不等式证明论文完整版
摘要
在中学数学的教学中，不等式的证明始终是一个难点，也占有重要的地位，是数学中不可缺少的工具之一。关于不等式的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性，从而不等式证明的教学在发展学生的数学思维，培养逻辑思维能力方面也发挥着重要的作用。就其知识范围而言，涉及到代数、三角、几何等各个初等数学领域，有较强的综合性和多样性。由于许多初等数学中的问题往往蕴含着数学中较高层次理论和再实践的问题。为解决高等数学与初等数学的脱节现象，有意将高等数学的原理和方法应用于一些初等数学的证明与计算。不仅可以开拓学生的视野，而且可以使学生体会用高等数学的原理和方法解决初等数学问题时居高临下，驾轻熟驭的感觉。因此，本文着眼于不同角度，应用不同的知识,从三个方面:1.不等式证明的基本方法；2.不等式证明的特殊方法；3.利用高等数学证明不等式的方法对若干例题的讲解，初步概括一些证明不等式的若干方法。
关键词:不等式；初等数学；证明方法
Abstract
The inequality proof has always been a difficult point in mathematics teaching in middle school. However, it also plays an important role, and is an indispensable mathematical tool in mathematics teaching. As for the method, there are many fliexiblity and skills and have no fixed principle to obey. Therefore, the inequality proof takes an important part in the development of the students’mathematical thinking, and logical thinking. A rage of knowledge including algebra, trigonometry, geometry and every area of primary mathematics, there is a strong integrated and diversity. Because many elementary mathematics problems often contains a higher level mathematics, theory and more practice problems. In order to solve the problem that higher mathematic alienated from the middle-mathmaticals. This paper will apply the principles methods of mathematics to some elementary mathematical proof and Calculation purposely. Doing like this: Not only to enlarge students’ range of knowledge, but also enable students to realize that using the principles of advanced Mathematics to solve Elementary Math problems just like doing a familiar job with ease. Therefore, this paper will use a variety of knowledge such as: 1 Inequality out the basic method; 2.Inequality out special methods; 3. Using advanced mathematics from different aspects to analysis some example to gain some methods of the inequality proof.
Key words: Inequality; Elementary Math; Methods of proof
目录
摘要............................................................... I Abstract ........................................................... I I 引言. (1)
1 不等式证明的基本方法 (1)
1.1 综合法 (1)
1.2 分析法 (2)
1.3 比较法 (3)
1.4 反证法 (4)
1.5 数学归纳法 (4)
1.6 放缩法 (5)
2 不等式证明的特殊方法 (6)
2.1 换元法 (6)
2.1.1 代数换元法 (6)
2.1.2 三角换元法 (7)
2.2 参数法 (7)
2.3 面积法 (9)
2.4 化整法 (9)
2.5 通项公式法 (10)
3 利用高等数学证明不等式的方法 (10)
3.1 函数单调性法 (11)
3.2 函数图形的凹凸性进行证明法 (11)
3.3 拉格朗日中值定理法 (12)
3.4 柯西中值定理法 (12)
3.5 函数的极值和最值法 (13)
3.6 泰勒公式法 (14)
4 结语 (15)
参考文献 (16)
谢辞 (17)
咸阳师范学院2010届本科毕业论文（设计）
引言
数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 东欧国家有一个较大的研究群体, 特别是原南斯拉夫国家。目前, 数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达，对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家。在 1882年 -1928 年数学不等式理论的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,而且应该给出等号成立的证明。于1934年以来, 数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论。
本文应用不同的知识从三个方面：1.不等式明的基本方法；2.不等式明的特殊方法；3.利用高等数学证明不等式的方法综合对若干例题的讲解,初步概括一些证明不等式的若干方法。
1 不等式证明的基本方法
不等式证明的一般方法有综合法、分析法、反证法、数学归纳法等[1]。
1.1 综合法
利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：123AB B B …n B B ，即从已知A 逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B 。
例1 设()()f x ax bx c a =++≠20，若()f 01≤，()f 11≤，()f －11≤, 试证明：对于任意-≤≤11x ，有()f x ≤54
. 分析 要研究这个二次函数的性质，最好的办法是能够确定其解析式．
本题中，所给条件并不足以确定参数c b a ,,的值，但应该注意到：所要求的结论也不是()x f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以()f 01≤，()f 11≤和()f －11≤当成两个独立条件，先用()()0,1f f -和()1f 来表示c b a ,,.
因为 ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1,
所以 ()()()()0)),1()1((2
1),0211(21f c f f b f f f a =--=--+=,
不等式证明的若干方法
()()()()()
222102121x f x x f x x f x f -+???? ??--+???? ??+=. 当11≤≤-x 时，2
x x ≥，
所以，根据绝对值不等式的性质可得 2222x x x x +≤+，2
222x x x x -=-，2211x x -=-. 所以
()()()()222102
121x f x x f x x f x f -?+-?-++?≤ 22212
2x x x x x -+-++≤ )1(22222x x x x x -+???
? ?
?-+???? ??+≤ .4545)21(1
22≤+--=++-=x x x 综上，问题获证.
