2018-2019学年高中数学 第二章 变化率与导数 2.2 导数的几何意义 2.2.1 导数的概念课件 北师大版选修2-2
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.2 导数的几何意义课件72高二选修22数学课件
＊ 导数的几何意义(yìyì)：
函数
y f(x在)
x
处的导数，即是曲线
0
y f(x)
在点 (x0, f (x0) )处的切线斜率。
＊ 导数法求曲线(qūxiàn)的切线方程：
（1）求出 y f(x)在 x 0 处的导数 f (x0)；
（2）利用点斜式求得切线方程为：
y y0 f (x0 )(x x0 )
（1）求出 y f(x)在 x 0 处的导数 f (x0)；
（2）利用(lìyòng)点斜式求得切线方程为：
第八页，共十五页。
动手做一做 1. 求曲线 yx33x21在点 (1,1)处的
切线方程。
2. 曲线 yx2x3的某一切线与直线
y3x4平行，求切点坐标与切线方程。
第九页，共十五页。
小结(xiǎojié)
结束
第十页，共十五页。
分析(fēnxī)：
（1）要求(yāoqiú)平均变化率，只需将区间端点求出， 并代入公式即可：
（2）画或者求切线，需要求(yāoqiú)切线的斜率，即函 数的导数。
第十一页，共十五页。
解：
（1） x2时，区间为[ -2，0 ]，平均变化率为： 同理，当 x1 , 0.5时，平均变化率分别是：
的平均变化率，并画出过点 (x0, f (x0) )的相应割线；
（2）求 y x2在 x0 2处的导数，画出曲线 y x2
在点 (2,4)处的切线。
解析(jiě xī)
例2 求函数 yf(x)2x3在 x 1处的切线方程。
解析(jiě xī)
第七页，共十五页。
总结 概括 (zǒngjié)
利用(lìyòng)导数求曲线的切线方 程：
【课件】导数的几何意义课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
②当 x 0 5 时，切点为 (5，10) ，切线为 10x y 25 0 .
求曲线上的点 P 处的切线与求过点 P 的切线有区别： 1.已知切点 P(x0 ，f (x0 )) 的切线方程是: y f (x0 ) f '(x0 )(x x0 )
2.不知道切点，求切点坐标可以按以下步骤进行： (1)设出切点坐标； (2)利用导数或斜率公式求出斜率； (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
C. 1
2
2
解：因为 f '(1) lim y lim a(1 x) 2 a lim 2a ax 2a
x x0
x0
x
x0
D. 1
又切线的斜率为 2，
所以 2a 2 ，故 a 1 .
4.在曲线 y x2 上过哪一点的切线． (1)垂直于直线 2x 6y 5 0 ； (2)与 x 轴成135°的倾斜角．
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
平均变化率的几何意义 ：曲线 y f (x) 在点 Px 0 ，f (x 0)处的切线的斜率 ．
对函数在某点处导数的认识 (1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值改变量与自 变量的改变量比值的极限，不是变量． (2)函数在 x0 处的导数 f '(x0)只与 x0 有关，与 Δx 无关． (3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．
y
y
如果当 x 0 时，平均变化率 x 无限趋近于一个确定的值，即 x
有极限，则称 y f (x) 在 x x 0 处可导，并把这个确定的值叫做 y f (x) 在 x x 0 处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 f '(x) 或 y '| xx0 ，即
高中数学第二章变化率与导数2.2导数的几何意义2.2.2导数的几何意义222数学
.
2
+1
-2+Δ
f(-2+x)-f(-2)
解析:f'(-2)= lim
=
x
Δ
Δ→0
x→0
1
切线方程为y+1=− ( + 2), 即x+2y+4=0.
2
答案:x+2y+4=0
12/9/2021
第十八页，共二十页。
=
S随堂演练
IANLITOUXI
1
lim
Δ→0 -2+Δ
UITANGYANLIAN
1
2
3
1
x+ .
4
2
所以 1−x 30 = 3x 20 (1 − 0), 解得x0=1 或 x 0=− .
所以切线方程为 y-1=3(x-1)或
12/9/2021
1
y+
8
=
即 3x-y-2=0 或 3x-4y+1=0.
第十二页，共二十页。
目标导航
题型一
题型二
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
1
2
【做一做】 曲线 y= 2 − 2 在 1,________________.
答案:45°
12/9/2021
第四页，共二十页。
3
2
处的切线的倾斜角为
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HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
题型三
题型一
求切线的方程
A.f'(x0)=2 B.f'(x0)=-2
【课件】导数的概念及其几何意义+课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
线
无限趋近于一个确定的位置，这个确定
P0
位置的直线P0T 称为曲线y f ( x)在点P0
的切线.
o
结论:当Q点沿着曲线无限逼近P点时,此时割线PQ的斜率无限趋近于
切线PT的斜率.
x
概念
f ( x) f ( x0 )
割线P0 P的斜率k
.
x x0
记x x x0 ,当x 0时，k 趋近于函数y f ( x)在x=x0 处的导数.
