三维轴对称不可压Navier—Stokes方程的奇异性结构
第十讲 不可压缩Navier-Stokes方程的求解
Pij p ij 2ij
连续介质微元体的受力平衡： 应力的概念
热力学压力—— 由分子动力学性质决定 —— 状态方程 完全气体：
p RT
热力学压力
p
p n pn
p
可压缩N-S方程： 动力学与热力学耦合；动力学压力= 热力学压力 不可压缩N-S方程： 动力学与热力学解耦 由不可压缩条件确定压力 （纯动力学概念）
1
p V 0 t V 1 2 V V p V t Re
p n 1 p n )
对于非定常问题，需要内迭代 （效率较低）
V 0 V 1 2 V V p V t Re
p V 0 t V 1 2 V V p V t Re
u13 u 23 u 33
u1n u2n u3 n u nn
a j x j 1 b j x j c j x j 1 d j
x j Aj x j 1 B j
2
Copyright by Li Xinliang
知识回顾
迭代法
2u 2u f ( x, y ) x 2 y 2 u g ( x, y )
a11 a12 0 a 22 A 0 0 0 0
a13 a23 a 33 0
0
a1n a2 n a 3n ann
a11 LU分 a21 解法 a 31 an1
追赶法：
a12 a22 a32 an 2
ui 1, j ui 1, j ui, j 1 ui, j 1 4ui , j f i , j 2
5 Navier-Stokes方程的解(课堂PPT)
主要原因有三个：
6
5 Navier-Stokes方程的解
ux 0 x
即：运动速度u与坐标轴x无关，
ux u u( y, z,t)
uy 0 uz 0
10
5.1 平行流动
为方便起见，忽略质量力，X＝Y＝Z＝0，将 此代入N-S方程的y、z方向项：
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
1
p y
2u y x 2
2u y y 2
②当B>0即时的流动称为顺压强梯度流动， 压强沿流动方向逐渐降低，顺压梯度流动u>0；
③当B<0即时的流动称为逆压强梯度流动， 逆压强梯度流动有可能出现回流；
19
5.1.1 Couette剪切流
④当B＝-1即时的逆压梯度流动是不产生 回流的极限状况；
⑤当B<-1即时的逆压梯度流动开始产生回 流；
⑥当B<-3即时，Q＝0，逆压梯度对流动 的回流作用与上板拖动形成的流量相平衡。
(2) 充分发展的圆管层流流动
流动的N-S方程可写为
1 p 0
r
1 p 0
r
1 p 2u u 0 x r 2 rr
由上述可知，压强p只与x坐标有关而与(r, θ)坐标
无关， p＝p(x)
dp p
dx x
27
5.1.2 Poiseuille流动
三维不可压Navier-Stokes方程组模型的整体适定性
第19卷第6期南阳师范学院学报Vol.19No.62020年11月Journal of Nanyang Normal UniversityNov.2020收稿日期:2020-08-18作者简介:邵曙光(1980 ㊀),河南驻马店人,博士,副教授,主要从事偏微分方程方面研究.三维不可压Navier-Stokes 方程组模型的整体适定性邵曙光(南阳师范学院数学与统计学院,河南南阳473061)㊀㊀摘㊀要:研究一个新的三维不可压缩Navier-Stokes 方程组模型,新模型与经典的三维不可压缩Navier-Stokes 方程组相比较,模型中方程的对流项u ㊃▽u 被调整为(D-12u )㊃▽u ,其中D =▽是一个傅里叶乘子,其特征是m (ξ)=ξ.利用能量估计方法和Sobolev 空间的相关理论,证明了当任意初值属于L 2(ℝ3)时,该Navier-Stokes 方程组模型的柯西问题是整体适定的.