广义高斯模型的局部优化检测中的应用(后)

基于非对称广义高斯模型的局部优化检测中的应用汪太月1，李志明2, 李宏伟21．黄石理工学院数理学院, 湖北黄石4350032．中国地质大学数理学院, 湖北武汉430074摘要：为了在非高斯的情况下优化信号的检测，我们致力于提供一种通用的噪声概率密度函数的现实模型。

这个模型仅仅依赖于几个容易且能快速估计的参数，还能够适应于诸如对称和非对称，以及带有不同锐利程度的不同噪声。

为了达到这个目的，一种来源于广义高斯函数的高阶统计量的模型被提出，它依赖于三个参数：表示不同锐利程度的峰度参数，以及描写不同于对称函数且联合提供偏斜程度的左右方差参数。

这个模型在局部优化检测的设计中得到很好运用，被水下声学噪声干扰的信号检测证实了这个结果。

关键词：广义高斯函数；高阶统计量；最大相对效率中图分类号：TP391 文献标示码：AApplication to Locally Optimum Detection Based onAsymmetric Generalized Gaussian DistributionLI Zhiming1, WANG Taiyue2, LI Hongwei11．School of Mathematics and Physics, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China 2．School of Mathematics and Physics, Huangshi Institute of Technology, Huangshi 435003, ChinaAbstract:The work is addressed to provide modeling of a generic noise probability function (PDF), in order to optimize signal detection in non-Gaussian environments. The model only depends on few parameters which can be estimated easily and quickly, and so general to be describe many kinds of noise such as symmetric or asymmetric or with variable sharpness. To the end, we presented a new high order statistic model, which derives from the generalized Gaussian function, and depends on three parameters: kurtosis, for representing variable, and left and right variance whose combination provides skewness, for describing deviation from symmetry. The model is applied in the design of a Locally Optimum Detection test. Promising experimental results are presented which derive from the application of the test for detecting signals corrupted underwater acoustic ship-traffic-radiated noise.Key words: generalized Gaussian distribution; high order statistic; asymptotic relative efficiency 1引言作者简介：汪太月(1977- ),男,汉族, 湖北阳新人, 应用数学硕士,讲师,研究方向为广义高斯信号处理, 李志明(1976- ),男,汉族, 河南省巩义市人, 应用数学硕士,讲师,研究方向为广义随机信号处理。

wangty6895@基金项目：国家自然科学基金项目(60672049).为了在非高斯的情况下优化信号的检测，我们着手于设计一种通用背景噪声下的现实模型。

信号检测实质上是一个二元假设检测问题[1]：目的是在观测信号{,1,2,}k y k K = 的基础上确定传送信号{,1,2,}k s k K = 是否存在（1H 为存在，2H 为不存在）；在传播当中，噪声被假定为稳定的、独立同分布的加性广义非高斯信号。

设计一个检测器应具有下列性质[2]：(a)在弱信号的条件下拥有高性能；(b)容易在现实情况下被运用；(c)算法简单。

为了满足条件(a), 局部优化检测(Local Optimum Detection ,LOD)是低信噪比情况下信号检测的一种很好方法[1]。

对于条件(b)和(c)，一般来说，依赖于几个参数的广义噪声的概率密度函数从真实数据样本中很难被估计，然而，对于非高斯性噪声信号，依据其非对称性及锐利程度，高阶统计量参数能从数据样本中快速的被提取出来[3]；对于高斯噪声的优化中，一般采用二阶统计量的信号处理算法，而对于非高斯噪声的情况下，其优化条件不复存在，性能随之严重退化[4]。

于是，在噪声分析及优化检测中，许多工作用高阶统计量来进行信号处理[2]。

但是这些方法仅在非高斯信号[5][6]或高斯噪声[6][7]条件才有较好的效果；有些只能在某种特定的假设下才能使用；这样，即使能用，算法也就很复杂了。

在本文中，我们首先介绍非对称的广义高斯函数，它是大家熟知的广义高斯概率密度函数[8]和非对称高斯模型[9]的有机结合。

广义高斯密度函数是一类依赖于形状参数α的对称分布的函数，然而形状参数α从真实数据中很难估计；不过形状参数有其特有的物理意义，它同概率密度函数的锐利程度有着紧密的联系。

