湖南省长沙市麓山国际实验学校2017-2018学年高三上学期一轮复习检测数学(文科)试题 Word版含答案
2017-2018学年湖南省长沙市高三数学上第一次模拟考试（理）试题（附答案）
2017-2018学年湖南省长沙市⾼三数学上第⼀次模拟考试（理）试题（附答案）长沙市2018届⾼三第⼀次模拟试卷数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.设复数1z ，2z 在复平⾯内的对应点关于实轴对称，11z i =+，则12z z =（） A ．2-B ．2C ．1i -D ．1i +2.设全集U R =，函数()lg(|1|1)f x x =+-的定义域为A ，集合{}|sin 0B x x π==，则()U A B e的⼦集个数为（）A ．7B ．3C ．8D ．93.函数()sin()f x x ω?=+（0ω>，0?π<<）的图象中相邻对称轴的距离为2π，若⾓?的终边经过点，则()4f π的值为（）A B C ．2 D ．4.如图所⽰的茎叶图（图⼀）为⾼三某班50名学⽣的化学考试成绩，图（⼆）的算法框图中输⼊的i a 为茎叶图中的学⽣成绩，则输出的m ，n 分别是（）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =5.设不等式组,3,4y x y x x y ≤??≥??+≤?表⽰的平⾯区域为1Ω，不等式22(2)(2)2x y ++-≤表⽰的平⾯区域为2Ω，对于1Ω中的任意⼀点M 和2Ω中的任意⼀点N ，||MN 的最⼩值为（）ABCD．6.若函数2(2)()m xf x x m-=+的图象如图所⽰，则m 的范围为（）A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(1,2)7.某多⾯体的三视图如图所⽰，则该多⾯体各⾯的⾯积中最⼤的是（）A ．11BCD8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满⾜20140S >，20150S <，对任意正整数n ，都有||||n k a a ≥，则k 的值为（）A ．1006B ．1007C ．1008D ．10099.已知⾮零向量a ，b ，c 满⾜||||4a b b -== ，()()0a c b c -?-=，若对每个确定的b ，||c的最⼤值和最⼩值分别为m ，n ，则m n -的值（） A ．随||a增⼤⽽增⼤B ．随||a10.已知如图所⽰的三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球⾯上，ABC ?和DBC ?所在的平⾯互相垂直，3AB =，AC =，BC CD BD ===则球O 的表⾯积为（）A ．4πB ．12πC ．16πD ．36π11.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆⼼的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=?，且3OQ OP =，则双曲线C 的离⼼率为（） ABCD12.已知e 为⾃然对数的底数，若对任意的[]0,1x ∈，总存在唯⼀的[]1,1y ∈-，使得20y x y e a +-=成⽴，则实数a 的取值范围是（）A ．[1,]eB ．1(1,]e e+第Ⅱ卷（共90分）⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知0a >，6)x -展开式的常数项为15，2(a ax x dx -+=? ．14.设a ，b R ∈，关于x ，y 的不等式||||1x y +<和48ax by +≥⽆公共解，则ab 的取值范围是．15.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n S a a =+（*n N ∈），设21(1)2nn n na c S +=-，则数列{}n c 的前2016项的和为．16.已知F 是椭圆C ：221204x y +=的右焦点，P 是C 上⼀点，(2,1)A -，当APF ?周长最⼩时，其⾯积为．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ?中，已知点D 在边BC 上，且0AD AC ?= ，sin 3BAC ∠=AB =BD =．（1）求AD 的长；（2）求cos C ．18.如图，在多⾯体ABCDEF 中，四边形ABCD 为梯形，ADE ?，BCF ?均为等边三⾓形，//EF AB ，1 2EF AD AB ==．（1）过BD 作截⾯与线段FC 交于点N ，使得//AF 平⾯BDN ，试确定点N 的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN 与平⾯ABF 所成⾓的正弦值．19.2015年7⽉9⽇21时15分，台风“莲花”在我国⼴东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万⼈受灾，5.6万⼈紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农⽥受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千⽶的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，⼩明调查了梅州某⼩区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五组，并作出如图频率分布直⽅图：（1）试根据频率分布直⽅图估计⼩区平均每户居民的平均损失（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值代表）；（2）⼩明向班级同学发出倡议，为该⼩区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽取2户进⾏捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召⼩区居民为台风重灾区捐款，⼩明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求b ，c ，a b +，c d +，a c +，b c +，a b c d +++的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和⾃⾝经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．20.已知抛物线C 的顶点在原点，其焦点(0,)F c （0c >）到直线l ：20x y --=的距离为P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线 PA ，PB ，其中A ，。
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三上学期第三次月考模拟数学(文)试题 Word版含答案
2017-2018学年 文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合},2|{R x y y A x ∈==，},|{2R x x y y B ∈==，则=B A （ ）A ．AB B ．B AC ．B A =D ．∅=B A2.设复数i z -=1的共轭复数为z ，则=⋅z z （ ） A ．0 B ．1- C ．2 D ．23.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，)1()(+=x e x f x ，给出下列命题： ①当0>x 时，)1()(x e x f x -=；②函数)(x f 有2个零点；③0)(>x f 的解集为),1()0,1(+∞- ；④R x x ∈∀21,，都有2|)()(|21<-x f x f . 其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④4.已知函数R x x x x f ∈+=,)(3，若当20πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)1,0(B ．)0,(-∞C ．)21,(-∞ D ．)1,(-∞ 5.)22cos()22sin(21--+ππ等于（ ）A ．2cos 2sin +B ．2sin 2cos -C ．2cos 2sin --D ．2cos 2sin -6.已知432παβπ<<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，则=α2sin （ ）A ．6556B ．6533-C ．6556-D ．65337.已知向量)2,1(=，)1,(-=a ，若⊥+)(，则实数a 的值为（ ） A ．3- B ．31-C ．21D ．2 8.若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．80B ．40C ．380D ．3409.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．010.若圆3)1()3(22=-+-y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ ） A ．332 B ．27C ．2D ．7 11.数列}{n a 满足11=a ，对任意的*∈N n 都有n a a a n n ++=+11，则=+++201621111a a a （ ） A ．20162015 B ．20174032 C ．20174034 D ．2017201612.定义：如果函数)(x f 在],[b a 上存在)10(,2121<<<x x x x 满足ab a f b f x f --=)()()('1，ab a f b f x f --=)()()('2，则称函数)(x f 是],[b a 上的“双中值函数”，已知函数m x x x f +-=232)(是]2,0[a 上“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)41,81(B ．)41,121(C ．)81,121(D ．,1)81( 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数12log )(223+++=x cbx x x f 的值域为]1,0[，则b 与c 的和为 . 14.21,F F 分别为椭圆1273622=+y x 的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且)(211OF +=，)(212OF +=，则=+||||OC OB . 15.设函数)0(22)(>+=x x xx f ，观察： 22)()(1+==x xx f x f ，46))(()(12+==x xx f f x f ，814))(()(23+==x xx f f x f ，1630))(()(34+==x xx f f x f ，……，根据以上事实，当*∈N n 时，由归纳推理可得：=)1(n f .16.已知点),(b a A 与点)0,1(B 在直线01043=+-y x 的两侧，给出下列说法：①01043>+-b a ；②当0>a 时，b a +有最小值，无最大值；③222>+b a ；④当0>a 且1≠a ，0>b 时，1-a b 的取值范围是),43()25,(+∞--∞ . 其中所有正确说法的序号是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分)设n S 为各项不相等的等差数列}{n a 的前n 项和，已知7533a a a =，93=S .（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n T 为数列}1{1+n n a a 的前n 项和，求1+n n a T的最大值. 18.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，','F E 两点的坐标分别为)3,0(),3,0(-，动点G 满足：直线G E '与直线G F '的斜率之积为43-. （1）求动点G 的轨迹方程；（2）过点O 作两条互相垂直的射线，与（1）的轨迹分别交于B A ,两点，求OAB ∆面积的最小值.19.(本小题满分12分)如图，直三棱柱111C B A ABC -中，31===AA BC AC ，BC AC ⊥，点M 在线段AB 上.（1）若M 是AB 的中点，证明：//1AC 平面CM B 1；（2）当BM 长是多少时，三棱锥BCM B -1的体积是三棱柱111C B A ABC -的体积的91.20.(本小题满分12分)在ABC ∆中，已知)sin(sin )sin(B A B B A -+=+. （1）求角A ；（2）若20=⋅，求||的最小值. 21.(本小题满分12分)已知函数)(2ln )(2R a a x x a x x x f ∈+--=在其定义域内有两个不同的极值点..（1）求实数a 的取值范围；（2）设两个极值点分别为21,x x ，证明：221e x x >⋅.22.（本小题满分12分）已知函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈--∈---∈+=]1,21[,1)21,21[,25)21,1[,1)(x x x x x x x x f .（1）求)(x f 的值域；（2）设函数]1,1[,3)(-∈-=x ax x g ，若对任意]1,1[1-∈x ，总存在]1,1[0-∈x ，使得)()(10x f x g =成立，求实数a 的取值范围.文科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．4或0； 14．6； 15．1231-⨯n ； 16．③④三、解答题：本大题共6个题，共70分．17．解：（1）设}{n a 的公差为d ，则由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++=++92233)6(3)4)(2(1111d a d a d a d a 解得⎩⎨⎧==301a d （舍去）或⎩⎨⎧==211a d ，∴11)1(2+=⨯-+=n n a n .（2）∵2111)2)(1(111+-+=++=+n n n n a a n n∴)2(22121)2111()4131()3121(11113221+=+-=+-+++-+-=+++=-n n n n n a a a a a a T n n n ∴161)424(21)44(21)44(2)2(2221=⋅+≤++=++=+=+nn n n n n n n n a T n n 当且仅当n n 4=，即2=n 时“=”成立，即当2=n 时，1+n n a T取得最大值161. 18．解：（1）已知)3,0('),3,0('-F E ，设动点G 的坐标),(y x ，∴直线G E '的斜率x y k 31-=，直线G F '的斜率)0(32≠+=x xy k ，221438k km x x +-=+，222143124km x x +-=. ∵OB OA ⊥，∴02121=+y y x x ，∴0))((2121=+++m kx m kx x x ， 即0)()1(221212=++++m x x km x x k ，把221438k km x x +-=+，222143124k m x x +-=代入得043843124)1(2222222=++-+-+m km k k m k ， 整理得1)12(722+=k m ， ∴O 到直线AB 的距离72127121||2==+=k m d . ∵OB OA ⊥，∴OB OA AB OB OA ⋅≥=+2222，当且仅当OB OA =时取“=”.由OB OA AB d ⋅=⋅得22AB OB OA AB d ≤⋅=⋅，∴72142=≥d AB ，即弦AB 的长度的最小值是7214. ∴OAB ∆面积的最小值为7127212721421=⨯⨯=∆OAB S . 19．（1）证明：连结C B BC 11,交于E ，连结ME . ∵直三棱柱111C B A ABC -中，M 是AB 的中点，∴侧面C C BB 11为矩形，ME 为1ABC ∆的中位线，∴1//AC ME . ∵⊂ME 平面CM B 1，⊄1AC 平面CM B 1，∴//1AC 平面CM B 1.（2）解：1311BB S V BCM BCM B ⋅=∆-，1111BB S V ABC C B A ABC ⋅=∆-， 设λ=，10<<λ，则119131BB S BB S ABC ABC ⋅=⋅∆∆λ.故31=λ，即2=BM .故当2=BM 时，三棱锥BCM B -1的体积是三棱柱111C B A ABC -的体积的91.20．解：（1）∵)sin(sin )sin(B A B B A -+=+，∴B A B A B B A B A sin cos cos sin sin sin cos cos sin -+=+， ∴B B A sin sin cos 2=， ∵0sin >B ,∴21cos =A , ∵π<<A 0,∴3π=A .（2）由40||||22||||2||||222222-≥⋅-+=⋅-+=-=AB AC AC AB AB AC AC AB AB AC AB AC BC（当||||=时取等号）， 又40||||20||||21cos ||||=⋅⇒=⋅=⋅=⋅AC AB AC AB A AC AB AC AB ∴⇒=-⨯≥4040402||2||的最小值为102.21．解：（1）依题意，函数)(x f 的定义域为),0(+∞，∴方程0)('=x f 在),0(+∞上有两个不同根，即方程0ln =-ax x 在),0(+∞上有两个不同根.转化为函数x y ln =与函数ax y =的图象在),0(+∞上有两个不同交点，如图，可见，若令过原点且切于函数x y ln =图象的直线斜率为k ，只需k a <<0. 令切点)ln ,(00x x A ，∴01|'0x y k x x ===， 又00ln x x k ==，∴000ln 1x x x =，解得e x =0， 于是ek 1=，∴e a 10<<.（2）由（1）可知21,x x 分别是方程0ln =-ax x 的两根，即11ln ax x =，22ln ax x =，设21x x >，作差得)(ln 2121x x a x x-=，即2121lnx x x x a -=.原不等式221e x x >⋅等价于2121212121)(2ln2)(2ln ln x x x x x x x x a x x +->⇔>+⇔>+ 令t x x =21，则1>t ，1)1(2ln )(2ln 212121+->⇔+->t t t x x x x x x ，设1)1(2ln )(+--=t t t t g ，1>t ，0)1()1()('22>+-=t t t t g ，∴函数)(t g 在),1(+∞上单调递增，∴0)1()(=>g t g ，即不等式1)1(2ln +->t t t 成立， 故所证不等式221e x x >⋅成立.22.解：（1）当)21,1[--∈x 时，由定义易证函数x x x f 1)(+=在)21,1[--上是减函数， 此时]2,25()(--∈x f ； 当)21,21[-∈x 时，25)(-=x f ；当]1,21[∈x 时，x x x f 1)(-=在]1,21[上是增函数，此时]0,23[)(-∈x f . ∴函数)(x f 的值域为]0,23[]2,25[---. （2）①若0=a ，3)(-=x g ，对于任意]1,1[1-∈x ，]0,23[]2,25[)(1---∈ x f ， 不存在]1,1[0-∈x ，使得)()(10x f x g =成立.②若0>a ，3)(-=ax x g 在]1,1[-上是增函数，]3,3[)(---∈a a x g ，任给]1,1[1-∈x ，]0,23[]2,25[)(1---∈ x f ，若存在]1,1[0-∈x ，使得)()(10x f x g =成立，则]3,3[]0,23[]2,25[---⊆---a a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤--03253a a ，∴3≥a .③若0<a ，3)(-=ax x g 在]1,1[-上是减函数，]3,3[)(---∈a a x g ，若存在]1,1[0-∈x ，使得)()(10x f x g =成立，则]3,3[]0,23[]2,25[---⊆---a a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥---≤-03253a a ，∴3-≤a .综上，实数a 的取值范围是),3[]3,(+∞--∞ .。