关键词:Navier-Stokes 方程组;不可压流体;整体适定性;能量估计中图分类号:O 175.2㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀文章编号:1671-6132(2020)06-0013-070㊀引言经典三维不可压缩Navier-Stokes 方程组如下所示:∂t u +(u ㊃▽)u +▽p =Δu ,▽㊃u =0,u t =0=u 0,ìîíïïïï(1)其中,u :[0,T )ˑℝ3ңℝ3表示速度场,p :[0,T )ˑℝ3ңℝ是压力函数,u 0:ℝ3ңℝ3是初始条件,模型(1)中流体运动的黏度系数标准化为1.众所周知,Navier-Stokes 方程组(1)的整体适定性是一个重要的未解决问题[1-8].解决这个问题的关键是能量估计,而目前所知的最强的先验估计关于自然伸缩变换的斯托克斯方程也是超临界的.著名的能量等式如下式所示.12u (t ,㊃) 2L 2+ʏt 0▽u (tᶄ,㊃) 2L2d tᶄ=12u 0 2L 2,∀t ȡ0.(2)Navier-Stokes 方程的自然尺度变换定义为:u λ(t ,x )=λαu (λ2t ,λx ),p λ(t ,x )=λα+1p (λ2t ,λx ),λ>0.为了证明Navier-Stokes 方程整体解的存在性,需要建立在自然尺度变换下范数不变的巴拿赫空间E ,在这里我们取E 为L 2空间,即满足 u λ(t ,㊃) 2L 2= u (t ,㊃) 2L2,由方程组(1)的第一个方程,经过计算可以得到α=3/2.因此,关于Navier-Stokes 方程组(1)的伸缩变换定义为:u λ(t ,x )=λ32u (λ2t ,λx ),p λ(t ,x )=λ52p (λ2t ,λx ),λ>0.(3)长时间以来,标准的伸缩变换方法[3]显示,Navier-Stokes 方程的结构,特别是能量等式(2)和不可压条件对于解决方程组(1)的整体适定性是非常重要的.我们已经观察到由于流体的不可压性,随着时间接近于潜在的奇异时间点[9-10]Navier-Stokes 方程的局部结构可能会导致维数降低.本文中,我们将从另一个角度考虑Navier-Stokes 方程组的整体适定性问题.建立下列模型.南阳师范学院学报㊀第19卷㊀∂t u +(D -12u )㊃▽u +▽p =Δu ,▽㊃u =0,u t =0=u 0.ìîíïïïï(4)这是一个三维不可压Navier-Stokes 方程组的新模型,与经典的三维不可压Navier-Stokes 方程组相比较,我们把方程的对流项u ㊃▽u 调整为(D-12u )㊃▽u.其中D =▽是一个傅里叶乘子,其特征是m (ξ)=ξ.为了证明需要,首先给出Leray 投影的定义::=Id -Δ-1▽▽㊃.事实上,在傅里叶变换意义下关于散度为零的向量场的Leray 投影定义如下.F (f )j(ξ)=f^j(ξ)-1|ξ|2ð3k =1ξj ξkf^k(ξ)=ð3k =1(δj ,k -1)ξj ξk |ξ|2f^k (ξ).其中,δjk =1(j =k ),δjk =0(j ʂk ).把Leray 投影算子作用到Navier-Stokes 系统(4),同时定义Q NS 为Q NS (u ,v )=-12P (div((D -12u ) v )+div(v (D -12u ))),则可以得到∂t u -Δu =Q NS (u ,u ),▽㊃u =0,u t =0=u 0.ìîíïïïï(5)这里,Q NS 是一个双线性算子.本文中,定义双线性映射Q j(u ,v )=ðk ,l ,mqj ,m k ,l∂m ((D-12u k )v l ),其中q j ,m k ,l 是傅里叶乘子,定义为q j ,mk ,l a=ðn ,pαj ,m ,n ,p k ,lF-1ξn ξp|ξ|2a ^(ξ)(),这里αj ,m ,n ,p k ,l 是实数.从以上叙述可以看出,不可压Navier-Stokes 系统(4)是如下系统.∂t u -Δu =Q (u ,u ),▽㊃u =0,u t =0=u 0ìîíïïïï(6)的一个特殊情况.