抛物线交于一点 ,不符合题意． 设:2l x my =+ ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,联立222y xx my ⎧=⎨=+⎩ ,得2240y my --= , 2416m ∆=+恒大于0 ,122y y m += ,124y y =-．1212OA OB x x y y ⋅=+1212(2)(2)my my y y =+++21212(1)2()4m y y m y y =++++=24(1)2240m m m -++⋅+= ,所以OA OB ⊥ ,即点O 在圆M 上．(2 )假设圆M 过点P ,那么0AP BP ⋅= ,即1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= ,即1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++= ,即21212(1)(22)()80m y y m y y +--++= ,化简得2210m m --= ,解得12m =-或1.①当12m =-时 ,:240l x y +-= ,设圆心为00(,)Q x y ,那么120122y y y +==- ,0019224xy =-+=,半径||r OQ = ,那么圆229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.②当1m =时 ,:20l x y --= ,设圆心为00(,)Q x y ,12012y y y +== ,0023x y =+= ,半径r OQ = ,那么圆22:(3)(1)10M x y -+-=.题型112 圆与圆的位置关系及其应用 - -暂无第十章 圆锥曲线第|一节 椭圆及其性质题型113 椭圆的定义与标准方程4.椭圆22194x y +=的离心率是 ( ).A.B. C. 23 D. 594.解析 由椭圆方程可得 ,229,4a b == ,所以2225c a b =-= ,所以3a = ,c =,c e a ==应选B ． 5. (2021江苏17 (1 ) )如以下图 ,在平面直角坐标系xOy 中 ,椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,离心率为12 ,两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上 ,且位于第|一象限 ,过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．(1 )求椭圆E 的标准方程；5.解析 (1 )设椭圆的半焦距为c ,由题意21228c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ,解得21a c =⎧⎨=⎩ ,因此b == ,所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=． 6. (2021山东理21 (1 ) )在平面直角坐标系xOy 中 ,椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的离心率为 ,焦距为2. (1 )求椭圆E 的方程；6.解析 (1 )由题意知c e a =,22c = ,所以a =,1b = ,因此椭圆E 的方程为2212x y +=. 7. (2107全国1卷理科20 (1 ) )椭圆()2222:=10x y C a b a b+>> ,四点()111P ， ,()201P ， ,3–12P ⎛ ⎝⎭， ,412P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上. (1 )求C 的方程；7. 解析 (1 )根据椭圆对称性 ,必过3P ,4P ,又4P 横坐标为1 ,椭圆必不过1P ,所以过 234P P P ，，三点.将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,解得24a = ,21b = ,所以椭圆C 的方程为2214x y +=．题型114 椭圆离心率的值及取值范围8. (2107全国3卷理科10 )椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ,2A ,且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切 ,那么C 的离心率为 ( ).A ．3B ．3C ．3D ．138．解析 因为以12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切 ,所以圆心到直线的距离d 等于半径 ,即d a == ,又因为0,0a b >> ,那么上式可化简为223a b =.因为222b ac =- ,可得()2223a a c=- ,即2223c a = ,所以c e a ==应选A.题型115 椭圆焦点三角形 - -暂无第二节 双曲线及其性质题型116 双曲线的定义与标准方程9. (2021北京理9 )假设双曲线221y x m-=,那么实数m =_________.9. 解析 由题知1=,那么2m =.10. (2021天津理5 )双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ,假设经过点F 和点(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线 ,那么双曲线的方程为 ( ).A.22144x y -=B.22188x y -=C.22148x y -=D.22184x y -= 10.解析 由题意得a b = ,41c=-- ,所以4c =.又因为22216c a b =+= ,所以28a = ,28b = ,那么双曲线方程为22188x y -=.应选B.11. (2021全国3卷理科 5 )双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x = ,且与椭圆221123x y +=有公共焦点 ,那么C 的方程为 ( ). A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=11．