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三上学期第五次月考数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第五次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合P={x |1＜x ≤2}，Q={x |x 2+x ﹣2≤0}，那么P ∩Q 等于（ ） A ．∅ B ．{1} C ．{x |﹣2≤x ≤2} D ．{x |1＜x ≤2} 2．设a ，b ∈R ，则“（a ﹣b ）a 2＜0”是“a ＜b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．若函数f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，x ＞0时，f （x ）单调递增，P=f （﹣π），Q=f （e ），，则P ，Q ，R 的大小为（ ） A ．R ＞Q ＞P B ．Q ＞R ＞P C ．P ＞R ＞Q D ．P ＞Q ＞R4．在等腰△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=﹣100，且5S 7﹣7S 5=70，则S 101等于（ ） A ．100 B ．50 C ．0 D ．﹣506．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．该试题已被管理员删除8．x 、y 满足约束条件，若z=y ﹣ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）A ．或﹣1B ．2或C ．2或1D ．2或﹣19．在区间〔﹣1，1〕上随机取一个数x ，使sin 的值介于0到之间的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度11．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A． +2 B． +1 C． +1 D． +112．设集合，，函数，若x0∈A，且，则x0的取值范围是（）A．（]B．（] C．D．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．若复数z=（a∈R），i是虚数单位）是纯虚数，则a=．14．三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为5的球面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为．15．在△ABC中，AC=7，∠B=，△ABC的面积S=，则边AB的长为．16．已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A），如果A={（x，y）|x2+y2=1}，点P坐标为，那么d（P，A）=；如果点集A所表示的图象是半径为2的圆，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}满足a2=5，且其前n项和S n=pn2﹣n．（Ⅰ）求p的值和数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}为等比数列，公比为p，且其前n项和T n满足T5＜S5，求b1的取值范围．个月的产量如表所示：（I ）若从这5组数据中抽出两组，求抽出的2组数据恰好是相邻的两个月数据的概率；（Ⅱ）请根据所给5组数据，求出 y 关于x 的线性回归方程=x +；并根据线性回归方程预测该工人第6个月生产的合格零件的件数．（附：回归方程=x +； =， =﹣）19．在直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′中，底面ABC 是边长为2的正三角形，D ′是棱A ′C ′的中点，且AA ′=2．（Ⅰ）证明：BC ′∥平面AB ′D ′；（Ⅱ）棱CC ′上是否存在一点M ，使A ′M ⊥平面AB ′D ′，若存在，求出CM 的长；若不存在，说明理由．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）过点（1，），且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l ：y=kx +m （k ≠0）与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点，求k 的取值范围．21．已知函数f （x ）=lnx ﹣mx （m ∈R ）． （1）若曲线y=f （x ）过点P （1，﹣1），求曲线y=f （x ）在点P 的切线方程； （2）若f （x ）≤0恒成立求m 的取值范围； （3）求函数f （x ）在区间[1，e ]上最大值．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线，已知AC=AB ．（1）求证：FG ∥AC ；（2）若CG=1，CD=4．求的值．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x中正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为为参数，r＞0）（1）求直线l的普通方程以及圆心C的坐标；（2）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．[选修4-5不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2+x﹣2≤0}，那么P∩Q等于（）A．∅B．{1}C．{x|﹣2≤x≤2}D．{x|1＜x≤2}【考点】交集及其运算．【分析】根据题意，Q为方程x2+x﹣6≤0的解集，由一元二次不等式的解法可得Q，由交集的运算可得答案．【解答】解：根据题意，结合一元二次不等式的解法可得，Q={x∈R|x2+x﹣2≤0}={x|﹣2≤x≤1}，而P={x|1＜x≤2}，又交集的意义，可得P∩Q=∅故选：A．2．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A3．若函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，x＞0时，f（x）单调递增，P=f（﹣π），Q=f（e），，则P，Q，R的大小为（）A．R＞Q＞P B．Q＞R＞P C．P＞R＞Q D．P＞Q＞R【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，先利用函数的奇偶性可得P=f（﹣π）=f（π），进而利用函数当x＞0时，f（x）单调递增，且π＞e＞，分析可得f（π）＞f（e）＞f（），即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，P=f（﹣π）=f（π），又由当x＞0时，f（x）单调递增，且π＞e＞，则有f（π）＞f（e）＞f（）；即P＞R＞Q；故选：D．4．在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，，则的值为（）A．B． C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】将所求利用三角形法则表示为AB，AC对应的向量表示，然后利用向量的乘法运算求值．【解答】解：由已知得到=（）（）=2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，所以上式==；故选：A．5．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=﹣100，且5S7﹣7S5=70，则S101等于（）A．100 B．50 C．0 D．﹣50【考点】等差数列的性质．【分析】由题意可得公差d的方程，解得d值代入等差数列的求和公式计算可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，又a1=﹣100，∴5S7﹣7S5=5（﹣700+d）﹣7（﹣500+d）=70，解得d=2，∴S101=101×（﹣100）+×2=0，故选：C．6．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，结合直观图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，如图：其中SO⊥平面ABC，O为BC的中点，BA⊥AC，BA=，AC=1，SO=1，∴几何体的体积V=×××1×1=．故选：A．7．该试题已被管理员删除8．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D9．在区间〔﹣1，1〕上随机取一个数x ，使sin 的值介于0到之间的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】求出0≤sin≤的解集，根据几何概型的概率公式，即可求出对应的概率．【解答】解：当﹣1＜x ＜1，则﹣＜＜，由0≤sin ≤，∴0≤≤π，即0≤x ≤，则sin 的值介于0到之间的概率P==，故选：B ．10．函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（其中A ＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g （x ）=sin2x 的图象，则只要将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象可得A=1，==﹣，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．故把f（x）的图象向右平移个单位长度，可得g（x）=sin2x的图象，故选：A．11．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A． +2 B． +1 C． +1 D． +1【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A的坐标，将A代入抛物线方程求出双曲线的三参数a，b，c的关系，则双曲线的渐近线的斜率可求．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（，0）；双曲线的焦点坐标为（c，0），∴p=2c，∵点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，将x=c代入双曲线方程得到A（c，），将A的坐标代入抛物线方程得到=2pc，即4a4+4a2b2﹣b4=0．解得，∴，解得：．故选：D．12．设集合，，函数，若x 0∈A ，且，则x 0的取值范围是（ ）A ．（] B ．（] C ．D ．（）【考点】分段函数的应用．【分析】利用当x 0∈A 时，f [f （x 0）+1]∈[0，），列出不等式，解出x 0的取值范围．【解答】解：∵1≤x 0＜，∴f （x 0）+1=x 0 ﹣+1∈[，2]⊆B ，∴f [f （x 0）+1]=2（2﹣f （x 0）﹣1）=2[1﹣（x 0﹣）]=2（﹣x 0）．∵，∴0≤2（﹣x 0）＜，∴＜x 0≤．又∵1≤x 0＜，∴＜x 0＜．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．若复数z=（a ∈R ），i 是虚数单位）是纯虚数，则a= 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数z===是纯虚数，∴，解得a=1．故答案为：1． 14．三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点都在半径为5的球面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为 8 ．【考点】球内接多面体；棱锥的结构特征．【分析】根据已知求出球心到底面ABC 的距离d ，进而可得该三棱锥的高的最大值为R +d ．【解答】解：∵底面ABC 所在的小圆面积为16π， 故底面ABC 所在的小圆半径r=4，又由三棱锥P﹣ABC的外接球半径R=5，故球心到底面ABC的距离d==3，故该三棱锥的高的最大值为R+d=8，故答案为：8．15．在△ABC中，AC=7，∠B=，△ABC的面积S=，则边AB的长为3或5．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由，∠B=，以及已知三角形的面积，利用三角形的面积公式求出AB•BC=15，再利用余弦定理即可求出AB2+BC2=34，联立解出AB即可．=，∠B=，【解答】解：∵S△ABC∴AB•BC•sinB=，即AB•BC•=，∴AB•BC=15，①由余弦定理知cosB=，即﹣=，∴AB2+BC2=34．②联立①②，解得：AB=3或AB=5．故答案为：3或5．16．已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A），如果A={（x，y）|x2+y2=1}，点P坐标为，那么d（P，A）=2；如果点集A所表示的图象是半径为2的圆，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为8π．【考点】集合的表示法．【分析】集合A={（x，y）|x2+y2=4}表示圆心为O，半径r为2的圆上所有点，且P在圆外，则有d（P，A）=|PO|﹣r，计算即可得到．对于D={P|d（P，A）≤1}，讨论P在圆上和圆外及圆内，得到P的轨迹，运用圆的面积公式计算即可得到．【解答】解：集合A={（x，y）|x2+y2=4}表示圆心为O，半径r为2的圆上所有点，点P的坐标为，由|PO|=4＞2，即有P在圆外，那么d（P，A）=|PO|﹣r=4﹣2=2，如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，若点P在圆上满足集合D，P在圆外，则为介于圆心为O，半径分别为2，3的圆环，其面积为9π﹣4π=5π，P在圆内，则为介于圆心为O，半径分别为1，2的圆环，其面积为4π﹣π=3π，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为5π+3π=8π．故答案为：2，8π．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}满足a2=5，且其前n项和S n=pn2﹣n．（Ⅰ）求p的值和数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}为等比数列，公比为p，且其前n项和T n满足T5＜S5，求b1的取值范围．【考点】等比数列的性质；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由题意，得S1=p﹣1，S2=4p﹣2，利用a2=5，S2=a1+a2，可得S2=4p﹣2=p﹣1+5，即可求p的值；再写一式，两式相减，即可求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求出T n，利用T5＜S5，建立不等式，即可求b1的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得S1=p﹣1，S2=4p﹣2，因为a2=5，S2=a1+a2，所以S2=4p﹣2=p﹣1+5，解得p=2．…所以．，…当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1得．…验证知n=1时，a1符合上式，所以a n=4n﹣3，n∈N*．…（Ⅱ）由（Ⅰ），得．…因为T5＜S5，所以，解得．…又因为b1≠0，所以b1的取值范围是．…个月的产量如表所示：（Ⅱ）请根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；并根据线性回归方程预测该工人第6个月生产的合格零件的件数．（附：回归方程=x+；=，=﹣）【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5组数据中选取2组数据共有C52种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有4种，根据古典概型的概率公式得到结果．（Ⅱ）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．将x=6代入可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，设抽到相邻两个月的数据为事件A试验发生包含的事件是从5组数据中选取2组数据共有C52=10种情况，每种情况都是等可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有4种∴P（A）==；（Ⅱ）由数据求得=3，=72，x i y i=1200，=55，故===12，∴=﹣=36，∴y关于x的线性回归方程为=12x+36，当x=6，=108（件），即预测该工人第6个月生产的合格零件的件数为108件．19．在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面ABC是边长为2的正三角形，D′是棱A′C′的中点，且AA′=2．（Ⅰ）证明：BC′∥平面AB′D′；（Ⅱ）棱CC′上是否存在一点M，使A′M⊥平面AB′D′，若存在，求出CM的长；若不存在，说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结A′B交AB′于点E，连结D′E，证明D′E∥BC′，利用在与平面平行的判定定理证明BC′∥平面AB′D′．（Ⅱ）作A′M⊥AD′，交CC′于M，通过证明△A′AD∽△C′A′M，求出CM的长，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）连结A′B交AB′于点E，连结D′E，∵四边形A′ABB′为矩形，∴E为A′B的中点，又∵D′是棱A′C′的中点∴D′E∥BC′∵D′E⊂平面AB′D′BC′⊄平面AB′D′∴BC′∥平面AB′D′…（Ⅱ）作A′M⊥AD′，交CC′于M∵D′是棱A′C′的中点∴B′D′⊥A′C′∴B′D′⊥平面A′ACC′∴B′D′⊥A′M∴A′M⊥平面AB′D′此时△A′AD∽△C′A′M∴，即，∴即当时，A′M⊥平面AB′D′．…20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由离心率得到a，c，b的关系，进一步把椭圆方程用含有c的代数式表示，再结合点（1，）在椭圆上求得c，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出M，N的坐标，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0得到m2＜4k2+3，再结合根与系数关系得到MN中点P的坐标为（﹣，），求出MN的垂直平分线l′方程，由P在l′上，得到4k2+8km+3=0．结合m2＜4k2+3求得k的取值范围【解答】解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率e=．∴=得a=2c，∴b2=a2﹣c2=3c2，∴椭圆方程为=1，又点（1，）在椭圆上∴=1，∴c2=1，∴椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点，∴△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即m2＜4k2+3，又x1+x2=﹣，∴MN中点P的坐标为（﹣，），设MN的垂直平分线l'方程：∵p在l′上即4k2+5km+3=0，，将上式代入得，∴，即∴k的取值范围为．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P的切线方程；（2）若f（x）≤0恒成立求m的取值范围；（3）求函数f（x）在区间[1，e]上最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由f（x）过点P（1，﹣1）可得﹣1=ln1﹣m，从而解出m=1，进而求曲线y=f （x）在点P的切线方程；（2）原式可化为lnx﹣mx≤0恒成立，结合x＞0可化为恒成立，从而化为求的最大值，利用导数求最值；（3）由讨论，m的取值，以确定函数函数f（x）在区间[1，e]上的单调性，从而求函数在区间[1，e]上的最大值．【解答】解：（1）∵f（x）过点P（1，﹣1），∴﹣1=ln1﹣m，∴m=1，∴f（x）=lnx﹣x，，f'（1）=0，∴过点P（1，﹣1）的切线方程为y=﹣1．（2）∵f（x）≤0恒成立，即lnx﹣mx≤0恒成立，∴mx≥lnx，又∵f（x）定义域为（0，+∞），∴恒成立；设，∵，∴当x=e时，g'（e）=0当0＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）为单调增函数，当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）为单调减函数，∴，∴当时，f（x）≤0恒成立．（3）∵，①当m ≤0时，f'（x ）＞0，∴f （x ）在（0，+∞）为单增函数，∵在x ∈[1，e ]上，f （x ）max =f （e ）=1﹣me ；②当，即时，当时，f'（x ）＞0，f （x ）为单增函数，当时，f'（x ）＜0，f （x ）为单减函数，∴x ∈[1，e ]上，；③当m ＞1时，即在为单减函数，∴x ∈[1，e ]上，f （x ）max =f （1）=﹣m ；④当，即时，f （x ）在为单增函数，∴x ∈[1，e ]时，f （x ）max =f （e ）=1﹣me ； 综上所述，当时，f （x ）max =f （e ）=1﹣me ，当时，当m ＞1时，f （x ）max =f （1）=﹣m ．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线，已知AC=AB ．（1）求证：FG ∥AC ；（2）若CG=1，CD=4．求的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（1）由切割线定理得AB2=AD•AE，从而AD•AE=AC2，进而△ADC∽△ACE，由此能证明FG∥AC．（2）由题意可得：G，E，D，F四点共圆，从而△CGF∽△CDE，由此能求出．【解答】（1）证明：∵AB为切线，AC为割线，∴AB2=AD•AE，又∵AC=AB，∴AD•AE=AC2．∴，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，又∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴FG∥AC．（2）解：由题意可得：G，E，D，F四点共圆，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．∴△CGF∽△CDE，∴=．又∵CG=1，CD=4，∴=4．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x中正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为为参数，r＞0）（1）求直线l的普通方程以及圆心C的坐标；（2）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程互化方法得到直线l的普通方程，利用圆的参数方程得当圆心C的坐标；（2）圆心（﹣，）到直线的距离d==，利用圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为，可得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴x+y﹣1=0；由为参数，r＞0），可得圆心（﹣，），极坐标为（1，）；（2）圆心（﹣，）到直线的距离d==，∵圆C上的点到直线l的最大距离为3．∴+r=3，∴r=2﹣．[选修4-5不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质和基本不等式，即可得证；（Ⅱ）通过对x的范围的分类讨论去掉绝对值符号，转化为一次不等式，求得（f（x）+f（2x））min即可．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜0，则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|=|x+|=|x|+≥2=2．（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；当x时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为[﹣，+∞），不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，则a的取值范围是（﹣1，0）．2016年12月6日。
2017-2018学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级(上)开学数学试卷 解析版
