直线方程两点式和一般式
教学课件第2课时直线方程的两点式和一般式
适用范围
不垂直坐标轴 不垂直坐标轴且不经 过原点
A,B不同时为0
不相信自己的意志，永远干不成大事.
平面直角坐标系中的任意一条直线都可以表示成
Ax By C 0( A,B 不同时为 0)的形式．
直线方程的一般式
关于 x, y 的二元一次方程 Ax By C 0( A,B 不同时为 0)
表示的是一条直线,我们把它叫作直线方程的一般式.
在无特殊说明的 条件下，直线方 程写成一般式.
思考1： “A,B不同时为零”指的是什么？ 提示：“A,B不同时为零”指的是A,B中至少有一 个不为零，它包括三种情况：①A≠0且B≠0， ②A≠0且B=0，③A=0且B≠0.
(3)错误.求直线的一般式方程，表面上需求A，
B，C三个系数，由于A，B不同时为零，若A≠0，
则方程化为 x B y 只C 需 0确，定 的值B，；C 若B≠0，则方程A化为AA x y C只需0，确A定A
B
B
A，的C 值.因此，只要给出两个条件，就可以求出
BB
直线方程.
例 3.已知三角形三个顶点分别是 A(3,0）,B(2,2),C(0,1) ,
答案：(1)× (2)√ (3)×
提示：(1)错误. (2)正确.因为在平面直角坐标系中，每一条直线 都有倾斜角α，当α≠90°时，直线的斜率存在， 其方程可写成y=kx+b，它可变形为kx-y+b=0， 与Ax+By+C=0比较，A=k,B=-1,C=b；当 α=90°时，直线斜率不存在，其方程可写成x=x1， 与Ax+By+C=0比较，A=1,B=0,C=-x1，显然A， B不同时为0，所以此说法是正确的.
求这个三角形三边各自所在直线的方程. 解:因为直线 AB 过 A(3,0）,B(2,2) 两点，
直线的两点式方程与一般式方程PTT课件
标题：2.2.2直线的两点式
方程
1课时
环节1：教学目标分解
教学目标
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的
几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式）.
2.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
3.会根据不同的直线位置特征，求直线的方程.
素养目标
数学抽象
（1） 3x 3 y 8 3 6 0 （2） x 2 （3） 4 x y 7 0
（4） 2 x y 6 0 （5） y 2 ；
距，此时直线在轴上的截距是.
方程
+
= 1由直线在两条坐标轴上的截距与确定
我们把方程
+ = 1叫做直线的截距式方程，简称截距式.
课堂例题
例4 已知△ 的三个顶点(−5，0)，(3， − 3)，(0，2)，
求边所在直线的方程，以及这条边上的中线 所在直线的方
－＝(－)
斜截式
= +
两点式
截距式
一般式
− ��
−
=
−
−
+ =
+ + =
求直线方程时方程形式的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式
方程．
(2)已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式，再由其他条件
y 1 x 2
；
3 1 0 2
因为 A 0,5 ， B 5,0 ，
y 5 x 0
所以直线 AB 的两点式方程：
直线的两点式方程、直线的一般式方程课件
___ax_＋__by_＝__1__ 不表示__垂__直__于____坐标轴的直 线及过___原__点_____的直线
[化解疑难]
1．要注意方程yy2－－yy11＝xx2－－xx11和方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－ x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程， 形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式 方程，适用于过任何两点的直线方程．
②当 m≠0 时，l1∥l2，需m2 ＝m＋3 1≠－42. 解得 m＝2 或 m＝－3.∴m 的值为 2 或－3. 法二：令 2×3＝m(m＋1)，解得 m＝－3 或 m＝2. 当 m＝－3 时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然 l1 与 l2 不重合，∴l1∥l2. 同理当 m＝2 时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1 与 l2 不重合，l1∥l2， ∴m 的值为 2 或－3.
解得ab11＝＝43， 或ab22＝＝19252，， 所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0 或 15x＋8y－36＝0.