解析因为双曲线的一条渐近线方程为y =,那么b a =① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点 ,易知3c = ,那么2229a b c +== ② 由①,② ,解得2,a b ==,那么双曲线C 的方程为22145x y -=.应选B.题型117 双曲线的渐近线12. (2021江苏08 )在平面直角坐标系xOy 中 ,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点,P Q ,其焦点是12,F F ,那么四边形12F PF Q 的面积是 ． 12.解析 双曲线的渐近线方程为y x = ,而右准线为32x = ,所以32P ⎛ ⎝⎭,3,22Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ,从而1214222F PF QS ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭13 (2021山东理14 ).在平面直角坐标系xOy 中 ,双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x py p =>交于,A B 两点 ,假设4AF BF OF += ,那么该双曲线的渐近线方程为 .13. 解析 设()(),,,A B B B A x y B x y ,由题意得||||4222A B A B p p pAF BF y y y y p +=+++=⨯⇒+=. 又22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩,所以222A B pb y y p a +==a ⇒= ,从而双曲线的渐近线方程为y x =. 题型118 双曲线离心率的值及取值范围14. (2107全国2卷理科9 )假设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2 ,那么C 的离心率为 ( ).A ．2 BCD．314．解析 取渐近线by x a=,化成一般式0bx ay -= ,圆心()20，到直线的距离为=,得224c a = ,24e = ,2e =．应选A.15. (2021全国1卷理科15 )双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ,以A 为圆心 ,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 60MAN ∠= ,那么C 的离心率为________.15. 解析 如以下图 ,OA a = ,AN AM b ==.因为60MAN ∠= ,所以AP =,OP =,从而tan AP OP θ==又因为tan b a θ= ,所以b a = ,解得223a b = ,那么e ===题型119 双曲线的焦点三角形第三节 抛物线及其性质题型120 抛物线的定义与标准方程16. (2021北京理18 (1 ) )抛物线22C y px =：过点()11P ，.过点102⎛⎫ ⎪⎝⎭，作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ,B ,其中O 为原点.(1 )求抛物线C 的方程 ,并求其焦点坐标和准线方程； 16.解析 (1 )由抛物线2:2C y px =过点()1,1P ,得12p =.所以抛物线C 的方程为2y x = ,抛物线C 的焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭,准线方程为14x =-.17. (2107全国2卷理科16 )F 是抛物线2:8C y x =的焦点 ,M 是C 上一点 ,FM 的延长线交y 轴于点N ．假设M 为FN 的中点 ,那么FN = ．17．解析 由28y x = ,得4p = ,焦点为()20F ， ,准线:2l x =-.如以下图 ,由M 为FN 的中点 ,故易知线段BM 为梯形AFNC 的中位线.因为2CN = ,4AF = ,所以3MB =.又由抛物线的定义知MB MF = ,且MN MF = ,所以6NF NM MF =+=.题型121 与抛物线有关的距离和最|||值问题 - -暂无18. (2021全国1卷理科10 )F 为抛物线24C y x =：的焦点 ,过点F 作两条互相垂直的直线1l ,2l ,直线1l 与C 交于A ,B 两点 ,直线2l 与C 交于D ,E 两点 ,那么AB DE +的最|||小值为 ( ).A ．16B ．14C ．12D ．10 18. 解析 解法一：设直线1l 的斜率为k ,那么直线2l 的斜率为1k-,设()11,A x y , ()22,B x y ,()33,D x y ,()44,E x y ,直线()11l k x =- ,直线()21:1l y x k=--.联立 ()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ ,消去y 整理得()2222240k x k x k -++= , 所以2122224424k AB x x p k k+=++=+=+ ,同理 22342124441k DE x x p k k+=++==+ ,从而22184+16AB DE k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ,当且仅当1k =± 时等号成立.应选A.解法二：设AB 的倾斜角为θ ,抛物线的准焦距为p ．作1AK 垂直准线于点1K ,2AK 垂直x轴于点2K ,如以下图.易知11cos 22AF GF AK AK AF p p GP pθ⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩（几何关系）（抛物线定义）, 所以cos AF p AF θ⋅+= , 即1cos p AF θ=- ,同理1cos p BF θ=+ ,所以22221cos sin p pAB θθ==-.又DE 与AB 垂直 ,即DE 的倾斜角为π2θ+ ,2222πcos sin 2p pDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 而24y x = ,即2p = ,所以22112sin cos AB DE p θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24θ== 21616sin 2θ≥ ,当π4θ=时取等号 ,即AB DE +的最|||小值为16.