2017-2018学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（每小题3分，共39分）1．（3分）在下列图形中，是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（3分）将抛物线y＝（x+2）2﹣3如何平移得到y＝x2的图象（）A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位B．向左平移2个单位，再向上平移3个单位C．向左平移2个单位，再向下平移3个单位D．向右平移2个单位，再向下平移3个单位3．（3分）如图，将五角星绕中心O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72°B．108°C．144°D．2164．（3分）如图，已知圆锥的高为4，底面圆的直径为6，则此圆锥的侧面积是（）A．12πB．15πC．20πD．30π5．（3分）如图，△BC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O 相切，切点为B，如果∠C＝26°，那么∠A等于（）A．26°B．38°C．48°D．52°6．（3分）如图，∠ACB＝90°，∠B＝46°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC与A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．44°B．46°C．48°D．50°7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ADC＝30°，OA＝1，则BC的长为（）A．1B．2C．D．28．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过A（﹣2，0），B（4，0），C（﹣3，y1），D（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＝y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．不能确定9．（3分）圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：5：7，则∠D的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°10．（3分）关于x的二次函数y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9的图象过原点，则a的值为（）A．﹣3B．3C．±3D．011．（3分）如图，四边形ABCD各边与⊙O相切，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（）A．8B．9C．10D．1112．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），有下列命题：①abc＞0；②a：b：c＝1：2：3；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）如图，正六边形ABCDEF的中心为原点O，点D的坐标为（2，0），则点B 的坐标为．14．（3分）如图，AB是O的直径，C，D，E是⊙O上不同于A，B的任意三点，且点C，D处在AB同一侧，点E处在AB另一侧，则∠C+∠D＝．15．（3分）已知抛物线y＝x2+（m2﹣4m）x+3关于y轴对称，则m＝．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，连接CC′，若AC＝4，AB＝1，则△B′C′C的面积为．17．（3分）当﹣1≤x≤3时，函数y＝x2﹣4x+3的最小值为a，最大值为b，则a+b＝．18．（3分）如图，∠ACB＝60°，半径为3cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是cm．三、解答题（共66分）19．（6分）如图，有一座圆弧形拱桥，拱的跨度AB＝8m，拱高CD＝2m，求拱形所在圆的直径．20．（8分）如图，△ABC的顶点分别为A（2，1），B（4，4），C（1，3）．（1）画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2，并写出点C2的坐标．21．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝3时，y有最小值﹣4，且图象经过点（﹣1，12）．（1）求此二次函数的解析式；（2）该抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝2，AE＝1，求劣弧BD的长．23．（8分）已知二次函数y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2，其中a是常数．（1）求证：不论a为何值，抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2与x轴一定有交点；（2）若抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2的图象如图所示，请直接写出不等式x2﹣（a﹣l）x+a﹣2＜0的解集；（3）在（2）的条件下，若关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝k恰有两个相等的实数根，求k的值．24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线，交AD的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若BF＝1，⊙O的半径为1，求DF的长．25．（10分）某水产养殖户一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售，已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元：放养20天的总成本为30.8万元（总成本＝放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为mkg，销售单价为y元/kg，已知m与t的函数关系为m＝，y与t的函数关系如图所示，请分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出W的最大值．（利润＝销售总额﹣总成本）26．（10分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（12，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C，抛物线经过A，B，C三点，其顶点为M．（1）求此抛物线的解析式；（2）设点D是抛物线与⊙P的第四个交点（除A，B，C三点以外），判断直线MD与⊙P的位置关系，并说明理由；（3）点E是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，E，F四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点的坐标；如果不存在，请说明理由．2017-2018学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共39分）1．（3分）在下列图形中，是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：是中心对称图形的有第1、2、3个图形，故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（3分）将抛物线y＝（x+2）2﹣3如何平移得到y＝x2的图象（）A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位B．向左平移2个单位，再向上平移3个单位C．向左平移2个单位，再向下平移3个单位D．向右平移2个单位，再向下平移3个单位【分析】分别写出两抛物线的顶点坐标，然后利用点平移的规律确定抛物线的平移规律．【解答】解：抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（﹣2，﹣3）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点（0，0），所以把抛物线y＝（x+2）2﹣3先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线y ＝x2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3．（3分）如图，将五角星绕中心O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72°B．108°C．144°D．216【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都正确，不能与其自身重合的是B．故选：B．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．4．（3分）如图，已知圆锥的高为4，底面圆的直径为6，则此圆锥的侧面积是（）A．12πB．15πC．20πD．30π【分析】在由母线、底面圆的半径和圆锥的高组成的直角三角形中，利用勾股定理计算出母线长，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形的面积公式计算即可得到圆锥的侧面积．【解答】解：∵底面圆的直径为6，∴底面圆的半径为3，而高为4，∴圆锥的母线长＝＝5，∴圆锥的侧面积＝•2π•3•5＝15π．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；也考查了扇形的面积公式：S＝lR（l为弧长，R为扇形的半径）以及勾股定理．5．（3分）如图，△BC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O 相切，切点为B，如果∠C＝26°，那么∠A等于（）A．26°B．38°C．48°D．52°【分析】连接OB，由切线的性质可求得∠AOB，再由圆周角定理可求得∠A．【解答】解：如图，连接OB，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵OB＝OC，∠C＝26°，∴∠OBC＝∠C＝26°，∴∠COB＝180°﹣26°﹣26°＝128°，∴∠A＝128°﹣90°＝38°，故选：B．【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．6．（3分）如图，∠ACB＝90°，∠B＝46°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC与A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．44°B．46°C．48°D．50°【分析】根据∠COA′＝∠ACB′+∠OB′C，只要求出∠ACB′即可．【解答】解：∵CB＝CB′，∴∠B＝∠CB′B＝46°，∴∠BCB′＝180°﹣46°﹣46°＝88°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB′＝2°，∵∠OB′C＝∠B＝46°，∴∠COA′＝∠ACB′+∠OB′C＝2°+46°＝48°，故选：C．【点评】本题考查旋转变换、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ADC＝30°，OA＝1，则BC的长为（）A．1B．2C．D．2【分析】连接BD，根据圆周角定理得到∠B＝∠ADC＝30°，∠ACB＝90°，根据余弦的定义计算．【解答】解：连接BD，由圆周角定理得，∠B＝∠ADC＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABD中，BC＝AB•cos B＝，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是90°、同弧所对的圆周角相等是解题的关键．8．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过A（﹣2，0），B（4，0），C（﹣3，y1），D（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＝y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．不能确定【分析】由已知可得抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，开口向上，对称轴为x＝1，可知D、C两点在对称轴的两边，点D离对称轴较近，再根据抛物线图象进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，∴抛物线对称轴为x＝＝1∵C（﹣3，y1）、D（3，y2），点D离对称轴较近，且抛物线开口向上，∴y1＞y2．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y 随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．9．（3分）圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：5：7，则∠D的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°【分析】设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x、5x、7x，根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程即可．【解答】解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x、5x、7x，由圆内接四边形的性质可知，2x+7x＝180°，解得，x＝20°，∴∠B＝5x＝100°，∴∠D＝180°﹣100°＝80°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．10．（3分）关于x的二次函数y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9的图象过原点，则a的值为（）A．﹣3B．3C．±3D．0【分析】把原点坐标代入解析式得到a2﹣9＝0，再解关于a的方程，然后利用二次函数的定义确定a的值．【解答】解：把（0，0）代入y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9得a2﹣9＝0，解得a1＝3，a2＝﹣3，而a﹣3≠0，所以a的值为﹣3．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的定义．11．（3分）如图，四边形ABCD各边与⊙O相切，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（）A．8B．9C．10D．11【分析】根据切线长定理可得AD+BC＝AB+CD，即可求AD的长度．【解答】解：如图，E，F，G，H是切点∵四边形ABCD各边与⊙O相切∴AH＝AE，DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF∴AH+DH+CF+BF＝AE+DG+CG+BE∴AD+BC＝CD+AB∵AB＝10，BC＝7，CD＝8∴AD＝11故选：D．【点评】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线长定理是解决问题的关键．12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），有下列命题：①abc＞0；②a：b：c＝1：2：3；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点、与x轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征判断．【解答】解：抛物线开口向上，∴a＞0，抛物线经过y轴的负半轴，∴c＜0，对称轴是x＝﹣＝1＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故①正确；∵a＞0，b＜0，∴故②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；对称轴是x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，因（3，0）在函数图象上，故9a+3b+c＝0，将b＝﹣2a代入得，3a+c＝0，由函数图象知a＞0，故3a+c+5a＞0，即8a+c＞0．故④正确，故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）如图，正六边形ABCDEF的中心为原点O，点D的坐标为（2，0），则点B的坐标为（﹣1，﹣）．【分析】连接OB、OC，根据正多边形的中心角的计算公式求出∠BOC，求出BH、OH，得到答案．【解答】解：连接OB、OC，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∴∠BOH＝30°，∴BH＝OB＝1，OH＝OB＝，∴点B的坐标为（﹣1，﹣），故答案为：（﹣1，﹣）．【点评】本题考查的是多边形的有关计算、坐标与图形性质，掌握正多边形的中心角的计算公式、坐标的确定方法是解题的关键．14．（3分）如图，AB是O的直径，C，D，E是⊙O上不同于A，B的任意三点，且点C，D处在AB同一侧，点E处在AB另一侧，则∠C+∠D＝90°．【分析】如图，连接AE、BE．因为AB是直径，推出∠AEB＝90°，推出∠EAB+∠EBA ＝90°，因为∠C＝∠EBA，∠D＝∠EAB，可得结论；【解答】解：如图，连接AE、BE．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠EBA＝90°，∵∠C＝∠EBA，∠D＝∠EAB，∴∠C+∠D＝90°，故答案为90°．【点评】本题考查圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．15．（3分）已知抛物线y ＝x 2+（m 2﹣4m ）x +3关于y 轴对称，则m ＝ 0或4 ．【分析】利用对称轴方程得到﹣＝0，然后解关于m 的方程即可．【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+（m 2﹣4m ）x +3关于y 轴对称，∴﹣＝0，∴m ＝0或m ＝4．故答案为：0或4．【点评】本题考查了二次函数图象的对称轴问题，解题时需要提炼隐含的条件：﹣＝0．16．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AB ′C ′，连接CC ′，若AC ＝4，AB ＝1，则△B ′C ′C 的面积为 6 ．【分析】先根据旋转的性质得AC ＝AC ′＝4，AB ′＝AB ＝1，∠CAC ′＝90°，则可判断△ACC ′为等腰直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△AB ′C ′，∴AC ＝AC ′＝4，AB ′＝AB ＝1，∠CAC ′＝90°，∴△ACC ′为等腰直角三角形，∴S △B ′C ′C ＝S △ACC ′﹣S △AB ′C ′＝×4×4﹣×4×1＝6．故答案为6．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前、后的图形全等，还考查了三角形的面积，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．17．（3分）当﹣1≤x ≤3时，函数y ＝x 2﹣4x +3的最小值为a ，最大值为b ，则a +b ＝ 7 ．【分析】先把一般式配成顶点式得到抛物线的对称轴为直线x ＝2，利用二次函数的性质得当1≤x ≤3时，x ＝2时，y 的值最小；x ＝﹣1时，y 的值最大，然后分别计算出a 和b 的值，从而得到a +b 的值．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵﹣1≤x≤3，∴x＝2时，y的值最小，即a＝﹣1；x＝﹣1时，y的值最大，即b＝（﹣1﹣2）2﹣1＝8，∴a+b＝﹣1+8＝7．故答案为7．【点评】本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．18．（3分）如图，∠ACB＝60°，半径为3cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是3cm．【分析】设⊙O与CA相切于点P，此时和CB相切于点D，连接OC，OD、OP根据切线长定理得∠OCD＝30°，则CD＝OD，求出CD即可解决问题．【解答】解：设⊙O与CA相切于点P，此时和CB相切于点D，连接OC，OD、OP．∵⊙O与CA相切，⊙O与CB相切，∴∠OCD＝∠ACB＝30°，∵OC＝OD＝3，∴PD＝3．故答案为3．【点评】本题考查切线的性质、切线长定理、30°的直角三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共66分）19．（6分）如图，有一座圆弧形拱桥，拱的跨度AB＝8m，拱高CD＝2m，求拱形所在圆的直径．【分析】先根据题意找出圆心，连接OA，OD，由垂径定理得出AB＝2AD，设OA＝r，则OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，根据OA2＝AD2+OD2，构建方程求出r即可解决问题；【解答】解：如图所示，连接OD，由题意O、D、C共线．∵AB⊥CO，∴AB＝2AD，∵AB＝8m，CD＝2m，∴AD＝4m，设OA＝r，则OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，∵OA2＝AD2+OD2，即r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5m．∴拱形所在圆的直径为10cm．【点评】本题主要考查直角三角形和垂径定理的应用，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．20．（8分）如图，△ABC的顶点分别为A（2，1），B（4，4），C（1，3）．（1）画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2，并写出点C2的坐标．【分析】（1）依据△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1进行画图，进而得到点A1的坐标；（2）依据△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到图形△A2B2C2进行画图，进而得到点C2的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；点A1的坐标为（﹣2，﹣1）；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（﹣3，1）．【点评】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．21．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝3时，y有最小值﹣4，且图象经过点（﹣1，12）．（1）求此二次函数的解析式；（2）该抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．【分析】（1）由顶点坐标将二次函数的解析式设成y＝a（x﹣3）2﹣4，由该函数图象上一点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、C的坐标，由二次函数图象的对称性可得出连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，最小值为BC，根据点B、C的坐标可求出直线BC的解析式及线段BC的长度，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标，此题得解．【解答】解：（1）∵当x＝3时，y有最小值﹣4，∴设二次函数解析式为y＝a（x﹣3）2﹣4．∵二次函数图象经过点（﹣1，12），∴12＝16a﹣4，∴a＝1，∴二次函数的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5．（2）当y＝0时，有x2﹣6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0）；当x＝0时，y＝x2﹣6x+5＝5，∴点C的坐标为（0，5）．连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，最小值为BC，如图所示．设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），将B（5，0）、C（0，5）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5．∵B（5，0）、C（0，5），∴BC＝5．∵当x＝3时，y＝﹣x+5＝2，∴当点P的坐标为（3，2）时，PA+PC取最小值，最小值为5．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式以及轴对称中最短路线问题，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短结合二次函数的对称性找出点P的位置．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝2，AE＝1，求劣弧BD的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质与圆周角定理，易得∠BCO＝∠B＝∠D；（2）由垂径定理可求得CE与DE的长，然后证得△BCE∽△DAE，再由相似三角形的对应边成比例，求得BE的长，继而求得直径与半径，再求出圆心角∠BOD即可解决问题；【解答】（1）证明：∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠BCO＝∠D；（2）解：连接OD．∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝，∵∠B＝∠D，∠BEC＝∠DEC，∴△BCE∽△DAE，∴AE：CE＝DE：BE，∴1：＝：BE，解得：BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，∴⊙O的半径为2，∵tan∠EOD＝＝，∴∠EOD＝60°，∴∠BOD＝120°，∴的长＝＝π．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．证得△BCE∽△DAE是关键．23．（8分）已知二次函数y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2，其中a是常数．（1）求证：不论a为何值，抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2与x轴一定有交点；（2）若抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2的图象如图所示，请直接写出不等式x2﹣（a﹣l）x+a﹣2＜0的解集；（3）在（2）的条件下，若关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝k恰有两个相等的实数根，求k的值．【分析】（1）计算判别式得到△＝（a﹣3）2，则根据非负数的性质可判断△≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用对称轴方程得到a＝4，则抛物线解析式为y＝x2﹣3x+2，再解方程x2﹣3x+2＝0得抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0），（2，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围得到不等式x2﹣（a﹣l）x+a﹣2＜0的解集；（3）方程整理为x2﹣3x+2﹣k＝0，然后利用判别式的意义得到△＝32﹣4（2﹣k）＝0，然后解关于k的方程即可．【解答】（1）证明：△＝（a﹣1）2﹣4（a﹣2）＝a2﹣2a+1﹣4a+8＝（a﹣3）2，∵（a﹣3）2≥0，即△≥0，∴不论a为何值，抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2与x轴一定有交点；（2）解：∵x＝﹣＝，∴a＝4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x+2，当y＝0时，x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0），（2，0），当1＜x＜2时，y＜0，即不等式x2﹣（a﹣l）x+a﹣2＜0的解集为1＜x＜2；（3）解：x2﹣3x+2＝k，即x2﹣3x+2﹣k＝0，∵方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝k恰有两个相等的实数根，∴△＝32﹣4（2﹣k）＝0，解得k＝﹣．【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了判别式的意义．24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线，交AD的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若BF＝1，⊙O的半径为1，求DF的长．【分析】（1）根据切线的判定即可求出答案．（2）根据圆周角定理可知∠ADB＝90°，利用勾股定理可求出AF的长度，然后利用相似三角形的性质与判定即可求出DF的长度．【解答】解：（1）连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴∠EAD＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥OD，∴∠ODE+∠AED＝180°，∴∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝2，BF＝1，∴由勾股定理可知：AF＝，∵FB是⊙O的切线，∴∠ABF＝90°，∵∠F＝∠F，∠ABF＝∠BDF＝90°，∴△BDF∽△ABF，∴BF2＝DF•AF，∴DF＝【点评】本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，勾股定理，切线的判定等知识，需要学生灵活运用所学知识．25．（10分）某水产养殖户一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售，已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元：放养20天的总成本为30.8万元（总成本＝放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为mkg，销售单价为y元/kg，已知m与t的函数关系为m＝，y与t的函数关系如图所示，请分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出W的最大值．（利润＝销售总额﹣总成本）【分析】（1）由放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元可得答案；（2）分0≤t≤50、50＜t≤100两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得；（3）就以上两种情况，根据“利润＝销售总额﹣总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．【解答】解：（1）由题意，得：，解得：，答：a的值为0.04，b的值为30；（2）当0≤t≤50时，设y与t的函数解析式为y＝k1t+n1，将（0，15）、（50，25）代入，得：，解得：，∴y与t的函数解析式为y＝t+15；当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y＝k2t+n2，将点（50，25）、（100，20）代入，得：，解得：，∴y与t的函数解析式为y＝﹣t+30；（3）由题意，当0≤t≤50时，W＝20000（t+15）﹣（400t+300000）＝3600t，∵3600＞0，∴当t＝50时，W＝180000（元）；最大值当50＜t≤100时，W＝（100t+15000）（﹣t+30）﹣（400t+300000）＝﹣10t2+1100t+150000＝﹣10（t﹣55）2+180250，∵﹣10＜0，∴当t＝55时，W＝180250（元），最大值综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据相等关系列出利润的函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．26．（10分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（12，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C，抛物线经过A，B，C三点，其顶点为M．（1）求此抛物线的解析式；（2）设点D是抛物线与⊙P的第四个交点（除A，B，C三点以外），判断直线MD与⊙P的位置关系，并说明理由；（3）点E是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，E，F四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可得AP＝BP＝CP＝，根据勾股定理可求OC的长度，用待定系数法可求解析式；（2）直线MD与⊙P的位置关系设直线DM和x轴交于E，连接PM则PM⊥OE，过P作PD ′⊥ME 于D ′，设y ＝0，则y ＝x ﹣＝0，则可求出OE 的长，根据勾股定理求出ME ，在根据三角形的面积为定值可求出PD ′的长，和圆P 的半径比较大小即可判定直线MD 与⊙P 的位置关系；（3）此题要分两种情况：①以AD 为边，②以AD 为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F 点的坐标．【解答】解：（1）连接CP∵A 点坐标为（﹣3，0），B 点坐标为（12，0），∴AB ＝15∵点P 是AB 中点∴AP ＝＝BP ＝CP∵AO ＝3∴OP ＝在Rt △CPO 中，OC ＝＝6 ∴点C 坐标为（0，﹣6）∴设抛物线解析式y ＝a （x +3）（x ﹣12）且过点C （0，﹣6）∴﹣6＝﹣36a∴a ＝∴抛物线解析式y ＝（x +3）（x ﹣12）＝x 2﹣x ﹣6，（2）∵y ＝x 2﹣x ﹣6＝（x ﹣）2﹣；∴M （，﹣）， ∵P 是圆的圆心，∴PM 是圆的对称轴，PM 是抛物线的对称轴，∵C （0，﹣6），∴D （9，﹣6），设直线MD 的解析式y ＝kx +b ，把D （9，﹣6）和M （，﹣）代入得：，解得：，∴y＝x﹣；设直线DM和x轴交于E，连接PM，则PM⊥OE，过P作PD′⊥ME于D′，设y＝0，则y＝x﹣＝0，∴x＝17，∴OE＝17，∴E（17，0），∴PE＝17﹣4.5＝12.5，∵PM＝，∴ME＝＝，∵PM•PE＝PD′•EM，∴PD′＝＝7.5，∴PD′等于圆的半径，∴直线MD与⊙P的位置关系是相切；（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0），①如图2，连接D与抛物线和y轴的交点C，那么CD∥x轴，此时AF＝CD＝9，因此F点的坐标是（﹣12，0）；②如图3，AF＝CD＝9，A点的坐标为（﹣3，0），因此F点的坐标为（6，0）；③如图4，此时D，E两点的纵坐标互为相反数，因此E点的纵坐标为6，代入抛物线中即可得出E点的坐标为（，6），∵直线AD的解析式为y＝﹣x﹣，∵EF∥AD，因此可设直线EF的解析式为y＝﹣x+h，将E点代入后可得出直线EF的解析式为y＝﹣x+，因此直线EF与x轴的交点F的坐标为（，0）；④如图5，同③可求出F的坐标为（，0）．总之，符合条件的F点共有4个．【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质、顶点坐标的求法、一次函数和坐标轴的交点、圆的性质、切线的判定以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，难度不小．。
湖南省长沙市麓山国际实验学校2017-1学年上学期初三入学考试数学试卷
C
C
A
B
C
C
D
A
A
二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）
11． x1 = 0, x2 = 2
12． x ≥ 0
15．15Biblioteka 116．3
19．40
20．①②
三、解一元二次方程（每小题 4 分，共 8 分）
13． y = 3x + 2
17．相交
2
14．
5
18．4
21． x2 − 2 2x −1 = 0
22． x(3x − 2) = 4 − 6x
2．一次函数 y = −2x + 3 的图象不经过下列哪个象限（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C． 第三象限
3．用配方法解方程 x 2 − 6x + 4 = 0 时，配方后得的方程为（
D． 第四象限 ）
A． (x + 3)2 = 5
B． (x − 3)2 = −13
C． (x − 3)2 = 5
D． (x − 3)2 = 13
23.某学习小组由 3 名男生和 1 名女生组成，在一次合作学习后，开始进行成果展示．
（1）如果随机抽取 1 名同学单独展示，那么女生展示的概率为
；
（2）如果随机抽取 2 名同学共同展示，求同为男生的概率．
24．已知某市 2013 年企业用水量 x（吨）与该月应交的水费 y（元）之间的函数关系如图． （1）当 x≥50 时，求 y 关于 x 的函数关系式； （2）若某企业 2013 年 10 月份的水费为 620 元， 求该企业 2013 年 10 月份的用水量；
16．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个 社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率为
湖南省长沙市2017-2018学年高三模拟(一)数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年 数学（理工农医类）第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.设i 为虚数单位，则复数32ii+的虚部是（ ） A ．3i B ．3i - C ．3 D ．-32.记集合{}{}|0,|sin ,A x x a B y y x x R =->==∈，若0A B ∈，则a 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．[)0,+∞D ．()0,+∞3.某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．棱锥 D ．棱柱4.二项式()52x -展开式中x 的系数为（ ） A ．5 B ．16 C ．80 D ．-805.已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ）A ．()111n n a -=-+ B ．2,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 C ．2sin 2n n a π= D ．()cos 11n a n π=-+ 6.考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有（ ）A ．10种B ．60种C ．125种D ．243种7.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算210K =，则下列选项正确的是：（ ） A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 8.函数[]1sin ,2,232y x x πππ⎛⎫=-∈-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．2,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和9.非负实数x y 、满足()ln 10x y +-≤，则关于x y -的最大值和最小值分别为（ ） A ．2和1 B ．2和-1 C ．1和-1 D ．2和-210.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.911.已知函数()(),1xf x eg x x ==+，则关于()(),f x g x 的语句为假的是（ ）A ．()(),x R f x g x ∀∈>B ．()()1212,,x x R f x g x ∃∈<C ．()()000,x R f x g x ∃∈=D ．0x R ∃∈，使得()()()()00,x R f x g x f x g x ∀∈-≤-12.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>经过抛物线()22:20C y px p =>的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线1C 的离心率是（ ）A ．2 B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.1xe dx =⎰__________．14. ABC ∆的周长等于()2sin sin sin A B C ++，则其外接圆半径等于_________．15. M N 、分别为双曲线22143x y -=左、右支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则MN v 的最小值为___________．16.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，令()()()2014F x x b f x b =--+，若b 是a c 、的等差中项，则()()F a F c +=___________．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足12122n na a a n++++=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n a 的前n 项和． 18.（本小题满分12分）空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，050为优；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；300>为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天 的AQI 的茎叶图如右．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（100AQI ≤）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望． 19.（本小题满分12分）如图，矩形BDEF 垂直于正方形,ABCD GC 垂直于平面ABCD ．且1,2AB D EC GDE ==．（1）证明：面GEF ⊥面AEF ； （2）求二面角B EG C --的余弦值． 20.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>()2,1P -是1C 上一点． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设A B Q 、、是P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 交1C 于异于P Q 、的两点C D 、．点C 关于原点的对称点为E ．证明：直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形． 21.（本小题满分12分）已知函数()21ln 2f x a x x ax =+-（a 为常数）有两个极值点． （1）求实数a 的取值范围；（2）设()f x 的两个极值点分别为12,x x ．若不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立，求λ的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，C D 、是以AB 为直径的半圆上两点，且AD CD =．（1）若//CD AB ，证明：直线AC 平分DAB ∠；（2）作DE AB ⊥交AC 于E ．证明：2CD AE AC =．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为[)24cos 30,0,2ρρθθπ-+=∈．（1）求1C 的直角坐标方程；（2）曲线 2C 的参数方程为cos 6sin6x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设,,αβγ均为实数．（1）证明：()()cos cos sin ;sin cos cos αβαβαβαβ+≤++≤+． （2）若0αβγ++=，证明：cos cos cos 1αβγ++≥．参考答案一、选择题二、填空题13. 1e - 14. 1 15. 4 16. 4028 三、解答题17.【解析】（1）当1n =时，由题设知14a =；当2n ≥时，由题设12122n na a a n++++=，知121221n n a a a n -+++=-． 两式相减得：122n n na n+=-， 即()22nn a n n =≥，故{}n a 的通项公式为()*4,122,n n n a n n n N =⎧⎪=⎨≥∈⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）设{}n a 的前n 项和为n S ， 则2212222n n S n =⨯+⨯++⨯，()33121222122n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减得()1232222n n n S n +=⨯-+++()()1112421124n n n n n +-+=⨯-⨯-=-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．【解析】（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为63105=，从而估计该月空气质量优良的天数为330185⨯=．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）估计某天空气质量优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0，1，2，3． ()()()322123328323632540,1,251255512555125P P C P C ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫========= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()332735125P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭， 故ξ的分布列为：显然333,,3 1.855B E ξξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.【解析】解法一：（1）如图，设EF 中点为M ，连结AM GM AG AC 、、、． 不妨设1CG =，因为CG ⊥面ABCD ，故CG AC ⊥，从而在等腰AEF ∆，等腰GEF ∆中分别求得AM ， 此时在AMG ∆中有222=AM GM AG +， 所以AM GM ⊥，因为M 是等腰AEF ∆底边中点，所以AM EF ⊥，所以AM ⊥平面GEF ，因此面GEF ⊥面AEF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）如图延长EG DC 、，设交点为H ，作CN GH ⊥，垂足为N ，连结BN ， 因为,BC CG BC DC ⊥⊥， 所以BC ⊥面EDH ，从而BC EH ⊥，又因为CN GH ⊥， 所以EG ⊥面BCN ，从而EG BN ⊥， 所以BNC ∠即为二面角B EG C --的平面角， 不妨设1CG =，则在直角EDH ∆中可求得CN =于是在RT BCN ∆中可求得cos CNB ∠=，所以二面角B EG C --的余弦值为6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -． 不妨设1CG =，则由题设条件可知：()()()()()2,0,0,2,2,0,0,0,2,2,2,2,0,2,1A B E F G ．()()()2,0,2,2,2,0,0,2,1AE EF EG =-==-，设面AEF 的法向量为(),,n x y z =，由00AE n EF n ⎧=⎨=⎩得：220220x z x y -+=⎧⎨+=⎩，可取()1,1,1n =-， 设面GEF 的法向量为m ， 由00EG m EF m ⎧=⎨=⎩知，可取()1,1,2m =-，于是1120m n =--+=，所以面GEF ⊥面AEF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）()()2,2,2,2,0,1EF GB =-=-， 设面BEG 的法向量为(),,u x y z =，由00EB u GB u ⎧=⎨=⎩得：020x y z x z +-=⎧⎨-=⎩，可取()1,1,2u =，因为DA ⊥平面EGC ，故取平面EGC 的法向量为()2,0,0DA =，因此cos ,6u DA u DA u DA===．