用好绝对值不等式及其等号成立的条件，常常可以简化问题，避免讨论。用到了均值不等式的知识，一定要注意的是何时等号才成立。
1.2 分析法
当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB 的逻辑关系为：123BB B B …n B A ，书写的模式是：为了证明命题B 成立，只需证明命题1B 为真，从而有…，这只需证明2B 为真，从而又有…，……这只需证明A 为真，而已知A 为真，故B 必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。
例 2 已知:.1a b >,01c <<, 且lg a +lg b 1=，求证:log a c +log b c ≤4lg c . 证明 欲证log a c +log b c ≤4lg c ,
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只需证b
c a c lg lg lg lg +≤4lg c , 因为01c <<,故lg 0c >.
所以只需证lg 0a >, lg 0b >.
只需证lg a +lg b 4lg lg a b ≥.
由已知lg a +lg b 1=,
所以只需证4lg lg 1a b ≤. 而lg 0a >,lg 0b >.
故4lg lg a b ≤2(lg lg )a b +1=.
故原不等式成立。
1.3 比较法
比较两个式子的大小，求差或求商（与0或1的大小关系）是最基本最常用的方法。
例3 如果用a kg 白糖制出b kg 糖溶液，则糖的质量分为
b a ，若在上述溶液 中再添加m kg 白糖，此时糖的质量分数增加到m
b m a ++将这个事实抽象为数学问 题，并给出证明。
解 可以把上述事实抽象为如下不等式问题：
已知都是正数，并且b a ≠，求证：
b a m b m a >++ 证明 )
()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ 因为,,a b m 都是正数，并且a b <，
所以
0b m +>,0b a -<，0)
()(>+-m b b a b m 即 b
a m
b m a >++. 比较法是证明不等式的基本思路。
不等式证明的若干方法
1.4 反证法
假设不成立，但是不成立时，又无法解出本题，于是成立。即有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B ，先假设A≤B，由题设及它的性质，推出矛盾，从而肯定A>B 。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。
例4 已知锐角α,β满足βαsin cos +αβsin cos =2，求证α+β＝2
π. 证明 假设α+β＞
2π，则α＞2π-β，β＞2π-α, 因为α，β，
2π-α，2π-β∈(0，2
π), 所以 cos α＜cos (
2π-β)＝sin β, cos β＜cos (
2π-α)= sin α, 从而2=cos sin αβ+cos sin βα＜ββsin sin +α
αsin sin =2矛盾. 故 α+β≤2π，同理α+β≥2
π， 得 α+β=
2π. 1.5 数学归纳法
应用数学归纳法(证明某些与正整数n 有关的命题时常常采用的方法)证明命 题的步骤：
（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值0n *0()n N ∈时命题成立；
（2）（归纳递推）假设当n k =*0(,)k n k N ≥∈时命题成立，
（3）证明当1n k =+时命题也成立；
根据（1），（2）和（3）可知命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立．
例 5 证明11123
+++…12n n +<*()n N ∈ 分析 此题为与自然数有关的命题，故可考虑用数学归纳法证明。
证明 ①1=n 时，不等式的左边=1，右边=2，显然1<2，
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所以，1=n 时命题成立。
②假设()N k k n ∈=时命题成立，
即 11123
+++…12k k +< 则当1+=k n 时， 左端11123=+++…111k k +++1
12++ 由于 12+k ???? ? ?++-112k k =() 1 112+--+k k k 1112+-++=k k k 01 1112=+-+++>k k k . 所以，112++k k 12+ 1.6 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的[2]。 例 6 证明 11123 +++…12n n +<*()n N ∈. 证明 法1 因为122 22 1 -+<+==k k k k k k )1(2--=k k 即 )1(21-- 所以 11123 +++…1n +<22(21)+-2(32)+-+ …2(1)n n +--2n = 所以 11123 +++…12n n +<*()n N ∈ 法2（构造法、函数法） 设 ()2f n n =-(11123 +++…1n +) 因为 )()1(k f k f -+ =11[21(123k +-+++…1)]1k ++-11[2(123k -+++…1)]k + 11 212+--+=k k k 不等式证明的若干方法 1)1(212++-+= k k k k 1)1(2 +-+=k k k 0>)(*N n ∈， 所以)(n f 是N 是的增函数， )(n f ≥01)1(>=f ， 11123 +++…12n n +<*()n N ∈. 从上述证法可以看出：其中用到了1+ 11+k 和 k k ++12之间的转化，也即()k k -+12和11+k 之间的转化，这就提示我 们，本题可以直接利用这一关系进行放缩。 2 不等式证明的特殊方法 不等式的证明除了基本的方法外，本文拟从不等式证明的特殊性，归纳一些特殊的证明方法。如换元法、参数法、面积法、化整法、通项公式法。 2.1 换元法 通过对所证不等式添设辅助元素，使原来的未知量(或变量)变换成新的未知量(或变量)，从而更容易达到证明的目的。此种方法证明不等式一般采取以下步骤: 〈1〉认真分析不等式,合理换元； 〈2〉证明换元后的不等式； 〈3〉得证后,得出原不等式成立。 换元法可分为两大类[3]。 2.1.1 代数换元法 在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c 等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简[4]。 例 1 求证:33333323333<-++ 分析 由于根指数为3，若采取两边三次方的办法，中间运算较繁。根据不等式左边的特点，考虑公式))((2233b ab a b a b a +++=+，不妨设a =3333+，b=3333-于是只需证3)(b a +<24即可。 证明 设a =3333+,b=3333-， 咸阳师范学院2010届本科毕业论文（设计） 可见0,0>>b a 并且633=+b a ,a>b, 又有 ab b a 222>+, 故 22b ab a ab +-<. 