应选A.题型122 抛物线中三角形、四边形的面积问题 - -暂无第四节 曲线与方程题型123 求动点的轨迹方程19. (2021全国2卷理科20 (1 ) )设O 为坐标原点 ,动点M 在椭圆22:12x C y +=上 ,过M作x 轴的垂线 ,垂足为N ,点P 满足2NP NM =.(1 )求点P 的轨迹方程；19．解析 (1 )设点()P x y ， ,易知(0)N x ，,(0)NP y =， ,又0NM ⎛== ⎝,所以点M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又M 在椭圆C 上 ,所以2212x += ,即222x y +=． 第五节 直线与圆锥曲线题型124 直线与圆锥曲线的位置关系20. (2021江苏17 )如以下图 ,在平面直角坐标系xOy 中 ,椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,离心率为12,两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上 ,且位于第|一象限 ,过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． (1 )求椭圆E 的标准方程；(2 )假设直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上 ,求点P 的坐标．20解析 (1 )设椭圆的半焦距为c ,由题意21228c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ,解得21a c =⎧⎨=⎩ ,因此b == ,所以椭圆E 的标准方程为22143x y+=． (2 )由 (1 )知()11,0F - ,()21,0F ．设()00,P x y ,因为点P 为第|一象限的点 ,故000,0x y >>．当01x =时 ,2l 与1l 相交于1F ,与题设不符． 当01x ≠时 ,直线1PF 的斜率为001y x + ,直线2PF 的斜率为001y x -． 因为11l PF ⊥ ,22l PF ⊥ ,所以直线1l 的斜率为001x y -- ,直线2l 的斜率为001x y -- ,从而直线1l 的方程为()0011x y x y +=-+ ① 直线2l 的方程为()0011x y x y -=-- ② 联立①② ,解得20001,x x x y y =-=- ,所以20001,x Q x y ⎛⎫- ⎝-⎪⎭．因为点Q 在椭圆上 ,由对称性得20001x y y =±- ,即22001x y -=或22001x y +=． 又点P 在椭圆E 上 ,故2200143x y +=．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ ,解得00x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ,无解． 因此点P的坐标为⎝⎭． 21. (2021北京理18 )抛物线22C y px =：过点()11P ，.过点102⎛⎫ ⎪⎝⎭，作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ,B ,其中O 为原点.(1 )求抛物线C 的方程 ,并求其焦点坐标和准线方程； (2 )求证：A 为线段BM 的中点.21.解析 (1 )由抛物线2:2C y px =过点()1,1P ,得12p =.所以抛物线C 的方程为2y x = ,抛物线C 的焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭,准线方程为14x =-.(2 )解法一：由题意 ,设直线l 的方程为()102y kx k =+≠ ,l 与抛物线C 的交点为11(,)M x y ,22(,)N x y .由212y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩ ,得224(44)10k x k x +-+=.那么1221k x x k -+=,12214x x k =. 因为点P 的坐标为()1,1 ,所以直线OP 的方程为y x = ,点A 的坐标为11(,)x y . 因为直线ON 的方程为22y y x x =,所以点B 的坐标为2112,y x x x ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为21122112112222y x y x y x x x y x x x +-+-=122112211222kx x kx x x x x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== ()()121221222k x x x x x -++()2221122420kk k k x --⨯+== ,所以211122y x y x x +=. 故A 为线段BM 的中点.解法二：要证A 为BM 的中点 ,且,,A B M x x x 相同 ,只需证2A M B y y y =+ ,等式两边同时除以M x ,那么有2OA OM ON k k k =+.因为1221121*********11++22OM ONkx x kx x y y y x y x k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+=+===()121222122111122422214k k kx x x x k k x x k -++⨯++==.又1OA OPk k == ,所以等式成立 ,即M 为OB 的中点.题型125 弦长与面积问题22. (2107天津理19 )设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为12.A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点 ,F 到抛物线的准线l 的距离为12. (1 )求椭圆的方程和抛物线的方程；(2 )设l 上两点P ,Q 关于x 轴对称 ,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A ) ,直线BQ 与x 轴相交于点D .