所以二面角B EG C --的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20.【解析】（1）因为1C ，所以224a b =， 从而1C 的方程为：222214x y b b+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分代入()2,1P -解得：22b =，因此28a =．所以椭圆1C 的方程为：22182x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由题设知A B 、的坐标分别为()()2,1,2,1--， 因此直线l 的斜率为12，设直线l 的方程为：12y x t =+， 由2212182y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：222240x tx t ++-=， 当0∆>时，不妨设()()1122,,,C x y D x y ， 于是212122,24x x t x x t +=-=-， 分别设直线PD PE 、的斜率为12,k k ， 则()()()()()()2121211221211221112222y x x y y y k k x x x x ---++---+=+=+-++-， 则要证直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形， 只需证()()()()212112210y x x y ---++=，而()()()()()()212121122112122124y x x y y y x y x y x x ---++=--++--()()211212121212224424240x x x x t x x x x x x t x x t t =---++--=--+-=-++-=所以直线PD PE 、与y 轴转成的三角形是等腰三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.【解析】（1）()()20a x ax af x x a x x x-+'=+-=>，于是()f x 有两个极值点需要二次方程20x ax a -+=有两正根，设其两根为12,x x ，则212124000a a x x a x x a ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得4a >，不妨设12x x <，此时在()10,x 上()()120,,f x x x '>上()()20,f x x '<+∞上()0f x '>， 因此12,x x 是()f x 的两个极值点，符合题意．所以a 的取值范围是()4,+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）()()221211122211ln ln 22f x f x a x x ax a x x ax +=+-++- ()()()()221212122121212121ln 21ln 21ln 12a x x x x a x x a x x x x x x a x x a a a ++-+=++--+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 于是()()12121ln 12f x f x a a x x +=--+， 令()1ln 12a a a ϕ=--，则()112a a ϕ'=-， 因为4a >，所以()0a ϕ'<，于是()1ln 12a a a ϕ=--在()4,+∞上单调递减， 因此()()()()12124ln 43f x f x a x x ϕϕ+=<=-+．且()()1212f x f x x x ++可无限接近ln 43-， 又因为120x x +>，故不等式()()()1212f x f x x x λ+<+等价于()()1212f x f x x x λ+<+， 所以λ的最小值为ln 43-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.【解析】（1）由题设//CD AB 可知，DCA BAC ∠=∠，因为AD DC =，所以DAC DCA ∠=∠，从而DAC BAC ∠=∠，因此，AC 平分DAB ∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）由DE AB ⊥知，090ADE DAB ∠+∠=，因为AB 为直径，所以090DBA DAB ∠+∠=，从而ADE ABD ∠=∠，又因为ABD DCA ∠=∠，所以ADE ACD ∠=∠，因此ADEACD ∆∆， 所以2AD AE AC =，而AD DC =，所以2CD AE AC =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23.【解析】（1）将222c os x y xρρθ⎧=+⎨=⎩代入24cos 30ρρθ-+=得：()2221x y -+=．．．．．．．．4分（2）由题设可知，2C 是过坐标原点，倾斜角为6π的直线， 因此2C 的极坐标方程为6πθ=或76πθ=，0ρ>，将6πθ=代入21:30C ρ-+=，解得：ρ=同理，将76πθ=代入1C 得：ρ=故12,C C 公共点的极坐标为6π⎫⎪⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24.【解析】（1）()cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβαβαβ+=-≤+≤+； ()sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβαβαβ+=+≤+≤+．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知，()()()cos cos sin cos cos cos αβγαβγαβγ++≤++≤++， 而0αβγ++=，故cos cos cos 1αβγ++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三上学期第三次月考数学试卷(文科) Word版含解析
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三上学期第三次月考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设集合A={x|log2x+1＞0}，B={y|y=3x，x∈R}，则（∁R A）∩B=（）A．B．C．（0，1）D．（0，1]2．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）下列错误的是（）A．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．若p∧q为假，则p、q均为假C．p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则¬p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．（5分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是（A．n=n+2，i=15 B．n=n+2，i＞15 C．n=n+1，i=15 D．n=n+1，i＞155．（5分）两个相关变量满足如表：两变量的回归直线方程为（）k 10 15 20 25 30y 1003 1005 1010 1011 1014A．=0.56x+997.4 B．=0.63x﹣231.2 C．=50.2x+501.4 D．=60.4x+400.76．（5分）已知函数f（x）=，把方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的前n项和为（）A．S n=2n﹣1（n∈N+）B．S n=（n∈N+）C．S n=n﹣1（n∈N+）D．S n=2n﹣1（n∈N+）7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．4C．D．8．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣b，若f（x）≥0恒成立，则ab的最大值为（）A．B．e2C．e D．10．（5分）A，B，C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有+2+3=，现将一粒芝麻随机撒在△ABC内，则这粒芝麻落在△PBC内的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知x，y满足约束条件，且z=2x+4y最小值为﹣6，则常数k=．12．（5分）在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2被圆ρ=4截得的弦长为．13．（5分）过原点作曲线y=1nx的切线，则切线方程为．14．（5分）已知不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是．15．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，n=1，2，3…，若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，b n+1=，c n+1=，则∠A n的最大值是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）某城市要建成宜商、宜居的国际化新城，该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家，现对两个区域的16个厂家进行评估，综合得分情况如茎叶图所示．（1）根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高；（2）规定综合得分85分以上（含85分）为优秀厂家，若从该两个区域各选一个优秀厂家，求得分差距不超过5分的概率．17．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE=，平面ABCD⊥平面ABE，（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥D﹣ACE的体积．18．（12分）设，，记．（1）写出函数f（x）的最小正周期；（2）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（3）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．19．（13分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．（1）求{a n}的通项公式；（2）若m=，数列{b n}满足关系式b n=，求证：数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1；（3）设（2）中的数列{b n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，（1﹣n）•（S n+n+2）+（n+p）•2n+1＜2恒成立，求实数p的取值范围．20．（13分）已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且椭圆以抛物线y2=16x的焦点为其一个焦点，以双曲线的焦点为顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点A（﹣1，0），B（1，0），且C，D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点P是线段CD上的动点，求的取值范围．（3）试问在圆x2+y2=a2上，是否存在一点M，使△F1MF2的面积S=b2（其中a为椭圆的半长轴长，b为椭圆的半短轴长，F1，F2为椭圆的两个焦点），若存在，求tan∠F1MF2的值，若不存在，请说明理由．21．（13分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设集合A={x|log2x+1＞0}，B={y|y=3x，x∈R}，则（∁R A）∩B=（）A．B．C．（0，1）D．（0，1]考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先计算集合A，B，再计算集合（C R A）∩B即可．解答：解：∵A={x|log2x+1＞0}=（，+∞），B={y|y=3x，x∈R}=（0，+∞），∴∁RA=（﹣∞，]，∴（C R A）∩B=故选B．点评：本题主要考查了集合的交，补混合运算，关键是弄清楚各集合的元素．2．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi（a，b∈R）的形式，可得虚部．解答：解：因为===．所以复数的虚部为：．故选D．点评：本题是基础题，考查复数的代数形式的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力，注意虚部是实数．3．（5分）下列错误的是（）A．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．若p∧q为假，则p、q均为假C．p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则¬p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件考点：复合的真假．专题：常规题型．分析：由逆否的定义，我们易判断A的正误，根据复合的真值表，我们易判断B的真假；根据特称的否定方法，我们易判断C的对错；根据充要条件的定义，我们易判断D的正误．解答：解：根据逆否的定义，“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故A正确；若p∧q为假，则p、q至少存在一个假，但p、q不一定均为假，故B错误；p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0的否定为：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，故C正确；∵x＞2⇒x2﹣3x+2＞0为真，x2﹣3x+2＞0⇔x＜1或x＞2⇒x＞2为假，故“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故D正确．故选B点评：本题考查的知识点是四种，复合，特称的否定及充要条件，熟练掌握四种的定义，复合的真值表，特称的否定的方法及充要条件的定义是解答本题的关键．4．（5分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是（A．n=n+2，i=15 B．n=n+2，i＞15 C．n=n+1，i=15 D．n=n+1，i＞15考点：程序框图．专题：计算题．分析：首先分析，要计算需要用到直到型循环结构，按照程序执行运算．解答：解：①的意图为表示各项的分母，而分母来看相差2∴n=n+2②的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件而分母从1到29共15项∴i＞15故选B．点评：本题考查程序框图应用，重在解决实际问题，通过把实际问题分析，经判断写出需要填入的内容，属于基础题．5．（5分）两个相关变量满足如表：两变量的回归直线方程为（）k 10 15 20 25 30y 1003 1005 1010 1011 1014A．=0.56x+997.4 B．=0.63x﹣231.2 C．=50.2x+501.4 D．=60.4x+400.7考点：线性回归方程．专题：计算题．分析：先求出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，再求出，代入直线方程，写出线性回归方程，得到结果．解答：解：=1008.6利用公式可得=≈0.56，又=﹣=997.4．∴回归方程是=0.56x+997.4故选A．点评：本题考查可线性化的回归方程，是一个基础题，这种题目考查的知识点比较简单，只是运算量比较大，需要细心解答．6．（5分）已知函数f（x）=，把方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的前n项和为（）A．S n=2n﹣1（n∈N+）B．S n=（n∈N+）C．S n=n﹣1（n∈N+）D．S n=2n﹣1（n∈N+）考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…，可得数列的前n项和．解答：解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，∴该数列的前n项和，n∈N+．故选B．点评：本题考查了数列递推公式的灵活运用，解题时要注意分类讨论思想和归纳总结；本题属于较难的题目，容易出错，要细心解答．7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．4C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，根据公式可求体积．解答：解：由三视图复原几何体，如图，它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，这个几何体的体积：，故选B．点评：本题考查三视图、棱锥的体积；考查简单几何体的三视图的运用；培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力；是中档题．8．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出AF1 的长，直角三角形AF1F2中，由边角关系得tan30°==，建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的值．解答：解：把x=﹣c代入椭圆的方程可得y=，∴AF1 =，由tan30°=====，求得3e2+2e﹣3=0，解得（舍去），或，故选D．点评：本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系，解方程求离心率的大小，属于中档题．9．（5分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣b，若f（x）≥0恒成立，则ab的最大值为（）A．B．e2C．e D．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：先求出函数的导数，再分别讨论a=0，a＜0，a＞0的情况，从而得出ab的最大值．解答：解：f′（x）=e x﹣a，若a=0，则f（x）=e x﹣b的最小值为f（﹣∞）=﹣b≥0，得b≤0，此时ab=0；若a＜0，则f′（x）＞0，函数单调增，此时f（﹣∞）=﹣∞，不可能恒有f（x）≥0．若a＞0，则得极小值点x=lna，由f（lna）=a﹣alna﹣b≥0，得b≤a（1﹣lna）ab≤a2（1﹣lna）=g（a）现求g（a）的最小值：由g'（a）=2a（1﹣lna）﹣a=a（1﹣2lna）=0，得极小值点a=g（）=所以ab的最大值为，故选：D．点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．10．（5分）A，B，C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有+2+3=，现将一粒芝麻随机撒在△ABC内，则这粒芝麻落在△PBC内的概率为（）A．B．C．D．考点：向量加减混合运算及其几何意义；几何概型．专题：平面向量及应用；概率与统计．分析：先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比，进而利用几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解解答：：∵+2+3=，∴++2（+）=，即+=﹣2（+），分别取AC，BC的中点，F，G，∵，+═，∴，∴F、P、G三点共线，且PF=2PG，GF为三角形ABC的中位线，∴=2，（h1，h2是相应三角形的高），而S△APB=S△ABC，∴△APB，△APC，△BPC的面积之比等于3：2：1，∴S△BPC：S△ABC=1：6，∴由几何概型的概率公式可得将一粒芝麻随机撒在△ABC内，则这粒芝麻落在△PBC内的概率为，故选：D．点评：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是绘制满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△PBC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．综合性较强，难度较大．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知x，y满足约束条件，且z=2x+4y最小值为﹣6，则常数k=0．考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+4y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+4y过可行域内的点B时，从而得到k值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+4y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+4y经过点B时，z最小，由得：代入直线x+y+k=0得，k=0故答案为：0．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．12．（5分）在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2被圆ρ=4截得的弦长为4．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：常规题型；转化思想．分析：先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标方程，最后利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可．解答：解：∵ρsin（θ+）=2，∴ρsinθ+ρcosθ=2，化成直角坐标方程为：x+y﹣2=0，圆ρ=4化成直角坐标方程为x2+y2=16，圆心到直线的距离为：∴截得的弦长为：2×=．故答案为：．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．13．（5分）过原点作曲线y=1nx的切线，则切线方程为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：设出切点坐标，根据坐标表示出切线的斜率，然后把切点的横坐标代入到曲线的导函数中得到切线的斜率，两者相等即可求出切点的横坐标，把横坐标代入到曲线解析式得到切点的纵坐标和切线的斜率，根据斜率和切点坐标写出切线方程即可．解答：解：设切点坐标为（x0，lnx0），则切线斜率k=y′==，∴lnx0=1解得x0=e，∴切点为（e，1），k=则切线方程为：y﹣1=（x﹣e）即y=x故答案为：y=x点评：考查学生掌握切线斜率与导函数的关系，会利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及会根据斜率和一点写出直线的方程．14．（5分）已知不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是﹣3＜m＜5．考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的单调性将不等式转化为一元二次不等式恒成立，利用一元二次不等式恒成立转化为对应判别式△＜0，解不等式即可得到结论．