直线的两点式方程-公开课课件
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直线的两点式方程(课件
使用范围
ax＋by＝1
斜率存在且不为 0，不过原点
三．线段的中点坐标公式 若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 P1P2 的中点，
x1 x2
y1 y2
则 x＝ 2 ，y＝ 2
．
思考 1： 过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？ 过点(2，3)，(5，3)的直线呢？ 不能，因为 1－1＝0，而 0 不能做分母．过点(2，3)，(5，3)的直 线也不能用两点式表示． 思考 2： 截距式方程能否表示过原点的直线？
二、经典例题
题型一 直线的两点式方程
例 1 如图，已知 A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2). ①求线段 AB 中点 D 的坐标； ②求△ABC 的边 AB 上的中线所在的直线方程.
解
①因为 A(1,2)，B(－1,4)，所以线段 AB 中点 D 的坐标为1＋
－1 2
，2＋2 4，
即 D(0,3).
2.2 直线的方程 2.2.2 直线的两点式方程
一、自主学习
一．直线的两点式方程
名称
已知条件
示意图
两点式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 其中 x1≠x2，y1≠y2
方程
使用范围
yy2－－yy11＝xx2－－xx11 斜率存在且
不为 0
二．直线的截距式方程
名称
已知条件
在 x，y 轴上的截距 截距式 分别为 a，b 且 a≠0，
三、当堂达标
1.(多选)下列说法正确的是( ) A.不经过原点的直线都可以表示为ax＋by＝1 B.若直线与两轴交点分别为 A、B 且 AB 的中点为(4,1)则直线 l 的方程为8x＋2y＝1 C.过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程为 y＝x 或 x＋y＝2 D.直线 3x－2y＝4 的截距式方程为4x＋－y2＝1
ax＋by＝1
斜率存在且不为 0，不过原点
三．线段的中点坐标公式 若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 P1P2 的中点，
x1 x2
y1 y2
则 x＝ 2 ，y＝ 2
．
思考 1： 过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？ 过点(2，3)，(5，3)的直线呢？ 不能，因为 1－1＝0，而 0 不能做分母．过点(2，3)，(5，3)的直 线也不能用两点式表示． 思考 2： 截距式方程能否表示过原点的直线？
二、经典例题
题型一 直线的两点式方程
例 1 如图，已知 A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2). ①求线段 AB 中点 D 的坐标； ②求△ABC 的边 AB 上的中线所在的直线方程.
解
①因为 A(1,2)，B(－1,4)，所以线段 AB 中点 D 的坐标为1＋
－1 2
，2＋2 4，
即 D(0,3).
2.2 直线的方程 2.2.2 直线的两点式方程
一、自主学习
一．直线的两点式方程
名称
已知条件
示意图
两点式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 其中 x1≠x2，y1≠y2
方程
使用范围
yy2－－yy11＝xx2－－xx11 斜率存在且
不为 0
二．直线的截距式方程
名称
已知条件
在 x，y 轴上的截距 截距式 分别为 a，b 且 a≠0，
三、当堂达标
1.(多选)下列说法正确的是( ) A.不经过原点的直线都可以表示为ax＋by＝1 B.若直线与两轴交点分别为 A、B 且 AB 的中点为(4,1)则直线 l 的方程为8x＋2y＝1 C.过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程为 y＝x 或 x＋y＝2 D.直线 3x－2y＝4 的截距式方程为4x＋－y2＝1
直线的两点式方程 课件
M2(0,y).因为M是线段AB的中点,所以点M1和点M2分别是A1B1和
A2B2的中点,即A1M1=M1B1,A2M2=M2B2.所以x-x1=x2-x,y-y1=y2-y,
即
1 +2
1 +2
x=,y=.222.填空:若点 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段 P1P2 的中
例1已知条件不变,求:
(1)AC边所在的直线方程;
(2)AC边上中线所在的直线方程.
-0
1-0
解:(1)由两点式方程,得
=
-(-4)
,
-2-(-4)
化简得 x-2y+4=0.
(2)由中点坐标公式得 AC 边的中点 E -3,
-(-3)
的方程为1
2-(-3)
=
-0
,
-3-0
化简得 7x+6y+18=0.
