基于曲率保持PDE的非线性结构张量

１５６　２０１０，４６（１８）　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｗ￣ｉｏｎｓ计算机工程与应用　基于曲率保持ＰＤＥ的非线性结构张量　郑钰辉１，潘瑜２，孙权森２，韦志辉２，夏德深２　ＺＨＥＮＧ　Ｙｕ—ｈｕｉ　，ＰＡＮ　Ｙｕ　，ＳＵＮ　Ｑｕａｎ—ｓｅｎ２，ＷＥＩ　Ｚｈｉ－ｈｕｉ　，ＸＩＡ　Ｄｅ－ｓｈｅｎ　

１．南京信息工程大学计算机与软件学院，南京２１００４４　２．南京理工大学计算机科学与技术学院，南京２１００９４　１．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ａｎｄ　Ｓｏｆｔｗａｒｅ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｎａｎｊｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ　２１００４４，Ｃｈｉｎａ　２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎａｎｊｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ　２１００９４，Ｃｈｉｎａ　

ＺＨＥＮＧ　Ｙｕ—ｈｌｌｉ。ＰＡＮ　Ｙｕ。ＳＵＮ　Ｑｕａｎ－ｓｅｎ。ｅｔ　ａ１．Ｃｕｒｖａｔｕｒｅ　ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ　ＰＤＥ－ｂａｓｅｄ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｔｅｎｓｏｒ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１０，４６（１８）：１５６－１５９．　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｎｅｗ　ｃｕｒｖａｔｕｒｅ—ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ　ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ　ｂａｓｅｄ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｔｅｎｓｏｒ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ａｔ　ｆｉｒｓｔ，ｔｈｒｅｅ　ｒｅ－　ｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｔｅｎｓｏｒ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ａｒｅ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｗｈｉｃｈ　ｔｈｅ　ｄｅｆｅｃｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ—ｂａｓｅｄ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｔｅｎｓｏｒ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｔｒａｃｅ—ｂａｓｅｄ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｔｅｎｓｏｒ，ｉｎ　ｃｏｍｅｒ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ，ａｒｅ　ｐｏｉｎｔｅｄ　ｏｕｔ．Ａｆｔｅｒ　ｔｈａｔ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｓｍｏｏｔｈｅｓ　ｔｈｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｔｅｎｓｏｒ　ｗｉｔｈ　ａｎ　ｅｘｔｅｎｄｅｄ　ｃｕｒｖａｔｕｒｅ—ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ　ＰＤＥ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｇｅｔｓ　ｔｈｅ　ｎｅｗ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｔｅｎｓｏｒ，ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｃａｐａｂｌｅ　ｏｆ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｃａｎ　ｐｒｏｄｕｃｅ　ｂｅｔｔｅｒ　ｌｏｃａｌ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｍａｔｒｉｘ－ｖａｌｕｅｄ　ｄａｔａ　ｆｉｅｌｄ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｔｅｎｓｏｒ；ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ；ｃｕｒｖａｔｕｒｅ　ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ　

摘要：提出了一种基于曲率保持扩散方程的非线性结构张量计算方法。在讨论了非线性结构张量算法必须满足３个条件的基础　上，指出了基于散度的非线性结构张量与基于迹的非线性结构张量在提取图像二维结构信息时的不足；将曲率保持正则化方法用　于平滑结构张量，使得新的非线性结构张量具有更好的结构估计能力。实验结果表明：该文方法对噪声图像仍能取得较好地局部　结构估计结果。　关键词：矩阵值数据场；非线性结构张量；结构信息；曲率保持　ＤＯＩ：１０．３７７８／ｊ．ｉｓｓｎ．１００２—８３３１．２０１０．１８．０４９　文章编号：１００２—８３３１（２０１０）１８～０１５６—０４　文献标识码：Ａ　中图分类号：ＴＰ３９１．４１　

