第五讲几种特殊类型函数的积分

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特殊类型函数的积分法

特殊类型函数的积分法
特殊类型函数的积分法是数学中计算积分的一种常用方法。

由于它可以求出各种形状的函数的定积分，积分法用于求解各种类型函数的积分有着广泛的应用。

下面我们就来讨论特殊类型函数的积分法。

其中，多项式函数是最常用的特殊类型函数之一，以一元n次多项式函数为例，当n≥0时，函数的积分可以用分好多项式来表示：$\int{{{x}^{n}dx}}={\frac{{{x}^{n+1}}}{{n+1}}}+c$
而另一种特殊类型函数为指数函数，函数的积分可用如下形式表示：$\int{{e}^{kx}dx}={e}^{kx}/k+c$
又如，x的高次幂函数在求积分时，可使用以下形式进行：
$\int{{{x}^{n}dx}}={\frac{{{x}^{n+1}}}{{n+1}}}+c$
另外，对正弦函数和余项函数（cos（x），tg（x））的积分也同
样采用三角函数的基本定理：
$\int{{sinxdx=}-cosx+c}$
$\int{{cosxdx=}sinx+c}$
$\int{{tgxdx=}-ln\left|cosx\right|+c}$
以上就是特殊类型函数的积分，可以看出，对于不同形式的特殊类型函数，采用不同的积分法来求解。

特殊类型函数的积分属于一类规律性的积分，熟练掌握这些方法，可以快速准确地完成特殊类型函数的积分求解。

高等数学：第五章第5节广义积分

cosln
x
x
1
1
sinln
xdx
1
sin(ln x)dx
1 [cosln sin ln ] 1
2
2
1
1
sin(ln x)dx lim[
0
0
] 2
17
例6 dx
0 x(4 x)
1 dx
0 x (4 x) 1
dx x(4 x)
lim[arctan 0
x 2
]1
lim[arctan b
lim
0
b
a f (x)dx .
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.
11
设函数 f ( x)在区间[a,b] 上除点外 c 连续，
lim
xc
f
(
x)
,如果两个广义积分ac
f
(
x)dx
和
b
c
f
( x)dx 都收敛，则定义
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
lim arctanb b
2
2
.
5
例3
计算广义积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2
sin
1 x
d
1 x
lim
b
cos
1 x
b 2
blimcos

4-1-4几类特殊函数的积分

六、几类特殊函数的积分
（一）有理函数的积分
1 代数有理函数的积分 2 三角函数有理式的积分
（一）、有理函数的积分
1 代数有理函数的积分
R( x )
Pn ( x ) Qm ( x )
其中
Pn ( x) a0 xn a1 x n1 an1 x an Qm ( x) b0 xm b1 xm1 bm1 x bm
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3
例8 解
计算积分 ( x - 1)100dx 令x-1 t , 则x t 1.
t 3 3 t 2 3t 1 ( t 1)3 dt dt t 100 t 100 1 3 3 1 ( 97 98 99 100 )dt t t t t
上页下页
例2 求不定积分
x3 dx. x2 5 x 6 5 6
例3
解
x 2 5 x 6dx ( x 2 x 3 )dx
5 ln | x 2 | 6 ln | x 3 | C
x3
A B C 1 , 2 2 x ( x 1 ) x 1 x ( x 1 )
2 整理得 1 ( A 2 B ) x ( B 2C ) x C A,
1 1 1 dx dx dx x ( x 1) 2 x 1
ln | x | 1 ln | x 1 | C . x 1
A 2 B 0, 4 2 1 B 2C 0, A , B , C , 5 5 5 A C 1, 4 2 1 x 1 5 5 5. 2 (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x2