(x-x1).因为 y1≠y2,所以方程两边同除以 y2-y1,得
-1
2 -1
=
2.从直线的两点式方程的形式上看,两点式方程适合求什么样的
直线的方程?
提示:两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程.
3.填空:直线的两点式方程
名称
两
点
式
已知条件
P1(x1,y1),
P2(x2,y2),
其中 x1≠x2,
综上所述,直线 l 的方程为 x+2y=0 或 x+y-1=0.
防范措施当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互
为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m(m>0)倍”
等条件时,若采用截距式求直线方程,则一定要注意考虑“零截距”的
A2B2的中点,即A1M1=M1B1,A2M2=M2B2.所以x-x1=x2-x,y-y1=y2-y,
即
1 +2
1 +2
x=,y=.222.填空:若点 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段 P1P2 的中
例1已知条件不变,求:
(1)AC边所在的直线方程;
(2)AC边上中线所在的直线方程.
-0
1-0
解:(1)由两点式方程,得
=
-(-4)
,
-2-(-4)
化简得 x-2y+4=0.
(2)由中点坐标公式得 AC 边的中点 E -3,
-(-3)
的方程为1
2-(-3)
=
-0
,
-3-0
化简得 7x+6y+18=0.
(x-x1).因为 y1≠y2,所以方程两边同除以 y2-y1,得
-1
2 -1
=
2.从直线的两点式方程的形式上看,两点式方程适合求什么样的
直线的方程?
提示:两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程.
3.填空:直线的两点式方程
名称
两
点
式
已知条件
P1(x1,y1),
P2(x2,y2),
其中 x1≠x2,
综上所述,直线 l 的方程为 x+2y=0 或 x+y-1=0.
防范措施当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互
为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m(m>0)倍”
等条件时,若采用截距式求直线方程,则一定要注意考虑“零截距”的
02教学课件_2.2.2 直线的两点式方程(共25张PPT)
可以确定一条直线。
这样，在直角坐标系中，给定一个点p0(x0,y0)和斜率k,可得出直线方程。
若给定直线上两点p1(x1,y1)p2(x2,y2),你能否得出直线的方程呢?
探究新知
1．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义
y－y1 x－x1
＝
y
－y
x2－x1
2
1
__________________就是经过两点
点的坐标还有限制条件吗?
答案:这个方程对两点的坐标没有限制,即它可以表示过任意两点的直线方程.
2.已知直线l过点A(3,1),B(2,0),则直线l的方程为
y-1
x-3
解析:由两点式,得0-1 = 2-3,化简得 x-y-2=0.
答案:x-y-2=0
.
二、直线的截距式方程
点睛：直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程
2
S 取最大值为-3×152+20×15+54 000=54 150(m2).
因此点 P 距 AE 15 m,距 BC 50 m 时所开发的面积最大,
最大面积为 54 150 m2.
归纳总结 二次函数最值问题,一方面要看顶点位置,另一方面还要看定义域的范围.结
合图形求解,有时并非在顶点处取得最值.