１引言　随着计算机技术与新型医学成像技术的发展，一种新的数　据集——矩阵值数据集越来越多地受到人们的重视。目前，围　绕这类数据集的处理与分析成为了这一领域的研究热点。该工　作主要在三个方面展开：（１）弥散核磁共振影像的处理、分割及　三维重建技术；（２）非线性结构张量（ＮｏｎＬｉｎｅａｒ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　Ｔｅｎ—　ｓｏｒ，ＮＬＳＴ）的计算方法；（３）张量场数据可视化技术。值得注意　的是这三个方向的研究成果可相互借鉴与吸收。　众所周知，线性结构张量Ｌｉｎｅａｒ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　Ｔｅｎｓｏｒ，ＬＳＴ）【　作为传统的局部结构分析工具，已被广泛地应用在图像处理、　分割、特征检测与光流场计算等计算机视觉领域。遗憾的是由　于ＬＳＴ对结构张量（Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　Ｔｅｎｓｏｒ，ＳＴ）数据采用了线性平滑　技术，因此由其得到的局部结构估计结果精度不高。在人们对　定量数据精度越来越高的要求下，ＮＥＳＴ计算方法引起了众多　学者的广泛关注　。　许多学者在各种应用背景下构建了不同的自适应ｓＴ平滑　

方法，得到了不同的ＮＥＳＴ。Ｎａｇｅｌ等　计算光流场时利用自适　应高斯核平滑ｓＴ得到了ＮＥＳＴ。Ｋｏｔｈｅ　为了准确提取图像的特　征点，设计了一种类似于沙漏形的滤波器与原始ＳＴ做卷积，得　到了相应的ＮＬＳＴ。Ｗｅｉｊｉｅｒ等同在估计纹理方向时指出传统的　局部方向最小二乘估计等价于ＬＳＴ，这与方向误差度量函数的　选取有关，并在此基础上设计一种合理的鲁棒估计器，通过迭　代的方法计算得到了ＮＬＳＴ。借助于迅速发展的扩散ＰＤＥ图像　滤波方法，Ｂｒｏｘ等ｆ７】将散度型张量驱动ＰＤＥ图像滤波方法　扩　展到张量场，建立了相应的散度型张量驱动ＰＤＥ张量场平滑方　法，然后用该方法平滑ｓＴ得到了基于散度的ＮＬＳＴ（Ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ—　ｂａｓｅｄ　ＮＬＳＴ，ＤＮＬＳＴ）。郑等［。指出ＤＮＥＳＴ对纹理丰富的图像区　域不能得到较好的局部结构估计结果，随后将迹型张量驱动　ＰＤＥ图像滤波方法Ⅱ　展到张量场，用其平滑ｓＴ得到了基于　迹的ＮＥＳＴ（Ｔｒａｃｅ—ｂａｓｅｄ　ＮＬＳＴ，ＴＮＬＳＴ）。　该文将继续深入研究基于ＰＤＥ的ＮＬＳＴ计算方法。各向异　性ＰＤＥ正则化方法的发展为ＮＬＳＴ计算方法的丰富与发展提　

