高三数学 课堂训练7-2人教版
高三数学 课堂训练4-2人教版
第4章 第2节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A. －2 B. 0 C. 1 D. 2答案：D解析：依题意得a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，∵a ＋b 与4b －2a 平行，∴3(4x －2)＝6(x ＋1)，由此解得x ＝2，选D.2. 若点M 为△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( )A. AB →＋BC →＋AC →B. AM →＋MB →＋BC →C. AM →＋BM →＋CM →D. 3AM →＋AC → 答案：C解析：AB →＋BC →＋AC →＝2AC →，与AB →不共线，故排除A ；AM →＋MB →＋BC →＝AC →，与AB →不共线，故排除B ；如图所示，以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABDC ，N 为△BCD 的重心，则M 、N 三等分AD ，BM →＝NC →，∴AM →＋BM →＋CM →＝AM →＋(NC →＋CM →)＝AM →＋NM →＝0，与AB →共线，C 符合题意；由图知3AM →＋AC →＝AD →＋AC →，显然与AB →不共线，故排除D.3. [2011·湖北八市调研]向量a ＝(13，tan α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α的正弦值为( )A. 12 B. 19 C.22D.32答案：B解析：依题意得13×13－tan α×cos α＝0，即sin α＝19.4. [2012·广州测试]在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2P C →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( )A. (－6,21)B. (－2,7)C. (6，－21)D. (2，－7)答案：A解析：由题知，PQ →－P A →＝A Q →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，又因为点Q 是AC 的中点，所以A Q →＝Q C →，所以P C →＝PQ →＋Q C →＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，因为BP →＝2P C →，所以BC →＝BP→＋P C →＝3P C →＝3(－2,7)＝(－6,21)．5. [2012·开封市质检]已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A. (－∞，2)B. (2，＋∞)C. (－∞，＋∞)D. (－∞，2)∪(2，＋∞)答案：D解析：若向量a 与向量b 可以作为基底，则向量a 与向量b 不共线，须有m 1≠3m －22，解得m ≠2.6. 在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为( )A. 12B. 23C. 34D. 45答案：C解析：注意到点A ，M ，Q 共线，因此可设CM →＝xCA →＋(1－x )CQ →.又Q 是BC 的中点，因此，C Q →＝12CB →，CM →＝xCA →＋12(1－x )CB →.又CM →＝tCP →，因此有xCA →＋12(1－x )CB →＝t (23CA →＋13CB →)＝2t 3CA →＋t3CB →，所以⎩⎨⎧x ＝2t31－x 2＝t3，由此解得t ＝34，选C.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·江苏盐城一模]已知向量OA →＝(0,1)，OB →＝(1,3)，OC →＝(m ，m )，若AB →∥AC →，则实数m ＝__________.答案：－1解析：AB →＝(1,2)，AC →＝(m ，m －1)，∵AB →∥AC →， ∴1×(m －1)－2m ＝0，得m ＝－1.8．[2012·宜昌调研]在△ABC 中，点D 满足AD →＝3DC →，BD →＝λBA →＋μBC →，则λμ＝________. 答案：316解析：依题意得BD →－BA →＝3(BC →－BD →)，BD →＝14BA →＋34BC →＝λBA →＋μBC →，故λ＝14，μ＝34，λμ＝316.9. [2012·烟台质检]在平面直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB →＝i ＋j ，AC →＝2i ＋m j ，则实数m ＝__________.答案：0或－2解析：∵△ABC 为直角三角形，∴当A 为直角时，AB →·AC →＝(i ＋j )·(2i ＋m j )＝2＋m ＝0⇒m ＝－2；当B 为直角时，AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →)＝(i ＋j )·[i ＋(m －1)j ]＝1＋m －1＝0⇒m ＝0； 当C 为直角时，AC →·BC →＝AC →·(AC →－AB →)＝(2i ＋m j )·[i ＋(m －1)j ]＝2＋m 2－m ＝0，此方程无解．∴实数m ＝0或m ＝－2.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)和D (－2,3)，试以AB →、AC →为一组基底表示AD →＋BD →＋CD →.解：AB →＝(2－1,1＋2)＝(1,3)， AC →＝(3－1,2＋2)＝(2,4)，AD →＝(－3,5)，BD →＝(－4,2)，CD →＝(－5,1)， ∴AD →＋BD →＋CD →＝(－3－4－5,5＋2＋1)＝(－12,8)． 令(－12,8)＝mAB →＋nAC →， 则有m (1,3)＋n (2,4)＝(－12,8)， 即(m ＋2n,3m ＋4n )＝(－12,8)．比较两向量的坐标，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝－12，3m ＋4n ＝8，解之得m ＝32，n ＝－22， ∴AD →＋BD →＋CD →＝32AB →－22AC →.11. 已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.解：(1)GA →＋GB →＋GO →＝0.(2)显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P 、G 、Q 三点共线，得P G →∥G Q →，所以有且只有一个实数λ，使P G →＝λGQ →.而P G →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝(13－m )a ＋13b ，G Q →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a＋(n －13)b ，所以(13－m )a ＋13b ＝λ[－13a ＋(n －13)b ]．又因为a 、b 不共线，所以⎩⎨⎧13－m ＝－13λ13＝λ(n －13)，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.12. [2012·江苏镇江]已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不管t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线； (3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时a 的值． 解：(1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0， 故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， ∴A 、B 、M 三点共线．(3)当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2)． 又AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →， ∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0， ∴t 2＝－14a 2，故OM →＝(－a 2，a 2)．又|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|.∵S △ABM ＝12，∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12，解得a＝±2，故所求a的值为±2.。
【把握高考】高三数学最新专题课件 第七章 7.2《平面向量基本定理与向量的坐标运算》人教版必修
＝(－m＋4n,2m＋n)．
所以 － 2mm＋＋n4＝n＝2，3，
解得m＝59， n＝89.