当堂检测
不垂直于x、y轴的直线
点P1 ( x1，y1 )和点P2 ( x2，y2 )
y1 y2 x1 x2
在x轴上的截距 a
在y轴上的截距 b
x y
1
a b
不垂直于x、y轴的直线
不过原点的直线
课堂小结
课堂小结：
－3
)
《直线的两点式方程》课件
02
直线的两点式方程与斜率的关系
斜率的定义
斜率
直线在平面坐标系中与x轴正方向 之间的夹角的正切值，表示直线 相对于x轴的倾斜程度。
斜率公式
$m = frac{y2 - y1}{x2 - x1}$， 其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上 的两个点。
斜率的计算方法
通过两点坐标计算斜率
已知直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，利用斜率公式计算斜率m。
斜率m是两点式方程中分母的倒数，当分母为0时，斜率不存在，表示直线垂直 于x轴。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
03
直线的两点式方程与截距的关系
截距的定义
01
截距是直线与y轴交点的纵坐标， 表示为a。
02
截距是直线与x轴交点的横坐标， 表示为b。
截距的计算方法
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
04
直线的两点式方程的实际应用
在几何图形中的应用
01
02
03
确定图形形状
通过两点式方程，可以确 定直线的斜率，从而判断 两条直线的位置关系，如 平行、垂直或相交等。
计算距离和角度
利用两点式方程，可以计 算两点之间的距离和直线 与坐标轴之间的夹角。
通过切线角度计算斜率பைடு நூலகம்
已知直线与x轴的夹角θ，利用三角函 数计算斜率m = tan(θ)。
斜率与两点式方程的关系
两点式方程
通过直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，可以得出直线的两点式方程为$frac{y - y1}{y2 - y1} = frac{x - x1}{x2 - x1}$。
直线的两点式方程与斜率的关系
斜率的定义
斜率
直线在平面坐标系中与x轴正方向 之间的夹角的正切值，表示直线 相对于x轴的倾斜程度。
斜率公式
$m = frac{y2 - y1}{x2 - x1}$， 其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上 的两个点。
斜率的计算方法
通过两点坐标计算斜率
已知直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，利用斜率公式计算斜率m。
斜率m是两点式方程中分母的倒数，当分母为0时，斜率不存在，表示直线垂直 于x轴。
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03
直线的两点式方程与截距的关系
截距的定义
01
截距是直线与y轴交点的纵坐标， 表示为a。
02
截距是直线与x轴交点的横坐标， 表示为b。
截距的计算方法
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04
直线的两点式方程的实际应用
在几何图形中的应用
01
02
03
确定图形形状
通过两点式方程，可以确 定直线的斜率，从而判断 两条直线的位置关系，如 平行、垂直或相交等。
计算距离和角度
利用两点式方程，可以计 算两点之间的距离和直线 与坐标轴之间的夹角。
通过切线角度计算斜率பைடு நூலகம்
已知直线与x轴的夹角θ，利用三角函 数计算斜率m = tan(θ)。
斜率与两点式方程的关系
两点式方程
通过直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，可以得出直线的两点式方程为$frac{y - y1}{y2 - y1} = frac{x - x1}{x2 - x1}$。
2.2.2直线的两点式方程课件(人教版)
− 进行变形？
−
−
=
− −
≠ 且 ≠
−
−
=
−
就是经过两点 , ， , (其中 ≠ ，
−
≠ ）的直线的方程.
把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.
5
2
2
整理可得x 13 y 5 0,
这就是边BC 上中线AM 所在直线的方程.
知识小结
课堂总结
直线方程
常数的几何意义
斜率不
存在
斜率为 过原
点
0
, 、
,
−
−
是直线上两点
（ ≠ ， ≠ ）的坐标
×
×
√
截距式方程
a b
0 5
截距之和为2, 1, a b 2, 解得a 3, b 5.
a b
x y
所以所求直线的方程为 1, 即5 x 3 y 15 0.
3 5
3.根据下列条件, 求直线的方程
(1)过点(0, 5), 且在两坐标轴上的截距之和为2;
(2)过点(5, 0), 且在两坐标轴上的截距之差为2.
() (，)， , − ;
y 1 x 2
(1)
;
3 1 0 2
() (，)， ,
y5 x0
(2)
.
05 50
探究二：直线的截距式方程
例3 如图，已知直线与轴的交点为(，)，与轴的交点为(，)，
其中 ≠ ， ≠ . 求直线的方程.
这就是边BC 所在直线的方程 .
例4 已知△ABC的三个顶点A( 5, 0), B(3, 3), C (0, 2), 求边BC 所在直线
2.2.2直线的两点式方程 课件(共20张PPT)
所以所求直线方程为： + − 3 = 0或 = 2.
(，0)
Байду номын сангаас
例2 ⑴ 过点(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?并求其方程．
(2) 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条? 并求其方程．
解：三条
①当直线的两截距相等过原点时， = 2
②当直线的两截距相等不过原点时， + − 3 = 0
典例剖析
例3 三角形的顶点分别是(−5,0), (3, −3), (0,2)，求边所在直线的方程，以及该边上
中线所在直线的方程.
变式1 求边上的垂直平分线所在直线的方程.