能很好的描写锐利程度变量的高阶统计量参数是四阶峰度k 。

因此，我们对形状参数α同峰度k 的关系作了介绍。

基于峰度的对称函数同广义高斯密度函数有着相同的性质[5]。

对于基于峰度的非对称函数模型，我们先介绍了一种直接来源于高斯形状的非对称的高斯模型[9]，不过不再是对称分布的，它依赖于左右方差变量两个二阶参数。

在基于峰度的广义高斯函数的基础上引入这两个参数，从而得到了非对称的广义高斯模型。

这个新的模型由广义高斯密度函数和非对称高斯密度函数构成，两者是它的特殊情形。

它被应用于局部优化检测当中。

2 非对称的广义高斯模型在噪声模型中，对于来源于高斯性的噪声估计的最引入注意的方法之一是对于其峰度k 的估计，其定义为四阶矩同二阶矩的平方的比[10]，即 422()EX EX kurtosis = （1）对于高斯的情形，峰度等于3。

当峰度大于3时，其概率密度函数的形状的锐利程度较对应的高斯函数的锐利程度要高，当峰度小于3时， 其概率密度函数的形状的锐利程度较对应的高斯函数的锐利程度要低。

因此，一个好的概率密度函数模型具有变化的锐利程度。

众所周知：广义高斯密度函数是一个对称分布的且具有变化锐利程度的概率密度函数模型之一，其表达式为[11]：[](;,,)[]2(1/)x f x e αμβααβμβα--=Γ （2）其中βσ=，()Γ⋅是Gamma 函数， 10()t z z e t dt ∞--Γ=⎰，当中的参数βασμ,,,2分别称为GGD 的均值(mean),方差(variance)，形状参数(shape parameter)，尺度参数(scale parameter) 。

其中形状参数α决定GGD 概率密度函数的衰减速度,α越小衰减得越厉害，因而α也称为衰减率（decay rate ）。

零均值高斯分布和拉普拉斯分布是它的特例，它们分别是式(3)在21αα==和时的分布。

然而，形状参数α不可能直接从数据样本中得以估计；而峰度k 同其有着密切的关系，对于广义高斯函数有422()EX EX kurtosis =422(1/)2(1/)x x x e dx x e dxααββαβααβα+∞--∞+∞--∞Γ=Γ⎰⎰ 422(5/)(5/)(1/)(1/)(3/)βαααασαΓΓΓΓ==Γ （3） 由于()Γ⋅的存在，峰度k 与形状参数α之间的解析式很难求得,而观察函数的图形发现其形式比较简单（图1）图1:峰度k 与形状参数α的关系 图2:广义高斯函数族（20,100μσ==）故采用数值拟合的方法得到其近似表达式为：()0.12f k α== (1.8730k ≤≤ （4） 那么我们就很容易的得到随峰度k 的同广义高斯密度函数的关系（图2）。

为了将广义高斯模型推广运用到非对称的情形当中，我们从非对称的高斯模型出发。

非对称高斯模型它依赖于左右方差的两个二阶的参数22l r σσ和，左右两个参数可以通过下式予以估计：221,1(),1l k N lk k x l x N μσμ=<=--∑ 221,1()1r k N r k k x r x N μσμ=>=--∑ （5） 其中的 l r N N 和分布表示k k x μμ<>和x 的样本数量，模型可表示为：2222()2()2()lr x x x f x x μσμσμμ----⎧<=⎪≥ （6） 当22l r σσ=时，它就是高斯函数；其图像（图3）如下：图3:非对称的高斯函数族（0μ=）而左右方差与偏斜程度之间有着密切的联系，偏斜程度能用来量化非对称的概率密度函数，它可以通过三阶参数来描述[9]：{}33(0,0)()xc E x μ=- 3()()x f x dx μ+∞-∞=-⋅⎰44)l r σσ=-+ （7）用左右方差代替方差能得到非对称高斯模型，我们采用的类似方法来建立非对称的广义高斯模型。

其基于峰度作为参数的概率密度函数表达式如下： ()()[](1/)()[](1/)l r x a g x a e x f x e x ααααμβμβαμβααμβα⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎧⎪<⎪Γ⎪=⎨⎪≥⎪Γ⎪⎩ （8）其中(a l r βσσ=+l βσ=r βσ=当l r σσ=时，式(8)为对称的广义高斯函数；当l r σσ=且峰度3k =时，它就表示高斯函数。

其概率密度函数随峰度变化关系如图4所示：图4:非对称广义高斯函数族（var1=1,var2=2,0μ=）3非对称广义高斯模型在局部优化检测中的性能评价对于非线性检测器性能的评价一般是通过同线性相关检测器相比较来衡量的，常用指标是最大渐近相对效率，它是指达到同样的虚警概率和检测概率所需要的样本数之比的极限值[12]。