第七章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
所以 m＝95，n＝89. (2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 又因为(a＋kc)∥(2b－a)， 所以(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0. 所以 k＝－1163.
第七章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
所以B→N＝21b，D→M＝21a，于是有：
c＝b＋12a， d＝a＋21b，
解得a＝232d－c， b＝232c－d.
即A→B＝23(2d－c)，A→D＝23(2c－d)．
()
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．平行四边形
解析：A→B＝(1,2)，D→C＝(1,2)，所以A→B＝D→C，所以A→B
∥D→C，又线段 AB 与线段 DC 无公共点，所以 CD 是平行四边形．由图象易知：
四边形 ABCD 只能为平行四边形． 答案：D
第七章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
解析：因为c可唯一表示成c＝λa＋μb， 所以a与b不共线，即2m－3≠3m，所以m≠－3. 答案：{m∈R|m≠－3}
第七章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1．平面向量的坐标运算法则是运算的关键．平面 向量的坐标运算可将几何问题转化为代数问题，运用它 可以解决平面几何、解析几何中的一些问题．
2．向量有几何法和坐标法两种表示，它的运算也 因为这两种不同的表示而有两种方式．因此向量问题的 解决，理论上讲总可有两个途径，即基于几何表示的几 何法和基于坐标表示的代数法．在具体做题时要善于从 不同的角度考虑问题．
第七章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
高三数学 课堂训练2-9人教版
第2章 第9节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·杭州学军中学模拟]下列各函数的导数： (1)(x )′＝12x －12；(2)(a x )′＝a 2ln x ；(3)(x cos x )′＝cos x ＋x sin x ； (4)(x x ＋1)′＝1x ＋1， 其中正确的有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个答案：B解析：根据导数的求导公式知只有(1)正确，选B. 2. 已知y ＝12sin2x ＋sin x ，则y ′是( )A. 仅有最小值的奇函数B. 既有最大值又有最小值的偶函数C. 仅有最大值的偶函数D. 非奇非偶函数 答案：B解析：∵y ′＝12cos2x ·2＋cos x ＝cos2x ＋cos x＝2cos 2x －1＋cos x ＝2(cos x ＋14)2－98.又当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，函数y ′＝2(cos x ＋14)2－98是既有最大值又有最小值的偶函数．3. [2012·厦门质检]曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )A. (1,0)或(－1，－4)B. (0,1)C. (1,0)D. (－1，－4) 答案：A解析：由题意得f ′(x )＝3x 2＋1.设P 0(x 0，y 0)．∵曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，∴f ′(x 0)＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 30＋x 0－23x 20＋1＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1y 0＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－4，∴P 0点坐标为(1,0)或(－1，－4)，故选A.4. 已知曲线xy ＝a (a ≠0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是( )A ．2a 2B ．a 2C ．2|a |D ．|a |答案：C解析：设切点的坐标为(x 0，y 0)，曲线的方程即为y ＝a x ，y ′＝－ax 2，故切线的斜率为－a x 20，切线方程为y －a x 0＝－ax 20(x －x 0)．令y ＝0得x ＝2x 0，即切线与x 轴的交点坐标为(2x 0,0)；令x ＝0得y ＝2a x 0，即切线与y 轴的交点坐标为(0，2ax 0)．故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12×|2x 0|×|2ax 0|＝2|a |.5.[2012·重庆南开中学月考试卷]函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则( )A. a <b <cB. c <a <bC. c <b <aD. b <c <a 答案：B解析：由题知函数的对称轴为x ＝1.当x >1时，f ′(x )<0；当x <1时，f ′(x )>0，∴c <a <b . 6. [2012·云南一检]点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x ＋2的最小距离为( )A.22B. 2C. 2 2D. 2 答案：B解析：当点P 为直线y ＝x ＋2平移到与曲线y ＝x 2－ln x 相切的切点时，点P 到直线y ＝x ＋2的距离最小．设点P (x 0，y 0)，f (x )＝x 2－ln x ，则f ′(x 0)＝1，∵f ′(x )＝2x －1x ，∴2x 0－1x 0＝1，又x 0>0，∴x 0＝1，∴点P 的坐标为(1,1)，此时点P 到直线y ＝x ＋2的距离为22＝2，故选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7. 已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)的值为________．答案：1解析：∵f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′(π4)sin x ＋cos x ，∴f ′(π4)＝－f ′(π4)×22＋22，∴f ′(π4)＝11＋2＝2－1.故f (π4)＝(2－1)×22＋22＝1.8. 设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，曲线在P 点处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是__________．答案：[0，π2)∪[2π3，π)解析：y ′＝3x 2－3≥－3，即倾斜角的正切值的取值范围是[－3，＋∞)，当倾斜角的正切值的取值范围为[0，＋∞)时，倾斜角的取值范围是[0，π2)，当倾斜角的正切值的取值范围为[－3，0)时，倾斜角的取值范围是[2π3，π)，故所求倾斜角的取值范围是[0，π2)∪[2π3，π)． 9. [2012·无锡质检]y ＝x 3＋ax ＋1的一条切线方程为y ＝2x ＋1，则a ＝__________. 答案：2解析：设切点为(x 0，y 0)，∵y ′＝3x 2＋a ，则过切点(x 0，y 0)的切线为y －y 0＝(3x 20＋a )(x －x 0)，即y ＝(3x 20＋a )(x －x 0)＋y 0＝(3x 20＋a )x －2x 3＋1，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋a ＝2，－2x 30＋1＝1，解得x 0＝0，a＝2.三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 求下列函数的导数： (1)y ＝15x 5－43x 3＋3x 2＋2；(2)y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)； (3)y ＝x 1－x ＋x 2.解：(1)y ′＝(15x 5)′－(43x 3)′＋(3x 2)′＋(2)′＝x 4－4x 2＋6x .(2)法一：∵y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)＝6x 4＋3x 3－8x 2－4x ， ∴y ′＝24x 3＋9x 2－16x －4.法二：y ′＝(3x 3－4x )′(2x ＋1)＋(3x 3－4x )(2x ＋1)′ ＝(9x 2－4)(2x ＋1)＋(3x 3－4x )·2 ＝24x 3＋9x 2－16x －4.(3)y ′＝x ′(1－x ＋x 2)－x (1－x ＋x 2)′(1－x ＋x 2)2＝(1－x ＋x 2)－x (－1＋2x )(1－x ＋x 2)2＝1－x 2(1－x ＋x 2)2.11. [2011·湖北]设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l ，求a ，b 的值，并写出切线l 的方程．解：f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3，由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线． 故f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此得⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0. 12. 已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围； (3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值． 解：(1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6.又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7. (2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x，又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0. 即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.(3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x ，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.。
【把握高考】高三数学最新专题课件 第七章7.2《 平面向量基本定理与向量的坐标运算》(文数)人教版必修
所以2(n＋2)＋3(m＋1)＝0.