：5 + 3 − 6 = 0 = −
=
1
3
M ,
2
2
+
（1）在轴上的截距为2，在轴上的截距是3；
由截距式得：
x y
1
2 3
整理得：3x 2 y 6
0
（2）在轴上的截距为-5，在轴上的截距是6；
由截距式得：
x
y
1
5 6
整理得： 6 x 5 y 30 0
典例剖析
例2 ⑴ 过点(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?并求其方程．
斜截式
斜率, 在轴上的纵截距
y kx b
斜
率
必
须
存
在
斜率不存在时，
直线方程为：x x0
思考：已知直线上两点1(1, 1), 2(2, 2)（其中1 ≠ 2, 1 ≠ 2 ），如何求出通过这两点的
直线的两点式方程 课件
1．已知 A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中， (1)求 BC 边的方程； (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程．
解析：(1)∵BC 边过两点 B(5，－4)，C(0，－2)， ∴由两点式得－y－2－－－4 4＝x0－ －55， 即 2x＋5y＋10＝0. 故 BC 边的方程为 2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
解得ab11＝＝43，，
a2＝152， b2＝92，
所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0
或 15x＋8y－36＝0.
(2)设直线 l 的方程为ax＋by＝1(a>0，b>0)， 由题意知，ab＝12，34a＋b2＝1， 消去 b，得 a2－6a＋8＝0， 解得ab11＝＝43，， ab22＝ ＝26， ， 所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0 或 3x＋y－6＝0.
[错因与防范] 本题易误认为截距是正值导致漏解．直线 y＝kx＋b 在 y 轴上的截距是直线与 y 轴交点的纵坐标，不是直线与 y 轴的交点到原点 的距离，截距的值可能是正数，也可能是零或者负数．
用截距式方程解决问题的优点及注意事项： (1)由截距式方程可直接确定直线与 x 轴和 y 轴的交点的坐标，因此用截 距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题 时，经常使用截距式． (3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时， 两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中 要注意分类讨论．
探究二 利用截距式求直线方程
[典例 2] (1)过点 A(1,2)，且在 x 轴上的截距和在 y 轴上的纵截距相等 的直线方程是____________． [解析] 分两种情形：若直线过原点，则方程为 y＝2x；若直线不过原 点，则可设直线的方程为ax＋ya＝1，将(1,2)代入，得 a＝3，则直线的方 程为 x＋y＝3. [答案] x＋y＝3 或 y＝2x
直线的方程- 直线的两点式方程 课件(共48张PPT)(2024)人教A版高中数学选择性必修一
=
−0
，即
3−0
2
3
= .
课中探究
［素养小结］
（1）由两点式求直线方程的步骤：
①设出直线所经过的两点的坐标;
②根据题中的条件，列出相关方程，解出点的坐标;
③由直线的两点式写出直线方程.
（2）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式
方程的适用条件（两点的连线不平行于坐标轴），若满足，则考虑用两点式求
（1）已知直线过两点1 1 , 1 ,2 2 , 2 ，则直线一定存在两点式方程.( × )
[解析]
−1
直线的两点式方程是
2 −1
=
−1
，只有当1
2 −1
≠ 2 且1 ≠ 2 时，才存在
两点式方程.
（2）经过两点1 1 , 1 ,2 2 , 2 1 ≠ 2 , 1 ≠ 2 的直线方程可以是
探究点一 利用两点式求直线方程
例1
在△ 中，已知 −3,2 ， 5, −4 ， 0, −2 .
（1）求边所在直线的方程；
解：因为边所在的直线过两点 5, −4 ， 0, −2 ，所以边所在直线的方
− −4
程为
−2− −4
=
−5
，即2
0−5
+ 5 + 10 = 0.
+ =1
−0
−
点 , 0 , 0, 的坐标代入两点式，得
=
,即__________.此方程由直线
−0
0−
在两条坐标轴上的截距与确定，我们把此方程叫作直线的截距式方程，简称
截距式.
课前预习
【诊断分析】判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
② 请同学们研究交流直线方程两点式的结 构并记忆.
