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二次函数知识点归纳及相关典型题

第一部分基础知识

1..

2.

（1.

（2.

.

（3

3.二次函数.

4.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

.

7.顶点决定抛物线的位置.

只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1

（2，对称轴是直线

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.

（1.

（2.

.

（3.

0：

; .

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1. （2已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3

12.直线与抛物线的交点

（1

（2

（3

两个实数根.

.

（4

同（3）一样可能有0个交点、

1个交点、2个交点.当有2

.

（5

）一次函图

二次函

图交点，由方程组

; ②方程组只有一组解时

.

（6）

第二部分典型习题

１.抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是（ D ）

A.（2，－2）

B.（1，－2）

C.（1，－3）

D.（－1，－3）

２. C ）

Ａ．ab＞0，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0 Ｄ．ab＜0，c＜0

第２,３题图 第4题图

３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2

的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0

４.如图，已知中，BC=8，BC 上的高

，D 为BC 上一点，，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、

B ），设E 到B

C 的距离为，则

的面积

关于

的函数的图象大致为（ Ｄ ）

2482,484

EF x

EF x y x x -=?=-∴=-+ ５.抛物线322

--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．

6.已知二次函数11)(2k 2

－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22

＝－

＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤2

2114k x x k

＋－＝，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．

7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102

.

（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P

（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过

C .

解：

（1

将

代入，得.顶点坐标为

，由题意得

（2

8.有一个运算装置，当输入值为x

x

,

相应的输出值分别为

（1）求此二次函数的解析式；

（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,

.

解：（1

故所求的解析式为

（2)函数图象如图所示.

9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：

⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．

解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的

体温是上升的

它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃

⑶()221024216

12

≤≤++-

=x x x y 10.已知抛物线4)33

4(2

+++=x a ax y 与x 轴交于A 、

B 两点，与y 轴交于点

C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由．

解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．

设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），

由04)334

(2

=+++x a ax ，解得 31-=x ，a

x 342-

=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a

34

-，0）．

∴

∴

ACB＝90°．

解得

∴B0）

∴ABC为直角三角形．

ABC＝90°．

解得

B （-3，0

）与点A 重合，不合题意． BAC

＝90°．

解得

综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋

mx －m ＋2.

（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB m 的值；

（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值. 解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;

又AB ＝∣x 1 — x 2

∴m 2－4m ＋3=0 .

解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,

∴222,2.a ma m b a ma m b ?-+-+=??---+=-??L L ①②

①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.

∴2a m =±- .

这时M 、N 到y 轴的距离均为2m -, 又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 ,

∴2×

1

2

×（2－m ）×2m -=27 . ∴解得m=－7 .

12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42

与x 轴的一个交点为A （－1，0）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；

（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求

此抛物线的解析式；

（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点

E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一：

（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），

∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．

（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42

与x 轴的一个交点为A （－1， 0），

∴ 0)1(4)1(2

＝＋－

＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342

＋＋＝ 上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．

∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴

9)(2

1＝OD CD AB ?+．∴ 93)42(21

＝＋a ．

∴ a ±1．

∴ 所求抛物线的解析式为342

＋＋＝x x y 或342

---ax x y ＝．

（3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ，

且

2

5

00

＝x y ．∴ 0025x y ＝－．

①设点E 在抛物线342

＋＋＝x x y 上，

∴3402

00＋＋＝x x y ．

解方程组?????34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得???-；＝，＝15600y x ???

???

?'-'．＝，＝452

100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-

，4

5

）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小．

∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，

∴ ?????-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得???

???

?

.23,2

1＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝

x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得2

1＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，

2

1）． ②设点E 在抛物线342

---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．

解方程组?????---.

34,250200

00x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 02

0＝＋+．

∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．

综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，

2

1

），使△APE 的周长最小． 解法二：

（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42

与x 轴的一个交点为A （－1，0），

∴ 0)1(4)1(2

＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．

令 y ＝0，即0342

＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．

（2）由a ax ax y 342

＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线

a ax ax y 342＋＋＝上，

∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．

∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴

9)(2

1

＝＋OD CD AB ．解得OD ＝3． ∴ 33＝

a ．∴ a ±1． ∴ 所求抛物线的解析式为342

＋＋＝x x y 或342

－－＝－x x y ．

（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． ∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交

点为F ．

由PF ∥EQ ，可得

EQ PF BQ BF ＝．∴ 4

5251PF

＝．∴ 21＝PF ．

∴ 点P 坐标为（－2，

2

1）． 以下同解法一．

13.已知二次函数的图象如图所示．

（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．

（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．

解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，

∴ )2(12-??=-a ．∴ 1=a ．∴ 22

--=x x y ．

其顶点M 的坐标是??

? ??-4921

，

． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），

∴ ???

??+=-+=.2

14920b k b k ，

．解得23=k ，3-=b ．

∴ 线段BM 所在的直线的解析式为32

3

-=

x y ． ∴ 323-=

t h ，其中221<

1

432+-=t t ． ∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=

t t S ，自变量t 的取值范围是22

1

<

?

??-45232，P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，则22

--=m m n ．

222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．

分以下几种情况讨论：

i ）若∠PAC ＝90

°，则2

22AC PA PC +

=．

∴ ?????+++=++--=.

5)1()2(222222n m n m m m n ，

解得：251=

m ，12-=m （舍去）． ∴ 点??

?

??47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则2

2

2

AC PC PA +=．

∴ ?????+++=++--=.

5)2()1(22

2222n m n m m m n ，

解得：02343==

m m ，（舍去）．∴ 点??? ??452

3

2，－P ．

iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．

（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此

时未知顶点坐标是点D （－1，－2），

以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ??

?

??-5251，，

F ??

? ??-5854，

．

图a 图b

14.已知二次函数22

－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．

解：根据题意，得a －2＝－1.

∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22

-x y ＝．

因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．

15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．

（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）． 解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为

10

9

2

＋

＝ax y ． 因为点A （2

5-

，0）（或B （25

，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-?a ，得12518＝－a ．

因此所求函数解析式为)2

5

25(109125182≤≤-x x y ＋＝－

． （2）因为点D 、E 的纵坐标为

209， 所以

109125182092＋－x =，得24

5

±＝x ．

所以点D 的坐标为（245－

，209），点E 的坐标为（245，20

9）．

所以2

2

5)245(245＝－＝

-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为 385227501.0110002

2

5≈??＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数

c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．

（1）a 、c 的符号之间有何关系?

（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证

a 、c 互为倒数；

（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值． 解:

（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．

（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜． ∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．

据题意，1x 、2x 是方程)0(02

≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ a

c

x x =

?21． 由题意，得2

OC OB OA ＝?，即2

2

c c a

c ＝＝．

所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．

（32 a＞0．

解法一：AB＝OB－OA

∴

∵∴ c＝2.

∴

∴

∵ c＝2．

17.x轴、y轴交于点A、B，⊙E经过原点O及A、B两点．

（1）C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，求点A、B、C的坐标；

（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：

（3）若延长BC到P，使DP＝2，连结AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由．

解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．

∵ A 、B 是直线33

3

+-

=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．

∴ 2

32,2321====

OB EN OA ON ． 连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=

-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（2

3

,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．

∵ C （

23,23-）． ∴)323(2323-?=-a ．∴ 39

2

=a ． ∴ x x y 8

3

29322-=

为所求． （3）∵ 3

3

tan =

∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ?=??-∠=∠30602

1

21ABO OBD ． ∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2．

∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2．

∴△ADP是等边三角形．∴∠DAP＝60°．

∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．即直线PA是⊙E的切线．