①
又a＋b＝(3，－1)，(a＋b)⊥c，则3m－n＝0， ②
联立①②解得mn＝＝－－7379，，
所以 c＝－79，－73.
答案：－79，－73
第七章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
【即时巩固2】 已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a ＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求x的值．
解：(1)因为 A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(－2,3)， 所以A→D＝(－2－1,3＋2)＝(－3,5)，B→D＝(－4,2)，B→C＝(1,1)． 所以A→D＋2B→D－3B→C＝(－3,5)＋2(－4,2)－3(1,1) ＝(－3,5)＋(－8,4)－(3,3)＝(－14,6)．
第七章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
【即时巩固 1】 已知 A(2,3)，B(－1,5)，且A→C＝13A→B， A→D＝3A→B，A→E＝－14A→B，求 C、D、E 的坐标．
解：设 C(xC，yC)，D(xD，yD)，E(xE，yE)， 则A→C＝(xC－2，yC－3)，A→B＝(－3,2)， 所以(xC－2，yC－3)＝13(－3，2)＝－1，23， 所以 xC＝1，yC＝131，所以 C 点的坐标为1，131. 同理可求得 D(－7，9)，E141，52.
第七章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
＝－e2＋ke2＋e1 ＝e1＋(k－1)e2. 因为M→N＋N→B＋B→A＋A→M＝0， 所以M→N＝－N→B－B→A－A→M
＝B→N＋A→B－A→M ＝12B→C＋e2－12A→D ＝12[e1＋(k－1)e2]＋e2－12e1 ＝k＋2 1e2.
第七章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
高三数学 课堂训练10-8人教版
第10章 第8节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分) 1．随机变量ξ的分布列为，则E (5ξ＋4)等于( ) A ．13 B ．11 C ．2.2 D ．2.3 答案：A 解析：由已知得E (ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8， ∴E (5ξ＋4)＝5E (ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13. 2. [2012·荆州质检]随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)的值是( )A. 13B. 23 C. 59 D. 79答案：C解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1，且E (ξ)＝－1×a ＋1×c ＝c －a ＝13，∴a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59.3. 设ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，则x 1＋x 2的值为( ) A. 53 B. 73 C. 3 D. 113答案：C解析：由E (ξ)＝43，D (ξ)＝29得：⎩⎨⎧23x 1＋13x 2＝43(x 1－43)2·23＋(x 2－43)2·13＝29，解得：⎩⎨⎧x 1＝53x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1x 2＝2，由于x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1x 2＝2， ∴x 1＋x 2＝3.4. [2012·浙江嘉兴]甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数ξ的期望是( )A. 43B. 119C. 1D. 89答案：A解析：依题意，ξ的取值为0,1,2. 且P (ξ＝0)＝(1－23)×(1－23)＝19，P (ξ＝1)＝23×(1－23)＋(1－23)×23＝49，P (ξ＝2)＝23×23＝49.故ξ的期望E (ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝129＝43.5．已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σ2i (x ∈R ，i ＝1,2,3)的图像如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 答案：D解析：正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图像一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6. 若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数，则2D (ξ)－1E (ξ)的最大值为( )A. 2＋2 2B. 2 2C. 2－ 2D. 2－2 2答案：D解析：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，∴E (ξ)＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，D (ξ)＝(0－p )2·(1－p )＋(1－p )2·p ＝p －p 2，∴2D (ξ)－1E (ξ)＝2－(2p ＋1p )，∵0<p <1，∴2p ＋1p ≥22，当且仅当2p ＝1p ，即p ＝22时等号成立，因此当p ＝22时，2D (ξ)－1E (ξ)取最大值2－2 2. 二、填空题(每小题7分，共21分)7．[2011·上海]马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝__________.答案：2解析：设P (ξ＝1)＝x ，则P (ξ＝2)＝1－2x ，P (ξ＝3)＝x ， ∴E (ξ)＝1·x ＋2·(1－2x )＋3·x ＝2.8．[2012·广东江门]已知X ～N (μ，σ2)，P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.68，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.95，某次全市20000人参加的考试，数学成绩大致服从正态分布N (100,100)，则本次考试120分以上的学生约有__________．答案：500解析：依题意可知μ＝100，σ＝10， 由于P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.95， 所以P (80<X ≤120)＝0.95，因此本次考试120分以上的学生约有 20000×(1－0.95)2＝500.9．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________． 答案：乙解析：甲、乙的均值分别为Eξ＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1， Eη＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以Eξ>Eη， 故乙的技术较好．三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q 的值，并求E (ξ)，D(ξ)的值.解：(1)0≤P i ≤1 i ＝1,2，...； (2)p 1＋p 2＋ (1)所以有⎩⎪⎨⎪⎧12＋1－2q ＋q 2＝1，0≤1－2q ≤1，q 2≤1，解得q ＝1－12. 故ξ的分布列应为：所以E (ξ)＝(－1)×12＋0×(2－1)＋1×(32－2)＝1－2，D (ξ)＝[－1－(1－2)]2×12＋[0－(1－2)]2×(2－1)＋[1－(1－2)]2×(32－2)＝2－1.11. [2011·天津]学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)．