黑龙江省哈六中2013届高三第三次模拟数学理 (2013哈六中三模)

哈尔滨市第六中学2013届高三第三次模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合} 111|{>-=x x A ，} 1log |{21>=x x B ，那么“A m ∈”是“B m ∈”的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）不充分也不必要条件2．以下命题正确的是（ ）（A ）当从1，2，3，4，5中任取两个数和为偶数时，则所取这两个数分别为偶数的概率为41 （B ）线性相关的两个变量y x ,的回归方程为x y3.15.1ˆ+=，则变量y x ,成正相关，相关系数为3.1（C ）“若||||b a =，则b a =或b a-=”的逆命题为假命题（D ）复数),(R b a bi a z ∈+=，则02>z3．在长方体1111D C B A ABCD -中，122CC BC AB ==，点E 是1BB 的中点，那么异面直线AE 与1DB 所成角余弦值为（ ）（A ）46 （B ）46- （C ）410（D ）234．已知等差数列}{n a 中，π45831=++a a a ，那么=+)cos(53a a （ ）（A ）21 （B ）21- （C ）23 （D ）23-5．若n x x )12(32-展开式各项系数和为1281-，则展开式中常数项是第（ ）项 （A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）26．若10<<<y x ，10<<a ，则下列不等式正确的是（ ）（A ）2log log 3y x a a < （B ）ay ax cos cos < （C ）y x a a < （D ）a a y x < 7．将函数)3(sin 22π-=x y 图像所有点横坐标缩短为原来一半，再向右平移3π，得到函数)(x f的图像，那么关于)(x f 的论断正确的是（ ）（A ）周期为2π，一个对称中心为)0,2(π （B ）周期为2π，一个对称中心为)1,2(π（C ）最大值为2，一条对称轴为2π=x （D ）最大值为1，一条对称轴为2π=x8．如下图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x 代替，那么这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为（ ）（A ）102 （B ）103 （C ）106 （D ）107 9．阅读如下程序，若输出的结果为6463，则在程序中横线 ? 处应填入语句为（ ）（A ）6≥i （B ）7≥i10．如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角︒60的菱形，，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（）（A ）π8 （B ）π4 （C ）π3 （D ）π211．已知抛物线)0(2:2>=p px y M 焦点为F ，直线2pmy x +=与抛物线M 交于B A ,两点，与y 轴交于点C ，且||||BF BC =，O 为坐标原点，那么BOC ∆与AOC ∆面积的比值为（ ）（A ）51 （B ）41 （C ）31 （D ）5212．已知函数xx x a x f +-+=1)1(2ln )(（R a ∈）定义域为)1,0(，则)(x f 的图像不可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）俯视图第10题图0 1 2 7 8 0 7 x 9 3 1 运动员 第8题图第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．随机变量),1(~2σN X ，若32)1|1(|=<-X P ，则=≥)0(X P ______________ 14．由不等式组⎩⎨⎧>≤+22||x y y x 所确定的平面区域的面积为______________ 15．数列}{n a 的前n 项和为12++=n n S n ，)()1(+∈-=N n a b n n n ，则数列}{n b 前50项和为______________16．关于函数m x e x f x +-=-|cos |)(||（m 为常数）有如下命题 ①函数)(x f 的周期为π； ②R m ∈∀，函数)(x f 在)0,2(π-上单调递减；③若函数)(x f 有零点，则零点个数为偶数个，且所有零点之和为0； ④R m ∈∃，使函数)(x f 在)0,2(π-上有两个零点；⑤函数)(x f 既无最大值，也无最小值其中不正确的命题序号是__________________三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）某旅游景点有一处山峰，游客需从景点入口A 处向下沿坡角为α的一条小路行进a 百米后到达山脚B 处，然后沿坡角为β的山路向上行进b 百米后到达山腰C 处，这时回头望向景点入口A 处俯角为θ，由于山势变陡到达山峰D 坡角为γ，然后继续向上行进c 百米终于到达山峰D 处，游览风景后，此游客打算乘坐由山峰D 直达入口A 的缆车下山结束行程，如图，假设A 、B 、C 、D 四个点在同一竖直平面 （1）求B ，D 两点的海拔落差h ；（2）求AD 的长．