假设APD △,求直线AP 的方程.22.解析 (1)依题意设点F (,0)c - ,由题意知21==a c e ,且2pa =.由对称性知抛物线的准线l 方程为a x -= ,那么12a c -=,解得1a = ,12c = ,2p = , 于是22234b a c =-=.从而椭圆的方程为22413y x += ,抛物线的方程为24y x =.(2)由于准线l 的方程为1x =- ,依题意设),1(t P -(0≠t ) ,那么),1(t Q --.因为)0,1(A , 那么2t k AP -= ,得直线AP 的方程为()12ty x =-- ①将①式代入方程34322=+y x 中化简得032)3(2222=-+-+t x t x t .设点),(00y x B ,由韦达定理得332200+-==t t x x x A ,那么()0023123t t y x t =--=+ ,即22233,33t t B t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ ,那么tt k BQ262+=,于是得直线BQ 方程为26(1)2t y t x t ++=+. 令0=y ,解得6622+-=t t x ,即226,06t D t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.那么612661||222+=+--=t t t AD ,于是211226APD S t t ==⋅⋅+△ ,化简得(2||0t = ,即得6±=t .代入①式化简得直线AP方程为330x -= ,或330x -=.23. (2021山东理21 )在平面直角坐标系xOy 中 ,椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的离心率为,焦距为2. (1 )求椭圆E 的方程；(2 )如以下图 ,动直线l：1y k x =交椭圆E 于,A B 两点 ,C 是椭圆E 上一点 ,直线OC 的斜率为2k ,且12k k =,M 是线段OC 延长线上一点 ,且:2:3MC AB = ,M 的半径为MC ,OS ,OT 是M 的两条切线 ,切点分别为S ,T .求SOT ∠的最|||大值 ,并求取得最|||大值时 ,直线l 的斜率.23.解析(1 )由题意知 c e a ==,22c = ,所以 a =,1b = ,因此椭圆E 的方程为2212x y +=. (2 )设点()()1122,,,A x y B xy ,联立方程22112x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y 整理得()22114210kx x +--= ,由题意知0∆> ,且121x x +=,()12211221x x k =-+ ,所以121AB x -= ,由题意可知圆M的半径123r AB ==由题设知12k k =,所以21k = ,因此直线OC的方程为1y x =.联立方程22112x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得2221221181,1414k x y k k ==++ ,因此OC 由题意可知1sin21SOT rOC r OCr∠==++,而1OC r=. 令2112t k =+ ,那么()11,0,1t t>∈ ,因此1OC r=== , 当且仅当112t = ,即2t =时等号成立 ,此时1k = ,所以 1sin 22SOT ∠ , 因此26SOT ∠π,所以SOT ∠的最|||大值为3π. 综上所述 ,SOT ∠的最|||大值为3π ,取得最|||大值时直线l的斜率为1k =.题型126 中点弦问题题型127 平面向量在解析几何中的应用24． (2107全国3卷理科20 )抛物线22C y x =： ,过点()20，的直线l 交C 与A ,B 两点 ,圆M 是以线段AB 为直径的圆． (1 )求证：坐标原点O 在圆M 上；(2 )设圆M 过点()42P -，,求直线l 与圆M 的方程． 24．解析 (1 )显然当直线斜率为0时 ,直线与抛物线交于一点 ,不符合题意．设:2l x my =+ ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,联立222y xx my ⎧=⎨=+⎩ ,得2240y my --= , 2416m ∆=+恒大于0 ,122y y m += ,124y y =-．1212OA OB x x y y ⋅=+1212(2)(2)my my y y =+++21212(1)2()4m y y m y y =++++=24(1)2240m m m -++⋅+= ,所以OA OB ⊥ ,即点O 在圆M 上．(2 )假设圆M 过点P ,那么0AP BP ⋅= ,即1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= ,即1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++= ,即21212(1)(22)()80m y y m y y +--++= ,化简得2210m m --= ,解得12m =-或1.①当12m =-时 ,:240l x y +-= ,设圆心为00(,)Q x y ,那么120122y y y +==- ,0019224x y =-+= ,半径||r OQ = , 那么圆229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.②当1m =时 ,:20l x y --= ,设圆心为00(,)Q x y ,12012y y y +== ,0023x y =+= ,半径r OQ = ,那么圆22:(3)(1)10M x y -+-=.题型128 定点问题 - -暂无25. (2021全国2卷理科20 )设O 为坐标原点 ,动点M 在椭圆22:12x C y +=上 ,过M 作x 轴的垂线 ,垂足为N ,点P 满足2NP NM =.(1 )求点P 的轨迹方程；(2 )设点Q 在直线3x =-上 ,且1OP PQ ⋅=.求证：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .25．