不规则图形面积计算的技巧同步测试

不规则图形面积计算的技巧 (教材P115习题24.4第4题)

图1 如图1，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积． 解：方法一：由图形可以看出，4个相同阴影部分的面积＝4个半圆的面积－正方形的面积

＝12πa2－a2. 方法二：阴影部分和空白部分都由四部分组成，且形状大小一样，因此可以根据图形中隐含的数量关系来构造方程求解． 设每一部分的阴影部分面积为x，每一部分的空白部分面积为y，根据图形得

2x＋y＝12πa22，

4x＋4y＝a2，

解得x＝18πa2－a24，y＝a22－18πa2， 所以阴影部分面积＝4x＝418πa2－a24＝12πa2－a2. 【思想方法】 将阴影部分的面积转化为规则图形的面积的和差．

图2 如图2，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为__1.7__．(结果保留两个有效数字，参考数据：π≈3.14) 【解析】 空白部分的面积等于四个半圆的面积减去正方形的面积，再利用阴影部分的面积等于正方形的面积减去空白部分的面积计算．

空白部分的面积＝12π222×4－2×2＝2π－4， 阴影部分的面积＝2×2－(2π－4)＝4－2π＋4 ＝8－2π≈8－2×3.14＝8－6.28＝1.72≈1.7. 如图3，以等腰直角△ABC两锐角顶点A，B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC＝2，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为( B )

A.14π B.12π C.22π D.2π 图3 【解析】 ∵⊙A与⊙B恰好外切， ∴⊙A与⊙B是等圆， ∵AC＝2，△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝22，∴⊙A，⊙B的半径均为2.

∴两个扇形(即阴影部分)的面积之和＝∠AπR2360＋∠BπR2360＝（∠A＋∠B）πR2360＝14πR2＝π2. 第2课时 圆锥的侧面积和全面积 [见B本P50] 1．已知圆柱的底面半径为3 cm，母线长为5 cm，则圆柱的侧面积是( B ) A．30 cm2 B．30π cm2 C．15 cm2 D．15π cm2 2．用半径为3 cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为( D ) A．2π cm B．1.5 cm C．π cm D．1 cm 【解析】 设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，

2πr＝120π×3180，解得r＝1 cm. 3．在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为22，则这个圆锥的侧面积是( B ) A．Aπ B．3π C．22π D．2π 【解析】 ∵底面半径为1，高为22，

∴母线长＝2（2）2＋12＝3. 底面圆的周长为：2π×1＝2π， ∴圆锥的侧面积为：S侧＝12×2π×3＝3π. 4．如图24－4－12，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1 cm，则这个圆锥的底面半径为( C )

图24－4－12 A．22 cm B.2 cm

C.22 cm D.12 cm 【解析】 由图形可知扇形的圆心角为90°，半径为22 cm，根据圆锥的底面圆的周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长可以得2πr＝90180×22π，解得r＝22(cm)． 5．如果圆锥的母线长为5 cm，底面半径为3 cm，那么圆锥的表面积为( C ) A．39π cm2 B．30π cm2 C．24π cm2 D．15π cm2 【解析】 S表＝S侧＋S底＝π×3×5＋π×32＝24π.故选C. 6．一个圆锥的侧面积是36π cm2，母线长是12 cm，则这个圆锥的底面直径是__6__ cm. 7．已知圆锥的底面周长是10π，其侧面展开后所得扇形的圆心角为90°，则该圆锥的母线 长是__20__． 8．底面半径为1，高为3的圆锥的侧面积等于__2π__． 【解析】 ∵圆锥的高为3，底面的半径是1，

∴由勾股定理知：母线长＝（3）2＋1＝2，

∴圆锥的侧面积＝12底面周长×母线长＝12×2π×2＝2π. 9．如图24－4－13，如果从半径为5 cm的圆形纸片上剪去15圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高是__3__cm.