以0>+b a 乘此不等式两边得 ))(()(22b a b ab a b a ab ++-<+, 故33)(b a b a ab +<+, 即)(3)(333b a b a ab +<+, 对上式两边均加上33b a + 即 24)(4)(33333=+<+++b a b a ab b a , 即 24)(3<+b a , 所以 332<+b a . 即原不等式成立。 2.1.2 三角换元法 多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题。 例2 已知1,1,,2222=+=+∈y x b a R b a 且,求证1≤+by ax . 分析 由已知112222=+=+y x b a 及可想到三角公式1cos sin 22=+αα 故可产生换元[5]。 证明 由已知可设ββααcos ,sin ,cos ,sin ====y x b a , 则代入求证不等式中 1)cos(cos cos sin sin ≤-=?+?=+βαβαβαby ax . 即所证不等式成立。 可见对于冗长而复杂的不等式用代数法换元，可以使问题变得明显简单。对于含有根式或带有绝对值符号的不等式，可用三角法换元，同样可以将难化易。 2.2 参数法 有些不等式的证明，可以通过引入参数，将问题化成对参数的讨论，从而达到证明的目的。 不等式证明的若干方法 例 5 已知),,(1R z y x z y x ∈=++，求证3 1222≥++z y x . 分析 由已知条件入手，可分别引入单参数、双参数、三参数解决问题。 证明 法1(单参数法) 由已知1x y z ++=， 故01=-++z y x 222x y z ++222(1)x y z t x y z =+++++- =221()4x tx t ++221()4y ty t +++221()4z tz t +++234 t t -- 22223()()()2224 t t t x y z t t =+++++-- 234 t t ≥--. 而234t t --最大值为13 , 故有3 1222≥++Z y x 成立。 法2(双参数法) 令t s y t s x -=+=,, 则 12=+s z . 222 x y z ++13- 2222(2)()()3z s s t s t z +=++-+- 2222422333 s sz z t =-++ 2 22()23 s z t -=+0≥. 所以 3 1222≥++z y x . 法3(三参数法) 设 δβα+=+=+=3 1,31,31z y x 且0=++δβα. 222x y z ++222111()()()333 αβδ=+++++ 咸阳师范学院2010届本科毕业论文（设计） 22212()33 αβγαβδ=++++++ =22213αβδ+++13 ≥.成立。 2.3 面积法 将某些不等式证明化为求面积的问题，能够更加明显简单[6]。 例6 求证 如果2 021π<< BC BD ABC ABD S S =ABD ACD ABD S S S += 1ACD ABD S S =+1AED ABD S S >+扇扇 221211()2112 x x AD x AD -=+ 图1 2111x x x -=+21 x x =. 故所证不等式成立。 2.4 化整法 在一类分式不等式的证明中，若把分式分裂成整数（或整式）部分和分式部分，并使几个分式的整数部分相等。这样不等式的证明就转化为剩余部分分式的大小比较，而后者比前者简单多了[7]。 例 8 若0a b ≥≥,求证11a b a b ≥++. 分析 左右两边均可写成两部分：1a a +=111a -++， 1b b +=1+11b -+. 不等式证明的若干方法 而0a b ≥≥，则1111a b ≤++故可证明。 证明 0a b ≥≥=> 1111a b ≤++ =>1a a +=111a -++≥1+11b -+=1b b +. 即所证不等式成立。 2.5 通项公式法 型如123...()n n x x x x s ++++≤>型不等式，可将n s 视为数列{n a }的前几项 和，而' n s =123...n x x x x ++++,即' n s 为数列{}n x 的前几项和。则即' n s ()n s ≤>，应 用n a = n s -1n s -求出n a 去与n x 比较，若有n x ()≤>n a 则有' ()n n s s ≤>[8]。 例 5 求证： 111...2122n n +++>+-. 分析 这是不等式属典型通项公式法证明。 证明 左边是数列1{}n 的前几项和， 设左边的和为' n s ,右边为n s ， 当2n ≥时 1n n n a s s -=-(212)(22)n n =+--- 2(1)n n =+- 2211n x n n n n n =<==+++. 即有n n a x <成立，再有当1n =时 1112222121 a s x ==-=<=+也适合上式 从而有' n n s s >,即原不等式成立。 3 利用高等数学证明不等式的方法 在讲授高等数学过程中，如何将高等数学的原理和方法运用于初等数学，如何将解决高等数学与中学数学脱节的现象，是高等院校在数学教学中需要探讨解决的问题之一。有许多不等式在数学研究中有着重要的作用。但用初等数 咸阳师范学院2010届本科毕业论文（设计） 学知识证明一些不等式比较困难，下面利用高等数学的原理和方法，就不等式的证明给出几种证法。 3.1 函数单调性法 利用函数单调性证明不等式是数学分析中最常用的一种方法。其理论依据是函数单调性的定义。在证题中常要用到结论：若函数f 在(,)a b 内可导，'()f x 0>且'()f x 0<，则在内严格递增（递减）。 例 1 已知,m n 都是正整数，且1m n <<.证明不等式(1)n m +>(1)m n + 分析 原不等式等价于ln(1)m m +>ln(1)n n +相当于函数()f x =ln(1)x x +满足 ()()f m f n >,于是只需证明()f x 在区间[2,)+∞上是减函数即可。 证明 原不等式等价于 ln(1)m m +>ln(1)n n + 取函数()f x = ln(1)x x +(2)x ≥ 则'1()(1)f x x x =+2ln(1)x x +- 2(1)ln(1)(1) x x x x x -++=+ <2(1)ln(1)x x x x -++ 0<(2)x ≥. 所以()f x 在[2,)+∞上是减函数，从而结论成立。 3.2 函数图形的凹凸性进行证明法 函数的凹凸性证明方法首要是找到辅助函数()f x ，利用函数 ()f x 在所给 区间[,]a b 的二阶导数确定函数的凹凸性。 "()0f x > 函数为凹函数,则()()2( )2a b f a f b f ++>， "()0f x < 函数为凸函数,则()()2( )2 a b f a f b f ++<， 从而证明出结论。 例 2 试证:ln ln x x y y +>()x y +ln 2x y +,(x>0,y>0,x≠y). 