(1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X )． 解：(1)设A i ＝“在1次游戏中摸出i 个白球”(i ＝0,1,2,3)，则①P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15，②P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12.又A 2与A 3互斥，∴P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.即获奖的概率为710.(2)X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝(1－710)2＝9100，P (X ＝1)＝C 12·710·(1－710)＝2150， P (X ＝2)＝C 22(710)2＝49100. 所以X 的分布列是∴X 的数学期望E (X )＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.12. [2011·福建]某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：且X 1的数学期望E (X 1)(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．解：(1)因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6， 即6a ＋7b ＝3.2.又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1， 即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X 2的概率分布列如下：所以E (X 2)＝3P 222227)＋8P (X 2＝8) ＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性．现由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性．。
人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第7章 复数 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 (3)
7.1.1 数系的扩充和复数的概念课后·训练提升 基础巩固1.(多选题)下列说法正确的是( ) A.若a+bi=0,则a=b=0 B.x+yi=2+2i ⇔x=y=2C.若y ∈R,且(y 2-1)-(y-1)i=0,则y=1D.(1+√3)i 的虚部是1+√3 答案:CD解析:A,B 错误,即a,x 不一定是复数的实部,b,y 不一定是复数的虚部;C 正确,因为y ∈R,所以y 2-1,-(y-1)是实数,所以由复数相等的条件得{y 2-1=0,-(y -1)=0,解得y=1.D 正确,故选CD. 2.若复数z=(m+2)+(m 2-9)i(m ∈R)是正实数,则实数m 的值为( ) A.-2 B.3C.-3D.±3答案:B解析:由题意,得{m 2-9=0,m +2>0,解得m=3,故选B.3.已知复数z 1=a+2i,z 2=3+(a 2-7)i,a ∈R,若z 1=z 2,则a=( ) A.2 B.3C.-3D.9答案:B解析:因为z 1=z 2,所以{a =3,2=a 2-7,解得a=3.4.“a=-2”是“复数z=(a 2-4)+(a+1)i(a ∈R)为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案:A解析:当a=-2时,z=-i,是纯虚数;当z 为纯虚数时,a 2-4=0,且a+1≠0,即a=±2.所以由“a=-2”可以推出“z 为纯虚数”,反之不成立.故选A. 5.若复数z=a 2-3+2ai 的实部与虚部互为相反数,则实数a 的值为 . 答案:1或-3解析:由题意,可知a 2-3+2a=0,解得a=1或a=-3. 6.若(m 2-1)+(m 2-2m)i>1,则实数m 的值为 . 答案:2解析:由题意,得{m 2-2m =0,m 2-1>1,解得m=2.7.已知z 1=-3-4i,z 2=(n 2-3m-1)+(n 2-m-6)i(m,n ∈R),且z 1=z 2,则m= ,n= . 答案:2 ±2解析:由题意,得{n 2-3m -1=-3,n 2-m -6=-4,解得{m =2,n =±2.8.(1)已知x 2-x -6x+1+(x 2-2x-3)i=0,求实数x 的值.(2)若关于x 的方程3x 2-a 2x-1=(10-x-2x 2)i 有实根,求实数a 的值. 解:(1)∵x ∈R,∴由题意可得{x 2-x -6x+1=0,x 2-2x -3=0,x +1≠0,解得-1=(10-m-2m 2)i, 所以{3m 2-a2m -1=0,10-m -2m 2=0,解得a=11或a=-715.9.当实数m 为何值时,复数z=(m 2+m-6)i+m 2-7m+12m+3是下列数?(1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数.解:(1)由{m 2+m -6=0,m +3≠0,解得m=2.故当m=2时,z 是实数. (2)由{m 2+m -6≠0,m +3≠0,解得m≠2,且m≠-3.故当m≠2,且m≠-3时,z 是虚数.(3)由{m 2+m -6≠0,m +3≠0,m 2-7m +12=0,解得m=3或m=4.故当m=3或m=4时,z 是纯虚数.能力提升1.若a,b ∈R,且a>b,那么( ) A.ai>bi B.a+i>b+i C.ai 2>bi 2 D.bi 2>ai 2答案:D解析:因为虚数不能比较大小,故A,B 错误;因为i 2=-1,a>b,所以-a<-b,即ai 2<bi 2,故D 正确.2.复数z=a 2-b 2+(a+|a|)i(a,b ∈R)为实数的充要条件是( ) A.|a|=|b| B.a<0,且a=-b C.a>0,且a≠b D.a≤0答案:D解析:复数z 为实数的充要条件是a+|a|=0,即a≤0.3.已知关于∈R)有一实数根n,且z=m+ni,则复数z 等于( ) A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i答案:B解析:由题意,可知n 2+mn=-2+(2n+2)i,∴{n 2+mn =-2,2n +2=0,解得{m =3,n =-1.∴z=3-i.4.若复数z 1=sin 2θ+icos θ,z 2=cos θ+i √3sin θ(θ∈R),z 1=z 2,则θ等于( )A.kπ(k∈Z)B.2kπ+π3(k ∈Z)C.2kπ±π6(k ∈Z)D.2kπ+π6(k ∈Z)答案:D解析:由题意,可知{sin2θ=cosθ,cosθ=√3sinθ,∴sinθ=12,cosθ=√32.∴θ=π6+2kπ,k∈Z.5.已知z 1=(-4a+1)+(2a 2+3a)i,z 2=2a+(a 2+a)i,其中a ∈R.若z 1>z 2,则a 的取值集合为 . 答案:{0}解析:∵z 1>z 2,∴{2a 2+3a =0,a 2+a =0,-4a +1>2a ,解得a=0.故a 的取值集合为{0}.6.已知复数z 1=m 2+1+(m 3+3m 2+2m)i,z 2=4m-2+(m 2-5m)i,m 为实数.若z 1为实数,z 2为虚数,则m 的取值集合为 . 答案:{-1,-2}解析:∵z 1为实数,z 2为虚数, ∴{m 3+3m 2+2m =0,m 2-5m ≠0,解得m=-1或m=-2. ∴m 的取值集合为{-1,-2}.7.设复数z=log 2(m 2-3m-3)+ilog 2(3-m),m ∈R,若z 是纯虚数,求m 的值. 解:由题意得{m 2-3m -3>0,3-m >0,log 2(m 2-3m -3)=0,log 2(3-m )≠0.解得m=-1. 8.已知集合M={(a+3)+(b 2-1)i,8},N={3i,(a 2-1)+(b+2)i},M∩N≠⌀,求整数a,b 的值.解:由题意,得(a+3)+(b 2-1)i=3i,① 或8=(a 2-1)+(b+2)i,②或(a+3)+(b 2-1)i=(a 2-1)+(b+2)i.③ 由①得a=-3,b=±2. 由②得a=±3,b=-2.由③得a,b 无整数解,不符合题意.经检验,a=-3,b=2或a=-3,b=-2或a=3,b=-2均满足题意. 故a=-3,b=2或a=-3,b=-2或a=3,b=-2.。