(2)设直线 l 的方程为ax＋by＝1(a＞0，b＞0)， 由题意知，ab＝12，34a＋2b＝1， 消去 b，得 a2－6a＋8＝0， 解得ab11＝＝43， 或ab22＝ ＝26， ， 所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0 或 3x＋y－6＝0.
0.
[活学活用] (1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程； (2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
解：(1)法一：设直线 l 的斜率为 k， ∵l 与直线 3x＋4y＋1＝0 平行，∴k＝－34. 又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为 y－2＝－34(x－1)， 即 3x＋4y－11＝0.
3.2.2 直线的两点式与一般式方程
3.2.2 直线的两点式方程3．2.3 直线的一般式方程[学习目标]1．会根据条件写出直线的两点式方程和截距式方程．2．了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线方程的一般形式． [知识链接]1．直线的点斜式方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 2．直线的斜截式方程为y ＝kx ＋b .3．经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)．[预习导引]1．直线的两点式、截距式方程(1)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)且x 1≠x 2，y 1≠y 2的直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，叫做直线的两点式方程．(2)直线l 与x 轴交点A (a,0)；与y 轴交点B (0，b )，其中a ≠0，b ≠0，则得直线方程x a ＋yb ＝1，叫做直线的截距式方程．(3)若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22y ＝y 1＋y 22.2．直线的一般式方程(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线．方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式．(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－AB ，在y 轴上的截距为－C B ；当B ＝0时，在x 轴上的截距为－CA ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－C B .要点一 直线的两点式方程例1 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 解 (1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， ∴由两点式得y －(－4)(－2)－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0.故BC 边的方程为2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝5＋02＝52，y 0＝(－4)＋(－2)2＝－3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3，又BC 边上的中线经过点A (－3,2)． ∴由两点式得y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.规律方法 (1)首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式的要求，对含有字母的则需分类讨论；(2)注意问题叙述的异同，本题中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是直线．跟踪演练1 已知△ABC 三个顶点坐标A (2，－1)，B (2,2)，C (4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．解 ∵A (2，－1)，B (2,2)，A 、B 两点横坐标相同， ∴直线AB 与x 轴垂直，故其方程为x ＝2.∵A (2，－1)，C (4,1)，由直线方程的两点式可得直线AC 的方程为y －1－1－1＝x －42－4， 即x －y －3＝0.同理可由直线方程的两点式得直线BC 的方程为y －21－2＝x －24－2，即x ＋2y －6＝0.要点二 直线的截距式方程例2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程． 解 法一 设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋yb ＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b ＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线的方程为x ＋y －1＝0. 若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，直线的方程为x －y －7＝0. ②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二 显然直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)，k ≠0. 令x ＝0，得y ＝－4k －3； 令y ＝0，得x ＝4k ＋3k .又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k －3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k ＋3k ， 解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求直线的方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.规律方法 (1)运用直线的截距式方程一定要注意条件，截距均不为零． (2)本例易遗漏直线过原点的情形．跟踪演练2 求过点A (5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍的直线l 的方程．