证明 令()ln f t t t =(0)t >,'()ln 1f t t =+,"()1(0)f t t =>, 故()ln f t t t =在(,)x y 或(,)y x ,0,0x y >>是凹函数， 不等式证明的若干方法 于是［()()f x f y +］>2f ( 2x y +), 即12［()()f x f y +］>2x y +ln 2 x y +, 即ln ln x x y y +()x y >+ln 2 x y +. 类似的如：证明22 x y x y e e e ++>,()x y ≠. 3.3 拉格朗日中值定理法 定理 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续；在开区间(,)a b 内可导，则在 (,)a b 内至少一点ξ使得()()f b f a -'()()f b a ξ=-. 例 3 证明 当1x >-且0x ≠时成立不等式1x x + +或ln(1)x +1x α =+α在0和x 之间。 当0x <时，由0111x α<+<+<，可推知 1x x +<1x α+ 1x x +<1x α+ 定理[9] 设 )(x f 、)(x g 满足 (i) 在区间 ],[b a 上连续， (ii) 在 ),(b a 内可导， (iii))(,)(x g x f ''不同时为零， (iv))()(a g b g ≠， 则至少存在一点),(b a ∈ξ使得''()()()()()() f b f a f g b g a g ξξ-=-. 例 4 设 ,02a e x y π ><<<证明：(cos cos )ln y x x a a x y a a ->-. 咸阳师范学院2010届本科毕业论文（设计） 分析 原不等式可等价于ln cos cos y x x a a a a y x -<--不等式左边可看成是函数(),()cos t f t a g t t ==在区间[,]x y (0)2x y π <<<上的改变量的商,故可用柯西中 值定理证明之[10]。 证明 原不等式等价于ln cos cos y x x a a a a y x -<--， 取(),()cos t f t a g t t ==, 显然()f t 和()g t 在区间[,]x y (0)2x y π <<<上满足柯西中值定理条件， 于是存在(,)x y ξ∈，使得''()()f g ξξ=()()()() f y f x g y g x --， 即ln sin cos cos y x a a a a y x ξξ-=--. 因为a e >，02x y πξ<<<< ， 所以x a a ξ<， 11sin ξ>，ln 1a >, 从而 ln ln ln sin x a a a a a a ξξξ<<或ln ln sin x a a a a ξξ ->-, 因此ln cos cos y x x a a a a y x -<--. 即(cos cos )ln y x x a a x y a a ->-. 3.5 函数的极值和最值法 极值的定义 设()y f x =在0x 某一邻域内有定义,如果对于该邻域内异于0x 的 任意点x 都有: (1)0()()f x f x <,则称0()f x 为()f x 的极大值, 0x 称为()f x 的极大值点; (2)0()()f x f x >,则称为0()f x 为()f x 的极小值, 0x 称()f x 为的极小值点;极大值,极小值统称为极值;极大值点,极小值点统称为极值点. 设()f x 在(,)a b 上连续，则()f x 在(,)a b 上必有最值。 求最值的方法：①求'()f x ②求出()f x 在[,]a b 内的所有驻点和不可导点i x (1,2,)i =…n 不等式证明的若干方法 ③求()f a ,()f b ,()i f x ,其中最大（小）的即为()f x 在[,] a b 上的最大（小）值。 例 5 求证：若p 1>，则对[0，1]上任意x 有 11(1)12p p p x x -≤+-≤ 证明 取函数()(1)p p f x x x =+-，(01),x ≤≤ 则有'()f x =11(1)p p px p x ----=11[(1)]p p p x x ---- 令'()f x =0，1p x -=1(1)p x --， 解得驻点12x = 由于()f x 在闭区间[0，1]上连续，因而()f x 在[0，1]上取得最大值和最小 值，又()f x 在[0，1]上可导，并且(0)f =(1)1f =， 111()22 p f -=. 所以()f x 在[0,1]上最小值是 112p -，最大值是1. 从而对[0,1]上的任意x 有 112p -()1f x ≤≤ 即11 (1)12p p p x x -≤+-≤,(01)x ≤≤. 3.6 利用泰勒公式法 泰勒公式沟通了函数与高阶导数之间的关系，如果问题涉及到函数和高阶导数，就可以考虑用泰勒公式。用泰勒公式证明不等式时，常需将函数f 按某些特点展成泰勒公式，通过分析余项在ξ点的性质，而推出不等式[11]。 例 6 若函数f 满足： （1）在[,]a b 上具有二阶可导函数， （2）且满足条件''()()0f a f b == ， 则在区间(,)a b 内至少存在一点ξ 使得'2()()()()4f f b f a b a ξ-≤ - ，所以f 在[,]a b 的一阶泰勒公式成立。 f 在点a 和b 分别展成泰勒公式有 ''21()()()()()(),2!f f x f a f a x a x a ξ=+-+-1a x ξ<<， （1） '' 222()()()()()(),2!f f x f b f b x b x b b x ξξ=+-+-<<， （2） 咸阳师范学院2010届本科毕业论文（设计） 取2 a b x +=，且由''()()0f a f b ==有''211()()()()()(),222!22 f a b a b a b a b f f a f a a a a ξξ++++=+-+-<<， （3） ''222()()()()()(),222!22 f a b a b a b a b f f b f b b b b ξξ++++=+-+-<< ， （4） （4）-（3）式并取绝对值得 ''2211()()()()()8f b f a f f b a ξξ-=--≤''2121[()()]()8 f f b a ξξ+-， 取'()f ξ=''12max{(),()}f f ξξ有a b ξ<<，''12()()f f ξξ+≤2'()f ξ， 于是()()f b f a -≤'22() ()8f b a ξ-. 即'2() ()()()4f f b f a b a ξ-≤-，a b ξ<<. 因这里ξ与x 有关，可将其记为ξ(x)，那么当令x 分别取0和1时，对应的ξ可分别用1ξ和2ξ表示。 4 结 语 不等式是高等数学中经常遇到而又比较困难的问题之一。众所周知， 不等式的讨论在高等数学中起着重要的作用，由于不等式是讨论数量大小的，而这种数量或函数之间大小关系的比较能更广泛地显示出变量之间相互制约的关系，从而进一步研究、估计函数变化状态的趋势。高等数学主要是用极限概念来解决问题。而极限概念是用不等式定义的，它是描述某一序列或函数在变化的过程中“某一时刻”以后，“无限接近”，“无限增加”或“摇摆不定”等情况，这用某些具体的量相等的关系是无法描述的，只有用不等式才能反映“某一时刻”以后函数的变化状态。