上册一元二次方程期末知识点复习人教版九年级数学全一册精品系列PPT
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人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等 的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空 地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的
人教版初中数学人教版九年级上册.一元二次方程 课件(张PPT)
bx+c=0
ax2+c=0 ax2+bx=0
ax2=0
探索新知
一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0中
二次项系数 a
ax2 二次项
一次项系数 b
bx 一次项
c
常数项
说明：要找到一元二次方程的系数和常数项，必须 先将方程化为一般形式。
探索新知
一元一次方程与一元二次方程有什么区别
与联系？
一元一次方程
分析: 全部比赛共 4×7=28(场)
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1)个队各
赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
1 2
x(
x
1)
2场8 .
即 x2 x 56
探索新知
x2 2x 4 0
x2 75x 350 0
x2 x 56
这三个方程都不是一元一次方程.那么这三个方程
③未知数的最高次数是2次
探索新知 一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化 为ax2+bx+c=0的形式,我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常 数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
为什么要限制a≠0，b,c可以 为零吗？
当a=0时
当a≠0，b=0时 当a≠0，c=0时 当a≠0，b=0,c=0时
与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点
呢？
特点: ①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
探索新知
一元二次方程的定义
等号的两边都是整式，只含有一个未知数（一 元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程， 叫做一元二次方程。
人教版九年级数学上册一元二次方程《一元二次方程》示范课教学课件
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离 为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
A
数学化
D
B
CE
如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙 (x ＋6) m, 根据题意，可得方程：72＋(x＋6)2 ＝102，整理得 x2 +12x-15 ＝0.
问题3
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
学习目标
1 理解一元二次方程的概念. 2 了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般
形式，并能确定项和系数。 3 了解一元二次方程根的概念 4 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
复习旧知
★1.什么是方程？ 含有未知数的等式叫做方程
总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次 数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的 值．
例3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、 一次项和常数项及它们的系数.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得 3x2-8x-10=0.
我们把具有这种形式的方程叫做一元二次方程。
新知讲解
一元二次方程的概念
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数 的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.
满足的条件: （1） 只含一个未知数; （2） 未知数的最高次数是2； （3） 整式方程.
一元二次方程的一般形式
二次项
解：（1）整理得 5x2-4x-1=0 其中二次项系数是5,一次项系数是-4x，常数项是-1
（2）整理得 3x2-7x＋1=0 其中二次项系数是3,一次项系数是-7x，常数项是1
A
数学化
D
B
CE
如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙 (x ＋6) m, 根据题意，可得方程：72＋(x＋6)2 ＝102，整理得 x2 +12x-15 ＝0.
问题3
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
学习目标
1 理解一元二次方程的概念. 2 了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般
形式，并能确定项和系数。 3 了解一元二次方程根的概念 4 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
复习旧知
★1.什么是方程？ 含有未知数的等式叫做方程
总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次 数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的 值．
例3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、 一次项和常数项及它们的系数.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得 3x2-8x-10=0.
我们把具有这种形式的方程叫做一元二次方程。
新知讲解
一元二次方程的概念
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数 的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.
满足的条件: （1） 只含一个未知数; （2） 未知数的最高次数是2； （3） 整式方程.