解 由题意知，当直线l 在坐标轴上的截距均为零时， 直线l 的方程为y ＝25x ；当直线l 在坐标轴上的截距不为零时， 设l 的方程为x 2a ＋ya ＝1， 将点(5,2)代入方程得52a ＋2a ＝1， 解得a ＝92，所以直线l 的方程为x ＋2y －9＝0.综上知，所求直线l 的方程为y ＝25x ，或x ＋2y －9＝0. 要点三 直线的一般式方程例3 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式． (1)斜率是－12，经过点A (8，－2)； (2)经过点B (4,2)，平行于x 轴；(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32、－3； (4)经过两点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)． 解 选择合适的直线方程形式． (1)由点斜式得y －(－2)＝－12(x －8)， 即x ＋2y －4＝0.(2)由斜截式得y ＝2，即y －2＝0.(3)由截距式得x 32＋y－3＝1，即2x －y －3＝0.(4)由两点式得y－(－2)－4－(－2)＝x－35－3，即x＋y－1＝0.规律方法 1.体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，把握直线方程一般式的特点．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式或斜截式．2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由其他条件求C1.与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由其他条件列出方程求出C2.跟踪演练3已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的一般式方程，l′满足(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直．解法一由题设l的方程可化为y＝－34x＋3，∴l的斜率为－3 4.(1)由l′与l平行，∴l′的斜率为－3 4.又∵l′过(－1,3)，由点斜式知方程为y－3＝－34(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为4 3，又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝43(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.法二(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0. 将点(－1,3)代入上式得m＝－9.∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.1．过两点(5,2)，(－5,2)的直线方程是( )A ．x ＝5B ．y ＝2C ．x ＋y ＝2D ．x ＝2答案 B解析 因两点纵坐标相等，所以过此两点的直线方程为y ＝2. 2．过P 1(2,0)、P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y 2＝0 B.x 2＋y 3＝0 C.x 2＋y 3＝1 D.x 2－y 3＝1 答案 C解析 由截距式得，所求直线的方程为x 2＋y3＝1. 3．直线x －3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 答案 A解析 由直线的一般式方程，得它的斜率为33，从而倾斜角为30°. 4．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1D.x 43＋y －2＝1答案 D解析 由截距式方程的形式可得应选D.5．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为________． 答案 A 2＋B2≠0解析由二元一次方程表示直线的条件知A、B至少有一个不为零即A2＋B2≠0.1．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)(y －y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．3．直线方程的一般式同二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)之间是一一对应关系，因此研究直线的几何性质完全可以借助于方程的观点来研究，这实际上也是解析几何的思想所在——用方程的思想来研究几何问题．一、基础达标1．下列说法正确的是()A．方程y－y1x－x1＝k表示过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程B．直线y＝kx＋b与y轴的交点为B(0，b)，其中截距b＝|OB|C．在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为xa＋yb＝1 D．方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示过任意不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程答案 D解析对于A，方程y－y1x－x1＝k表示过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程，但不包括P1(x1，y1)，所以A错；对于B，截距b可以为负值，也可以为0，所以B错；对于C，a，b中有一个或两个都为0时，不能用截距式表示直线方程，所以C错．只有选项D正确．2．直线x3＋y4＝1，化成一般式方程为()A．y＝－43x＋4 B．y＝－43(x－3)C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12 答案 C解析直线x3＋y4＝1化成一般式方程为4x＋3y－12＝0.3．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件() A．bc＝0 B．a≠0C．bc＝0且a≠0 D．a≠0且b＝c＝0 答案 D解析y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足条件为b＝c＝0，a≠0.4．若ac<0，bc<0，则直线ax＋by＋c＝0的图形只能是()答案 C解析由ac<0，bc<0，∴abc2>0，∴ab>0，∴斜率k＝－ab<0，又纵截距－cb>0，故选C.5．过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()A．x＋y＝5 B．x－y＝5C．x＋y＝5或x－4y＝0 D．