解答：解：不等式等价为，即x2+x＜2x2﹣mx+m+4恒成立，∴x2﹣（m+1）x+m+4＞0恒成立，即△=（m+1）2﹣4（m+4）＜0，即m2﹣2m﹣15＜0，解得﹣3＜m＜5，故答案为：﹣3＜m＜5．点评：本题主要考查指数不等式和一元二次不等式的解法，利用指数函数的单调性是解决本题的关键．15．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，n=1，2，3…，若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，b n+1=，c n+1=，则∠A n的最大值是．考点：基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理的应用．专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：根据数列的递推关系得到b n+c n=2a1为常数，然后利用余弦定理以及基本不等式即可得到结论．解答：解：∵a n+1=a n，∴a n=a1，∵b n+1=，c n+1=，∴b n+1+c n+1=a n+=a1+，∴b n+1+c n+1﹣2a1=（b n+c n﹣2a1），又b1+c1=2a1，∴当n=1时，b2+c2﹣2a1=（b1+c1+﹣2a1）=0，当n=2时，b3+c3﹣2a1=（b2+c2+﹣2a1）=0，…∴b n+c n﹣2a1=0，即b n+c n=2a1为常数，则由基本不等式可得b n+c n=2a1≥2，∴b n c n，由余弦定理可得=（b n+c n）2﹣2b n c n﹣2b n c n cosA n，即（a1）2=（2a1）2﹣2b n c n（1+cosA n），即2b n c n（1+cosA n）=3（a1）2≤2（a1）2（1+cosA n），即3≤2（1+cosA n），解得cosA n，∴0＜A n，即∠A n的最大值是，故答案为：点评：本题考查数列以及余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，难度较大．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）某城市要建成宜商、宜居的国际化新城，该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家，现对两个区域的16个厂家进行评估，综合得分情况如茎叶图所示．（1）根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高；（2）规定综合得分85分以上（含85分）为优秀厂家，若从该两个区域各选一个优秀厂家，求得分差距不超过5分的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据茎叶图求出东城区与西城区的平均分即可得出结论；（Ⅱ）求出从两个区域各选一个优秀厂家的所有基本事件数，再求出满足得分差距不超过5的事件数，即可求出概率．解答：解：（Ⅰ）根据茎叶图知，东城区的平均分为=（780+790+790+88+88+89+93+94）=86，西城区的平均分为=（72+79+81+83+84+85+94+94）=84，∴东城区的平均分较高；（Ⅱ）从两个区域各选一个优秀厂家，所有的基本事件数为5×3=15种，满足得分差距不超过5的事件（88，85）（88，85）（89，85）（89，94）（89，94）（93，94）（93，94）（94，94）（94，94）共9种，∴满足条件的概率为P==．点评：本题通过茎叶图考查了平均数以及古典概型的概率问题，解题时应列出基本事件，属于基础题17．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE=，平面ABCD⊥平面ABE，（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥D﹣ACE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）首先，得到AD⊥AB，然后，根据面面垂直，得到AD⊥BE，再借助于直角三角形，得到AE⊥BE，从而得到证明；（Ⅱ）首先，取AB中点O，然后，借助于V D﹣ACE=V E﹣ACD求解．解答：解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥AB．又∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面ABE，而BE⊂平面ABE．∴AD⊥BE．又∵AE=BE=，AB=2，∴AB2=AE2+BE2，∴AE⊥BE而AD∩AE=A，AD、AE⊂平面ADE，∴BE⊥平面ADE 而BE⊂平面BCE，∴平面ADE⊥平面BCE．（Ⅱ）取AB中点O，连接OE．∵△ABE是等腰三角形，∴OE⊥AB．又∵平面ABCE⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，OE⊂平面ABCD∴OE⊥平面ABCD即OE是三棱锥D﹣ACE的高．又∵AE=BE=AB=2∴OE=1∴V D﹣ACE=V E﹣ACD=OE•S正方形ABCD=．点评：本题重点考查了空间中垂直关系、空间几何体的体积公式及其运算等知识，属于中档题．18．（12分）设，，记．（1）写出函数f（x）的最小正周期；（2）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（3）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：综合题．分析：（1）先利用向量数量积的坐标运算写出函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，最后由周期公式即可得f（x）的最小正周期（2）由（1）f（x）=，利用五点法，即将2x+看成整体取正弦函数的五个关键点，通过列表、描点、连线画出函数图象，用图象变换的方法得此函数图象，可以先向左平移，再横向伸缩，再向上平移的顺序进行（3），，求此函数的最值可先将2x+看成整体，求正弦函数的值域，最后利用函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，解方程可得m的值，进而求出函数最大值解答：解：（1）=∴（2）x0 π2πsin（）0 1 0 ﹣1 0yy=sinx向左平移得到，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的变为最后再向上平移个单位得到（3），∵，∴∴，∴，∴m=2，∴当即时g（x）最大，最大值为．点评：本题综合考察了三角变换公式的运用，三角函数的图象画法，三角函数图象变换，及复合三角函数值域的求法．19．（13分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．（1）求{a n}的通项公式；（2）若m=，数列{b n}满足关系式b n=，求证：数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1；（3）设（2）中的数列{b n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，（1﹣n）•（S n+n+2）+（n+p）•2n+1＜2恒成立，求实数p的取值范围．考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）由等差数列有通项公式，得到首项与公差的方程组，得出首项与公差的值，得到通项公式；（2）已知数列的递推公式，由叠加法，得到数列的通项公式；（3）将数列求和得到前n项和后，将条件变形后，得到关于参数p的关系式，这是一个恒成立问题，通过最值的研究，得到本题结论．解答：解：（1）设等差数列a n的公差为d，由已知，有解得所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1，即差数列a n的通项公式为a n=2n+1，n∈N*．（2）因为，所以，当n≥2时，．证法一（数学归纳法）：①当n=1时，b1=1，结论成立；②假设当n=k时结论成立，即，那么当n=k+1时，=2k﹣1+2k=2k+1﹣1，即n=k+1时，结论也成立．由①，②得，当n∈N*时，成立．证法二：当n≥2时，，所以将这n﹣1个式子相加，得，即=．当n=1时，b1=1也满足上式．所以数列{b n}的通项公式为．（3）由（2），所以，∴原不等式变为（1﹣n）2n+1+（n+p）•2n+1＜2，即p•2n+1＜2﹣2n+1，∴对任意n∈N*恒成立，∵n为任意的正整数，∴p≤﹣1．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．点评：本题考查的是数列和不等式的知识，涉及到等差数列的通项公式、前n项和公式、叠加法求通项，以及不等关系式．本题有一定的思维量，运算量较大，属于难题．20．（13分）已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且椭圆以抛物线y2=16x的焦点为其一个焦点，以双曲线的焦点为顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点A（﹣1，0），B（1，0），且C，D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点P是线段CD上的动点，求的取值范围．（3）试问在圆x2+y2=a2上，是否存在一点M，使△F1MF2的面积S=b2（其中a为椭圆的半长轴长，b为椭圆的半短轴长，F1，F2为椭圆的两个焦点），若存在，求tan∠F1MF2的值，若不存在，请说明理由．考点：圆锥曲线的综合．专题：计算题；综合题．分析：（1）先求出抛物线y2=16x的焦点和双曲线的焦点，就可求出a，c进而求出椭圆的标准方程；（2）先求出线段CD的方程，设出点P的坐标，找到的表达式．再利用图象求出的取值范围即可．（3）先利用（1）的结论以及△F1MF2的面积求出圆的方程和点M的纵坐标，再把tan∠F1MF2的转化为两直线倾斜角的差，利用两角差的正切公式以及点M的坐标与圆的关系求出tan∠F1MF2的值即可．解答：解：（1）因为抛物线y2=16x的焦点和双曲线的焦点分别为（4，0）和（5，0）．所以a=5，c=4所以椭圆的标准方程：；（2）设P（x0，y0），则；CD：3x+5y﹣15=0（0≤x≤5）则当OP⊥CD时，取到最小值，即：；当P在D点时，取到最大值：OD=5所以：．（3）如图所示：由第一问可知，圆的方程为x2+y2=25．△F1MF2的面积S=b2=9．设M（x，y）．又△F1MF2的面积S=b2=9=×2×4×y⇒4y=9，又F1（﹣4，0）F2（4，0）．设直线MF2的倾斜角为α，直线MF1的倾斜角为β，则tan∠F1MF2=tan（α﹣β）=====2．即tan∠F1MF2的值2．点评：本题是对椭圆，圆，抛物线以及向量等知识的综合考查．在平时做题过程中，圆锥曲线只要出大题，一般多放在最后一题，或倒数第二题，是不易得分的题．21．（13分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；分类讨论；转化思想．分析：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2﹣ln2∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0 得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0 得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣点评：考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．。
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三上学期入学考试文数试题 Word版含解析
2017-2018学年普通高等学校招生全国统一考试（长郡中学高三入学考试）文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{|1}U x x =>，集合{|2}A x x =>，则U C A =（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|12}x x << C ．{|2}x x > D ．{|2}x x ≤ 【答案】A 【解析】试题分析：{|12}U C A x x =<≤,故选A. 考点：集合的运算.2. 设i 是虚数单位，则复数25()2i i-+=+（ ） A ．22i - B ．1i - C ．3i - D ．115i - 【答案】B 【解析】 试题分析：255(2)()11212(2)(2)i i i i i i i --+=-+=-+-=-++-,故选B. 考点：复数的运算. 3. 已知(cos,sin )66a ππ=，55(cos ,sin )66b ππ=，则||a b -=（ ）A ．1B 【答案】C 【解析】试题分析：因为55(cos cos,sin sin )6666a b ππππ-=--=，所以||3a b -=，故选C.考点：向量的坐标运算.4. 分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为（ ） A ．710 B ．310 C ．35 D ．25【答案】A考点：几何概型.5. 在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．15 【答案】D 【解析】试题分析：此程序框图所表示的算法功能为1234515S =++++=，故选D. 考点：程序框图. 6. 将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的图象可能为（ ）【答案】D. 【解析】试题分析：将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的函数解析式为cos[3()]cos(3)sin 31832y x x x πππ=++=+=-，故选D. 考点：1.图象的平移变换；2.三角函数的图象与性质.7. 某棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该棱锥的体积等于（ ） A ．310cm B ．320cm C ．330cm D ．340cm【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的四棱锥P ABCD -，所以其体积1543203V =⨯⨯⨯=，故选B.考点：1.三视图;2.多面体的体积.8. 已知点(1,2)-和(3在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ） A ．(,)43ππ B ．3(0,)(,)34πππ C ．35(,)46ππ D ．23(,)34ππ 【答案】D考点：1.直线的倾斜角与斜率；2.线性规划.9. 若不等式组1010102x y x y y ⎧⎪+-≤⎪-+≥⎨⎪⎪+≥⎩表示的区域Ω，不等式2211()24x y -+≤表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻约为（ ） A ．114 B ．10 C ．150 D ．50 【答案】A 【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示，其中芝麻落在区域Γ内的概率为23111132422221336322P ππ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯⎪+⎝⎭==⨯⨯，所以落在区域Γ中芝麻约为3236011436π+⨯≈,故选A.考点：1.线性规划；2.几何概型.【名师点睛】本题考查几何概型与线性规划，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过线性规划相关知识来完成的，把线性规划与几何概型有机的结合在一起是本题的亮点.10. 已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 也是抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点，1C 与2C 的一个交点为P ，若PF x ⊥轴，则双曲线1C 的离心率为（ ） A1 B1 D1 【答案】A 【解析】试题分析：由题意可知22,22p b c p a ==，所以224b c a =，即222c a ac -=，所以2210e e --=，解之得1e =，故选A.考点：1.双曲线的标准方程与几何性质；2.抛物线的标准方程与几何性质.11. 已知函数22()()()n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数且()(1)n a f n f n =++，则12350a a a a ++++=（ ）A ．50B ．60C ．70D ．80 【答案】A 【解析】试题分析：由题意可知221123a =-=-，222235a =-+=，223347a =-=-，224459a =-+=，4950,99,101a a =-=，所以1235012344950()()()25250a a a a a a a a a a ++++=+++++=⨯=，故选A.考点：1.数列的表示；2.数列求和.【名师点睛】本题考查数列的表示以及数列求和，属中档题；数列求和问题是高考常考内容之一，数列求和的主要方法有：1.公式法；2.分组求和法；3.倒序相加法；4.错位相减法；5.裂项相消法.其中错位相减法与裂项相消法是考试的重点内容，本题主要采用的是分组求和法.12.若函数()()bf x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在下列区间上单调递增的是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(2,)+∞ 【答案】D考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与方程【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数与方程，属中档题；导数与函数的单调性是高考的必考内容，也是难点，导数与单调性关系：()0()f x f x '>⇒单调递增，()0()f x f x '<⇒单调递减；反之，当()f x 在某个区间上单调递增()0f x '⇒≥，当()f x 在某个区间上单调递减()0f x '⇒≤.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞()a R ∈，'()f x 为()f x 的导函数，'(1)2f =，则a = .【答案】2 【解析】试题分析：因为1()ln (ln 1)f x a x ax a x x'=+⨯=+,所以(1)(ln11)2f a a '=+==. 考点：导数的运算.14. 若,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =+的最大值为 .【答案】4 【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示的三角形区域，由图可知，目标函数3z x y =+取得最大值时的最优解为(1,1)B ，此时max 3114z =⨯+=.考点：线性规划.15抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = .【答案】考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质与双曲线的标准方程与几何性质，属中档题；高考对圆锥曲线的考查主要是考查定义、标准方程、几何性质，小题和大题中均有.本题主要考查双曲线与抛物线的对称性的应用.16. 若定义在区间D 上的函数()y f x =满足：对,x D M R ∀∈∃∈，使得|()|f x M ≤恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上有界，则下列函数中有界的是 .①sin y x =；②1y x x =+；③tan y x =；④x xx xe e y e e ---=+；⑤321(44)y x ax bx x =+++-≤≤，其中,a b R ∈.【答案】①④⑤ 【解析】试题分析：因为sin 1x ≤，所以sin y x =为有界函数；12x x+≥，无上界，所以②不是有界函数；tan y x =的值域为(,)-∞+∞，是无界函数；22212111x x x x x x xe e e y e e e e ----===-+++,因为22021xe <<+，所以221111x e -<-<+，即1y <，所以x xx x e e y e e---=+是有界函数；对于⑤，函数321y x ax bx =+++ 为实数上连续函数，所以在区间[4,4]-上一定有最大值和最小值，所以是有界函数，故应填①④⑤. 考点：1.新定义问题；2.值域及求法.【名师点睛】本题主要考查新定义问题、值域及求法.函数值域的求解是难点，主要方法有：配方法、单调性法、数形结合法、换元法、基本不等式法、导数法、利用已知函数的有界性法等方法.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分） 已知函数2()2sin cos cos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在x π=处取最小值.（1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知1,()2a b f A ===，求角C .【答案】(1)2π;(2) 712π或12π.【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式得()sin()f x x ϕ=+，由在x π=处取最小值及0ϕπ<<查求得2πϕ=；（2）由()2f A =可得6A π=，再由正弦定理求出sin B ，从而求出角B 的值，即可求角C .（2）因为()f A =，所以cos A =A 为ABC ∆的内角，所以6A π=.又因为1,a b =sin sin a bA B=，也就是sin 1sin 22b A B a ===， 因为b a >，所以4B π=或34B π=.当4B π=时，76412C ππππ=--=；当34B π=时，36412C ππππ=--=. 考点：1.三角恒等变换；2.正弦定理；3.三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、三角函数的图象与性质，属中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到. 18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面BCP ，//CD AB ，2AB BC CP BP ====，1CD =.（1）求点B 到平面DCP 的距离；（2）点M 为线段AB 上一点（含端点），设直线MP 与平面DCP 所成角为α，求sin α的取值范围.【答案】(2).【解析】试题分析：(1) 要求点B到平面DCP的距离,只要能过点B作出平面DCP的垂线即可，由题意可知CD⊥平面CPB，所以CD⊥平面CPB内的任意一条直线，因此只要在平面CPB内过点B作BF PC⊥即可得到BF⊥平面DCP，求出BF的长即可；（2）由（1）可知点M到平面DCP的距离即点B到平面DCP的距离,所以sinBFMPα=，即只要求出BFMP的取值范围即可.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.直线与平面所成的角.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，属中档题；文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主. 19. （本小题满分12分）某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（1）求表中,n p 的值和频率分布直方图中a 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在[10,15)的概率.