γD AB C αβθ abc（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，CD AB //，在锐角PAD ∆中PD PA =，并且82==AD BD ，542==DC AB（1）点M 是PC 上的一点，证明：平面⊥MBD 平面PAD ；（2）若PA 与平面PBD 成角︒60，当面⊥MBD 平面ABCD 时，求点M 到平面ABCD 的距离．（19）（本小题满分12分）“跑跑龟”是一款益智游戏，它灵活多变老少皆宜，深受大家喜爱。

有位小朋友模仿“跑跑龟”也自己动手设计了一个简易游戏来自娱自乐，并且制定规则如下：如图为游戏棋盘由起点到终点共7步，并以一副扑克牌中的4张A 、2张2、1张3分别代表前进1步、2步、3步，如果在终点前一步时抽取到2或3，则只需前进一步结束游戏，如果在终点前两步时抽取到3，则只需前进两步结束游戏。

游戏开始时不放回的依次抽取一张决定前进的步数 （1）求恰好抽取4张卡片即结束游戏的概率；（2）若游戏结束抽取的卡片张数记为X（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，从曲线C 上一点P 做x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为N M ,，点)0,(),0,(a B a A -（a a ,0>为常数），且02=+⋅λ（0≠λ） （1）求曲线C 的轨迹方程，并说明曲线C 是什么图形；（2）当0>λ且1≠λ时，将曲线C 绕原点逆时针旋转︒90得到曲线1C ，曲线C 与曲线1C 四个交点按逆时针依次为G F E D ,,,，且点D 在一象限①证明：四边形DEFG 为正方形； ②若DF AD ⊥，求λ值．（21）（本小题满分12分）已知0>a ，函数x ax x f -=2)(，)ln()(ax x g =（1）若直线1-=kx y 与函数)(),(x g x f 相切于同一点，求实数k a ,的值；（2）是否存在实数a ，使得)()(x g x f ≥成立，若存在，求出实数a 的取值集合，不存在说明理由．考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，⊙1O 与⊙2O 相交于B A ,两点，AB 是⊙2O 的直径，过点A 作⊙1O 的切线交⊙2O 于点E ，并与1BO 的延长线交于点P ，点P 分别与⊙1O 、⊙2O 交于D C ,两点证明：（1）PC PE PD PA ∙=∙；（2）AE AD =．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系Ox 中，O 为极点，点)2,2(πA ，)4,22(πB ．（1）求经过B A O ,,的圆C 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆D 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+-=θθsin 1cos 1a y a x （θ是参数，a 为半径），若圆C 与圆D 相切，求半径a 的值．（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数3|13|)(++-=ax x x f（1）若1=a ，解不等式()5f x ≤；（2）若函数()f x 有最小值，求实数a 的取值范围．2013届高三第三次模拟考试数学试卷（理工类）参考答案 一、选择1-12 BADDA DCBBC BD 二、填空题13、65 14、3715、49 16、①②③⑤ 三、解答题17解（1）γβsin sin c b h += ………5分（2）法一：在ABC ∆中，由余弦定理)cos(2222βα+++=ab b a AC ………9分在ACD ∆中，由余弦定理)cos(2222θγπ+--+=cAC c AC AD 所以)cos ()cos (22)cos (222222θγβαβα-++++++++=ab b a c c ab b a AD ………12分（2）法二：在ABC ∆中，由正弦定理得)sin()sin(βαθβ+=-ACa ，所以)sin()sin(θββα-+=a AC (9)分以下同法一18解法一（1）因为82==AD BD ，54=AB ，由勾股定理得AD BD ⊥，因为平面⊥PAD 平面ABCD ，平面⋂PAD 平面ABCD=AD ，⊆BD 面ABCD ，所以⊥BD 平面PAD ⊆BD 面MBD ，所以平面⊥MBD 平面PAD ………6分 （2）如图，因为⊥BD 平面PAD ，所以平面⊥PBD 平面PAD ，所以︒=∠60APD ，做AD PF ⊥于F ，所以⊥PF 面ABCD ，32=PF ，设面⋂PFC 面MBD =MN ，面⊥M