x－y＝5或x＋4y＝0答案 C解析当直线过点(0,0)时，直线方程为y＝14x，即x －4y ＝0；当直线不过点(0,0)时，可设为x a ＋ya ＝1，把(4,1)代入，可解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y ＝5.综上可知直线方程为x ＋y ＝5或x －4y ＝0.6．已知直线与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点且线段AB 的中点为P (4,1)，则直线l 的方程为________．答案 x ＋4y －8＝0解析由题意可设A (x,0)，B (0，y )，由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02＝40＋y2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝8y ＝2，∴A (8,0)，B (0,2)，由直线方程的截距式得l 方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.7．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程．解 法一 由题意，设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝ 0(m ≠1)，令x ＝0，得y ＝－m 4；令y ＝0，得x ＝－m3， 所以－m 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4＝73，解得m ＝－4.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.法二 由题意，直线l 不过原点，则在两坐标轴上的截距都不为0.可设l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ≠0，b ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－34a ＋b ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝1，所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0. 二、能力提升8．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( ) A ．m ＝1B ．m ＝±1C.⎩⎨⎧ m ＝1n ≠－1D.⎩⎨⎧ m ＝1，n ≠－1或⎩⎨⎧m ＝－1，n ≠1答案 D解析根据两直线平行可得m1＝1m，所以m＝±1，又两直线不可重合，所以m＝1时，n≠－1；m＝－1时，n≠1.9．已知直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为________．答案3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0解析设l：3x＋4y＋m＝0，当y＝0得x＝－m3；当x＝0得y＝－m4.∵直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m3×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m4＝24，∴m＝±24.∴直线l的方程为3x＋4y±24＝0.10．经过点(2,1)，在x轴上的截距是－2的直线方程是________．答案x－4y＋2＝0解析由于直线经过(2,1)，(－2,0)两点，由两点式得y－01－0＝x＋22＋2，即x－4y＋2＝0.11．设直线l：(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－2m＋6＝0(m≠－1)根据下列条件分别确定m的值：(1)直线l在x轴上的截距为－3；(2)直线l的斜率为1.解(1)令y＝0得x＝2m－6m2－2m－3(m2－2m－3≠0)，由题知，2m－6m2－2m－3＝－3，解得m＝－53.(m＝3舍去)(2)∵直线l的斜率为k＝－m2－2m－3 2m2＋m－1，∴－m2－2m－32m2＋m－1＝1，解得m＝43.(m＝－1舍去)三、探究与创新12．求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0恒过定点，并求此定点坐标．证明 原方程可化为m (2x －y －1)－(x ＋3y －11)＝0.∵对任意m ∈R ，方程恒成立∴⎩⎨⎧ 2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝2.y ＝3.∴直线恒过定点(2,3)． 13．一河流同侧有两个村庄A 、B ，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A 、B 两村到河边的垂直距离分别为300 m 和700 m ，且两村相距500 m ，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？解 如图，以河流所在直线为x 轴，y 轴通过点A ，建立直角坐标系，则点A (0,300)，B (x,700)，设B 点在y 轴上的射影为H ，则x ＝|BH |＝AB 2－AH 2＝300，故点B (300,700)，设点A 关于x 轴的对称点A ′(0，－300)，则直线A ′B的斜率k ＝103，直线A ′B 的方程为y ＝103x －300.令y ＝0得x ＝90，得点P (90,0)，故水电站建在河边P (90,0)处电线用料最省．。
高中数学 2.1.2.2直线方程的两点式和一般式课件 北师
【规范解答】∵直线AB过A(-5,0)、B(3,-3)两点，
由两点式得:
y0 3 0
x 5 3 5 ,
整理得3x+8y+15=0.
∵直线BC过C(0,2)、B(3,-3)两点，
由两点式得： y 2 x 0 .
【规范解答】建立如图所示的平面直角坐标系,则线段AB的
方程为 x y 10 x 30.
30 20
设点P的坐标为(x,y),
则 y 20 2x .
3
∴公寓占地面积为
S=(100-x)(80-y)
100 x(80 20 2x ) 2 x2 10x 25 50 6 000
y2 y1 x2 x1
y y2 x x2 ,但不能写成 y y1 x x2 .
y1 y2 x1 x2
y2 y1 x1 x2
(3)在直线方程的两点式中,由于x1≠x2且y1≠y2,因此它不 能表示与两坐标轴垂直的直线: ①当x1=x2,y1≠y2时,直线方程为x-x1=0, ②当y1=y2,x1≠x2时,直线方程为y-y1=0. (4)两点式方程若变形为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),则此 方程不再受x1≠x2且y1≠y2的限制，可表示过(x1,y1), (x2,y2)的所有直线.
33
3
2 x 52 50 6 0000 x 30.