解析 (1 )设点()P x y ， ,易知(0)N x ，,(0)NP y =， ,又0NM ⎛== ⎝, 所以点M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又M 在椭圆C 上 ,所以2212x += ,即222x y +=．(2 )由题知()1,0F - ,设()3,Q t - ,(),P m n ,那么()3,OQ t =- ,()1,PF m n =--- ,33OQ PF m tn ⋅=+- ,(),OP m n = ,()3,PQ m t n =--- ,由1OP PQ ⋅= ,得2231m m tn n --+-=.又由 (1 )知222m n += ,所以330m tn +-= ,从而0OQ PF ⋅= ,即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线的垂直于OQ ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过曲线C 的左焦点()1,0F -.26. (2107全国1卷理科20 )椭圆()2222:=10x y C a b a b+>> ,四点()111P ， ,()201P ， ,3–12P ⎛ ⎝⎭， ,412P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上. (1 )求C 的方程；(2 )设直线l 不经过点2P 且与C 相交于A ,B 2P A 与直线2P B 的斜率的和为–1 ,求证：l 过定点.26. 解析 (1 )根据椭圆对称性 ,必过3P ,4P ,又4P 横坐标为1 ,椭圆必不过1P ,所以过 234P P P ，，三点.将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,解得24a = , 21b = ,所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(2 )①当斜率不存在时 ,设()():A A l x m A m y B m y =-，，，， , 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==- ,得2m = ,此时l 过椭圆右顶点 ,不存在两个交点 , 故不满足．②当斜率存在时 ,设()1l y kx b b =+≠∶ ,()()1122A x y B x y ，，， ,联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩, 消去y 整理得()222148440k x kbx b +++-= ,122814kb x x k-+=+ ,21224414b x x k-⋅=+ , 那么22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++==-+()()()811411k b b b -=-+- ,又1b ≠21b k ⇒=-- ,此时64k ∆=- ,存在k 使得0∆>成立．所以直线l 的方程为21y kx k =--.当2x =时 ,1y =- ,所以l 过定点()21-，．题型129 定值问题题型130 最|||值问题 - -暂无27. (2107浙江21 )如以下图 ,抛物线2x y =.点1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ,3924B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ,抛物线上的点(),P x y 1322x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜＜ ,过点B 作直线AP 的垂线 ,垂足为Q .(1 )求直线AP 斜率的取值范围； (2 )求PA PQ ⋅的最|||大值.27.解析 (1 )设直线AP 的斜率为k ,1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ,(),P x y ,那么21114411222y x k x x x --===-++. 因为1322x -<< ,所以111x -<-< ,所以直线AP 斜率的取值范围是()1,1-.(2 )因为直线AP ⊥BQ ,且3924B ⎛⎫⎪⎝⎭， ,所以直线BQ 的方程为91342y x k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,联立直线AP 与BQ 的方程1102493042kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩ ,解得点Q 的横坐标是()224321Q k k x k -++=+.因为)11,112PA k k =+=+-<<,2(1)1Q k k PQ x -+=-= ,11k -<< ,所以()()311,11PA PQ k k k ⋅=--+-<< ,令()()()311,11f k k k k =--+-<< , 因为()()()2421f k k k '=--+ ,当112x -<<时 ,()0f k '> ,当112x <<时 ,()0f k '< ,所以()f k 在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 ,1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 ,因此当12k =时 ,PA PQ ⋅取得最|||大值2716.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案 第40课__直线的方程(含解析)