B D 平面ABCD 所以面//PF 面MBD ，所以MN PF //，取DB 中点Q ，得C D F Q 为平行四边形，由平面ABCD 边长得N 为FC 中点，所以321==PF MN ………12分 解法二（1）同一（2）在平面PAD 过D 做AD 垂线为z 轴，由（1），以D 为原点，DB DA ,为y x ,轴建立空间直角坐标系,设平面PBD 法向量为),,(z y x =，设),0,2(a P ，锐角PAD ∆所以2>a ，由0,0=⋅=⋅，解得)2,0,(a -=，),0,2(a -=，2344|,cos |2=+=><a a u PA ，解得32=a 或2332<=a （舍）设PM λ=，解得)3232,4,42(λλλ--M因为面⊥MBD 平面ABCD ，BD AD ⊥，所以面MBD 法向量为)4,0,0(=DA ，所以0=⋅，解得21=λ，所以M 到平面ABD 的距离为竖坐标3． ………12分 19解（1）设抽取4张卡片即结束游戏为事件A ，取4张步数要大于等于7，卡片可以是2个A 、1个2、1个3或1个A 、2个2、1个3， 所以73)(47331314441224=+=A A A C A C C A P ………5分 （2）由题意}6,5,4,3{∈X ………6分xyzM351)3(3733===A A X P 73)4(47331314441224=+==A A A C A C C X P 10547)5(57442444121234553455=+++==A A C A C C C A C A X P 212)6(6755125512=+==A A C A C X P ………10分 X 3 456P351 73 10547 212 105484=EX ………12分 20解（1）设),(y x P ，所以),0(),0,(y N x M ，由02=+⋅AM λ得222a y x =+λ ①当0<λ时，曲线C 是焦点在x 轴的双曲线； ②当10<<λ时，曲线C 是焦点在y 轴的椭圆；③当1=λ时，曲线C 是圆；④当1>λ时，曲线C 是焦点在x 轴的椭圆； ………6分 （2）①当0>λ且1≠λ时，曲线C 是椭圆，曲线1C 方程为222a y x =+λ,设),(y x D所以两曲线四个交点坐标λ+==1222a y x ，所以四边形DEFG 为正方形； ………9分②设),(x x D ，当DF AD ⊥时，0)2,2(),(=--⋅-=⋅x x x a x 且解得3=λ． ………12分 21解（1）设)(x g 切点))ln(,(00ax x ，k x x g =='001)(， ∴01)ln()(000=-==kx ax x g ，10=∴ax ，设)(x f 切点))(,(00x f x ，112)(00==-='k ax x f ，10==∴x a1==∴k a ………5分（2）令)ln()()()(2ax x ax x g x f x h --=-=，即0)(min ≥x hxx ax x h 12)(2--='，令12)(2--=x ax x p ，081>+=∆a 所以0)(=x p 有两不等根21,x x ，02121<-=ax x ，不妨令210x x <<，所以)(x h 在),0(2x 上递减，在),(2+∞x 上递增，所以0)ln()(22222≥--=ax x ax x h 成立因为012)(2222=--=x ax x p ，所以22221x x ax +=所以021ln 21)(2222≥+--=x x x x h ,且181248112-+=++=a a a x 令)1ln(2ln 2121ln 21)(x x xx x x x k +-+-=+--=)1(2)2)(1()(++--='x x x x x k ，所以)(x k 在)1,0(上递增，在),1(+∞上递减所以0)1()(2=≤k x k ，又021ln 21)(2222≥+--=x x x x h ，所以12=x 代入22221x x ax +=,1=a 所以}1{∈a ………12分 22证明：（1）因为PB PE ,分别是⊙2O 割线，所以PB PD PE PA ⋅=⋅① 又PB PA ,分别是⊙1O 的切线和割线，所以PB PC PA ⋅=2② 由①②得PC PE PD PA ∙=∙ ………5分（2）连接DE AC ,，设DE 与AB 相交于点F ，因为BC 是⊙1O 的直径，所以︒=∠90CAB ，所以AC 是⊙2O 的切线，由（1）得DE AC //，所以DE AB ⊥，所以AE AD = ………10分 23解（1）)4cos(22πθρ-= ………5分（2）2=a 或23=a ． ………10分 24解：（Ⅰ）1a =时，()|31|3f x x x =-++.原不等式的解集为13{|}.24x x -≤≤ ………5分 （Ⅱ）1(3)2,()3()|31|31(3) 4.()3a x x f x x ax a x x ⎧++⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩≥函数()f x 有最小值的充要条件为30,30,a a +⎧⎨-⎩≥≤即33a -≤≤ ………10分。