一元二次方程的一般形式
二次项
解：（1）整理得 5x2-4x-1=0 其中二次项系数是5,一次项系数是-4x，常数项是-1
（2）整理得 3x2-7x＋1=0 其中二次项系数是3,一次项系数是-7x，常数项是1
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT
∴原式可化为(x-3)(x-5)=0 ∴ x1=3；x2=5
【之三 配方法】
将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解的方法。配方法 的理论依据是完全平方公式。配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1， 然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
基本步骤
①把原方程化为一般形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根； 如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
【特点】
由代数基本定理，一元二次方程有且仅有两个根（重根即为两个相等的 根），根的情况由判别式 △=b2-4ac 决定。
【判别式与根的关系】
利用一元二次方程根的判别式（ △=b2-4ac）可以判断方程的根的情况。 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的根与判别式 有如下关系：
① 当△﹥0时，方程有两个不相等的实数根；
【例题】
1.解方程 x²+2x+1=0 解：利用完全平方公式 因式分解得：
（x+1)²=0 ∴ x=-1
2.解方程 x(x+1)-2(x+1)=0 解：利用提公因式法解得：
（x+1)(x-2)=0 即 x-2=0 或 x+1=0
∴ x1=2，x2=-1
3.解方程 x²-4=0 解：利用平方差公式 因式分解得：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。 ②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 ③方法是根据平方根的意义开平方。
【之三 配方法】
将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解的方法。配方法 的理论依据是完全平方公式。配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1， 然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
基本步骤
①把原方程化为一般形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根； 如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
【特点】
由代数基本定理，一元二次方程有且仅有两个根（重根即为两个相等的 根），根的情况由判别式 △=b2-4ac 决定。
【判别式与根的关系】
利用一元二次方程根的判别式（ △=b2-4ac）可以判断方程的根的情况。 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的根与判别式 有如下关系：
① 当△﹥0时，方程有两个不相等的实数根；
【例题】
1.解方程 x²+2x+1=0 解：利用完全平方公式 因式分解得：
（x+1)²=0 ∴ x=-1
2.解方程 x(x+1)-2(x+1)=0 解：利用提公因式法解得：
（x+1)(x-2)=0 即 x-2=0 或 x+1=0
∴ x1=2，x2=-1
3.解方程 x²-4=0 解：利用平方差公式 因式分解得：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。 ②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 ③方法是根据平方根的意义开平方。
人教版数学九上解一元二次方程——公式法课件
的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数
项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情
况呢？
探究新知
【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0
⑵ x2 = 4x－4
⑶ x2－3x = －3
答案：（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根.
方法点拨
（1）当 △ b 4ac＞0时，一元二次方程有两个不
相等的实数根.
2
（2）当 △ b 4ac 0时，一元二次方程有两个相
2
等的实数根.
（3）当 △ b 2 4ac＜0 时，一元二次方程没有实
数根.
探究新知
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般情势，并写出a，b，c 的值.
46
2a
25
10
46
46
1
1, x2
10
10
5
探究新知
（4）x2+17=8x
解：原方程可化为x 2 8 x 17 0
a 1, b 8, c 17
△ b 2 4ac (8) 2 4 1 17 4＜0
方程无实数根.
探究新知
探究新知
（2）2x2-2 2 x+1=0；
【思考】这里的a、b、c的值分别是什么？
解： a 2, b 2 2, c 1
△ b 2 4ac ( 2 2 ) 2 4 2 1 0
则方程有两个相等的实数根：
x1 x2
b
2 2
2
项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情
况呢？
探究新知
【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0
⑵ x2 = 4x－4
⑶ x2－3x = －3
答案：（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根.
方法点拨
（1）当 △ b 4ac＞0时，一元二次方程有两个不
相等的实数根.
2
（2）当 △ b 4ac 0时，一元二次方程有两个相
2
等的实数根.
（3）当 △ b 2 4ac＜0 时，一元二次方程没有实
数根.
探究新知
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般情势，并写出a，b，c 的值.
46
2a
25
10
46
46
1
1, x2
10
10
5
探究新知
（4）x2+17=8x
解：原方程可化为x 2 8 x 17 0
a 1, b 8, c 17
△ b 2 4ac (8) 2 4 1 17 4＜0
方程无实数根.
探究新知
探究新知
（2）2x2-2 2 x+1=0；
【思考】这里的a、b、c的值分别是什么？
解： a 2, b 2 2, c 1
△ b 2 4ac ( 2 2 ) 2 4 2 1 0
则方程有两个相等的实数根：
x1 x2
b
2 2
2
人教版 九年级上册 一元二次方程解法复习 优质课件
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解.
用最好的方法求解下列方程
1)（3x-2）²-49=0
2)（3x-4）²=（4x-3）²
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ x2+6x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法 ②、⑥ ；
适合运用因式分解法 ③、⑤、⑨ ；
适合运用公式法 ①、⑦ ；
适合运用配方法 ④、⑧ .