(江苏专版)高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.2 线性规划讲义-人教版高三全册数学试题
§7.2线性规划考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 2017线性规划求目标函数最优解 A9题5分填空题★★☆分析解读考查线性规划的试题难度一般中等偏下,复习时试题难度不要拔高.五年高考考点线性规划1.(2017课标全国Ⅰ文改编,7,5分)设x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.答案 32.(2017课标全国Ⅲ文改编,5,5分)设x,y满足约束条件则z=x-y的取值X围是.答案[-3,2]3.(2016某某改编,4,5分)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是.答案104.(2016课标全国Ⅱ,14,5分)若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为.答案-55.(2016某某理改编,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+5y的最小值为.答案 66.(2016课标全国Ⅰ,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.答案216 0007.(2016某某理改编,3,5分)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=.答案38.(2016改编,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为.答案79.(2016课标全国Ⅲ,13,5分)设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为.答案-1010.(2015某某改编,6,5分)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=.答案 211.(2015课标Ⅰ,15,5分)若x,y满足约束条件则的最大值为.答案 312.(2015改编,2,5分)若x,y满足则z=x+2y的最大值为.答案 213.(2015某某改编,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为.答案1814.(2015某某改编,4,5分)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为.答案-715.(2015某某,14,4分)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是.答案 316.(2014某某改编,3,5分)若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=.答案 617.(2014某某改编,5,5分)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解,则实数a的值为.答案2或-118.(2014某某,13,5分)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值X围是.答案19.(2014某某,14,5分)若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最小值为-6,则k=.答案-220.(2014课标Ⅰ改编,9,5分)不等式组的解集记为D.有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是.答案p1,p221.(2013某某,9,5分)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值X围是.答案教师用书专用(22—27)22.(2013某某理,13,5分)若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为.答案-423.(2013某某理,13,5分)给定区域D:令点集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定条不同的直线.答案 624.(2013某某理改编,9,5分)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足||=||=·=2,则点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是.答案425.(2013某某理,13,4分)设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k=.答案 226.(2013课标全国Ⅱ理改编,9,5分)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=.答案27.(2016某某,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混某某料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:原料A B C肥料甲 4 8 3乙 5 5 10现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.解析(1)由已知,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域如图1所示:图1(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.图2解方程组得点M的坐标为(20,24).所以z max=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点线性规划1.(2018某某姜堰中学高三期中)已知x,y满足不等式组则(x+1)2+y2的最大值为.答案2.(2018某某某某高三期中检测)若变量x,y满足且x+2y≥a恒成立,则a的最大值为.答案-43.(2018某某如东高级中学高三学情检测)函数y=log2x的图象上存在点(x,y),满足约束条件则实数m的最大值为.答案 14.(2017某某某某师X大学附中期中,7)若实数x,y满足条件则z=3x-4y的最大值是.答案-15.(2017某某某某、某某一模,6)已知实数x,y满足则的最小值是.答案6.(2017某某某某期末,7)设不等式组表示的平面区域为M,若直线y=kx-2上存在M内的点,则实数k的取值X围是.答案[2,5]7.(2016某某清江中学周练,8)若不等式组表示的平面区域的面积为12,则实数a的值为.答案8B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:15分时间:10分钟)填空题(每小题5分,共15分)1.(2017某某某某暑期调研,13)已知点P是△ABC内一点(不包括边界),且=m+n,m,n∈R,则(m-2)2+(n-2)2的取值X围是.答案2.(2017某某某某中学模拟,13)已知实数x,y满足若不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立,则实数a 的最小值是.答案3.(2017某某中学高三月考,9)已知点P(x,y)满足则点Q(x+y,y)构成的图形的面积为.答案 2C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 二元一次不等式(组)表示的平面区域的判断方法及平面区域应用1.若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是.答案方法2 简单规划问题的求解方法及实际应用2.变量x,y满足(1)设z=,求z的最小值;(2)设z=x2+y2,求z的取值X围.解析由约束条件作出(x,y)的可行域如图所示.由解得A.由解得C(1,1).由解得B(5,2).(1)∵z==,∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知z min=k OB=.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离d的平方,结合图形可知,d min=|OC|=,d max=|OB|=. ∴2≤z≤29.。