=-f'(x0).
Δ
Δ
Δ→0
Δ→0
反思感悟 由导数的定义可知,若函数 y=f(x)在 x=x0 处可导,
则 f'(x)= lim
Δ→0
f(x0+ x)-f(x0 )
x
,它仅与 x 0 有关,与Δx 无关.
因此使用导数公式时要明确公式的形式,当分母为 f(x0+mΔx)-f(x0)时,分子也
2
(2)因为Δy=f(x+Δx)-f(x)=[-(x+Δx)2+3(x+Δx)]-(-x 2+3x)=-(Δx)2-2x·Δx+3Δx,
Δ
所以Δ=-Δx-2x+3.故函数的导数 f'(x)= lim
Δ
Δ→0 Δ
=
(-Δx-2x+3)=-2x+3.
Δ→0
概念
导函数
对于函数y=f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个确定的数.当x变化时,y=f'(x)就是x的
( 0 +Δ)- ( 0 )
( 0 +Δ)- ( 0 )
lim
=lim
.因为函数
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.2 导数的几何意义课件92高二选修22数学课件
曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。
设切线的倾斜角为α,那么(nà me)当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲
线在点P处的切线的斜率.
即: k 切 线 f'(x 0 ) lix m 0 y x lix m 0f(x 0 x x ) f(x 0 )
解(： 1)y
1
x3,y
y lim
1(xx)3 lim3
1 3
x3
3
x x0
x0
1 3x2x3x(x)2 (x)3
x
y y
1
x3
4
3
lim
3x0
x
3
P
1 lim[3x2 3xx(x)2] x2.
2
3x0
1 x
y|x2224.
-2 -1 O 1 2
即点P处的切线(qiēxiàn)的斜率等
-1
(2)在点于P4处. 的切线(qiēxiàn)方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y--216=0.
第十页，共十三页。
归纳:求切线方程(fāngchéng)的 步骤
（1）求出函数在点x0处的变化率 f (x0)，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
yf(x0)f(x0)x (x0).
无限(wúxiàn)逼近的极限思想是建立导 数概念、用导数定义求 函数的导数的基 本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数 概念。
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率(xiélǜ)的一种方法;②切 线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
第七页，共十三页。
第八页，共十三页。
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
2018_2019学年高中数学第二章变化率与导数1变化的快慢与变化率课件北师大版选修2_2
求函数平均变化率
[例 1] 已知函数 f(x)＝2x2＋1. (1)求函数 f(x)在[2,2.01]上的平均变化率； (2)求函数 f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． [思路点拨] 先求 Δx，Δy，再利用平均变化率的定义求解．
[精解详析] (1)由 f(x)＝2x2＋1， 得 Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.080 2， Δx＝2.01－2＝0.01， ∴ΔΔxy＝0.00.8001 2＝8.02. (2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1 ＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔxy＝2Δx2Δxx0＋Δx＝4x0＋2Δx.
(1)瞬时变化率的绝对值度量函数在某点处变化的快慢． (2)当瞬时变化率大于 0 时，说明函数值在增加；当瞬时 变化率小于 0 时，说明函数值在减小；其绝对值大小才能说 明变化的快慢． (3)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭 程度是平均变化率的“视觉化”．
§1
变化的快慢与变化率
平均变化率
下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况： x(min) 0 10 20 30 40 50 60 y(℃) 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.9
问题 1：观察上表，每 10 分钟病人体温变化相同吗？ 提示：不相同． 问题 2：哪段时间体温变化较快？ 提示：从 20 min 到 30 min 变化快． 问题 3：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用单位时间内的温度变化的大小，即体温的平均变化率．
平均变化率
x2 时(，1函)定数义值：从对f一(x般1)变的为函数f(x2y)＝，它f(x的)来平说均，变当化自率变为量fxxx从22－ －x1fx变1x为1.
其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作 Δx ，
北师大版(2019)高中数学选择性必修2第2章2 导数的概念及其几何意义 课件(共17张PPT)
0 +Δ − 0
Δ
Δ→0
= lim
．
典例剖析：
0 +Δ − 0 −Δ
2Δ
Δ→0
若′ 0 = ，则 lim
A.−2
B.2
)
D.–
C.