___第40课__直线的方程____1. 了解确定直线位置的几何要求(两个点或一点和方向)．2. 掌握直线方程的五种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)的特点与适用范围，能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程．3. 熟悉直线方程各形式的特征，理解各形式之间的关系，会由已知直线方程求相关的特征量.1. 阅读：必修2第80～86页，温习直线方程的五种形式．2. 解悟：①直线方程的各种形式需要怎样的条件？各有怎样的适用范围？②直线方程各种形式之间有怎样的区别与联系？③教材第82页的探究内容所蕴含的意义是什么？3. 践习：在教材空白处，完成必修2第83页练习第3题；第85页练习第2、4题；第87页练习第4、5题.基础诊断1. 已知点A(－4，6)，B(－2，4)，则直线AB 的一般式方程为__x ＋y －2＝0__．解析：易知直线斜率存在．设直线AB ：y ＝kx ＋b ，将点A(－4，6)，B(－2，4)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝－4k ＋b ，4＝－2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2，所以直线AB ：y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0. 2. 过点(1，2)且倾斜角的正弦值为45的直线方程是__y ＝43x ＋23或y ＝－43x ＋103__．解析：由题意知sin α＝45，因为α∈[0，π)，所以tan α＝43或－43，即直线的斜率为43或－43.当斜率为43时，直线方程为y ＝43x ＋23；当斜率为－43时，直线方程为y ＝－43x ＋103.3. 过点(3，－4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是__y ＝－43x 或x ＋y ＋1＝0__．解析：当直线过原点(0，0)时，因为直线过点(3，－4)，所以直线方程为y ＝－43x ；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya＝1，将点(3，－4)代入，得a ＝－1，所以直线方程为x ＋y ＋1＝0.4. 给出下列命题：①经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示；②经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b ；③不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb ＝1表示；④经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示，其中正确命题的个数为__1__．解析：①过点P 0(x 0，y 0)且垂直于x 轴的直线不能用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示，故①错；②经过点A(0，b)且垂直于x 轴的直线不能用方程y ＝kx ＋b 表示，故②错；③垂直于两坐标轴的直线不能用方程x a ＋yb ＝1表示，故③错；④经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示，故④正确．范例导航考向❶ 求直线方程例1 已知直线l 过点A(5，2)．(1) 若直线l 的斜率为2，求直线l 的方程；(2) 若直线l 经过点B(3，－2)，求直线l 的方程．解析：(1) 因为直线l 过点A(5，2)，斜率为2，由点斜式方程得y －2＝2(x －5)，故所求直线l 的方程为2x －y －8＝0.(2) 因为直线l 过点A(5，2)，点B(3，－2)，由两点式方程得y －2－2－2＝x －53－5，故所求直线l 的方程为2x －y－8＝0.若直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线的方程为__4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0__．解析：由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1.又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a＝－4或a ＝9，故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. 考向❷ 含有参数的直线方程例2 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0 (k ∈R)．(1) 求证：直线l 过定点；(2) 若直线l 不经过第四象限，求实数k 的取值范围． 解析：(1) 直线l 的方程化简为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1， 所以无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2，1)．(2) 当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2kk≤0，1＋2k ≥0，k >0，解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，若直线l 在x 轴上的截距是－3，则m ＝__－53__；若直线l 的斜率是－1，则m ＝__－2__．解析：因为直线l 在x 轴上的截距为－3，令y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0，2m －6m 2－2m －3＝－3，解得m ＝－53.若直线l 的斜率为－1，则⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝－2.考向❸ 直线方程的简单运用例3 已知直线l 过点P(2，1)，分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，若O 为坐标原点，求△OAB 面积的最小值及此时直线l 的方程．解析：方法一：因为直线l 过点P(2，1)，若斜率不存在，则直线与y 轴无交点，所以直线的斜率存在. 若k ＝0，则直线与x 轴无交点，所以k ≠0.又直线与x ，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，所以k<0.