概率论与数理统计—第一章概率论的基本概念

例如在E 4中，如果用A 表示事件“掷出奇点数”，那么A 是一个随机事件.由于在一次投掷中,当且仅当掷出的点数是1，3,5中的任何一个时才称事件A 发生了，所以我们把事件A 表示为{}1,3,5=A 。

同样地,若用B 表示事件“掷出偶点数"，那么B 也是一个随机事件,{}2,4,6B =。

对于一个试验E ，在每次试验中必然发生的事件，称为E 的必然事件；在每次试验中都不发生的事件,称为E 的不可能事件.例如在3E 中，“掷出的点数不超过6"就是必然事件，用集合表示这一事件就是3E 的样本空间{}31,2,3,4,5,6S =。

而事件“掷出的点数大于6"是不可能事件，这个事件不包括3E 的任何一个可能结果，所以用空集φ表示。

对于一个试验E ，它的样本空间S 是E 的必然事件；空集φ是不可能事件。

必然事件与不可能事件虽已无随机性可言,但在概率论中，常把它们当作两个特殊的随机事件，这样做是为了数学处理上的方便。

（三）事件间的关系与运算
因为事件是一个集合，因而事件间的关系和运算是按集合间的关系和运算来处理的.下面给出这些关系和运算在概率中的提法。

并根据“事件发生"的含义，给出它们在概率中的含义。

设试验E 的样本空间为S ，而),2,1(,, =k A B A k 是S 的子集。

1°事件的包含与相等 事件“若事件A 发生必然导致事件B 发生”称事件B 包含事件A ，记为A B ⊃或者B A ⊂。

若B A ⊂且A B ⊂，则称事件A 与事件B 相等,记B A =.
2°事件的和 事件“A 与B 至少有一个发生”称为事件A 与事件B 的和，记为B A .事件B A 发生意味着:或事件A 发生，或事件B 发生,或事件A 与事件B 都发生。

事件的和可以推广到多个事件的情景。

设有n 个事件n A A A ,,,21 ,定义它们的和事件{n A A A ,,,21 中至少有一个发生｝为k n
k A 1= 。

3°事件的积 事件“A 与B 都发生"称为事件A 与事件B 的积事件，记为B A ，也简记为AB .事件B A （或AB ）发生意味着事件A 发生且事件B 也发生，即A 与B 都发生。

类似的，可以定义n 个事件n A A A ,,,21 的积事件k n
k A 1= =｛n A A A ,,,21 都发生}. 4°事件的差 事件“A 发生而B 不发生”称为事件A 与事件B 的差事件,记为B A -。

5°互不相容事件（互斥） 若事件A 与事件B 不能同时发生,即φ=AB ，则称事件A 与事件B 是互斥的，或称它们是互不相容的。

若事件n A A A ,,,21 中的任意两个都互斥,则称这些事件是两两互斥的。

6°对立事件 事件“A 不发生”称为事件A 的对立事件，记为A 。

A 和A 满足：S A A = ，φ=A A ，A A =。

事件运算满足的定律 设C B A ,,为事件，则有
交换律:A B B A =；BA AB =。

结合律：)()(C B A C B A =；)()(BC A C AB =。

分配律：)()()(C B C A C B A =；
212)()()=++A P A P A
）为事件A 的概率。

、…、A n 两两互斥的事件，则
1212)()()()n n =++A A P A P A P A
此性质称为有限可加性.特殊的，若φ=AB ,则
)()()(B P A P B A P += 。

是两个事件，若B A ⊂，则有
()()P B P A -，既有()()P B P A ≥。

112(1)()n n P A A A +++-。

它符合“加奇减偶”法则。

设事件B A ,的概率分别为2
1,
31 。

在下列三种情况下分别求;（２）；B A ⊂（３）81)(=AB P ．
,}n ω，试验时，发生每个样本点的机会相同。

为等可能概型或古典概型。

下面给出等可能概型中事件概率的计算公式。

12{,,,}n ωωω=，',}k ω。

试验时，把发生每个样本点看成事件1{ω们是互不相容的且满足：2{}{}n ωω，这样就有，1{}{{}{}n i n ωωωω++=P P P P ，所以，对每一
',}k ω，所以'{k k A n ω+=包含样本点数样本点总数
P 这就是等可能概型中事件概率的计算公式。

某企业有员工200人，其中男员工160人，女员工160161200,}ωωω，，,，显然这是等可能概型，设161162200}ωωω，,,，从而,
40()200==包含样本点数样本点总数A A 袋中有五只大小形状相同的球球，求取出的两球都是黑色球的概率。

n n ⨯⨯
⨯=N N N N 放法。

第一个球可以放进一，有N －1种放法；以共有(1)(N N N n --+1)
(n N n N -+有许多实际问题与例4例如，假设每一个人的生日在一年天是等可能的，即都等于1/365,n （≤365）个人(365365n
⨯⨯-至少有两364(365365n
⨯⨯⨯- 20 23 30 40 50 64 100 。

411 0.507 0。

706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
在一个64人的集体中，
()n +P B 是样本空间，B 1、B 2)()n ++A B P B 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下数提供的份额
)(A B P A =注意：事件的独立性与互斥是两码事，互斥性表示两个事件不能同时发生，而独立性则表示他们彼此不影响。

1 某种类型的高射炮击中敌机的概率是2n A A ，这样，本题的问题就是选2}0.99n ≥A A 12121212}1{}
{}1{}{}{}10.90.99n n n n n =-=-=-≥A A P A A A P A A A P A P A P A
0.90.9910.990.90.010.99ln 0.01ln 0.01-4.60.01ln 0.99ln 0.99ln 0.99-0.01
n n n n n n n ≥⇒-≥⇒≥⇒
≥⇒≥⇒≥≥。