即不等式教学在高等数学教学中有着重要的地位。本文总结出若干种比较常用的不等式证明的方法，至于其它证明方法有待于大家去进一步的探索和发现。 不等式证明的若干方法 参考文献 [1]闻厚贵.不等式的证法[M].北京:北京师范学院出版社,1987. [2]陈署清.不等式放缩中的“跨度”问题[J].中学数学杂志,2002. [3]俞马寅.不等式证明新方法[J].中学数学文摘,1985(6)28. [4]余元希，田万海，毛宏德.初等代数研究[M].北京:高等教育出版社,1983. [5]刘建.一个有价值的三角不等式[J]. 湖北:中学数学,1994（3）. [6]陈邦菊.直角三角形与面积关系的解题捷径[J].CZSFD数学,2007. [7]周美秀，杨志杰.不等式的证明[J].伊犁:伊犁教育学院学报,2004. [8]严镇军.不等式[M].北京:人民教育出版社,1990. [9]郭煜,张帆.不等式证明的常见方法[J].高等函授学报，2007,21(4):34-38. [10]华东师范大学数学系编.数学分析上册[M].北京:高等教育出版社,2003. [11]华东师范大学数学系编.数学分析下册[M].北京:高等教育出版社,2003:169 [12]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社,1993. [13]同济大学应用数学系编.高等数学（第五版）[M].高等教育出版社，2001. [14]华罗庚.高等数学引论[M].北京:科学出版社,1981. [15]赵树嫄.微积分[M].中国人民大学出版社,1991. [16]吴启斌.不等式证明及推广[J].咸阳师范学院学报,2005（6）. [17]安振平.“希望杯”赛题思考[J]. 数理天地.高中版,2007.（8）. 关于用微积分理论证明不等式的方法 学校代码专业代码本科毕业论文(设计) 题目:关于用微积分理论证明不等式的方法 学院: 专业: 学号: 姓名: 指导教师: 年 5月 13日 填写说明 一、毕业论文(设计)须用70克A4纸计算机双面打印,具体打印格式参见教务处主页《山西财经大学普通全日制本科毕业论文(设计)写作指南》。 二、毕业论文(设计)必须按规定的要求进行装订。 1、装订顺序 封面 学术承诺 目录 中文摘要、关键词 英文摘要、英文关键词 正文 参考文献 附录(可选) 致谢 山西财经大学本科毕业论文(设计)指导教师评定表 山西财经大学本科毕业论文(设计)答辩成绩与总成绩评定表 2、装订。由学生自主装订。装订线在左侧。 3、理工科毕业设计的软件要以光盘的形式附在论文的后面(装入小袋,封口),不要单独保存,不能丢失。 4、如果毕业论文(设计)因专业特殊,无法打印的部分可以手写或手绘,但需保持页面整洁,布局合理。 毕业论文(设计)学术承诺 本人郑重承诺:所呈交的毕业论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不存在抄袭情况,论文中不包含其他人已经发表的研究成果,也不包含他人或其他教学机构取得研究成果。 作者签名:日期: 毕业论文(设计)使用授权的说明 本人了解并遵守山西财经大学有关保留、使用毕业论文的规定。 即:学校有权保留、向国家有关部门送交毕业论文的复印件,允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 (保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名:指导教师签名: 日期:日期: 目录 中文摘要Ⅰ 英文摘要Ⅱ 第一章用微积分理论证明不等式常见的几种方法 1 第一节用可导函数的单调性证明不等式法 1 第二节利用函数的最大值或最小值证明不等式法 2 第三节用拉格朗日中值定理证明不等式法 3 第四节用柯西中值定理证明不等式法 4 第五节上述几种方法小结 6 第二章用微积分理论证明不等式其他几种方法7 第一节用导数定义证明不等式法7 第二节用函数的凹凸性证明不等式8 第三节用泰勒公式证明不等式法9 第四节用幂级数展开式证明不等式法10 不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+ 证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词：不等式，公式法，构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. （*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12- 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 不等式的证明方法 摘要 不等式的形式与结构多种多样，其证明方法繁多，技巧性强，也没有通法，所以研究范围极广，难度极大．目前国内外研究者已给出很多不等式的证明方法，已有文献分别就不等式的性质、各种证明方法及应用作了论述．论文以现有研究成果为基础，整理和归纳了常用的不等式证明方法，包括构造几何图形、构造复数、构造定比分点、构造主元、构造概率模型、构造方差模型、构造数列、构造向量、构造函数、代数换元、三角换元、放缩法、数学归纳法，让每一种方法兼具理论与实践性．旨在使学生对不等式证明问题有一个较为深入的了解，进而在解决相关不等式证明问题时能融会贯通、举一反三，达到事半功倍的效果，同时为从事教育的工作者提供参考． 关键词：不等式；证明；方法 Methods for Proving Inequality Abstract：The form of structure of inequality is diversity, and the proving methods of it are various which requires lots of skills, and there is no common way, so it is a extremely difficult study. Researchers have been given a lot of inequality proof methods at home and abroad, the existing literature, respectively, the nature of inequality, certificate of various methods and application are discussed. The paper on the basis of existing research results and summarizes the commonly used methods of inequality proof, including structural geometry, structure complex, the score point, tectonic principal component, structure, tectonic sequence probability model, structure of variance model, vector construction, constructor, algebra in yuan, triangle in yuan, zoom