我的发现
① 一般地，当一元二次方程一次项系数 为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方 法；若常数项为0（ ax2+bx=0），应选 用因式分解法；若一次项系数和常数项 都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式， 看一边的整式是否容易因式分解，若容 易，宜选用因式分解法，不然选用公式 法；不过当二次项系数是1，且一次项系 数是偶数时，用配方法也较简单。
② 公式法虽然是万能的，对任何一元二 次方程都适用，但不一定是最简单的， 因此在解方程时我们首先考虑能否应用 “直接开平方法”、“因式分解法”等 简单方法，若不行，再考虑公式法（适 当也可考虑配方法）
选择适当的方法解下列方程:
1
1 2
6 5
x2
1
25x2 2x
33x2 1 4x
4(x 2)2 9x2
3) 4y=1－3y² 2
请用四种方法解下列方程: (x＋1)2 = (2x－5)2
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解.
用最好的方法求解下列方程
1)（3x-2）²-49=0
2)（3x-4）²=（4x-3）²
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ x2+6x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法 ②、⑥ ；
适合运用因式分解法 ③、⑤、⑨ ；
适合运用公式法 ①、⑦ ；
适合运用配方法 ④、⑧ .
我的发现
① 一般地，当一元二次方程一次项系数 为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方 法；若常数项为0（ ax2+bx=0），应选 用因式分解法；若一次项系数和常数项 都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式， 看一边的整式是否容易因式分解，若容 易，宜选用因式分解法，不然选用公式 法；不过当二次项系数是1，且一次项系 数是偶数时，用配方法也较简单。
② 公式法虽然是万能的，对任何一元二 次方程都适用，但不一定是最简单的， 因此在解方程时我们首先考虑能否应用 “直接开平方法”、“因式分解法”等 简单方法，若不行，再考虑公式法（适 当也可考虑配方法）
选择适当的方法解下列方程:
1
1 2
6 5
x2
1
25x2 2x
33x2 1 4x
4(x 2)2 9x2
3) 4y=1－3y² 2
请用四种方法解下列方程: (x＋1)2 = (2x－5)2
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上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
解：(1)设该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为x. 根据题意，得5 000(1＋x)2＝7 200， 解得x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． ∴x＝0.2＝20%. 答：该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为20%. (2)7 200×(1＋20%)＝8 640(万元)． 答：预算2019年该地区投入教育经费为8 640万元．
7．如果关于x的一元二次方程(k＋2)x2－3x＋1＝0有实数根，
那么k的取值范围是 k≤14且k≠－2 .
8．关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数 根． (1)求k的取值范围； (2)当k＝4时，求一元二次方程的根．
上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
(4)3x(x－2)＝2(x－2)； x1＝2，x2＝23 (5)5x2＋2x－1＝0. x1＝－1＋5 6，x2＝－1－5 6
上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
知识点2 解一元二次方程 3．一元二次方程x2＋2x＝0的根是 x1＝0，x2＝－2.
4．用配方法解方程x2－8x＋2＝0，则方程可变形为( C )
A．(x－4)2＝5
B．(x＋4)2＝21
C．(x－4)2＝14
D．(x－4)2＝8
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知识点3 一元二次方程的根的判别式 6．方程x2－x＋3＝0的根的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根
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∵(m－3)2≥0，∴4(m－3)2＋4＞0，即Δ＞0，
∴不论m为任何实数，关于x的方程x2－2mx＋6m－10＝0总 有两个不相等的实数根．
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ห้องสมุดไป่ตู้
知识点4 实际问题与一元二次方程
10．有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比
赛了21场，则下列方程中符合题意的是( B )
A．x(x－1)＝21
B．x(x－1)＝42
C．x(x＋1)＝21
D．x(x＋1)＝42
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5．用适当的方法解下列方程： (1)12x2＝2； x1＝2，x2＝－2 (2)(x－2)2－16＝0； x1＝－2，x2＝6 (3)x2＋4x－5＝0； x1＝－5，x2＝1
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12．某地区为进一步发展基础教育，自2016年以来加大了教 育经费的投入，2016年该地区投入教育经费5 000万元，2018 年投入教育经费7 200万元． (1)求该地区这两年投入教育经费的年平均增长率； (2)若该地区教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率， 请预算2019年该地区投入教育经费为多少万元．
第二十一章 一元二次 方程
知识点1 一元二次方程的定义与方程的解 1．若方程(m－1)x2＋mx－3＝0是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是 m≠1 .