基金项目：国家自然科学基金（ｔｈｅ　Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ　ｕｎｄｅｒ　Ｇｒａｎｔ　Ｎｏ．６０７７３１７２）。　作者简介：郑钰辉（１９８２一），男，博士，讲师，主要研究方向为偏微分方程图像处理与分析、模式识别与人工智能；潘瑜（１９８４一），女，博士研究生，主　要研究方向图像处理、模式识别与人工智能；孙权森（１９６５一），男，博士，教授，博士生导师，主要研究方向为图像处理、模式识别与人工　智能；韦志辉（１９６３一），男，博士，教授，博士生导师，主要研究方向为变分偏微分方程图像处理、模式识别；夏德深（１９４１一），男，博士，教　授，博士生导师，主要研究方向为图像处理、卫星遥感、模式识别。　收稿日期：２００９—０２—２７　修回日期：２００９—１１－０４　郑钰辉，潘瑜，孙权森，等：基于曲率保持ＰＤＥ的非线性结构张量　２０１０。４６（１８）　１５７　供了理论和技术上的保障。此类滤波算子不仅结合了局部数据　的跳变信息，而且考虑了局部数据的方向信息，从而使得到的　ＮＬＳＴ对图像局部结构估计较为准确。针对已有的ＮＬＳＴ算法不　能较好地保持张量场二维结构信息的不足，将文献［１１］方法推　广到矩阵场，通过平滑张量场，得到了一种新的ＮＬＳＴ，称为基　于曲率保恃的ＮＥＳＴ（Ｃｕｒｖａｔｕｒｅ　ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ－ｂａｓｅｄ　ＮＬＳＴ，ＣＰＮＬＳＴ）。　最后实验分析了ＣＰＮＬＳＴ对图像局部信息的提取能力。　２　ＮＬＳＴ相关知识　对于图像，，其在某点ｘ＝（　，Ｙ）的梯度Ｖｌｘ＝（Ｌ，／ｙ）　，则在　该点的ｓＴ为：　Ｇ：ｆ　－　ｚ　１　（１）　＼，，　／／＼Ｍｌ２／￣２２／　由于ｓＴ容易受噪声影响，可采用滤波技术平滑该张量场　数据。平滑方法的统一表达式为：　ｐ（Ｇ）　Ｕ１２　１　＼ＵＩ２　／￣２２／　当Ｐ（・）为线性滤波方法时，Ｐ（Ｇ）为ＬＳＴ；当Ｐ（・）为基于散　度的ＰＤＥ正则化方法时，Ｐ（Ｇ）为ＤＮＬＳＴ，见下式：　＝ｄｉｖ（ＴＶｕ￣）（ｉ，ｊ＝ｌ，２）　（２）　其中，　为张量场条件下的扩散张量（９１。由于ＤＮＬＳＴ计算方法　存在一干扰项，因而影响了这种ＮＬＳＴ的结构估计结果。在前　期工作　中，提出了一种ＴＮＬＳＴ计算方法，公式如下：　＝ｔｒ（珊）（ｉ　＝ｌ，２）　（３）　其中，日＝（；　；：）为海森矩阵。ＴＮ　Ｔ运用了基于迹的　ＰＤＥ正则化方法，因此能取得比ＤＮＬＳＴ更好地估计结果。需要　指出得的式（３）可改写为：　ｔ“ｏ　ｅｘｐ＼Ｘ＇ｒ４　￣ｘ）　卢１，２）　其中，ｕ：表示点Ｘ处初始ＳＴ的第（　Ｊ）通道值；　表示点Ｘ处　时刻ＳＴ的第（　，　）通道值；　表示卷积运算。由上式可以发现，　式（３）可以理解为通过自适应各向异性高斯核与初始ｓＴ做卷　积，因此这种方法与文献［５］方法等价。　当得到ＮＬＳＴ后，对其进行谱分解可用于估计图像局部结　构和方向。ｐ（Ｇ）特征值计算公式为：　Ａｉ，２＝　（／Ｌｌｌ＋／￣２２＋Ｖ／（／．Ｌｌｌ－／Ｚ２２）　：：）　（４）　两个特征值对应的特征向量　，　为：　『　／　２ｕ　：　＼　ＩＵ２２－－Ｕｌｌ＋　』　（５）　【Ｖ２Ｉｖ１　Ａ　与Ａ　分别反映了ｖ　与　方向上图像灰度变化的大小。　ＮＥＳＴ在分析局部几何结构时，依据的分类规则为：（１）对于　图像平坦区域，两个特征值有Ａ，　，　Ｏ；（２）对于图像边缘，因　为沿ｖ，（边缘方向）方向图像灰度几乎没有变化，而跨越边缘　的方向ｖ　，图像灰度有较大变化，因此其对应的特征值有Ａ　＞　Ａ　￣－－０；（３）对于图像角点，因为图像灰度值在　和　方向上都　有变化，则有Ａ１＞Ａ　＞０。　

３　ＮＬＳＴ算法评价　利用优良的ＮＬＳＴ能得到准确的结构分析结果，这本质上　取决于ＮＬＳＴ的计算方法。至今，尽管学者们提出了各种ＮＬＳＴ　算法，但均未给出对这类方法的评判准则。为此，提出了ＮＬＳＴ　计算方法必须具备的３个基本条件：（１）去噪。排除噪声对张量　场的影响，提高分析结果的可靠性；（２）保边。保持张量场的一　维各向异性信息，以便得到较好地图像边缘估计结果；（３）保　角。保持张量场的二维曲率信息，以得到准确的图像二维结构　分析结果。　基于上述３个条件，考察了ＬＳＴ与已有的ＮＬＳＴ计算方法，　其结果见表１。对于ＬＳＴ，因为使用了线性高斯滤波技术，虽然　能较好地去除噪声，但不能保持张量场的间断信息；在基于统　计的ＮＬＳＴ计算方法方面，文献【４—６］提出的方法均不能保持局　部角点结构，这是因为这些算法在设计时只考虑了保持一维各　向异性信息；在基于ＰＤＥ的ＮＬＳＴ计算方法方面，ＤＮＬＳＴ与　ＴＮＬＳＴ在计算时，均通过扩散张量　综合各个通道的信息，使　得各个通道数据沿着跳变小的方向扩散。需要指出的是这种各　向异性扩散仍然是一维方向扩散，因此不能很好地保持张量场　的二维结构信息。