这里算子Q (u ,u )定义为Q (u ,u )=-12P (div((D -12u ) u )+div(u (D -12u ))).1㊀主要研究结果定理㊀假设u 0ɪL 2(ℝ3),并且div u 0=0,则三维不可压缩Navier-Stokes 方程组模型(4)是整体适定的.需要强调,在文献[11-13]中给出的三维不可压Navier-Stokes 方程模型都满足能量守恒.这些模型用与角速度㊁角涡度和角流函数有关的新变量来刻画.原始三维不可压Navier-Stokes 方程模型和用新变量改写之后的Navier-Stokes 方程模型之间的唯一区别是在新的模型中某些对流项被忽略,新模型保留了几乎完整的三维欧拉或Navier-Stokes 方程的性质.特别是,关于这个模型的没有漩涡的轴对称Navier-Stokes 方程的整体解也是存在的,这被认为是新的Navier-Stokes 方程模型有效性的一个标准.如果对于带有好始值的模型可以构造奇异解,那么可能会产生一个更加令人信服的结论:研究Navier-Stokes 方程模型的全局正则性问题时,必须考虑更加精细的结构,特别是对流项对Navier-Stokes 方程的影响.稍显遗憾的是,目前仅在文献[11,14]中做了这方面的研究.2㊀准备工作主要研究结果的证明需要利用齐次Sobolev 空间的定义和一些基本性质以及压缩映射不动点定理,我们在这里做一个简要回顾和证明[15].㊃41㊃㊀第6期邵曙光:三维不可压Navier-Stokes 方程组模型的整体适定性定义1㊀设s ɪℝ,齐次Sobolev 空间H ㊃s (ℝN )是u 在ℝN 上的调和分布意义下的空间,其傅里叶变换属于L 1loc (ℝN )且满足 u 2H㊃s =ʏℝNξ2su^(ξ)2d ξ<ɕ.性质1㊀设s 0ɤs ɤs 1则H ㊃s0ɘH ㊃s1包含于H ㊃s ,并且有 u H㊃s ɤ u 1-θH ㊃s 0 u θH㊃s 1.其中,s =(1-θ)s 0+θs 1.性质2㊀设s ɪ[0,N2),则空间H ㊃s (ℝN )连续嵌入到空间L 2N N -2s(ℝN ).性质3㊀设p ɪ(1,2],则空间L p (ℝN )连续嵌入空间H ㊃s (ℝN ),其中,s =N 2-N p.引理1㊀假设X 是一个巴拿赫空间,B 是从X ˑX 到X 的连续双线性映射,α是一个正实数,且满足α<14 B, B =sup u , v ɤ1 B (u ,v ) ,(7)则对包含于巴拿赫空间X 的球B (0,α)中的任意一点a ,存在唯一的x ɪB (0,2α),使得x =a +B (x ,x )成立.证明:定义经典迭代x 0=a ,x n +1=a +B (x n ,x n ).由此可以推出, x n ɤ2α.事实上,由(7)及x n +1的定义,可得x n +1 ɤα+ B (x n ,x n ) ɤα+ B x n 2ɤα+4 B α2ɤα(1+4α B )ɤ2α.由此可知,序列(x n )n ɪN 在球B (0,2α)的内部.另外,x n +1-x n =B (x n ,x n )-B (x n -1,x n -1)=B (x n ,x n )-B (x n -1,x n )+B (x n -1,x n )-B (x n -1,x n -1)=B (x n -x n -1,x n )+B (x n -1,x n -x n -1).进一步可以得到x n +1-x n ɤ B (x n -x n -1,x n ) + B (x n -1,x n -x n -1) ɤ B x n -x n -1 x n + B x n -x n -1 x n -1 ɤ B x n -x n -1 ( x n + x n -1 )ɤ4α B x n -x n -1 .由条件(7),有4α B <1,因此,(x n )n ɪN 是X 中的一个柯西序列,其极限是x =a +B (x ,x )的一个不动点,且属于球B (0,2α).下面证明唯一性.