实变函数论课后答案第二章

实变函数论课后答案第二章4

第二章第四节习题

1. 证明全体有理数所构成的集合不是G δ集，即不能表成可数多个开集的交. 证明：设1R 上全体有理数为{}123,,,,n r r r r Q =L L .

则一个{}n r 作为单点集是闭集，所以{}1i i Q r ∞

==U 是F δ集，但要证Q 不是G δ集，则不容易.

这里用到：Baire 定理，设n

E R ⊂是

F δ集，即1

k k E F ∞

==U .

k F ()1,2,k =L 是闭集，若每个k F 皆无内点，则E 也无内点

（最后再证之）

反证设{};1,2,i Q r i ==L 为G δ集，即1i i Q G ∞

==I ，（i G 为开集，1,2,i =L

）

1R 上的单调函数的全体所组成的集合的势为c =ℵ.

证明：任取1

R 上的单调函数f ，则其间断点至多可数个，设其无理数的间断点，为

12,,,,m x x x L L （可为有限）

设1

R 中的有理数为{}12,,,,,n Q r r r f =∀∈

L L d 令 ()()()()()()()()(){}21111,,,,,,,,i i i i f x f x r f r x f x r f r R ϕ=⊂L L .

则()f ϕ为2

R 中可数集.

若,f g ∈d ，使()()f g ϕϕ=，则()()

(),i i x f x f ϕ∀∈存在°°()()(),j j x g x g ϕ∈

使()()

°°()(),,i i j j x f x x g x =

所以°()°()

,i j i j

x x f x g x ==， 从而()(),i i i x Q f r g r ∀∈=.

f ∀的无理数间断点i x ，i x 也是

g 的无理数间断点，且()()i i g x f x =.

反过来也是的，g ∀的无理间断点，i x 也是f ，的无理数间断点，且()()i i g x f x =. 故()()f g ϕϕ=表明f 与g 在有理点重合，无理间断点相同，且在无理间断点的值. 所以f g =于1

R ，所以ϕ是11-的.

利用下面结论：Claim ：任何其有连续势的集合的全体可数子集所构成的族的势为连续势. 知：c ≤d .

另一方面()(){}

,0,1c c f x x c c ==+∈≤d 证毕.

Lemma :设为,X Y 两集合，:X Y ϕ→是一个满射，则Y X ≤.即存在X 的一个子集

,A A Y :.

证明：因为ϕ为满射，()(){}

1,;,y Y y x x X x y ϕϕ-∀∈=∈=≠∅ 且,,y z Y y z ∈≠时必有()()1

1y z ϕϕ--=∅I .

令(){}1

;y y Y ϕ-Γ=

∈，则由选择公理存在一个集合X ，它由Γ中每一个集合()1

y ϕ-中

恰取一个元素而形成，显°

°,X X a X ⊂∀∈，存在唯一一个y Y ∈，使()1a y ϕ-∈. 所以°

X 与Y 是对等的，故Y X ≤. 证毕.

选择公理：若Γ是由互不相交的一些非空集合所形成的集合族，则存在集合X ，它由该族的每一个集合中恰取一个元素而形成.

2. 证明[]0,1上全体无理数所作成的集合不是F δ集.

证明：设[]0,1上全体无理数所作成的集合是¡，则[]0,1Q =-¡，（Q 为1

R 上全体有理数

的集合）

若¡为F δ集，则存在闭集,1,2,i F i =L 使1

i i F ∞==

.

所以

[]10,1c

c i i Q

F ∞

===为G δ集.

[][]{}{}11

0,10,1i k i k Q F r ∞∞==⎛⎫

=

= ⎪⎝⎭

，{}k r ，i F 为闭集，{}k r 无内点.

1

i i F ∞==U ?显为内点.

所以i F 无内点.

这说明[]0,1无内点（Baire 定理）得矛盾. 证毕.

3. 证明不可能有在[]0,1上定义的在有理点处都连续，在无理点处都不连续的实函数.

证明：若存在这样的[]0,1上的实函数，它在有理点都连续，在无理点都不连续.

()f x 的全体不连续点的集合为[]0,1上的全体无理数为¡，由本章第二节习题10结论知 ¡为F δ集，这于本节习题2的结论：¡不是F δ集矛盾.

故不存在这样的[]0,1上的函数.

4. 证明1R 中全体开集构成一基数为c 的集合，从而1R 中全体闭集也构成一基数为c 的集

合.

证明：对任意的1R 上开集合，由开集的构造定理，存在{}{}1,,,i i R αβαβ∞∞∈∞-∞U U 使得()()()1,,,i i i G αββα∞

∞∞==-∞+∞U U U .

下面建立1

R 上的开集到全体实数列集成的集合的一个映射I . 若1

G R =，令()()0,0,,0,I G =L L .

若1

G R ≠，则()()()1

,,,m

i i i G αββα∞∞==-∞+∞U U U .

令()()

1122,,,,,,I G k k αβαβ∞∞=L .

这里k β∞∞=，若,0k β∞∞≠-∞=；若,k βα∞∞∞=-∞=；若,0k α∞∞≠+∞=；若α∞=+∞则这个映射I 是单射.

若1

12,G G R ⊂()

1212,G R G R ≠≠且()()12I G I G =.

()()()

()()()

11''''21

,,,,,,i i i i i i G G αββααββα∞

∞∞=∞

∞∞==-∞+∞=-∞+∞U U U U U U

则''''

,,,i i i i ααββααββ∞∞∞∞====.

故12G G =.

又若()()0,0,0,I G =L L 则必有1

G R =（否则()I G 至少有一个分量不等于零）.

故I 是单射，所以1

R 上全体开集所作成的集合的势c ≤. 令一方面，()1

,,1a R a a ∀∈+是一开集，

令1

1

:I

R R %a 上全体开集之集合，