设直线方程为y －1＝k(x －2)，分别令y ＝0，x ＝0得A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B(0，1－2k)， 则S △OAB ＝12·OA·OB ＝12⎝⎛⎭⎫2－1k (1－2k) ＝－2k －12k ＋2≥2＋2（－2k ）·1－2k＝4，当且仅当－2k ＝1－2k，即k ＝－12时，等号成立，即△OAB 面积的最小值为4.此时，直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.方法二：设 A ，B 两点的坐标分别为A(a ，0)，B(0，b)，a>0，b>0，由直线的截距式方程得直线l 的方程为x a ＋y b＝1. 因为直线l 过点P(2，1)，所以2a ＋1b ＝1.因为22a ·1b≤1，所以ab ≥8， 当且仅当2a ＝1b ，即a ＝4，b ＝2时取等号，所以S △OAB ＝12ab ≥4.此时，直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.如图，互相垂直的两条道路l 1，l 2相交于点O ，点P 与l 1，l 2的距离分别为2千米、3千米，过点P 建一条直线道路AB ，与l 1，l 2分别交于A ，B 两点．(1) 当∠BAO ＝45°时，试求OA 的长；(2) 若使△AOB 的面积最小，试求OA ，OB 的长．解析：以l 1为x 轴，l 2为y 轴，建立平面直角坐标系，则O(0，0)，P(3，2)． (1) 由∠BAO ＝45°知，OA ＝OB ，可设A(c ，0)， B(0，c)(c ＞0)， 直线l 的方程为x c ＋yc ＝1.因为直线l 过点P(3，2)，所以3c ＋2c ＝1，则c ＝5，即OA ＝5千米．(2) 设A(a ，0)，B(0，b)(a ＞0，b ＞0)， 则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1.因为直线l 过点P(3，2)，所以3a ＋2b ＝1，b ＝2a a －3>0，则a ＞3，从而S △ABO ＝12ab ＝12a·2a a －3＝a 2a －3.令a －3＝t ，t ＞0，则a 2＝(t ＋3)2＝t 2＋6t ＋9， 故有S △ABO ＝t 2＋6t ＋9t ＝t ＋9t＋6≥29t·t ＋6＝12，当且仅当t ＝3时，等号成立， 此时a ＝6，b ＝4，所以OA ＝6千米，OB ＝4千米．自测反馈1. 若两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标分别满足3x 1－5y 1＋6＝0和3x 2－5y 2＋6＝0，则经过这两点的直线的方程为__3x －5y ＋6＝0__．解析：因为两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标分别满足3x 1－5y 1＋6＝0和3x 2－5y 2＋6＝0，两点确定一条直线，所以经过这两点的直线方程为3x －5y ＋6＝0.2. 直线过点(5，10)，且原点到直线的距离为5，直线方程为__x ＝5或3x －4y ＋25＝0__．解析：当直线的斜率不存在时，直线的方程为x ＝5，满足原点到直线的距离为5；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －10＝k(x －5)，即kx －y －5k ＋10＝0.由点到直线的距离公式可得|－5k ＋10|k 2＋1＝5，解得k ＝34，所以直线的方程为3x －4y ＋25＝0.综上，直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.3. 若直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y －2m ＝0在x 轴上的截距是3，则实数m 的值是__－6__． 解析：令y ＝0，所以(m ＋2)x ＝2m ，将x ＝3代入，得m ＝－6.4. 已知直线l 过点(3，4)，且在第一象限和两坐标轴围成的三角形的面积是24，则直线l 的截距式方程是__x 6＋y8＝1__． 解析：由题意，可设直线l 的截距式方程为x a ＋yb ＝1，则有⎩⎨⎧3a ＋4b ＝1，12ab ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝8，所以直线l 的截距式方程为1. 确定一条直线需要两个独立的条件，一是方向(斜率或倾斜角)；二是位置(一个定点)．2. 求直线的方程主要有两种方法：①直接法，根据已知条件，选择适当的形式，直接写出直线的方程；②待定系数法，先设出直线方程，根据已知条件求出待定的系数，再代入，求出直线方程．3. 你还有哪些体悟，写下来：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第68练 直线的方程
[基础保分练]
1．(2019·常州模拟)倾斜角为60°，在x 轴上的截距为3的直线方程为______________．
2．直线l ：y －1＝k (x ＋2)必过定点________．
3．与直线3x －2y ＋7＝0关于y 轴对称的直线方程为________．
4．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，则所得到的直线方程为______________．
5．(2019·盐城调研)直线2x ＋3y －6＝0在两坐标轴上的截距之和为________．
6．设直线l 的倾斜角是直线y ＝3x ＋1的倾斜角的12
，且与y 轴的交点到x 轴的距离是3，则直线l 的方程为________________．
7．经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是______________．
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点(－1,0)，(1,4)，则直线l 的方程是____________．
9．在直线方程y ＝kx ＋b 中，当x ∈[－3,4]时，恰好y ∈[－8，13]，则此直线方程为____________．
10．某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y (元)与行李重量x (kg)的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为________kg.