3
3
∴当x=5时,
Smax
6
000Βιβλιοθήκη 50 36
017，
此时点P的坐标为 (5, 50)，故以DC、DE为邻边，
直线的两点式与一般式方程
k,y轴上截距b
(x1,y1)(x2,y2)
x轴上截距a y轴上截距b
y=kx+b
y-y1 y2-y1
=
x-x1 x2-x1
x a
+
y b
=1
k存在 k存在
k存在,k≠0 k存在,k≠0 不过原点
特殊形式 y y x x 过点（x0 , y0）与x 轴垂直的直线可表示成
0，
过点（x0
,
y
）
0
不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线
练习 课本P97 2,3
补充练习
1.下 列 四 个 命 题 中 的真 命 题 是 (B )
A.经 过 定 点0P(x0,y0 )的 直 线 都 可 以 用
方 程 y y0 k(x x0 )表 示 ;
B.经 过 任 意 两 个 不 同P1(x1,y1),P2(x2,y2 )的 点 的 直 线
固 2、求经过点P(1,0),Q(0,1)的直线L3 方程;并求经过点P且与L3垂直的直线
L4方程? l3:y=-x+1 l4:y=x-1
例程1．.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方
解：设直线方程为：y=kx+b.
由已知得： 3kb 42 k b
解方程组得： k1 b2
解析:（1）当直线过原点时，该直线在 x 轴 y 轴上的截距都 为零，当然相等，此时a=2,方程为3x+y=0.
若 a 2，即l不过原点时，由于 l 在两坐标轴上的截距相等，
有 a - 2 a - 2 ，即 a+1=1, ∴a=0 , l 的方程为 x+y+2=0. a 1
∴ l 的方程为3x+y=0 或 x+y+2=0
直线的两点式方程直线的一般式方程
直线的两点式方程直线的一般式方程直线是平面几何中的基本元素之一，可以用各种不同的方程表示。
其中，最常用的两种方式是直线的两点式方程和直线的一般式方程。
1.直线的两点式方程：(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)在这个公式中，表示直线上任意一点的坐标为(x,y)。
通过运算化简，可以得到直线的两点式方程的另一种形式：(y₁-y₂)*x+(x₂-x₁)*y+(x₁*y₂-x₂*y₁)=0这就是直线的两点式方程，也叫做点斜式方程。
2.直线的一般式方程：直线的一般式方程是通过直线的斜率和截距来表示的。
斜率表示了直线在坐标平面上的倾斜程度，截距表示了直线与坐标轴的交点。
假设直线的斜率为m，截距为b。
那么直线的一般式方程可以写为：y = mx + b这就是直线的一般式方程。
直线的斜率通过两点式方程的公式可以求解：m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)而直线的截距b可以通过将已知点的坐标代入直线方程求解。
例如，已知点A(x₁,y₁)在直线上，我们可以将其代入直线方程，然后解出截距b 的值。
另外，一般式方程也可以变形为标准式方程。
标准式方程表示为Ax+By+C=0，其中A、B、C是常数。
可以通过对一般式方程进行整理和变形，将其转化为标准式方程。
总结：直线的两点式方程通过已知直线上的两个点来表示直线方程，可以求解出直线上任意一点的坐标。
直线的一般式方程通过斜率和截距来表示直线方程，可以清晰地表示直线的特征。
两种方程都可以用于求解直线与其他几何元素的交点、直线的长度等问题。
在解题过程中，根据实际情况选择使用哪种方程比较方便。
直线方程的两点式和一般式用
已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3, －3)，C(0,2)，求 BC边所在直线方程，以及该边上中线所在直线的方程。
y
C(0,2)
x
A(-5,0) M(xM，yM)
xB xC 3 xM 2 2 y yB y C 1 M 2 2
3 1 M , 2 2
中点
B(3,-3)
求过点P(1,2)，并且在两轴上的截距 相等的直线方程
解: ⑴ 两条
设 直线的方程为:
x y 1 a a
1 2 把(1,2)代入得： 1 a a
a=3 所以直线方程为：x+y-3=0
那还有一条呢？ y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
x x0 0或x x0
问题：
1.已知直线经过 A 2, 2 和B 2, 4 两点，如何求直线的方程?