事实上,如果假设x 和y 是两个不同的不动点,则x -y =B (x ,x )-B (y ,y )=B (x -y ,y )+B (x ,x -y ),因此有x -y = B (x ,x )-B (y ,y ) = B (x -y ,y )+B (x ,x -y ) ɤ B (x -y ,y ) + B (x ,x -y ) ɤ B x -y y + B x -y x ɤ4α B x -y .又因为4α B <1,所以x =y.引理2㊀假设Q (u ,v )由不可压三维Navier-Stokes 系统(6)中的规定所定义,那么存在常数C 使得Q (u ,v ) L 2T(H ㊃-1)ɤC u L 4T (H ㊃12)vL 4T (H ㊃12).(8)证明:由Q (u ,v )的定义和性质2,可得Q (u ,v ) H㊃-1= -12(div((D -12u ) v )+div(v (D -12u ))) H ㊃-1ɤC div((D -12u ) v )+div(v (D-12u ))) H㊃-1ɤC div((D-12u ) v ) H㊃-1+C div(v (D -12u )) H㊃-1ɤC ((D-12u ) v ) L 2+C (v (D-12u )) L 2ɤC D -12u L 6 v L 3ɤC D-12u H ㊃1 v H ㊃1/2ɤC u H ㊃1/2 v H㊃1/2.(9)再用Hölder s 不等式即可得到下面的估计.Q (u ,v ) L 2T(H ㊃-1)ɤC u L 4T(H ㊃1/2) v L 4T (H ㊃1/2).(10)㊃51㊃南阳师范学院学报㊀第19卷㊀引理3㊀令u ɪC ([0,T ];S ᶄ(ℝ3))是柯西问题∂t u -Δu =Q (u ,u ),▽㊃u =0,u t =0=u 0ìîíïïïï(11)的解,其中Q (u ,u )ɪL 2([0,T ];H ㊃-1),u 0ɪL 2(ℝ3),则有u ɪɘɕp =2L p ([0,T ];H ㊃2/p )()ɘC ([0,T ];H ㊃0).(12)同时,下面两个估计式成立.ʏℝ3sup 0ɤtᶄɤtu^(tᶄ,ξ)()2d ξ()1/2ɤ u 0 L 2+12Q (u ,u ) L 2T(H ㊃-1),(13)u (t ) L p T(H ㊃2/p)ɤ u 0 L 2+ Q (u ,u ) L 2T(H ㊃-1).(14)证明:傅里叶空间的Duhamel s(杜哈梅)公式可以表示为u^(t ,ξ)=e -t|ξ|2u ^0(ξ)+ʏt 0e-(t -tᶄ)|ξ|2Q ^(tᶄ,ξ)d tᶄ.(15)由(15)可得u^(t ,ξ)ɤe-t ξ2u ^0(ξ)+ʏte-(t -tᶄ)|ξ|2Q ^(tᶄ,ξ)d tᶄɤu^0(ξ)+ʏt 0e-(t -tᶄ)|ξ|2Q ^(tᶄ,ξ)d tᶄ.(16)利用柯西-施瓦茨不等式,由(16)可得sup0ɤtᶄɤtu^(tᶄ,ξ)ɤu ^0(ξ)+ʏt 0e-(t -tᶄ)|ξ|2Q ^(tᶄ,ξ)d tᶄɤu^0(ξ)+ʏt 0e -(t -tᶄ)|ξ|2()2d tᶄ()1/2ʏt 0Q ^(tᶄ,ξ)2d tᶄ()1/2ɤu ^0(ξ)+12ξ2Q ^(tᶄ,ξ) L 2([0,t ]).(17)对(17)式关于d ξ作L 2范数,可以进一步推出U (t )=ʏℝ3sup0ɤtᶄɤtu^(tᶄ,ξ)()2d ξ()1/2ɤ u^0L 2+ʏℝ312ξ2Q ^(tᶄ,ξ) L 2([0,t ])()2d ξ()1/2ɤ㊀ u^0L 2+12ʏℝ3ξ-2ʏt 0Q ^(tᶄ,ξ)2d tᶄd ξ()1/2ɤu^0L 2+12ʏt 0ʏℝ3ξ-2Q ^(tᶄ,ξ)2d ξ()d tᶄ()1/2ɤ㊀u^0 L 2+12ʏt 0Q ^(tᶄ,ξ) 2H㊃-1()1/2ɤ u 0 L 2+12Q (u ,u ) L 2T(H ㊃-1).(18)由(18)就得到了(13)想要的结果.