高数资料(特殊积分法)

t =∫ ⋅ 2 sin t cos t ⋅ d t = −2 ∫ t ⋅ d cos t cos t
= −2t cos t + 2 ∫ cos t ⋅ d t = −2t cos t + 2 sin t + C = −2 1 − x arcsin x + 2 x + C
5 3 2 = ln( x + 2 x + 4) − ∫ 3 2
dx
2
x + 1 1+ 3 5 x +1 3 arctan +C = ln( x 2 + 2 x + 4) − 3 3 2
例2
8 x + 31 2x + 4 dx ⋅ dx = 4 ∫ 2 ⋅ d x+ 15 ∫ 2 ∫ ( x 2 + 4 x + 13)2 ( x + 4 x + 13) 2 ( x + 4 x + 13) 2
1 1 1 = ∫ + ⋅dt 3 3 − t 3 + t 1 3+ t = ln +C 3 3−t
x 1 3 + tan 2 = ln +C x 3 3 − tan 2
例 6 解一
1 ∫ sin 4 x dx .
x u = tan , 2
2u sin x = , 2 1+ u
2 2
1 3 = − cot x − cot x + C . 3 结论比较以上三种解法, 比较以上三种解法便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 方法故三角有理式的计算中先考虑其它手段不得已才用万能置换. 不得已才用万能置换

几类特殊函数的积分方法和技巧

4.3 几类特殊函数的积分方法和技巧一、计算下列不定积分：1.⎰++-+x x x x x d 2232234；解：利用带余除法，将被积函数由假分式化为整式与真分式之和，得原式⎰⎰++-'+++-=++++-=x x x x x x x x x x x x d 223)22(223)d 22142(22322⎰++-+++-=x x x x x x d )1(13)22ln(223223 C x x x x x ++-+++-=)1arctan(3)22ln(22323. 2.⎰+-dx x x x233；解：利用待定常数法将其分解为最简分式之和，设223)1(12)1)(2(23-+-++=-+=+-x Cx B x A x x x x x x ，通分整理得)22()2()(2C B A x C B A x B A x +-+++-++=，比较等式两边同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=+,022,12,0C B A C B A B A解得31,92,92==-=C B A . 于是C x x x x dx x dx x dx dx x x x +--+-=-+-++-=+-⎰⎰⎰⎰)1(3121ln 92)1(311922922323. 3.⎰++dx x x 1146；解：⎰⎰⎰⎰+--=++-+=++dx x x dx x dx x x x x dx x x 111111422422646⎰+--=dx xx x x 222311131C xx x x x x x x x d x dx x x x x +++-+-=-++-=-+--=⎰⎰2121ln 221312)1()1(312)1(1131323223.4.⎰++dx x x 1164；解：原式⎰⎰⎰⎰+++=+-+++-=++=dx x x dx x dx x x x x x x dx x x 111)1)(1(11)(1622242224324 C x x dx x dx x ++=+++=⎰⎰33232arctan 31arctan 1)(13111. 5.⎰+210)1(x x dx；解：原式⎰⎰⎰+====+=+==22101010210109)1(d 101)1(d 101)1(d 10u u ux x x x x x x x u ⎰⎰+-+-=+-+=u u u u u u u u d ])1(1111[101d ])1(1)1(1[10122 C x x x C u u u ++⋅++=++⋅++=111011ln 101111011ln 101101010. 6.⎰+46d x x x；解：原式⎰⎰⎰++-=+-=+=x x x x x x x x x x x ]d 1111[]d )1(11[)1(d 22422424 C x x x+++-=arctan 1313. 7.⎰+dx x x cos sin 1；解：原式C x x x x d ++-+=++=⎰)4cot()4csc(ln 21)4sin()4(21ππππ.8.⎰+x x x xd cos sin sin解一：设⎰+=dx x x x T cos sin sin 1，⎰+=dx xx xT cos sin cos 2，则 121C x dx T T +==+⎰，212cos sin ln cos sin )cos (sin cos sin sin cos C x x x x x x d dx x x x x T T ++=++=+-=-⎰⎰，所以C x x x T ++-=cos sin ln 21211.解二：⎰⎰+-+-+=+dx xx xx x x x dx x x x cos sin sin sin cos cos sin cos sin sin ⎰⎰⎰+-+--++=dx xx x dx x x x x dx x x x x cos sin sin cos sin sin cos cos sin cos sin ，即1cos sin ln cos sin )cos (sin cos sin sin 2C x x x xx x x d dx dx x x x ++-=++-=+⎰⎰⎰，所以，C x x x dx x x x ++-=+⎰cos sin ln 2121cos sin sin . 解三：⎰⎰+-+=+dx x x dx x x x )4sin()44sin(21cos sin sin πππ⎰⎰++-=+++-+=)4()]4cot(1[21)4()4sin()4cos()4sin(21ππππππx d x x d x x xC x x C x x ++-=++-+=])4sin(ln [21])4sin(ln 4[211πππ. 解四：令t x =tan . 解五：令t x=2tan. 9.⎰+x x dxsin )cos 2(；解一：令x u cos =，则原式⎰⎰-+=+=)cos 1)(cos 2(cos sin )cos 2(sin 22x x xd x x xdx⎰⎰++--=+-=du u u u u u du )2112(31)2)(1(22⎰⎰--+++--=du u udu u u u 131)211111(312 C x x x C u u u u +++-=+--++-=322)cos 1()cos 2)(cos 1(ln 611ln 611)2)(1(ln 31. 解二：令2tanx u =，则得，原式C x x ++=2tan 32tan ln 313.10.⎰-dx e xe xx 1.解：令1-=x e u ，则)1ln(2u x +=，从而有⎰⎰⎰+=+⋅++=-du u du u uu u u dx e xe x x)1ln(212)1ln()1(12222 ⎰⎰+--+=+-+=du u u u du u u u u )111(4)1ln(214)1ln(222222C e e e x C u u u u x x x +-+---=++-+=1arctan 41412arctan 44)1ln(22.二、设⎩⎨⎧>≤<='1,10 ,1)(ln x x x x f ，且0)0(=f ，求)(x f .解：令x u ln =，则⎩⎨⎧>≤='0 ,0,1)(x e u u f u ，从而⎩⎨⎧>+≤+='=⎰0,0 ,)()(21x C e x C x dx x f x f x ，因为)(x f 可导，则)(x f 在0=x 处必连续，从而0)0(1)00()00(21==+=+==-f C f C f ，故1,021-==C C ，因此⎩⎨⎧>-≤=0,10,)(x e x x x f x.。