高三数学 课堂训练6-2人教版
第6章 第2节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·抚顺市模拟]已知不等式2x ≤x 2的解集为P ，不等式(x －1)(x ＋2)<0的解集为Q ，则集合P ∩Q 等于( )A. {x |－2<x ≤2}B. {x |－2<x ≤0}C. {x |0≤x <1}D. {x |－1<x ≤2}答案：B解析：P ＝{x |x 2－2x ≥0}＝{x |x ≤0或x ≥2}，Q ＝ {x |－2<x <1}，所以P ∩Q ＝{x |－2<x ≤0}，故选B.2. 已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋1x 2，x >01x ，x <0，则f (x )>－1的解集为( )A. (－∞，－1)∪(0，＋∞)B. (－∞，－1)∪(0,1)∪(1，＋∞)C. (－1,0)∪(1，＋∞)D. (－1,0)∪(0,1) 答案：B解析：依题意，若－2x ＋1x 2>－1，则x >0且x ≠1；若1x >－1，则x <－1，综上所述，x ∈(－∞，－1)∪(0,1)∪(1，＋∞)，选B.3. [2012·海南三亚联考]已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A. m ≥1B. m ≤－1C. m ≤－1或m ≥1D. －1≤m ≤1答案：A解析：∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假，得∀x ∈R ，mx 2＋2>0，∴m ≥0. ① 由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假，得∃x 0∈R ，x 20－2mx 0＋1≤0， ∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②， 由①和②得m ≥1，故选A.4. [2012·浙江模拟]已知条件p ：|x －4|<6，条件q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A. [21，＋∞)B. [9，＋∞)C. [19，＋∞)D. (0，＋∞)答案：B解析：|x －4|<6⇔－2<x <10， x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)⇔(x －1)2≤m 2⇔|x －1|≤m (m >0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m >0)， ∵p 是q 的充分不必要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－21＋m ≥10⇔m ≥9.故选B. 5. 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12]恒成立，则a 的最小值是( )A. 0B. －2C. －52D. －3答案：C解析：设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝－a 2.若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在(0，12]上是减函数，应有f (12)≥0⇒a ≥－52，∴－52≤a ≤－1；若－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在(0，12]上是增函数，应有f (0)≥0恒成立，而f (0)＝1>0，故a ≥0；若0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，有a ≥－52，故选C.6. [2012·广西南宁]在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )*(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则 ( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12答案：C解析：依题设得x －a －x 2＋a 2<1恒成立，即(x －12)2＋(a ＋34－a 2)>0恒成立⇔a 2－a －34<0恒成立⇔－12<a <32.二、填空题(每小题7分，共21分)7．已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则不等式f (3x ＋1x －1)>0的解集为__________．答案：{x |－3<x <1}解析：由函数y ＝f (x )的图像可知y ＝f (x )在R 上单调递减，当x ＝2时，有f (x )＝0，所以不等式f (3x ＋1x －1)>0等价于3x ＋1x －1<2，所以3x ＋1x －1－2<0，即x ＋3x －1<0，解得－3<x <1.8. [2012·江西九江]若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是__________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________．答案：(－4,0)；(－∞，－6]∪[2，＋∞) 解析：由Δ1<0即a 2－4(－a )<0，得－4<a <0； 由Δ2≥0即a 2－4(3－a )≥0，得a ≤－6或a ≥2.9. 若不等式f (x )≥0的解集为[－2,4]，g (x )≥0的解集为空集，且f (x )，g (x )均为定义域为R 的函数，则不等式f (x )g (x )>0的解集是__________．答案：(－∞，－2)∪(4，＋∞)解析：由于f (x )≥0的解集为[－2,4]，所以f (x )<0的解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞)；由于g (x )≥0的解集为空集，所以g (x )<0的解集为R .又f (x )g (x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0g (x )>0 ①或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0g (x )<0②，其中①的解集为空集，②的解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，所以不等式f (x )g (x )>0的解集是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足条件：①f (x )＝f (－2－x )；②函数f (x )的图像与直线y ＝x 相切．(1)求f (x )的解析式；(2)若不等式πf (x )>(1π)2－tx 在|t |≤2时恒成立，求实数x 的取值范围．解：(1)由①知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)的对称轴方程是x ＝－1，∴b ＝2a . ∵函数f (x )的图像与直线y ＝x 相切，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋bxy ＝x 有且只有一组解，即ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相同的实根，∴b ＝1，a ＝12，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝12x 2＋x .(2)∵π>1，∴πf (x )>(1π)2－tx 等价于f (x )>tx －2，∵12x 2＋x >tx －2在|t |≤2时恒成立等价于一次函数g (t )＝xt －(12x 2＋x ＋2)<0在|t |≤2时恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<0g (－2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4>0x 2＋6x ＋4>0， 解得x <－3－5或x >－3＋5，故实数x 的取值范围是(－∞，－3－5)∪(－3＋5，＋∞)． 