B 2.如果是直线上任意两点 A x1, y1 ， x2 , y2 如何求直线的方程？ 两点式方程使用的范围是什么？
Q 3.已知直线过 P a,0 ， 0, b ，如何求直线的方程？
直线方程的两点式和一般式
复习1.点斜式方程来自y y0 k ( x x0 )
当知道斜率和一点坐标时用点斜式 2.斜截式方程
y kx b
当知道斜率k和截距b时用斜截式 3.特殊情况 ①直线和x轴平行时，倾斜角α=0°
y y0 0或y y0
②直线与x轴垂直时，倾斜角α=90°
小结
斜率和一点坐标
点斜式
y y0 k ( x x0 )
斜率k和截距b
直线的两点式方程、直线的一般式方程题型全归纳
直线的两点式方程、直线的一般式方程题型全归纳【知识梳理】1．直线的两点式与截距式方程2．(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．3．直线的一般式方程的定义我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．【常考题型】题型一、利用两点式求直线方程【例1】三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．【类题通法】求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．【对点训练】1．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.【例2】 直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程．(2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．【类题通法】用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．【对点训练】2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．【例3】(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？【类题通法】1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(3)若l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1=0(或A1C2－A2C1=0)．2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.【对点训练】3．(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．【练习反馈】1．直线x 3－y 4＝1在两坐标轴上的截距之和为( ) A ．1B ．－1C ．7D ．－72．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( )A.3x 4－y 2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1 D.x 43＋y －2＝1 3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________．4．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．5．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．参考答案【例1】由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0. 同理，直线BC 所在直线方程为：y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0.直线AC 所在直线方程为：y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.【对点训练】1．答案：(1)x ＝2 (2)－2【例2】[解] (1)设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b ＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧ a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.【对点训练】2．解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ，则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋y b＝1. ∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1，即b ＝2a a ＋2. ∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解； 当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y 1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 【例3】[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0.l 2：mx ＋3y －2＝0.①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3.法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，l 1与l 2不重合，l 1∥l 2，∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直． ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1. 综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.【对点训练】3．解：(1)法一：设直线l 的斜率为k ，∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34. 又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0. 法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11.∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.(2)法一：设直线l 的斜率为k .∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直，∴k ·(－2)＝－1，∴k ＝12. 又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0. 法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0.∵直线l 经过点A (2,1)，∴2－2×1＋m ＝0，∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.【练习反馈】1．解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1.2．解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋y b＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式． 3．解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y －25－2＝x －(－1)2－(－1)，整理得x －y ＋3＝0. 答案：x －y ＋3＝04．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝05．解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点，由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0. 整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0.又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点，由截距式得x 2＋y －5＝1， 整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.。