method, mathematical induction, making every kind of method with both theory and practice. The aim is to make the student have a more thorough understanding on the inequality problems , and in solving the problem of relative inequality proof can digest the lines, to achieve twice the result with half the effort, at the same time provide a reference for engaged in education workers. Key words: inequality; proof; method 数学分析中不等式证明方法论文 毕业论文(设计)开题报告 题目:数学分析中不等式证明方法 1 目录 摘要((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((3 英文摘要((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((4 第1章不等式的定义及研究背景(((((((((((((((((((((((((5 1.1不等式的定义((((((((((((((((((((((((((((((((((((5 1.2不等式的研究背景(((((((((((((((((((((((((((((((((5 第2章数学分析中不等式的证明方法与举例(((((((((((((((6 2.1?构造变上限积分函数(((((((((((((((((((((((((((((((6 2.2?利用拉格朗日中值定理进行证明(((((((((((((((((((((((((7 2.3?利用微分中值定理证明积分不等式((((((((((((((((((((((((8 2.4?积分中值定理解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((((9 2.5?利用泰勒公式证明不等式((((((((((((((((((((((((((((((((10 2.6?用函数的极值进行证明(((((((((((((((((((((((((((((((((12 2.7?用函数凹凸性进行不等式的证明((((((((((((((((((((((((((13 2.8利用函数单调性解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((13 2.9利用条件极值求解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((14 2.10利用两边夹法则证明不等式(((((((((((((((((((((((((((((15 第3章不等式证明方法的归纳总结(((((((((((((((((((((17 第4章论文的结论与展望(((((((((((((((((((((((((((((((18 致谢 高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.360docs.net/doc/a57733992.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.360docs.net/doc/a57733992.html,) 原文地址： https://www.360docs.net/doc/a57733992.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公 高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要：不等式是中学数学的重要知识，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目都有所出现，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字：不等式；数学归纳法；均值；柯西不等式 一、比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈，求证：224224x y x y ++≥+. 证明： 224224x y x y ++-- ＝2221441x x y y -++-+ ＝22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥， 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知：a ＞b ＞c ＞0, 求证：222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++??. 证明：222a b c b c a c b c a b c a b c +++????＝222a b c b a c c b c a b c ------?? ＞222a b c b a c c b c c c c ------?? ＝0c ＝1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??＞1 ∴222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明： 960+>> 5456<成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱写，从而加强针对性，较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2 a b a b +++≥ 证明：∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥ 集宁师范学院本科生毕业设计（论文、创作）题目申报表 设计（论文） 导数在不等式证明中的应用 题目 题目类型其它题目来源指导教师出题面向专业数学教育类 指导教师何晓霞职称副教授学位无从事专业大学数学教学 题目简介： 导数知识是数学中极其重要的部分，它的内容，思想和应用贯穿于整个数学的教学之中，是初等数学和高等数学中的一项重要内容。利用导数证明不等式是一种行之有效的好方法，它能使不等式的证明化难为易，迎刃而解。在不等式证明的种种方法中，它占有重要的一席之地，具有较强的灵活性和技巧性。掌握导数在不等式中的证明方法和技巧对学好高等数学有很大帮助。 审核意见： 审核人签名： 年月日系（院）意见： 系（院）主任（院长）签名： 年月日 题目类型－－1、为结合科研；2、为结合生产实际；3、为结合大学生科研训练计划； 4、为结合学科竞赛； 5、模拟仿真； 6、其它 题目来源－－A.指导教师出题； B.学生自定、自拟 论文 题目 导数在不等式证明中的应用 年级四专业数学与应用数学学生 姓名 学号 主要内容： 利用导数的定义证明不等式 利用中值定理证明不等式 利用函数的单调性证明不等式 利用导数的几何意义证明不等式 利用函数的最值性(极值性）证明不等式 利用泰勒公式证明不等式 利用函数的凹凸性证明不等式 利用Jensen不等式证明不等式 利用导数的不等性证明不等式 利用偏导数证明不等式 主要任务及基本要求（包括指定的参考资料）： [1]华东师范大学.