11. 解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.解：原不等式可化为(7x ＋a )(8x －a )<0，即(x ＋a 7)(x －a 8)<0.①当－a 7<a 8，即a >0时，－a 7<x <a8；②当－a 7＝a8，即a ＝0时，原不等式的解集为Ø；③当－a 7>a 8，即a <0时，a 8<x <－a 7.综上知：当a >0时，原不等式的解集为 {x |－a 7<x <a 8}；当a ＝0时，原不等式的解集为Ø； 当a <0时，原不等式的解集为 {x |a 8<x <－a 7}． 12. 已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)． (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实数根，求f (x )的解析式； (2)若函数g (x )＝xf (x )无极值，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)，∴f (1)＝a ＋b ＋c ＝－2，①f (3)＝9a ＋3b ＋c ＝－6.②又∵f (x )＋6a ＝ax 2＋bx ＋c ＋6a ＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4a (c ＋6a )＝0，③ 由①②③解得a ＝－15或a ＝1.又∵f (x )>－2x 的解集为(1,3)， ∴a <0，故a ＝－15，b ＝－65，c ＝－35，∴f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由①②得b ＝－2－4a ，c ＝3a ， ∴g (x )＝ax 3＋(－2－4a )x 2＋3ax ， g ′(x )＝3ax 2＋2(－2－4a )x ＋3a . ∵g (x )无极值，∴方程g ′(x )＝0无实根或有两个相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝4(－2－4a )2－36a 2≤0， 解得－2≤a ≤－27.。
高三数学习题课教案(通用10篇)
高三数学习题课教案（通用10篇）高三数学习题课教案 1一、教材简析：本节课是在认识了角及量角器量角的基础上教学的。
角的度量是测量教学中难点较大的一个知识点。
上节课学生第一次认识量角器，第一次学习用量角器量角，学生掌握这部分知识还不是特别熟练，学习这部分内容为学生牢固掌握角的度量，为后面学习角的分类和画角打下基础。
二、教学目标：1、通过练习，使学生巩固量角器量角的方法，能正确、熟练地测量指定角的度数。
2、通过练习，提高学生观察和动手操作的能力。
3、使学生能积极参与学习活动，培养学生细心的习惯并获得成功的体验，能运用角的知识描述相应的生活现象，感受用实验数据说明问题的实事求是的态度与方法。
三、教学重点：掌握正确的量角方法，熟练的测量角的度数。
教学难点：1、测量不同方位角，量角器的正确摆放;2、量角时正确选择内外圈刻度，找准度数。
四、教具准备：教师用的量角器、课件学具准备：量角器、三角板、画图铅笔、尺子五、教学方法：比较教学法、探究式教学法六、预设教学过程：(一)复习：交流怎样用量角器量角?师课件动画演示，重现巩固方法。
板书：两重一看(设计意图：第一节课学生练习量不够，量角方法没有得到巩固，知识回生快，用课件动态的演示，可加深对量角方法的理解，为本堂课的练习打下基础。
此环节的设计，符合人的遗忘规律。
)(二)基本练习1、看量角器上的刻度，说出各个角的度，完成P20第4题。
课件出示第一幅图，想想说说：这个角是多少度?怎么看的度数?让不同意见学生发表意见。
明确量角时把与0刻度线重合的边作为始边，始边对的0刻度在内圈，另一条边就看内圈刻度，始边对的0刻度在外圈，另一条边就看外圈刻度。
学生说出另两幅图上角的.度数。
(设计意图：本题练习主要是解决量角时读准另一条边的度数。
学生交流不同的读法，在讨论中加深印象，巩固方法。
)2、量出下面各个角的度数，完成P20第5题。
先照着图中量角器的摆法量出不同方向的角的度数，初步感知调整量角器量角。
2020新教材人教A版必修第二册第七章 7.2 7.2.2 课后课时精练
B．－35
4 C.5
D．－54
答案 D 解析 因为 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1－2i，所以 z2＝－1－2i，zz21＝－1－1－2i2i＝1－－21i＋12＋i22i＝－－53＋4i＝53－54i，所以其虚部 为－54.
答案
解析
二、填空题 7．若复数(1＋ai)2(i 为虚数单位，a∈R)是纯虚数，则复数 1＋ai 的模是 ________．
答案 2
解析 因为(1＋ai)2＝1－a2＋2ai 是纯虚数，所以 1－a2＝0 且 2a≠0，所 以 a2＝1，复数 1＋ai 的模为 1＋a2＝ 2.
答案
解析
8．定义运算ac ________.
db＝ad－bc，则符合条件1z
－1＝4＋2i ，z3＝－1，z4＝－21－ 23i，z5＝12－ 23i，z6＝1，
所以原式＝12＋ 23i＋(－1＋
3i)＋(－3)＋(－2－2
3i)＋
52－5
2
3i＋6
＝3－3 3i.
答案
2．已知复数 z 满足|z|＝ 2，z2 的虚部为 2. (1)求复数 z； (2)设 z，z2，z－z2 在复平面内对应的点分别为 A，B，C，求△ABC 的面 积．
所以
z－z ＝－
43＋4i －
43－4i ＝14.
答案
解析
三、解答题 10．在复数范围内解下列方程： (1)9x2＋64＝0；(2)x2＋5x＋7＝0.
解 (1)移项，得 9x2＝－64， 二次项系数化为 1，得 x2＝－694， 因为83i2＝－83i2＝－694， 所以原方程的根为 x＝±38i.
A．12＋13i B．13＋12i C．－13i D．13i
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第7章第2节
时间：45分钟满分：100分
一、选择题(每小题7分，共42分)
1. [2011·四川]l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()
A. l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B. l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C. l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D. l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
答案：B
解析：举反例．由教室内共点的三条墙角线可知A、D是错误的；由三棱柱的三条侧棱可知C是错误的．故选B.
2. [2012·济宁一模]已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()
A．AB∥CD
B．AB与CD异面
C．AB与CD相交
D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
答案：D
解析：若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.
3．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC 与平面β的交线是()
A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
答案：C
解析：∵D∈l，l β，∴D∈β，
又∵D∈BA，AB 面ABC，∴D∈面ABC，
即D在平面ABC与面β的交线上，
又∵C∈面ABC，C∈β，∴C在面β与面ABC的交线上．
从而有面ABC∩面β＝CD.
4．[2012·南昌调研]已知a ，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a ，b 在平面α上的射影不可能是( )
A ．两条平行直线或两条互相垂直的直线或一条直线及其外一点
B ．两条平行直线或两条互相垂直的直线
C ．同一条直线
D ．两条互相垂直的直线或一条直线及其外一点 答案：C
解析：可结合正方体与各选项知，满足题意的两条异面直线a ，b 在平面α上的射影对于A 、B 、D 中的情形均有可能，因此选C.