【答案】(1)0.625,0.075n p ==, 0.125a =，中位数为17；（2）23. 试题解析： （1）因200.25M ÷=，所以80M =，所以500.62580n ==， 310.250.6250.050.07540p =---==， 10.12558n a ===. 中位数位于区间[15,20)，设中位数为(15)x +，则0.1250.25x =，所以2x =，所以学生参加社区服务区次数的中位数为17次. （2）由题意知样本服务次数在[10,15)有20人，样本服务次数在[25,30)有4人， 如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在[10,15)和[25,30)的人数分别为：206524⨯=和46124⨯=. 记服务次数在[10,15)为12345,,,,a a a a a ，在[25,30)的为b . 从已抽取的6人任选两人的所有可能为：121314151232425234(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a b a a a a a a a b a a 3534545(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a a a b a b 共15种，设“2人服务次数都在[10,15)”为事件A ，则事件A 包括1213141523242534(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a a a a a a a a 3545(,),(,)a a a a共10种， 所有102()153P A ==. 考点：1.频率分布表；2.频率分布直方图；3.古典概型. 20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上的左、右顶点分别为,A B ，1F 为左焦点，且1||2AF =，又椭圆C 过点. （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆2216x y +=上（点,A B 除外），设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若1234k k =，证明：,,A P Q 三点共线. 【答案】（1）2211612x y +=；（2）见解析. 【解析】试题分析：(1)1||2AF a c ==-, 由椭圆C 过点可得b =,,a b c 关系求出,,a b c 的值即可；(2) 由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由此可得2111121114416PA y y y k k x x x ∙=∙=+--，又因为22113124y x =-，1234k k =，由此可得21PA k k ∙=-，同理可得21QA k k ∙=-，所以PA QA k k =，即可证,,A P Q 三点共线.试题解析：（1）由已知可得2,a c b -==22212b a c =-=，解得4a =，故所求椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以2111121114416PA y y y k k x x x ∙=∙=+--，因为11(,)P x y 在椭圆C 上，所以221111612x y+=，即22113124y x =-，所以2112131234164PA x k k x -∙==--. 又因为1234k k =，所以21PA k k ∙=-.（a ） 由已知点22(,)Q x y 在圆2216x y +=上，AB 为圆的直径， 所以QA QB ⊥，所以21QA k k ∙=-（b ）由（a ）（b ）可得PA QA k k =，因为直线,PA QA 有共同点A ， 所以,,A P Q 三点共线.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 21. （本小题满分12分） 已知函数()ln f x x x =.（1）求函数()y f x =的单调区间和最小值； （2）若函数()()f x a F x x -=在[1,]e 上的最小值为32，求a 的值； （3）若k Z ∈，且()(1)0f x x k x +-->对任意1x >恒成立，求k 的最大值. 【答案】(1) ()f x 的单调递增区间为1[,)e +∞，单调减区间为1(0,]e ,min 1()f x e=-.(2) a =3.【解析】试题分析：(1)求导'()ln 1(0)f x x x =+>，解不等式'()0f x ≥与'()0f x ≤可得函数()f x 的单调区间；(2)求函数()ln a F x x x =-的导数'2()x a F x x += ，分0a ≥与0a <讨论函数()ln a F x x x =-在区间[1,]e 的单调性与最小值，由min 3()2f x =求之即可；(3)由题意分离参数得ln 1x x x k x +<-对任意1x >恒成立，构造函数ln ()1x x xh x x +=-，求导'2ln 2()(1)x x h x x --=-，'2ln 2()(1)x x h x x --=-的符号由分子()ln 2(1)x x x x ϕ=-->确定，且函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈,由此可知函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增,所以min 0()k g x x <=，可证结论成立.试题解析： （1）因为'()ln 1(0)f x x x =+>，令'()0f x ≥，即1l n 1l n x e -≥-=，所以1x e≥， 同理，令'()0f x ≤，可得1(0,]x e∈，所以()f x 的单调递增区间为1[,)e+∞，单调减区间为1(0,]e. 所以min 1111()()ln f x f ee e e ===-. （2）()ln a F x x x =-，'2()x a F x x +=，Ⅰ．当0a ≥时，'()0F x >，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去.Ⅱ．当0a <时，()F x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增， ①若(1,0)a ∈-，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去，②若[,1]a e ∈--，()F x 在[1,]a -上单调递减，在[,]a e -上单调递增，所以min 3()(1)ln()2F x F a a ==-+=，解得[,1]a e =--. ③若(,)a e ∈-∞-，()F x 在[1,]e 上单调递减，min 3()()12a F x F e e ==-=，所以(,)2ea e =-∉-∞-，舍去，综上所述，a =（3）由题意得：(1)ln k x x x x -<+对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立. 令ln ()1x x x h x x +=-，则'2ln 2()(1)x x h x x --=-，令()ln 2(1)x x x x ϕ=-->，则'11()10x x x xϕ-=-=>， 所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，因为方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈，当01x x <<时，()0x ϕ<，即'()0h x <，当0x x >时，()0x ϕ>，即'()0h x >.所以函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增. 所以0000min 0000(1ln )(12)()()(3,4)11x x x x h x h x x x x ++-====∈--所以min 0()k g x x <=，又因为0(3,4)x ∈，故整数k 的最大值为3. 考点：1.导数与函数的单调性、最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的单调性、最值；函数与不等式,属难题.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .（1）求证：//BC DE ；（2）若,,,D E C F 四点共圆，且AC BC =，求BAC ∠.【答案】(1)见解析；(2)27π. 【解析】试题分析：（1）要证//BC DE ，只要证EDC DCB ∠=∠即可，由弦切角和圆周角关系可得EDC DAC ∠=∠，由角平分线性质得EDC DAC ∠=∠，又同弧上的圆周角相等，所以DAB DCB ∠=∠，即可证得EDC DCB ∠=∠；（2）由,,,D E C F 四点共圆及（1）得CFA ACF ∠=∠，设DAC DAB x ∠=∠=，在等腰三角形ACF 中，列出方程7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=，解之即可.试题解析： （1）∵BAC ∠的平分线与圆交于点D ∴EDC DAC ∠=∠，DAC DAB ∠=∠，∵BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，∴EDC DCB ∠=∠， ∴//BC DE .考点：1.圆的性质；2.等腰三角形性质；3.圆内接四边形性质. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线112:x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）设l 与1C 相交于,A B 两点，求||AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.【答案】(1)11). 【解析】试题分析：(1)将直线与圆的参数方程化为普通方程，求出交点坐标，即可求AB ；（2）先由伸缩与平移变换规律求出曲线2C 的参数方程，交用参数表示点P 的坐标，用参数θ表示点P到直线l的距离22)2]24d θθπθ==-+，即可求最小值.试题解析： （1）直线l的普通方程为1)y x =-，1C 的普通方程为221x y +=，联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 解得l 与1C的交点为1(1,0),(,2A B ，则||1AB =. 考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.椭圆参数方程的应用.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|2|2f x x a a =-+.（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|64}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围.【答案】(1)2-;(2) {|0}k k k k ><=. 【解析】试题分析：(1) |2|62x a a -≤-333322a x a ⇔-≤≤-,由3362a -=-可求出a ；（2）由（1）2()(1)5f x k x ≤--可转化为2|22|1(1)x k x ++≤-，作出函数23,1()|22|121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩的图象，数形结合可求k 的范围. 试题解析： （1）|2|62x a a -≤-，∴26262a x a a -≤-≤-， ∴333322a x a -≤≤- 3362a -=-，2a =-. （2）由（1）知，2|22|1(1)x k x ++≤-，23,1()|22|121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩，()g x 的图象如图：要使解集非空，212k ->或211k -≤-，∴{|0}k k k k <=.考点：1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示及应用.。
湖南省长沙麓山国际实验学校2018学年高一上学期月考数学试卷 含解析
2018-2018学年湖南省长沙麓山国际实验学校高一（上）月考数学试卷一、选择题1．已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]2．设f（x）=，则f[f（）]=（）A．B．C．﹣D．3．log43、log34、log的大小顺序是（）A．log34＜log43＜log B．log34＞log43＞logC．log34＞log＞log43 D．log＞log34＞log434．函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b（a≠0）在闭区间[2，3]上有最大值5，最小值2，则a，b的值为（）A．a=1，b=0 B．a=1，b=0或a=﹣1，b=3C．a=﹣1，b=3 D．以上答案均不正确5．函数f（x）=a x+log a（x+1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（）A．B．C．2 D．46．函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0 7．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．1 C．0 D．28．函数f（x）=（x﹣1）ln|x|﹣1的零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，log a3）D．（log a3，+∞）10．有浓度为90%的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为（参考数据：1g2=0.3010，1g3=0.4771）（）A．19 B．20 C．21 D．22二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）11．已知log a＞0，若a x2+2x﹣4≤，则实数x的取值范围为．12．直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是．13．若函数y=的定义域为R，则实数m的取值范围是．14．已知实数a≠0，函数f（x）=，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为．15．（1）定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）为减函数，且f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则实数a的取值范围为．（2）定义在[﹣2，2]上的偶函数g（x），当x≥0时，g（x）为减函数，若g（1﹣m）＜g（m）成立，则m的取值范围为．三、解答题16．已知：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．（1）若A∪B=B，求a的值；（2）若A∩B=B，求a的值．17．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a x﹣1，其中a＞0且a≠1，（1）求f（2）+f（﹣2）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）解关于x的不等式﹣1＜f（x﹣1）＜4，结果用集合或区间表示．18．已知函数y=f（x）的定义域为D，且f（x）同时满足以下条件：①f（x）在D上是单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a，b]⊊D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值集合也是[a，b]．那么，我们称函数y=f（x）（x∈D）是闭函数．（1）判断f（x）=﹣x3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．（2）若f（x）=k+是闭函数，求实数k的取值范围．（注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可）19．已知函数（1）若m=1，求函数f（x）的定义域．（2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．（3）若函数f（x）在区间上是增函数，求实数m的取值范围．20．已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．2018-2018学年湖南省长沙麓山国际实验学校高一（上）月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]【考点】交集及其运算；其他不等式的解法．【分析】求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集．【解答】解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]．故选D2．设f（x）=，则f[f（）]=（）A．B．C．﹣D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．【分析】判断自变量的绝对值与1的大小，确定应代入的解析式．先求f（），再求f[f（）]，由内而外．【解答】解：f（）=，，即f[f（）]=故选B3．log43、log34、log的大小顺序是（）A．log34＜log43＜log B．log34＞log43＞logC．log34＞log＞log43 D．log＞log34＞log43【考点】对数值大小的比较．【分析】根据对数函数的图象和性质，比较和0，1的大小即可．【解答】解：0＜log43＜1、log34＞1、log＜0，故log34＞log43＞log，故选：B．4．函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b（a≠0）在闭区间[2，3]上有最大值5，最小值2，则a，b的值为（）A．a=1，b=0 B．a=1，b=0或a=﹣1，b=3C．a=﹣1，b=3 D．以上答案均不正确【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】当a＞0时，函数在闭区间[2，3]上为增函数，再根据最大值5，最小值2，求得a 和b的值．当a＜0时，函数在闭区间[2，3]上为减函数，再根据最大值5，最小值2，求得a 和b的值．【解答】解：函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b（a≠0）的对称轴方程为x=1，故当a＞0时，函数在闭区间[2，3]上为增函数，再根据最大值5，最小值2，可得f（2）=2+b=2，f（3）=3a+b+2=5，求得a=1，b=0．当a＜0时，函数在闭区间[2，3]上为减函数，再根据最大值5，最小值2，可得f（2）=2+b=5，f（3）=3a+b+2=2，求得a=﹣1，b=3．故选：B．5．函数f（x）=a x+log a（x+1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（）A．B．C．2 D．4【考点】函数单调性的性质．【分析】f（x）在[0，1]上，当a＞1时是增函数；当0＜a＜1时是减函数；由单调性分析可得f（0）+f（1）=a，即可解得a=．【解答】解：f（x）是[0，1]上的增函数或减函数，故f（0）+f（1）=a，即1+a+log a2=a⇔log a2=﹣1，∴2=a﹣1⇔a=．故选B6．函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0 【考点】函数的图象．【分析】分别根据函数的定义域，函数零点以及f（0）的取值进行判断即可．【解答】解：函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以﹣c＞0，得c＜0，f（0）=，∴b＞0，由f（x）=0得ax+b=0，即x=﹣，即函数的零点x=﹣＞0，∴a＜0，综上a＜0，b＞0，c＜0，故选：C7．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．1 C．0 D．2【考点】抽象函数及其应用．【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f （﹣1），当x＜0时，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．∴f（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f（6）=2．故选：D．8．函数f（x）=（x﹣1）ln|x|﹣1的零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x）=0得ln|x|=，然后分别作出函数y=ln|x|与y=的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意，x≠1，f（x）=（x﹣1）ln|x|﹣1=0得ln|x|=，设函数y=ln|x|与y=，分别作出函数y=ln|x|与y=的图象如图：由图象可知两个函数的交点个数为3个，故函数的零点个数为3个，故选D．9．设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，log a3）D．（log a3，+∞）【考点】对数函数图象与性质的综合应用；复合函数的单调性．【分析】结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知：当0＜a＜1，log a（a2x﹣2a x﹣2）＜0时，有a2x﹣2a x﹣2＞1，解可得答案．【解答】解：设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），若f（x）＜0则log a（a2x﹣2a x﹣2）＜0，∴a2x﹣2a x﹣2＞1∴（a x﹣3）（a x+1）＞0∴a x﹣3＞0，∴x＜log a3，故选C．10．有浓度为90%的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为（参考数据：1g2=0.3010，1g3=0.4771）（）A．19 B．20 C．21 D．22【考点】函数的值；对数的运算性质．【分析】根据条件设至少操作x次才能使其浓度低于10%，建立不等式关系，根据指数函数和对数函数的性质解不等式即可．【解答】解：每操作1次，浓度变为上一次的90%，设至少操作x次才能使其浓度低于10%，∴0.9×0.9x＜0.1，即0.9x+1＜0.1，则lg0.9x+1＜lg0.1，即（x+1）lg0.9＜lg=﹣1，即x+1＞====≈21.834，即x＞20.834．∴x min=21．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）11．已知log a＞0，若a x2+2x﹣4≤，则实数x的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【分析】求出a的范围，利用指数函数的性质转化不等式为二次不等式，求解即可．【解答】解：由log a＞0得0＜a＜1．由≤得≤a﹣1，∴x2+2x﹣4≥﹣1，解得x≤﹣3，或x≥1．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）12．直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是（1，）．