数学分析第五讲黎曼积分

数学分析第五讲黎曼积分首先介绍黎曼积分的定义。

设 f(x) 是定义在闭区间 [a, b] 上的有界函数。

将 [a, b]等分成 n 个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b- a) / n。

在每个小区间 [xᵢ₋₁, xᵢ] 上取一点ξᵢ，其中 x₀ = a，xₙ = b。

定义黎曼和 Sₙ = Σf(ξᵢ)Δx，其中Σ 表示求和。

如果当 n 趋近于无穷大时，Sₙ 的极限存在，且与闭区间 [a, b] 上的任意一个选取的点无关，那么这个极限就是 f(x) 在 [a, b] 上的黎曼积分，记作∫[a, b] f(x) dx。

下面讨论黎曼积分的性质。

首先，黎曼积分具有线性性质。

即对于两个有界函数 f(x) 和 g(x)，以及任意的常数 a、b，有∫[a, b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a, b] f(x) dx + b∫[a, b] g(x) dx。

其次，当f(x) 在 [a, b] 上连续时，它是可积的。

这意味着连续函数是黎曼可积的。

此外，如果 f(x) 在 [a, b] 上只有有限个间断点，则它也是可积的。

最后一个性质是介值性质，即如果 [a, b] 上的一个函数 f(x) 与另一个函数 h(x) 在除有限个点外完全相同，那么 f(x) 在 [a, b] 上的可积性与 h(x) 是相同的。

接下来是计算黎曼积分的方法。

黎曼积分的计算方法有很多种，其中一种常用的方法是分割求和法。

将[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，在每个小区间上取代表点ξᵢ，然后计算黎曼和Sₙ=Σf(ξᵢ)Δx，其中Σ表示求和。

