3.2.2 直线的两点式方程-数学必修2

当 x1 ≠ x 2时 ， k = y 2 − y1 x 2 − x1
取 P1 ( x1 , y1 ), 代 入 点 斜 式 方 程 得 ， y 2 − y1 y − y1 = ( x − x1 ) x 2 − x1
y1 ≠ y2时，化成比例式： 化成比例式：
y − y1 x − x1 = . y 2 − y1 x 2 − x1
1 (ab≠0)与两坐标轴围成的面积是 2 ab 与两坐标轴围成的面积是_____. (ab≠0)与两坐标轴围成的面积是_____.
4.过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条? 4.过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条? 并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条 解: ⑴ 两条
直线的两点式方程 经过直线上两点P 其中x 经过直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其中x1≠x2, 的直线方程叫做直线的两点式方程 简称两点式 两点式方程， 两点式. y1≠y2 ）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式.
y − y1 x − x1 = ( x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 ) y2 − y1 x2 − x1
x y 解： 由b = 5, 知a = −3，故直线方程为 + = 1； (1) −3 5 （2)由a = 5, 知b = 3或b = 7, x y x y 故直线方程为 + = 1, 或 + = 1. 5 3 5 7
各类方程的适用范围 直线方程名称 直线方程形式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 适用范围 不垂直x 不垂直x轴 不垂直x轴 不垂直x 不垂直两个坐标轴 不垂直两个坐标 轴且不经过原点
例3
求经过点P(求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的 P( 4)，
直线方程. 直线方程. 分析：截距均为0 分析：截距均为0时，设方程为y=kx, 设方程为y=kx, y 截距不为0 设截距式求解. 截距不为0，设截距式求解.
o
x
解：当截距均为0时，设方程为y=kx 当截距均为0 设方程为y=kx, y=kx
两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线. 两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线
特别地 直线l的方程是 当x1=x2时,直线 的方程是 x=x1; 当y1=y2时,直线 的方程是 y=y1 . 直线l的方程是
例1
轴的交点为A(a,0), A(a,0),与 已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为
例2
三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， BC边 三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，求BC边 A(
所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程. 所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.
y
. A
.
C
解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为： B(3,-3),C(0,2)两点式方程为： 两点式方程为
B(0,b)其中a≠0,b≠0,求这条直线 的方程. B(0,b)其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程. 其中a≠0,b≠0, 将A(a，0），B（0，b)代入两点式得： A(a， ），B b)代入两点式得： 代入两点式得 y l B(0,b) A(a,0) O x
y −0 x−a = b−0 0−a
4 把P(-5，4)代入上式得 k = − , ， 代入上式得 5 4 即直线方程为 y = − x. 5 x y 当截距均不为0时 当截距均不为 时，设直线方程为 + = 1, a a 把P(-5，4)代入上式得 a = −1. ， 代入上式得
直线方程为 − x − y = 1, 即 x + y + 1 = 0.
4 综上直线方程为 y = − x 或 x + y + 1 = 0. 5
1.下列四个命题中为真命题的是（ 1.下列四个命题中为真命题的是（ 下列四个命题中为真命题的是 B
）.
A.经过定点P0 (x 0 ,y 0 )的直线都可以用方程 y-y 0 =k(x-x 0 )表示; B.经过任意不同两点P1 (x1 ,y1 ),P2 (x 2 ,y 2 )的直线; 都可以用方程(y-y 1 )(x 2 -x1 )=(x-x1 )(y 2 -y1 )表示; x y C.不经过原点的直线都可以用方程 + =1表示; a b D.经过定点的直线都可以用y=kx+b表示.
x y 即 + = 1. a b
直线的截距式方程 直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做直线 直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定, 截距式方程. 方程的截距式方程 方程的截距式方程.
x y + = 1. a b
在x轴上 的截距 在y轴上 的截距
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线. 截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
设BC的中点为M ,则M 的坐标为（
3 + 0 −3 + 2 3 1 ， ），即（ ， ） − . 2 2 2 2
3 1 y−0 x+5 过 A ( − 5, 0), M （ ， ）的直线方程为 − = , 1 3 2 2 − −0 +5 2 2 整 理 得 x + 13 y + 5 = 0. 这 就 是 BC 边 上 的 中 线 所 在 的 直 线 的 方 程 .
O
Hale Waihona Puke Baidu
.M
.
x B 这就是BC边所在直线的方程. 这就是BC边所在直线的方程. BC边所在直线的方程
y−2 x−0 = −3 − 2 3 − 0 整理得，x + 3 y − 6 = 0. 5
中点坐标公式
以P x1，y1 ), P2 ( x2 , y2 )为端点的 （ 1 x1 + x2 y1 + y2 线段的中点坐标为（ , ). 2 2
∴ kl
5 − (− 5 = −2 − 3
)
= −2
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得 ）， = 代入点斜式， =－ y－(－5) =－2 x－ ( x－3 ).
思考2 设直线l经过两点 经过两点P ，（其中 思考2 设直线 经过两点 1(x1，y1)，P2(x2，y2)，（其中 ， ，（ x1≠x2，y1≠y2），你能写出直线l的点斜式方程吗？ 的点斜式方程吗？ 你能写出直线 的点斜式方程吗 ）
两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线. 两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线
x y 2.截距式方程 2.截距式方程 + =1 a b
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线. 截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线. 3.中点坐标公式 3.中点坐标公式 （
x1 + x2 y1 + y2 , ) 2 2
2.求经过下列两点的直线方程: 2.求经过下列两点的直线方程: 求经过下列两点的直线方程
(1) P (2， P2 (0， 3);(2) A(0， B(5，0). 1), − 5), 1
y −1 x − 2 y −5 x 解：（） 1 = （2） ; = . 4 2 −5 5
3.直线ax+by=1 3.直线ax+by=1 直线
3.2.2
直线的两点式方程
两点确定一条直线！ 两点确定一条直线！那么经过两个定点的直线的方程 能否用“公式”直接写出来呢？ 能否用“公式”直接写出来呢？
思考1 思考1
已知直线l过 已知直线 过A（3，-5）和B（-2，5），如何求直 ），如何求直
的方程. 线l的方程. 的方程 过点A 解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5） 直线 过点
(与 轴和y轴的截距都为0) y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
x y = 1, 当截距都不为0 设直线的方程为: 当截距都不为0时，设直线的方程为: + a a 1 2 + = 1, 代入得： 把(1,2)代入得： 代入得 a a 即：a=3.
所以直线方程为：x+y所以直线方程为：x+y-3=0.
5.根据下列条件，求直线的方程: 5.根据下列条件，求直线的方程: 根据下列条件 (1)过点（0,5），且在两坐标轴上的截距之和为2 (1)过点（0,5），且在两坐标轴上的截距之和为2； 过点 ），且在两坐标轴上的截距之和为 (2)过点（5,0），且在两坐标轴上的截距之差为2. (2)过点（5,0），且在两坐标轴上的截距之差为2. 过点 ），且在两坐标轴上的截距之差为
y − y0 = k ( x − x0 )
y = kx + b
y − y1 x − x1 = y2 − y1 x2 − x1
x y + =1 a b
y − y1 x − x1 = 1.直线的两点式方程 1.直线的两点式方程 y − y x − x ( x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 ) 2 1 2 1