数学分析[M].高等教育出版社(下册) .156.293(上册) [2]扈志明,韩云端. 高微积分教程[M]. 北京:清华大学出版社, 1998 [3]刘晓玲.不等式证明中辅助函数的构造一[J] .邯郸师专学报,2000 [4]朱士信.唐烁.宁荣健编.高等数学[M]上册.中国电力出版社,2007 [5]周晓农.导数在不等式证明中的应用[J].金筑大学学报2000.03 [6]陈秋华.也谈利用凸函数证明初等不等式[J].高等数学研究2009 [7]马德炎.常见的代数不等式的证明[J].高等数学研究2009 [8]陶伟.高等数学习题集[M].北京国家行政学院出版社2001 [9]曾捷.数学分析同步辅导及习题全解[M].中国矿业大学出版社2006 [10]李旭金.导数在不等式中的应用[J].新作文(教育教学研究),2011,(第11期). 发出任务书日期：完成期限： 指导教师签名：专业主任签名： 年月日 不等式的证明方法 麦盖提县库尔玛乡中学 买合木提·买买提 2012年12月30日 2 不等式的证明方法 不等式的证明方是中学数学的难点和重点，证明不等式的途径是利用不等式的性质进行代数变形，经常用到的证明不等式的主要方法有基本法 如：比较法，综合法，分析法。其他方法：如反证法，放缩法，数学归纳法，涣元法，构造法和判别式法等。 1．证明不等式的基本方法 1．1比较法 比较法是证明不等式的方法之一，比较法除了比差法之外，还有比商法，它们的解题依据及步具步骤如下： 比差法。主要依据是实数的运算性质与大小顺序关系。即 ， 0,0,0a b a b a b a b a b a b ->?>- 欲证a b >只需证 1a b > 欲证a b <只需证1a b < 基本解题步骤是：作商——变形——判断。（与1的大小） 例1． 求证： 222(2)5a b a b +≥-- 2 2 2 2 4254250a b a b a b a b +≥--=>+-++≥ 2 2 (44)(21)0a a b b -++++≥ 3 2,1a b ==-时等号成立。 所以222(2)5a b a b +≥--成立。 例2． 已知,a b R +∈求证a b b a a b a b ≥ 证： ,a b R +∈ 又 ()a b a b b a a b a a b b -=∴()1a b b a a b a a b a b b -≥?≥ （1）当a b >时， 1a b >，0a b ->所以()1a b a b -> （2）当a b <时01,a a b o b < <-<所以()1a b a b -> （3）当a b =时不等式取等号。 所以（1），（2），（3）知，不等式a b b a a b a b ≥成立。 1.2．综合法 综合法就是从已知式已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推出，欲证的不等式，通过一系列已确定的命题（包含不等式的性质，已掌握的重要不等式）逐步推演，从而得到所要求证的不等式成立，这种方法叫做综合法。 几个重要不等式：2222()0,(),2,(,a b a b a b ab a b ->≠+≥ 为实数） /2(0,0),//2,(,a b a b a b b a a b +≥ >>+≥同号） /3a b c ++≥a b c ==成立） 例3．已知 a b ≠ 且 ,a b R +∈ 求证： 3322 a b a b ab +>+ 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以 不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾． 证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理 在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+< 湖北大学 本科毕业论文（设计）开题报告 题目高中数学不等式的证明方法 姓名梁艳平学号2011221104110067 专业年级2011级数学与应用数学 指导教师付应雄职称副教授 2015年03月03日 本课题的研究目的及意义 现实世界中的量有相等关系，也有不等关系，凡是与比较量的大小有关的问题，都要用到不等式的知识。不等式在解决最优化、最优控制、经济等各类实际问题中有广泛的应用，它是学习和研究现代科学和技术的一个基本工具。 不等式在中学数学中占有重要地位，在历年高考中颇为重视。由于不等式的形式各异，所以证明方法灵活、技巧多样，因此不等式的证明也是中学数学的难点之一。 为了突破难点，我认为有必要对一些常见的证明方法和典型例题进行一些思考、研究和总结。 已了解的本课题国内外研究现状。 不等式的证明方法在国内外的研究都趋于高深、复杂、多方向化。 不等式的证明方法也大多用于竞赛和考察数学素养。 本课题的研究内容 本课题主要研究不等式一些常见的证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，构造法和判别式法等。 本课题研究的实施方案、进度安排。 首先通过查阅国内外相关文献资料对不等式的证明方法做一个全面的了解，并了解学生对于不等式的证明方法的掌握程度与思考方式，其次，对于每种方法要举出一个典型的例子来帮助读者理解。 2015年1月——2014年2月：搜集、分析资料，确定题目； 2015年3月初：开题报告； 2015年3月初——3月底：撰写论文初稿；3月31日前提交纸质版初稿； 2015年4月中旬前：修改论文，定稿：外文翻译； 2015年4月底：论文答辩。 已查阅的主要参考文献 [1]胡汉明.不等式证明问题的思考方法.数学通讯.2004（11）. [2]韩京俊.初等不等式的证明方法.哈尔滨工业大学出版社. [3]严镇军.不等式.人民教育出版社. [4]王胜林.卫赛民.证明不等式的几种特殊方法，数学通讯. 昭通学院 学生毕业论文 论文题目证明不等式的几种方法 姓名 学号 201103010128 学院数学与统计学院 专业数学教育 指导教师 2014年3月6日 证明不等式的几种方法 摘 要：证明不等式就是要推出这个不等式对其中所有允许值都成立或推出数值不等式成立。本文主要归纳了几种不等式证明的常用方法。 关键词：不等式; 证明; 方法 1.引言 在定义域中恒成立的不等式叫做恒不等式，确认一个不等式为恒不等式的过程为对该不等式进行证明。证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒不等式进行合乎逻辑的等价变换。主要方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、归纳法、放缩法、构造法、导数法、均值不等式性质证明不等式等方法。 2.不等式证明的常用方法 2.1 比较法 比较法是直接作出所证不等式，两边的差（或商）然后推演出结论的方法。具体地说欲证B A >)(B A <,直接将差式B A -与0比较大小；或若当+∈R B A ,时，直接将商式 B A 与1比较大小[]1。 