当n趋近于无穷大时，Sₙ的极限就是f(x)在[a,b]上的黎曼积分。

此外，还可以使用变量代换法、分部积分法等方法来计算黎曼积分。

总结起来，黎曼积分是微积分中的核心概念之一、通过定义和性质可以了解黎曼积分的基本特点。

在计算方法上，可以使用分割求和法、变量代换法、分部积分法等方法来计算黎曼积分。

特殊函数的积分

A 2B 0,
B 2C 0, A C 1,

1
(1 2x)(1
A x2 )
1
4, B 5 4
5 2x

2,C 5
2x1 55 1 x2
1 5
.
,
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Higher mathematics
例4 求积分
1 x( x 1)2dx.
绵阳师范学院
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ，其中 p2 4q 0 则分解后为
M1x N1 ( x2 px q)k

(
x
M2 2
x N2 px q)k
1

Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2, , k).
x 3 ( A B)x (3A 2B),

A (3
B A

1, 2B)

3,

A B

5 ,
6

x2
x3 5x
6
5 x2

x
6
. 3
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Higher mathematics
绵阳师范学院
例2
1 x( x1)2

A x
绵阳师范学院
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式；
(2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.
例
x3 x2
x 1
1

x

几种特殊函数的积分

du
3
(u2 1) 1 u
1
du
3
u
1
u
1
1
du
3 u2 u ln1 u C
2
3 3 ( x 2)2 33 x 2 3ln1 3 x 2 C. 2
例10
求积分
1 x
1 x dx. x
解令 t 1 x x 1 dx 2tdt .
x
t2 1
(t 2 1)2
5
55
1
4 2x1 5 5 5.
(1 2x)(1 x2 ) 1 2x 1 x2
例4
求积分
x(
1 x
1)2
dx.
解
1 x(x
1)2
dx
1 x
(x
1 1)2
x
1
1
dx
1 x
dx
(
x
1
1)2
dx
x
1
1
dx
ln x 1 ln( x 1) C. x 1
例5
求积分
1 (1 2x)(1
都是常数其中2分母中若有因式其中真分式化为部分分式之和的待定系数法cxbx的值代入并将求积分dx求积分dx说明将有理函数化为部分分式之和后只出现三类情况
第四节几种特殊函数的积分
一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称为有理函数.
例2
1 x( x 1)2
A B x ( x 1)2
C, x 1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C 取 x 0 A1 取 x 1 B1 取 x 2 ,并将 A, B 的值代入(1), C 1

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第五讲几种特殊类型函数的积分一、回顾上节内容分部积分法二、本节教学内容 1.简单有理函数的积分； 2.简单三角函数有函数的积分； 3.简单无理函数的积分。 [教学目的与要求] 1.掌握简单有理函数的积分； 2.掌握简单三角函数有函数的积分； 3.掌握简单无理函数的积分。 [教学重点难点] 简单有理函数、三角函数与无理函数积分

§4.4 几种特殊类型函数的积分一、有理函数的不定积分 1.化有理函数为简单函数两个多项式的商所表示的函数)(xR称为有理函数，即

mmmmmnnnnnbxbxbxbxbaxaxaxaxaxQxPxR122110122110)(

)()(



 （1）

其中n和m是非负整数；naaaa,,,,210及mbbbb,,,,210都是实数，并且

0,000ba．当（1）式的分子多项式的次数n小于其分母多项式的次数m，即mn时，称为有理真分式；当mn时，称为有理假分式．对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如

12)1(112224xxxxxx．

多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．设有理函数（1）式中mn，如果多项式)(xQ在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积： )()()()()(220srxxqpxxbxaxbxQ．

其中srqpba,,,,,,,为实数；042qp，…，042sr；,,,,,

为正整数，那末根据代数理论可知，真分式)()(xQxP总可以分解成如下部分分式之和，即 )()()()()(1121bxBaxAaxAaxAxQxP



)()(21112qpxxNxMbxBbxB



)()(21121222srxxSxRqpxxNxMqpxxNxM



srxxSxRsrxxSxR21222)(．（2）

其中iiiiiiSRNMBA,,,,,,,都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的．可见在实数范围内，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和：

（1）axA ，

（2）kaxA)( （k是正整数，2k），

（3）qpxxBAx2 （042qp），（4）kqpxxBAx)(2 （k是正整数，04,22qpk）． 2. 有理函数的不定积分求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．