5. [2011·广东]正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )
A ．20
B ．15
C ．12
D ．10
答案：D
解析：如图，在正五棱柱ABCDE —A 1B 1C 1D 1E 1中，从顶点A 出发的对角线有两条：AC 1、AD 1，同理从B 、C 、D 、E 点出发的对角线也有两条，共2×5＝10条．
6．如图：四面体P －ABC 为正四面体，M 为PC 的中点，则BM 与AC 所成的角的余弦值为( )
A.3
2
B.36
C.12 D ．0
答案：B
解析：取AP 中点N ，连接MN ，BN ， ∵M 为PC 的中点， ∴MN ∥AC .
∴∠BMN 或其补角为BM 与AC 所成的角．
∵四面体P －ABC 为正四面体，设棱长为2. 则BM ＝3，MN ＝1，BN ＝3， 在△BMN 中，
cos ∠BMN ＝(3)2＋12－(3)22×3×1＝123＝3
6.
二、填空题(每小题7分，共21分)
7. 已知线段AB 、CD 分别在两条异面直线上，M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，则MN __________1
2
(AC ＋BD )(填“>”，“<”或“＝”)．
答案：<
解析：如图所示，四边形ABCD 是空间四边形，而不是平面四边形，要想求MN 与AB 、CD 的关系，必须将它们转化到平面来考虑．我们可以连接AD ，取AD 的中点为G ，再连接MG 、NG ，在△ABD 中，M 、G 分别是线段AB 、AD 的中点，则MG ∥BD ，且MG ＝1
2BD ，
同理，在△ADC 中，NG ∥AC ，且NG ＝1
2AC ，又根据三角形的三边关系知，MN <MG ＋NG ，
即MN <12BD ＋12AC ＝1
2
(AC ＋BD )．
8．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．
答案：1或4
解析：若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．
9．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为黄金异面直线对，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，连接正方体各顶点的所有直线中，与AC 构成黄金异面直线对的直线共有__________条．
答案：4
解析：如图，几何体ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体，与AC 构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A ′B ，BC ′，A ′D ，C ′D .
三、解答题(10、11题12分、12题13分)
10. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 、N 分别是AA 1、D 1C 1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与正方体下底面相交于直线l .
(1)画出直线l 的位置；
(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求PB 1的长．
解：(1)如图，延长DM 交D 1A 1的延长线于点P ′，连接NP ′，则直线NP ′即为所求直线l .由于P ′＝DM ∩D 1A 1且DM 面DMN ，D 1A 1 面A 1B 1C 1D 1.
∴P ′∈面DMN ∩面A 1B 1C 1D 1.又N ∈面DMN ∩面A 1B 1C 1D 1， ∴由公理3知直线NP ′为面DMN 与面A 1B 1C 1D 1的交线． (2)由
DD 1MA 1＝D 1N A 1P ＝2得B 1P ＝34A 1B 1＝3
4
a . 11．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1A 、C 1C 的中点，求证：四边形BED 1F 是菱形．
证明：如图所示，取B 1B 的中点G ，连接GC 1，EG ，
∵GB 綊C 1F ，
∴四边形C 1FBG 是平行四边形， ∴FB 綊C 1G . ∵D 1C 1綊EG ，
∴四边形D 1C 1GE 为平行四边形． ∴GC 1綊D 1E ，∴FB 綊D 1E ， ∴四边形BED 1F 为平行四边形． 又∵FB ＝FD 1，∴四边形BED 1F 为菱形．
12. [2011·重庆]如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB ⊥BC ，AD ＝CD ，∠CAD ＝30°.
(1)若AD ＝2，AB ＝2BC ，求四面体ABCD 的体积；
(2)若二面角C —AB —D 为60°，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值． 解：(1)如图，设F 为AC 的中点，连接DF .
∵AD ＝CD ，∴DF ⊥AC .故由平面ABC ⊥平面ACD ，知DF ⊥平面ABC ，即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高，
且DF ＝AD sin30°＝1，AF ＝AD cos30°＝ 3. 在Rt △ABC 中，∵AC ＝2AF ＝23，AB ＝2BC ， 由勾股定理易知BC ＝2155，AB ＝4155.
故四面体ABCD 的体积
V ＝13·S △ABC ·DF ＝13×12×4155×2155＝4
5
.
(2)如图，设G ，H 分别为边CD ，BD 的中点，连接FG ，GH ，FH .则FG ∥AD ，GH ∥BC ，从而∠FGH 是异面直线AD 与BC 所成的角或其补角．
设E 为边AB 的中点，连接EF ，DE .则EF ∥BC ，由AB ⊥BC ，知EF ⊥AB .
又由(1)有DF ⊥平面ABC ，故由三垂线定理知DE ⊥AB .∴∠DEF 为二面角C —AB —D 的平面角．由题设知∠DEF ＝60°.
设AD ＝a ，则DF ＝AD ·sin ∠CAD ＝a
2
.
在Rt △DEF 中，EF ＝DF tan ∠DEF ＝a 2·33＝3
6a ，
从而GH ＝12BC ＝EF ＝3
6
a .
∵Rt △ADE ≌Rt △BDE ，故BD ＝AD ＝a ，从而，在Rt △BDF 中，FH ＝12BD ＝a
2.
又FG ＝12AD ＝a
2，则在△FGH 中，由余弦定理得
cos ∠FGH ＝FG 2＋GH 2－FH 22FG ·GH ＝GH 2FG ＝3
6.
因此，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为
3
6
. 点评：立体几何问题条件中若出现了面面垂直，一般需转化为线面垂直，再进行有关推论．求角问题即可利用相关定义进行转化求解，又可建立空间直角坐标系利用向量法求解．。