练习1：分别求过以下两点的直线的方程。
（1）A（-3,2），B（5,2）； （2） A (0,5) ， B（-3,0）； （3）A (-5, 2) ， B（3,2）； （4）A (-2,5) ， B（-2,3）； 总结直线方程的两点式的使用条件。
练习2：已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴
的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条 直线l的方程.
y
x a
y b
1
lB
说明(1)直线与x轴的交点(a,0) O 的横坐标a叫做直线在x轴的截距， 此时直线在y轴的截距是b;
A
x
(2)这个方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫
做直线方程的截距式方程;
(3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
3.2.2 直线的两点式方程
问题1
1. 上一节课我们学习了直线方程的哪些形式？ 点斜式方程是由哪些特征量确定的?它是怎 样推导的？
2. 已知直线上的一点和直线的斜率(倾斜角) 可以确定一条直线,除此之外,还可以有其它 条件确定一条直线吗?
3、已知直线 l 过A（3，-5）和B（-2，5）， 求直线 l 的方程
4.已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) （其中x1≠x2, y1≠y2 ），如何求出通过这两
点的直线方程呢？
请同学们独立完成推导过程,并研究交流
直线l 的方程表示成什么形式更美观易记.
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
( x1
x2 ,
y1
y2 )
①这个方程是由直线上两点确定的，请你 给它取个直观的名字？
练习3：
（1）课本第97页练习的第2题； （2）求过点P（2，3）且在两轴上
的截距相等的直线方程。
练习4：三角形的顶点是A(-5,0),B(3,3),C(0,2)，
求: (1) 这个三角形三边所在的直线的方程;
(2) BC边上中线所在的直线的方程。
y
.C
.
A
.M
O
x
.
B
提高练习：
求经过点P（4，3），且在x轴上截 距是y轴上截距的2倍的直线的方程；
三、小结
（1）本节课我们学过哪些知识点? （2）直线方程的两点式、截距式的形
式特点和适用范围是什么？ （3）注意转化及分类讨论的数学思想
的应用； （4）体会由特殊到一般及由一般到特
殊的认识事物的一0页A组第3、4、8题,B组第1题。 2．提高练习：
已知直线在y轴上的截距为 - 4，且它与坐标轴 围成的三角形面积为4，求直线 l 的方程。
练习1：分别求过以下两点的直线的方程。
（1）A（-3,2），B（5,2）； （2） A (0,5) ， B（-3,0）； （3）A (-5, 2) ， B（3,2）； （4）A (-2,5) ， B（-2,3）； 总结直线方程的两点式的使用条件。
练习2：已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴
的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条 直线l的方程.
y
x a
y b
1
lB
说明(1)直线与x轴的交点(a,0) O 的横坐标a叫做直线在x轴的截距， 此时直线在y轴的截距是b;
A
x
(2)这个方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫
做直线方程的截距式方程;
(3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
3.2.2 直线的两点式方程
问题1
1. 上一节课我们学习了直线方程的哪些形式？ 点斜式方程是由哪些特征量确定的?它是怎 样推导的？
2. 已知直线上的一点和直线的斜率(倾斜角) 可以确定一条直线,除此之外,还可以有其它 条件确定一条直线吗?
3、已知直线 l 过A（3，-5）和B（-2，5）， 求直线 l 的方程
4.已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) （其中x1≠x2, y1≠y2 ），如何求出通过这两
点的直线方程呢？
请同学们独立完成推导过程,并研究交流
直线l 的方程表示成什么形式更美观易记.
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
( x1
x2 ,
y1
y2 )
①这个方程是由直线上两点确定的，请你 给它取个直观的名字？
练习3：
（1）课本第97页练习的第2题； （2）求过点P（2，3）且在两轴上
的截距相等的直线方程。
练习4：三角形的顶点是A(-5,0),B(3,3),C(0,2)，
求: (1) 这个三角形三边所在的直线的方程;
(2) BC边上中线所在的直线的方程。
y
.C
.
A
.M
O
x
.
B
提高练习：
求经过点P（4，3），且在x轴上截 距是y轴上截距的2倍的直线的方程；
三、小结
（1）本节课我们学过哪些知识点? （2）直线方程的两点式、截距式的形
式特点和适用范围是什么？ （3）注意转化及分类讨论的数学思想
的应用； （4）体会由特殊到一般及由一般到特
殊的认识事物的一0页A组第3、4、8题,B组第1题。 2．提高练习：
已知直线在y轴上的截距为 - 4，且它与坐标轴 围成的三角形面积为4，求直线 l 的方程。