【考点】二次函数的性质．【分析】在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a的图象，观察求解．【解答】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a，观图可知，a的取值必须满足，解得．故答案为：（1，）13．若函数y=的定义域为R，则实数m的取值范围是[0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】结合题意得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：∀x∈R，m•3x+1≠0，故m≠0时，3x≠﹣，∴﹣＜0，解得：m＞0，m=0时，符合题意，故答案为：[0，+∞）．14．已知实数a≠0，函数f（x）=，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为﹣．【考点】函数的值；分段函数的应用．【分析】对a分类讨论判断出1﹣a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．【解答】解：当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1∴2（1﹣a）+a=﹣1﹣a﹣2a解得a=舍去当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a解得a=故答案为15．（1）定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）为减函数，且f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则实数a的取值范围为（1，）．（2）定义在[﹣2，2]上的偶函数g（x），当x≥0时，g（x）为减函数，若g（1﹣m）＜g（m）成立，则m的取值范围为[﹣1，）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）根据题意，将题中不等式转化成f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2），利用f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数得到关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．（2）由题设条件函数是一个定义在[﹣2，2]上的偶函数g（x）满足：当x≥0时，g（x）单调递减，故可根据偶函数的性质得出函数的单调性，然后由单调性将不等式转化为一次不等式即可，转化时要注意定义域的限制，保证转化等价．【解答】解：（1）由f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，得f（1﹣a）＞﹣f（1﹣a2）．∵f（x）是奇函数，∴﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1）．于是f（1﹣a）＞f（a2﹣1）．又由于f（x）在（﹣1，1）上是减函数，因此解得1＜a＜．（2）：∵定义在[﹣2，2]上的偶函数g（x）满足：当x≥0时，g（x）单调递减∴偶函数g（x）在[﹣2，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，即自变量的绝对值越小，函数值越大∵g（1﹣m）＜g（m），∴，解得﹣1≤m＜．故答案为（1，）；[﹣1，）．三、解答题16．已知：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．（1）若A∪B=B，求a的值；（2）若A∩B=B，求a的值．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【分析】（1）先化简集合A，再由A∪B=B知A是B的子集，由此求得a的值．（2）由A∩B=B，知B是A的子集，对集合B进行分类讨论：①若B为空集，②若B为单元集，③若B=A={﹣4，0}，由此求得a的值即可．【解答】解：（1）A={﹣4，0}若A∪B=B，则B⊇A={﹣4，0}，解得：a=1（2）若A∩B=B，则①若B为空集，则△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0则a＜﹣1；②若B为单元集，则△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）=8a+8=0解得：a=﹣1，将a=﹣1代入方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0得：x2=0得：x=0即B=0符合要求；③若B=A={﹣4，0}，则a=1综上所述，a≤﹣1或a=1．17．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a x﹣1，其中a＞0且a≠1，（1）求f（2）+f（﹣2）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）解关于x的不等式﹣1＜f（x﹣1）＜4，结果用集合或区间表示．【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法；对数函数的单调性与特殊点．【分析】（1）由f（x）是定义在R上的奇函数，知f（2）+f（﹣2）=f（2）﹣f（2）=0．（2）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=a﹣x﹣1，f（x）是定义在R上的奇函数，﹣f（x）=a﹣x ﹣1，即f（x）=﹣a﹣x+1．由此能求出f（x）的解析式．（3）不等式等价于或．当a＞1时，有或，此时不等式的解集为（1﹣log a2，1+log a5）．同理可得，当0＜a＜1时，不等式的解集为R．由此能求出关于x的不等式﹣1＜f（x﹣1）＜4的解集．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（2）+f（﹣2）=f（2）﹣f（2）=0．（2）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）=a﹣x﹣1，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴﹣f（x）=a﹣x﹣1，即f（x）=﹣a﹣x+1．∴．（3）不等式等价于或．当a＞1时，有或，注意此时log a2＞0，log a5＞0．可得此时不等式的解集为（1﹣log a2，1+log a5）．同理可得，当0＜a＜1时，不等式的解集为R．综上所述，当a＞1时，不等式的解集为（1﹣log a2，1+log a5）．当0＜a＜1时，不等式的解集为（﹣∞，+∞）．18．已知函数y=f（x）的定义域为D，且f（x）同时满足以下条件：①f（x）在D上是单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a，b]⊊D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值集合也是[a，b]．那么，我们称函数y=f（x）（x∈D）是闭函数．（1）判断f（x）=﹣x3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．（2）若f（x）=k+是闭函数，求实数k的取值范围．（注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可）【考点】函数单调性的性质．【分析】（1）由条件利用闭函数的定义判断f（x）=﹣x3是不是闭函数．（2）根据闭函数的定义，a，b是方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0的两根，且a≥k，b＞k．令f（x）=x2﹣（2k+1）x+k2﹣2，得，由此求得k的范围．【解答】解：（1）f（x）=﹣x3在R上是减函数，满足①；设存在区间[a，b]，f（x）的取值集合也是[a，b]，则，解得a=﹣1，b=1，所以存在区间[﹣1，1]满足②，所以f（x）=﹣x3（x∈R）是闭函数．（2）f（x）=k+在[﹣2，+∞）上的增函数，由题意知，f（x）=k+是闭函数，存在区间[a，b]满足②，即：．即a，b是方程k+=x的两根，化简得，a，b是方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0的两根，且a≥k，b＞k．令f（x）=x2﹣（2k+1）x+k2﹣2，得，解得﹣＜k≤﹣2，所以实数k的取值范围为（﹣，﹣2]．19．已知函数（1）若m=1，求函数f（x）的定义域．（2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．（3）若函数f（x）在区间上是增函数，求实数m的取值范围．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】（1）要使函数有意义，只需真数大于零，解不等式即可得函数的定义域；（2）若函数的值域为R，则真数应能取遍一切正数，只需y=x2﹣mx﹣m的判别式不小于零，即可解得m的范围；（3）函数f（x）在区间上是增函数包含两层含义，y=x2﹣mx﹣m在区间上是减函数且x2﹣mx﹣m＞0在区间上恒成立，分别利用二次函数的图象和性质和单调性即可解得m的范围【解答】解：（1）若m=1，则要使函数有意义，需x2﹣x﹣1＞0，解得x∈∴若m=1，函数f（x）的定义域为．（2）若函数f（x）的值域为R，则x2﹣mx﹣m能取遍一切正实数，∴△=m2+4m≥0，即m∈（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）∴若函数f（x）的值域为R，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）（3）若函数f（x）在区间上是增函数，则y=x2﹣mx﹣m在区间上是减函数且x2﹣mx﹣m＞0在区间上恒成立，∴≥1﹣，且（1﹣）2﹣m（1﹣）﹣m≥0即m≥2﹣2且m≤2∴m∈20．已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=，显然为奇函数，当a≠0时，f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，f（1）≠f（﹣1），且f（1）+f（﹣1）≠0，所以此时f（x）为非奇非偶函数．（2）∵a∈（1，3），f（x）=ax2+，∴f′（x）=2ax﹣=，∵a∈（1，3），x∈[1，2]，∴ax＞1，∴ax3＞1，∴2ax3﹣1＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）在[1，2]上的单调递增．2018年12月14日。
【精品】2017-2018学年湖南省长沙市长沙县实验中学高一(上)第三次模块数学试卷
20．（ 12 分）已知函数 （ 1）求 a 的值；
在其定义域上为奇函数．
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（ 2）判断函数 f （x）的单调性，并给出证明． （ 3）求 f （x）在（﹣∞， 1] 上的最大值． 21．（ 12 分）如图甲，直角梯形 ABCD中， AB⊥ AD， AD∥ BC，F 为 AD 中点， E 在 BC上，且 EF∥ AB，已知 AB=AD=CE=，2 现沿 EF把四边形 CDFE折起如图乙使 平面 CDFE⊥平面 ABEF． （ 1）求证： AD∥平面 BCE； （ 2）求证：平面 ABC⊥平面 BCE； （ 3）求三棱锥 C﹣ADE的体积．
∴当 x≤﹣ 1 时， f（ x） =x+2=3，解得 x=1，不成立； 当﹣ 1＜x＜ 2 时， f （x）=x2=3，解得 x= 或 x=﹣ （舍）； 当 x≥2 时， f （x）=2x=3，解得 x= ，不成立． 综上， x= ． 故选： A．
第 6 页（共 21 页）
【点评】 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质 的合理运用．
第 1 页（共 21 页）
9．（5 分）如图所示的三棱柱，其正视图是一个边长为
一个正三角形，该三棱柱侧视图的面积为（
）
2 的正方形，其俯视图是
A． B． C． D．4 10．（5 分）设 f（x）是定义在 R 上的奇函数， 且 f（x+2）=f（x），当 0≤x≤1 时， f（x）=2x（1﹣x），则 f （ ）=（ ）
7．（5 分）若偶函数 f（ x）在（﹣∞， 0] 上是单调递减的，则下列关系式中成立 的是（ ）
A．
B
．
C．
D．
【分析】 运用偶函数的定义可得 f（ 2）=f（﹣ 2），再由 f（x）在（﹣∞， 0] 的单 调性，即可得到所求大小关系． 【解答】 解：∵ f（x）是偶函数， ∴ f（﹣ 2） =f（2）， ∵ f（x）在（﹣∞， 0] 单调递减，
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2017-2018学年一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（ ）A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
2．设错误！未找到引用源。
为虚数单位，复数错误！未找到引用源。
为纯虚数，则错误！未找到引用源。
的值为（ ）A ．-1B ．1C ．错误！未找到引用源。
D ．03．已知错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
是错误！未找到引用源。
的充分而不必要条件,则下列为真的是（ ）A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
4．某铣工车间加工某件产品时，需要锻铸达到 80小时以上才合格．对该车间生产的20件产品锻铸时间进行抽查，按时间段错误！未找到引用源。
（单位：小时）进行统计，绘制频率分布直方图（如图所示）．被抽查的20件产品中，锻铸时间不少于90小时的件数为（ ）A ．8B ．5C ．6D ．45．要得到函数错误！未找到引用源。
的图像，只需将函数错误！未找到引用源。
的图像（ ）A ．向左平移错误！未找到引用源。
个单位B ．向右平移错误！未找到引用源。
个单位C ．向左平移错误！未找到引用源。
个单位D ．向右平移错误！未找到引用源。
个单位6．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为错误！未找到引用源。
，则该几何体的俯视图可以是（ ）7．三角形ABC 中，D 是AB 边所在直线上任意一点，若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的值为（ ）锻铸时间/小时A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．3 D．错误！未找到引用源。
8．根据右面的框图，打印的最大的数据是（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
9．如图，在错误！未找到引用源。
中，点错误！未找到引用源。
为线段错误！未找到引用源。
上点，且满足错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则对任意正实数错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
的最小值为（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
10．在错误！未找到引用源。
中，角错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
所对的边分别为错误！未找到引用源。
，已知错误！未找到引用源。
，若错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的面积为（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
11．已知M（错误！未找到引用源。
，0），N（2，0），点P为曲线C上任意点，且满足:错误！未找到引用源。
，曲线C与x轴的交点分别为A、B，过N的任意直线（直线与x轴不重合）与曲线C交于R、Q两点,直线AR与BQ交于点S．则点S所在的直线方程为（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
12．已知函数错误！未找到引用源。
的图象分别与错误！未找到引用源。
轴、错误！未找到引用源。
轴交于错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
点，且错误！未找到引用源。
，函数错误！未找到引用源。
，当错误！未找到引用源。
满足不等式错误！未找到引用源。
时，函数错误！未找到引用源。
的值域是（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知函数f（x）=tanx+sinx+2015，若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的值为．14．已知向量错误！未找到引用源。
，若错误！未找到引用源。
，则实数错误！未找到引用源。
的值为．15．若目标函数z=kx+2y在约束条件错误！未找到引用源。
下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是．16．在棱长为1的正方体错误！未找到引用源。
中,点错误！未找到引用源。
是错误！未找到引用源。
的中点,点错误！未找到引用源。
在侧面错误！未找到引用源。
上运动,现有下列： ①若点错误！未找到引用源。
总保持错误！未找到引用源。
,则动点错误！未找到引用源。
的轨迹所在的曲线是直线；②若点错误！未找到引用源。
到点错误！未找到引用源。
的距离是错误！未找到引用源。
,则动点错误！未找到引用源。
的轨迹所在的曲线是圆；③若点错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
,则动点错误！未找到引用源。
的轨迹所在曲线是椭圆；④若点错误！未找到引用源。
到直线错误！未找到引用源。
与直线错误！未找到引用源。
的距离的比为错误！未找到引用源。
,则动点错误！未找到引用源。
的轨迹所在的曲线是双曲线； ⑤若点错误！未找到引用源。
到直线错误！未找到引用源。
与直线错误！未找到引用源。
的距离相等,则动点错误！未找到引用源。
的轨迹所在曲线是抛物线．其中真是 （写出你认为正确的所有真的序号）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，且12a ，3a ，23a 成等差数列．（Ⅰ） 求等比数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ） 若数列{}n b 满足2112log n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值．18．（本小题满分12分）一个盒子里装有三个小球，分别标记有数字1，2，3，这三个小球除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一个，将抽取的小球上的数字依次记为x ，y ，z ．（I ）求“抽取的小球上的数字满足错误！未找到引用源。
”的概率；（Ⅱ）求“抽取的小球上的数字x ，y ，z 完全不相同”的概率．19．（本小题满分12分）如图，在多面体ECABD 中，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，ABC ∆为正三角形，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =．（Ⅰ）求证：DF //平面ABC ；（Ⅱ）求多面体ECABD 的体积．20． （本小题满分12分）已知椭圆C:22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为()F 1,0，上顶点为()0,1B ．（Ⅰ）过点B 作直线与椭圆C 交于另一点A ，若F 0AB⋅B =，求F ∆A B 外接圆的方程； （Ⅱ）若过点()2,0M 作直线与椭圆C 相交于两点G ，H ，设P 为椭圆C 上动点，且满足G t O +OH =OP （O 为坐标原点）．当1t ≥时，求G ∆O H 面积S 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数),(ln 2)(2R b a x bx x a x f ∈+-=． （1）若1==b a ，求)(x f 点())1(,1f 处的切线方程；（2）设0≤a ，求)(x f 的单调区间；（3）设0<a ，且对任意的)2()(,0f x f x ≤>，试比较)ln(a -与b 2-的大小请从下面所给的22,23,24三题中选定一题作答．并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分．22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知直线错误！未找到引用源。
的极坐标方程为错误！未找到引用源。
，圆错误！未找到引用源。
的参数方程为错误！未找到引用源。
为参数）．（1）请分别把直线错误！未找到引用源。
和圆错误！未找到引用源。
的方程化为直角坐标方程；（2）求直线错误！未找到引用源。
被圆截得的弦长．24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知0,0>>，证明：222222a b++++≥．()(1)9a b ab ab a b a b1．B 本题主要考查集合的基本运算和函数值域、不等式的解法等知识．考查不等式的运算求解能力．【解析】根据集合M得，函数错误！未找到引用源。
的值域为错误！未找到引用源。
，由集合N得错误！未找到引用源。
，故错误！未找到引用源。
，故选B．2．A 本题重点考查了复数的概念、表示、分类等知识，考查基础知识。
【解析】因为复数错误！未找到引用源。
为纯虚数，故错误！未找到引用源。
，故错误！未找到引用源。
，故选A．3．C 本题重点考查常用逻辑用语、的真假判断、复合的真假判断等知识。
【解析】错误！未找到引用源。
为真，错误！未找到引用源。
为假，故选C。
4．C 本题重点考查频率分布直方图、频率，频数和样本容量等知识．考查信息理解与数据处理能力．【解析】据题得，锻铸时间段错误！未找到引用源。
的产品件数为错误！未找到引用源。
；其中在时间段错误！未找到引用源。
的件数为错误！未找到引用源。
（件）；所以锻铸时间不少于90小时的件数为错误！未找到引用源。
（件），故选C．5．D 本题重点考查三角函数的图像变换等知识。
【解析】据题，将函数错误！未找到引用源。
的图像向右平移错误！未找到引用源。
个单位，得错误！未找到引用源。
，故选D。
6．B 本题主要考查三视图知识,考查空间想象力．【解析】根据该直观图的体积为错误！未找到引用源。
，得到该几何体为错误！未找到引用源。
圆锥，故选B．7．C本题重点考查平面向量基本定理、向量共线条件的判断．本题主要考查等价转化思想和运算求解能力．【解析】据题，依据共线的条件，得存在实数错误！未找到引用源。
，使得错误！未找到引用源。
，即错误！未找到引用源。
，即错误！未找到引用源。
，因为错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
，故选C．8．C 本题主要考查循环结构的程序框图，本题主要考查逻辑推理能力，属于基础题．【解析】执行程序框图，有第一次循环：A=1，A=3，输出A的值为3，第二次循环：满足条件A＜35，A=7，输出A的值为7，第三次循环：满足条件A＜35，A=15，输出A的值为15，第四次循环：满足条件A＜35，A=31，输出A的值为31，第五次循环：满足条件A＜35，A=63，输出A的值为63，不满足条件A＜35，结束．故打印输出的最大的数是63，故选C．9．A 本题主要考查平面向量、基本不等式等知识,考查平面向量的运算求解能力．【解析】因为错误！未找到引用源。