直线方程的五种形式
直线方程的五种形式直线方程一般式：Ax+By+C=0(A、B不同时为0)；点斜式：y-y0=k(x-x0)；截距式：x/a+y/b=1；斜截式：y=kx+b；两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)。
直线方程表达形式1：一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)【适用于所有直线】K=-A/B，b=-C/BA1/A2=B1/B2≠C1/C2←→两直线平行A1/A2=B1/B2=C1/C2←→两直线重合横截距a=-C/A纵截距b=-C/B2：点斜式:y-y0=k(x-x0)【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k，且过（x0,y0）的直线3：截距式:x/a+y/b=1【适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线】表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线4：斜截式:y=kx+b【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k且y轴截距为b的直线5：两点式:【适用于不垂直于x轴、y轴的直线】表示过（x1,y1）和(x2,y2)的直线(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)6：交点式:f1(x,y)*m+f2(x,y)=0【适用于任何直线】表示过直线f1(x,y)=0与直线f2(x,y)=0的交点的直线7：点平式:f(x,y)-f(x0,y0)=0【适用于任何直线】表示过点（x0,y0）且与直线f（x,y）=0平行的直线8：法线式：x·cosα+ysinα-p=0【适用于不平行于坐标轴的直线】过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度9：点向式：(x-x0)/u=(y-y0)/v(u≠0,v≠0)【适用于任何直线】表示过点(x0,y0)且方向向量为（u,v）的直线10：法向式：a（x-x0）+b（y-y0）=0【适用于任何直线】表示过点（x0，y0）且与向量（a，b）垂直的直线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．直线 x +6y+2=0 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是（ B ）
(A) 2, 1 3
(B) 2, 1 3
(C) 1 ,3 2
(D)－2，－3
2．直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（ C ）
（A）2x－3y＝0;
（B）x＋y＋5＝0;
（C）2x－3y＝0 或 x＋y＋5＝0 （D）x＋y＋5 或 x－y＋5＝0
3．直线 kx y 1 3k, 当 k 变动时，所有直线都通过定点（ C ）
（A）（0，0） （C）（3，1）
（B）（0，1） （D）（2，1）
1.直线方程的两点式 2.直线方程的截距式 3.直线方程的一般式
它可化为 kx y kx0 y0 0 的形式
过点 P(x0 , y0 ) 且垂直于 x 轴的直线方程为 x x0 ,
它可化为 x 0 y x0 0 . 均为 Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)的形式
平面直角坐标系中的任意一条直线都可以表示成
Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)的形式．
整理得 3x 2 y 2 0 ，这就是直线 BC 的方程．
例４．已知直线 l 的方程为 x 3 y 4 0 ． 求直线 l 的倾斜角． 解：直线l 的斜率 k 3 ，
3 设直线 l 的倾斜角为 ，则
tan 3 (0 180)
3
由于 k 0 ，所以 0 90 ，
故直线 l 的倾斜角为 30 ．
注意：
（１） 其中 a 为直线在 x 轴上的截距， b 为直
线在 y 轴上的截距；
（２）截距是坐标而不是距离，可正可负可为零．
平面直角坐标系中的任意一条直线都可以表示成
Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)的形式吗?
过点 P(x0 , y0 ) 与 x 轴不垂直的直线方程都可 写成点斜式形式 y y0 k (x x0 ) ,
直线方程的一般式
关于 x, y 的二元一次方程 Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)
表示是一条直线,我们把它叫作直线方程的一般式.
例 2.已知直线经过点 A(4, 3) ,斜率为 2 . 3
求直线的点斜式方 程,并化为一般式方 程.
解:由已知及点斜式方程得 y 3 2 (x 4) 3
任何关于 x, y 的二元一次方程 Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)
都可以表示平面直角坐标系中的一条直线吗?
当 B 0 时, y A x C , BB
它表示平面直角坐标系中一条不垂直于 x 轴的直线.
当 B 0 时,有 x C , A
它表示平面直角坐标系中一条与 x 轴垂直的直线.
这个方程称为直线方程的两点式．
例1． 求经过两点 P(a, 0), Q(0, b) 的直线 l 的方程 （其中 ab 0 ）．
解：因为直线 l 经过两点 P(a, 0), Q(0, b) ，
所以直线的两点式方程为
y0 xa b0 0a
整理得 x y 1 ab
截距式方程
x y 1 ab
截距式方程
化为一般式方程为 2x 3y 1 0 .
例 3.已知三角形三个顶点分别是 A(3, 0）,B(2, 2), C (0,1) ,
求这个三角形三边 各自所在直线的方程. 解:因为直线 AB 过 A(3, 0）,B(2, 2) 两点， 由两点式方程得 y 0 2 0 ， x (3) 2 (3)
直线方程的两点式
已知直线 l 上两点 A(x1, y1), B( 的方程呢？
由 A,B 两点的坐标算出直线的斜率
k y2 y1 ，
x2 x1
由点斜式方程得
y
y1
y2 x2
y1 x1
(x
x1 )
，
可化为 y y1 x x1 ． y2 y1 x2 x1
第2课时 直线方程的两点式和一般式
直线方程的点斜式和斜截式是什么？ 适用条件是什么？
点斜式方程: y-y0 = k(x-x0) 条件：k 是直线的斜率，(x0 ，y0 )是直线上的一个点
斜截式方程: y = k x +b 条件：k 是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距
两点确定一条直线！那么经过两个定点的直线的方程 能否用“公式”直接写出来呢？
整理得 2x 5 y 6 0 这就是直线 AB 的方程．
直线过两点 A, C ，由两点式方程得 y 0 1 0 x (3) 0 (3)
整理得 x 3y 3 0
这就是直线 AC 的方程．
直线 BC 的斜率是 k 1 (2) 3 ，过点 C(0,1) ， 02 2
由点斜式方程得 y a1 3 (x 0) ． 2