差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“若0≥-b a ,则b a ≥;若0≤-b a ,则 b a ≤.”其一般步骤为： 1.作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体。 2.变形：把不等式两边的差进行变形，或变形成一个常数，或为若干个因式的积，或一个或几个平方和。其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的方法。 3.判断：根据已知条件与上述变形结果判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求不等式成立的结论。 应用范围：当被证的不等式两端是多项式，对于分式或对数式时，一般使用差值比较法。 商值比较法的理论依据是：“∈b a ,+R ，若b a 1≥则b a ≥;若b a 1≤则b a ≤.”其一 般步骤为： 1.作商：将左右两端作商。 2.变形：化简商式到最简形式。 不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。 1．不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1：若0< B ．a b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<->-b a 。 由b a -< -11，b a 11>，∴（A ）成立。 由0<< b a ，||||b a >，∴（C ）成立。 由0>->-b a ，2 2 )()(b a ->-，2 2b a >，∴（D ）成立。 ∵0<->-a b a ， )(11b a a --<-，b a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。 例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<c ，在2 2c b c a >两边同乘以2 c ，不等式方向不变。∴b a >。 （3）错误。b a b a 1 1，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。 2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232 >-+x x 与0432 >-+x x （2）13 8112++ >++ x x x 与82>x （3）35 7354-+>-+x x x 与74>x （4） 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 （2）482>?>x x ，44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。 不等式证明的基本方法 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020 绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量， 使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证： 思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一： 柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong （数学之家） 本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥: 一些大家都知道的条件我就不写了 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出： 8444844)()(: 4422)()(abcdefgh efgh abcd h g f e d c b a abcd abcd cd ab d c b a d c b a ≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时： 这样的步骤重复n 次之后将会得到 n n n x x x x x x n 2 221221 (2) ...≥ +++ 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++= =====++......;,...,2122111 由这个不等式有 n n n n n n n n n n A x x x A x x x A n nA A 2 121 212 221)..(..2 )2(- -=≥ -+= 即得到 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子： 例1： 1 1 12101(1,2,...,)11(...)n i i i n n n a i n a a a a =<<=≥ --∑ 若证明 例2： 1 1 1211(1,2,...,)1 1(...)n i i i n n n r i n r r r r =≥=≥ ++∑ 若证明 这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法： 给出例1的证明： 12121 2 212 2 123 4 211(1)2(1)(1) 11,(1)(2)2(1) 22(1)2(1)2211111111n a a a a a a p a q a q p p q p q pq q p q q q p q a a a a =+ ≥ ?- --≥----=+= ?--≥-+?-+≥?+≥+?≥+ + + ≥+ ----≥ 当时设，而这是元均值不等式因此此过程进行下去 因2 1 1 2 1221 1212221 12 2 1 1 2 11(...)...(...)112 2 (2) 1111() 111n n n n n n n n i i n n n n n n n n n i i n n i i a a a a a a a a a a G n a G G G G n a G =++-==≥ --=====+-≥ = ----≥ --∑ ∑ ∑ 此令有即 例3： 1 115,,,,1(1),,111,,11( )( ) 1 1 n n i i i i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i i i i i i i n r s t u v i n R r S s n n T t U u V v n n n r s t u v R ST U V r s t u v R ST U V =>≤≤== = = = ++≥--∑∑∑∑∑∏ 已知个实数都记，求证下述不等式成立： 要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式关于用微积分理论证明不等式的方法
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