0 +Δ − 0
Δ
Δ→0
解析：∵′ 0 = lim
= ，
0 +Δ − 0 −Δ
2Δ
1 − 0
1 −0
1 →0
′ 0 = lim
0 +Δ − 0
Δ
Δ→0
= lim
．
2.求导数的一般步骤：
①求函数的改变量Δ = 0 + Δ − 0 ；
Δ
②求平均变化率
Δ
=
0 +Δ − 0
Δ
③取极限，得导数′ 0 =
；
Δ
lim ．
A．0>f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)<f′(xB)<0
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．f′(xA)>f′(xB)>0
答案：B
解析：f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(xA)<f′(xB)<0.
故选B.
)
1.导数的概念：设函数 = ，当自变量从0 变到1 时，函数值y从 0 变到
Δ
Δ
1 ，函数值y关于x的平均变化率为
=
1 − 0
1 −0
=
0 +Δ − 0
Δ
当1 趋于0 ，即Δ趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.2 导数的几何意义教案 2数学教案
2.2 导数的几何意义一、复习：导数的概念及求法。
二、探究新课多媒体演示，得出以下定义:1．割线及其斜率：连结曲线C 上的两点的直线PQ 叫曲线C 的割线， 设曲线C 上的一点(,())P x f x ，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点(,())Q x x f x x +∆+∆，则割线PQ 的斜率为 00()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x x x+∆-+∆-==+∆-∆．2． 切线的定义：随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。
当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线；3．切线的斜率：当点Q 沿着曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 处的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当x ∆无限趋近于0时，()()f x x f x x+∆-∆无限趋近于点(,())P x f x 处的切线的斜率．4.导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 5.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.例1、已知函数2)(x x f y ==， x 0＝－2。
（1）分别对Δx =2，1，0.5求2x y =在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并画出过点（x 0，)(0x f ）的相应割线；（2）求函数2x y =在x 0＝－2处的导数，并画出曲线2x y =在点（－2，4）处的切线。
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.2 导数的几何意义课件32高二选修22数学课件
第八页，共十一页。
当 1.求堂曲检线测(yjiǎn cfè()x) x，求曲线在x=1的切线方程
2.根据导数的几何意义，求曲线 y 4在xx=21处的导数
lim lim 1. 解： 1x 1
( 1x1)( 1x1)
x0
x
x0
Байду номын сангаас
x( 1x1)
lim
1 1
x0 1x1 2
切线方程y： 11(x1),即x2y10 2
No 2.通过分析实例，探究出导数的几何意义和求简单函数图像在某点处的切线方程的规律方法。
预习自测 1.B 2.8x-y-8=0。2、点评讲究方法：先评书写、再评对错，可加上自己的见解。 例1（1）。2.。谢 谢 观 看
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12/8/2021
第十一页，共十一页。
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教材(jiàocái)助读 1 .割线的定义
割 A线 的 B 斜 yf( 率 x0 x)f(x0)f(x0 x)f(x0)
x x0 xx0
x
3. k f( x 0 ) x l 1 x i 0fm ( x x 1 1 ) x f0 ( x 0 ) lx 0 if( m x 0 x x ) f( x 0 )
§ 3.2.2 导数的几何意义(yìyì)
【学习目标】 1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系，理解曲线 的切线的概念以及导数的几何意义，并学会(xuéhuì)用 导数的几何意义解题。 2.通过分析实例，探究出导数的几何意义和求简单函数
图像在某点处的切线方程的规律方法。
第一页，共十一页。
第二页，共十一页。
高中数学第二章变化率与导数2.2导数的概念及其几何意义导数的概念教案北师大版选修2
§2 导数的概念及其几何意义导数的概念一、教学目标：1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.二、教学重点：了解导数的概念及求导数的方法。
教学难点：理解导数概念的本质内涵三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：设函数)(x f y =，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从)(0x f 变到)(1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为xx f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆)()()()(000101 当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值（这个值称为：当x 1趋于x 0时，平均变化率的极限），那么这个值就是函数)(x f y =在点x 0的瞬时变化率。
（二）、探究新课在数学上，称瞬时变化率为函数)(x f y =在点x 0的导数，通常用符号)(0x f '表示，记作x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='→∆→)()()()()(00001010lim lim 01。
例1、一条水管中流过的水量y （单位：3m ）是时间x （单位：s ）的函数x x f y 3)(==。
求函数)(x f y =在x =2处的导数)2(f '，并解释它的实际意义。
解：当x 从2变到2＋Δx 时，函数值从3×2变到3（2＋Δx ），函数值y 关于x 的平均变化率为3323)2(3)2()2(=∆∆=∆⨯-∆+=∆-∆+xx x x x f x f （3m /s ）.当x 趋于2，即Δx 趋于0时，，平均变化率趋于3，所以3)2(='f （3m /s ）.导数)2(f '表示当x =2s 时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度。