图24－4－13 【解析】 ∵从半径为5 cm的圆形纸片上剪去15圆周的一个扇形，

∴留下的扇形的弧长＝4（2π×5）5＝8π， 根据底面圆的周长等于扇形弧长， ∴圆锥的底面半径r＝8π2π＝4 cm， ∴圆锥的高为52－42＝3 cm. 故答案为3. 10．已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°.用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为__25__厘米．

【解析】 扇形的弧长是：150π×60180＝50π cm， 设底面半径是r cm，则2πr＝50π， 解得：r＝25. 故答案是25. 11．已知圆锥的高为4，底面半径为2，求： (1)圆锥的全面积； (2)圆锥侧面展开图的圆心角． 解： (1)∵圆锥的高为4，底面半径为2，∴圆锥的母线长为25，

底面周长是2×2π＝4π，则侧面积是12×4π×25＝45π， 底面积是π×22＝4π， 则全面积是45π，＋4π＝(4＋45)π. (2)∵圆锥底面半径是2， ∴圆锥的底面周长为4π，

设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n°，nπ×25，180＝4π， 解得n＝725， 圆锥侧面展开图的圆心角为72(5)°.

12．如图24－4－14，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得的几何体的表面积为( D )

图24－4－14 A．4π B．42π C．8π D. 82π 【解析】 如图，过C作CO⊥AB，则 Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周所得的几何体的表面积为2×π×OC·AC＝2×π×2×22＝82π.

13．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图24－4－15所示，则该几何体的全面积(即表面积)为__68π__(结果保留π)．

图24－4－15 【解析】 圆锥的母线长是32＋42＝5，圆锥的侧面积是12×8π×5＝20π，圆柱的侧面积是8π×4＝32π，几何体的下底面面积是π×42＝16π，则该几何体的全面积(即表面积)为20π＋32π＋16π＝68π. 14．如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是__30__．

15．已知在△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠A＝90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S1，把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S2，求S1∶S2. 【解析】 以直角三角形的直角边为轴旋转一周得到的几何体是圆锥．圆锥的表面积S表＝S

侧＋S底． 解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC＝AB2＋AC2＝62＋82＝10. (1)绕直线AC旋转一周所得圆锥的表面积： S1＝π·AB·BC＋π·AB2＝π×6×10＋π×62 ＝60π＋36π＝96π； (2)绕直线AB旋转一周所得圆锥的表面积： S2＝π·AC·BC＋π·AC2＝π×8×10＋π×82

＝80π＋64π＝144π.∴S1S2＝96π144π＝23. 16．如图24－4－16，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°. (1)求图中阴影部分的面积； (2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径． (3)试判断⊙O中其余部分能否给(2)中的圆锥做两个底面．

图24－4－16 解： (1)∵AC⊥BD于F，∠A＝30°， ∴∠BOC＝60°，∠OBF＝30°， ∵在Rt△ABF中，AB＝4，∴BF＝2， ∴OB＝4，

∴S阴影＝S扇形BOD＝120·π·42360＝163π； (2)设底面半径为r， ∵半径OB＝4，

2πr＝120·2π·4360

∴r＝43； (3)∵⊙O其余部分面积为323 π，而圆锥底面面积为169 π. ∴⊙O中其余部分能给(2)中的圆锥做两个底面．

17．在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16 cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图24－4－17所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图24－4－17所示的方案二．(两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切) (1)请说明方案一不可行的理由； (2)判断方案二是否可行，若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆的半径；若不可行，请 说明理由． 图24－4－17 解：(1)理由如下：

∵扇形的弧长＝2π×164＝8π，圆锥的底面周长＝2πr，∴圆的半径为4 cm. 由于所给正方形纸片的对角线长为162 cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为16＋4＋42＝20＋42＞162， ∴方案一不可行． (2)方案二可行．理由如下： 设圆锥底面圆的半径为r cm，圆锥的母线长为R cm， 则(1＋2)r＋R＝162，①

2πr＝2πR4.②

由①②，可得R＝6425＋2＝3202－12823， r＝1625＋2＝802－3223， 故所求的圆锥的母线长为3202－12823 cm， 底面圆的半径为802－3223 cm.