2．已知关于x的一元二次方程x2＋ax－2＝0的一个根为1. (1)求a的值； (2)求该一元二次方程的另一根．
解：(1)把x＝1代入x2＋ax－2＝0，得 12＋a－2＝0，解得a＝1. (2)该方程是x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2， 故该一元二次方程的另一根为－2.
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9．求证：不论m为任何实数，关于x的方程x2－2mx＋6m－ 10＝0总有两个不相等的实数根． 证明：Δ＝(－2m)2－4×1×(6m－10)＝4m2－24m＋40＝4(m －3)2＋4.
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解：(1)∵方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－3)2－4×1×(－k)＞0，解得k＞－94. (2)将k＝4代入方程，得x2－3x－4＝0， 则(x＋1)(x－4)＝0， ∴x＋1＝0或x－4＝0，解得x1＝4，x2＝－1.
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11．如图，在长为10 m、宽为8 m的矩形场地上修建两条宽 度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面 积为48 m2，则道路的宽应为 2 m.
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解：(1)设该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为x. 根据题意，得5 000(1＋x)2＝7 200， 解得x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． ∴x＝0.2＝20%. 答：该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为20%. (2)7 200×(1＋20%)＝8 640(万元)． 答：预算2019年该地区投入教育经费为8 640万元．
7．如果关于x的一元二次方程(k＋2)x2－3x＋1＝0有实数根，
那么k的取值范围是 k≤14且k≠－2 .
8．关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数 根． (1)求k的取值范围； (2)当k＝4时，求一元二次方程的根．
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(4)3x(x－2)＝2(x－2)； x1＝2，x2＝23 (5)5x2＋2x－1＝0. x1＝－1＋5 6，x2＝－1－5 6
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知识点2 解一元二次方程 3．一元二次方程x2＋2x＝0的根是 x1＝0，x2＝－2.
4．用配方法解方程x2－8x＋2＝0，则方程可变形为( C )
A．(x－4)2＝5
B．(x＋4)2＝21
C．(x－4)2＝14
D．(x－4)2＝8
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知识点3 一元二次方程的根的判别式 6．方程x2－x＋3＝0的根的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根
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∵(m－3)2≥0，∴4(m－3)2＋4＞0，即Δ＞0，
∴不论m为任何实数，关于x的方程x2－2mx＋6m－10＝0总 有两个不相等的实数根．
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10．有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比
赛了21场，则下列方程中符合题意的是( B )
A．x(x－1)＝21
B．x(x－1)＝42
C．x(x＋1)＝21
D．x(x＋1)＝42
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5．用适当的方法解下列方程： (1)12x2＝2； x1＝2，x2＝－2 (2)(x－2)2－16＝0； x1＝－2，x2＝6 (3)x2＋4x－5＝0； x1＝－5，x2＝1
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12．某地区为进一步发展基础教育，自2016年以来加大了教 育经费的投入，2016年该地区投入教育经费5 000万元，2018 年投入教育经费7 200万元． (1)求该地区这两年投入教育经费的年平均增长率； (2)若该地区教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率， 请预算2019年该地区投入教育经费为多少万元．
第二十一章 一元二次 方程
知识点1 一元二次方程的定义与方程的解 1．若方程(m－1)x2＋mx－3＝0是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是 m≠1 .
2．已知关于x的一元二次方程x2＋ax－2＝0的一个根为1. (1)求a的值； (2)求该一元二次方程的另一根．
解：(1)把x＝1代入x2＋ax－2＝0，得 12＋a－2＝0，解得a＝1. (2)该方程是x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2， 故该一元二次方程的另一根为－2.
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9．求证：不论m为任何实数，关于x的方程x2－2mx＋6m－ 10＝0总有两个不相等的实数根． 证明：Δ＝(－2m)2－4×1×(6m－10)＝4m2－24m＋40＝4(m －3)2＋4.
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解：(1)∵方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－3)2－4×1×(－k)＞0，解得k＞－94. (2)将k＝4代入方程，得x2－3x－4＝0， 则(x＋1)(x－4)＝0， ∴x＋1＝0或x－4＝0，解得x1＝4，x2＝－1.
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11．如图，在长为10 m、宽为8 m的矩形场地上修建两条宽 度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面 积为48 m2，则道路的宽应为 2 m.
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