（1）CaxAaxdaxAdxaxAln)(1，

（2）CaxkAaxdaxAdxaxAkkk1)(11)()()(，（3）dxqpxxBAx2 （042qp）．将分母配方得)4()2(222pqpxqpxx，作变量代换2pxu，则dudxpux,2；由于04,0422pqqp，记224apq，于是

duauBpuAdxpqpxBAxdxqpxxBAx



22222

)2(

)4()2(

duauApBduauAu2222

CauaApBauAarctan2)ln(222

CpqpxpqApBqpxxA22242arctan42)ln(2．

（4）dxqpxxBAxk)(2 (04,22qpk)．作变量代换2pxu，并记224apq，于是 duauApBduauAudxqpxxBAxkkk)(2)()(22222．

其中第一个积分 CaukAaudauAduauAukkk122222222)(1)1(2)()(2)(

．

第二个积分可通过建立递推公式求得．记 kkauduI)(22

利用分部积分法有 12222222)(2)()(kkkkauduukauuau

duI duauaaukauukk12222222)()(2)(

122222)(kkk

kIakI

u．

整理得 kkkIkakauukaI22221212)(21．于是可得递推公式 ]2232)()1(21[111222kkkIkkauukaI．（3）

利用（3）式，逐步递推，最后可归结为不定积分 CauaauduIarctan1221．

最后由2pxu全部换回原积分变量，即可求出不定积分dxqpxxBAxk)(2．例1 求dxxxx22)32(1．解 dxxxdxxxx2222]2)1[(21)32(1 2222)2(2)2(1ududuu

uxu

]2212121[212)2(21222uduuuu

Cuuu2arctan22

1)2(21

` Cxxxx21arctan221)32(222．例2 求dxxx2)1(1．解因为2)1(1xx可分解为 1)1()1(122xCxBxAxx．

其中A，B，C为待定系数．可以用两种方法求出待定系数．第一种方法：两端去掉分母后，得

)1()1(12xCxBxxA．（4）

即 AxCABxCA)2()(12 由于（4）式是恒等式，等式两端2x和x的系数及常数项必须分别相等，于是有







1020ACABCA

，

从而解得 1A，1B，1C．第二种方法：在恒等式（4）中，代入特殊的x值，从而求出待定系数．如令0x，得1A；令1x，得1B；把A，B的值代入（4）式，并令2x，得C2211，即1C．于是

dxxxxdxxx)1

1)1(11()1(1

dxxdxxdxx1

1)1(11

Cxxx1ln11ln．

例3 求dxxxx22)1)(1(22．

解因为1)1(1)1)(1(2222222xEDxxCBxxAxxx，两端去分母得 )1)(1)(()1)(()1(22222xxEDxxCBxxAx

234)2()()(xBEDAxDExDA

)()(CEAxCBED．两端比较系数得 





220200CEACBEDBEDADEDA

，

解方程组得1A，2B，0C，1D，1E，故 dxxxxxxdxxxx)11)1(211()1)(1(2222222



dxxxdxxxdxx11)1(

211

222

Cxxxxarctan)1ln(21111ln22

Cxxxxarctan1111ln22

．

例4 求dxxxx6532．解因为32)3)(2(36532xBxAxxxxxx，两端去分母得 )2()3(3xBxAx．

令2x，得5A；令3x，得6B．于是 Cxxdxxxdxxxx2ln53ln6)2536(65

Cxx56)2()3(ln．

从理论上讲，多项式)(xQ总可以在实数范围内分解成一次因式和二次质因式的乘积，从而把有理函数)()(xQxP分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出．所以，任何有理函数的原函数都是初等函数．但我们同时也应该注意到，在具体使用此方法时会遇到困难．首先，用待定系数法求待定系数时，计算比较繁琐；其次，当分母的次数比较高时，因式分解相当困难．因此，在解题时要灵活使用各种方法．

例5 求dxxxxxx12232．

解 dxxdxxdxxxxxdxxxxxx1111)1)(1()1()1(12222232