[能力提升练]
1．若直线4x －3y －12＝0被两坐标轴截得的线段长为1c
，则实数c 的值为________． 2．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA ＝PB ，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为______________．
3．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为________．
4．已知直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P (3,3)，则直线l 的方程为______________．
5．已知直线l 过点P (2,3)，且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程是_______．
6．(2019·扬州模拟)将一张画有坐标系的纸对折后，点A (3，a )与点B (－2,0)重合，点C (0,0)与点D (3,3)重合，则a 的值为________．
答案精析
基础保分练 1.3x －y －3＝0 2.(－2,1)
3．3x ＋2y －7＝0 4.y ＝－13x ＋13
5.5 6．x －3y ＋33＝0或x －3y －33＝0
解析 由题可知y ＝3x ＋1的倾斜角为π3
， 则直线l 的倾斜角是π6
， 由此可设直线l 的方程为y ＝33
x ＋b ， 由题意知直线l 与y 轴的交点到x 轴的距离是3，
可得|b |＝3，故b ＝±3，
即直线的方程为 x －3y ＋33＝0或x －3y －33＝0.
7．8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0
解析 由题意设所求直线方程为
y ＋4＝k (x ＋5)(k ≠0)，
即kx －y ＋5k －4＝0. 由12·|5k －4|·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪4k －5＝5， 得k ＝25或k ＝85
. 故所求直线方程为
2x －5y －10＝0或8x －5y ＋20＝0.
8．2x －y ＋2＝0
解析 因为直线l 经过点(－1,0)，(1,4)，
所以直线斜率为k ＝4－01－－＝2，
由点斜式可得直线方程为l ：y ＝2(x ＋1)＝2x ＋2，即2x －y ＋2＝0.
9．3x －y ＋1＝0或3x ＋y －4＝0
解析 方程y ＝kx ＋b 为一次函数，
由一次函数的单调性可知：
当k >0时，函数为增函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －3k ＋b ＝－8，4k ＋b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝3，b ＝1.
当k <0时，函数为减函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4k ＋b ＝－8，－3k ＋b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－3，b ＝4.
10．30
解析 由题图知点A (60,6)，B (80,10)，由直线方程的两点式，得直线AB 的方程是y －610－6
＝x －6080－60，即y ＝15
x －6，依题意，令y ＝0，得x ＝30，即旅客最多可免费携带30kg 行李． 能力提升练
1.15
2.x ＋y －5＝0
3.4
4.x ＝3 5．3x －2y ＝0，x －y ＋1＝0或x ＋y －5＝0
6．5
解析 把对折后的折线记作直线l ，
因为点A (3，a )与点B (－2,0)重合，
所以对折后直线l ⊥直线AB ，
又点C (0,0)与点D (3,3)重合，
所以对折后直线l ⊥直线CD ，
故直线AB ∥直线CD ，
所以k AB ＝k CD ，即0－a －2－3＝3－03－0
， 解得a ＝5.。