又因为对几乎所有固定的ξɪℝ3,映射t u^(t ,ξ)在区间[0,T ]上连续,由Lebesgue 控制收敛定理可知u ɪC ([0,T ];H ㊃0).现在,证明(14).由Duhamel s 公式(15)容易得到u L p T(H ㊃2/p)ɤ e -t|ξ|2u^0(ξ) L p T(H ㊃2/p )+ ʏt 0e-(t -tᶄ)|ξ|2Q ^(tᶄ,ξ)d tᶄ L p T(H ㊃2/p)=A 1+A 2.(19)首先估计A 1.利用Hermann Minkowski 不等式可得㊀A 1=ʏt 0ʏℝ3e -2tᶄ|ξ|2|ξ|4/pu^0(ξ)2d ξ()p /2d tᶄ()1/pɤʏℝ3ʏt 0ξ4pe-2tᶄ|ξ|2u ^0(ξ)2()p /2d tᶄ()2/pd ξ()1/2ɤ㊀ʏℝ3ʏt 0(ξ2e-ptᶄ|ξ|2u^0(ξ)pd tᶄ()2/p d ξ()1/2ɤʏℝ3ξ2u^0(ξ)pʏt 0e-ptᶄ|ξ|2d tᶄ()2/pd ξ()1/2ɤ㊀ʏℝ3u ^(ξ)2d ξ()1/2ɤ u 0 L 2.(20)同理可得A 2ɤ Q (u ,u ) L 2T(H ㊃-1).(21)㊃61㊃㊀第6期邵曙光:三维不可压Navier-Stokes 方程组模型的整体适定性综合(19)(20)和(21)的结果,可以得到(14),引理证明完毕.3㊀局部适定性为了构造局部解,首先令B (u ,v )是热方程∂t B (u ,v )-ΔB (u ,v )=Q (u ,v ),▽㊃B (u ,v )=0,B (u ,v )t =0=0ìîíïïïï(22)的解.求解(6)归结为寻找映射u e t әu 0+B (u ,u )(23)的一个不动点.接下来,我们将在合适的巴拿赫空间通过压缩映射不动点定理来求解(6).利用引理1,可以证明映射(23)在空间L 4T (H㊃1/2)中存在唯一的依赖于时间T 的不动点.在引理3中,令p =4,再利用不等式(14)和引理2可以得到B (u ,v ) L 4T(H ㊃1/2)ɤ Q (u ,v ) L 2T(H ㊃-1)ɤC u L 4T(H ㊃1/2) v L 4T(H ㊃1/2).进一步可以得到14 B ȡ14C,根据引理1我们知道,如果e t Δu 0 L 4T(H ㊃1/2)ɤ14C 0,(24)那么在以0为心以12C 0(C 0>C )为半径的球内,存在方程组(6)的唯一解,且解属于空间L 4T (H ㊃12).现在来验证条件(24)成立.在引理3中,令p =4,再利用不等式(14),则对于任意时间T >0有e t Δu 0 L 4T(H ㊃1/2)ɤ u 0 L 2(ℝ3).(25)如果 u 0 L 2(ℝ3)ɤ14C 0,那么小性条件(25)是满足的,此时方程存在整体解.再考虑大初值的情况.对于任意初值u 0ɪL 2(ℝ3),把u 0分成两部分,其中一小部分在L 2上,而另外很大一部分的傅里叶变换的支集是紧的.为此,固定某个正实数r u 0,则有ʏξȡr uu^0(ξ)2d ξ()1/2ɤ18C 0.定义u ^b 0=F -1(1B (0,r u 0)u ^0),并利用(25)可得 e t әu 0 L 4T(H ㊃1/2)ɤ18C 0+ e t әu ^b 0 L 4T (H ㊃1/2).同时,注意到 e t әu ^b 0 L 4T(H ㊃1/2)=ʏT 0ʏe-2t|ξ|2ξu ^b 0(ξ)2d ξ()2d t()1/4ɤʏT 0r 2u 0ʏe-2t|ξ|2u ^b 0(ξ)2d ξ()2dt()1/4ɤ㊀㊀r 1/2u 0ʏT 0ʏe-2t|ξ|2u ^b 0(ξ)2d ξ()2d t()1/4ɤr 1/2u 0T1/4u 0 L 2(ℝ3).因此,当r1/2u 0T1/4u 0 L 2(ℝ3)ɤ18C 0,即T ɤ18C 0r 1/2u 0 u 0 L 2(ℝ3)()4时,条件(25)满足.根据引理1,可知系统(6)的解在空间L 4T (H㊃1/2)中是唯一的.解的局部适定性得到了证明.4㊀定理的证明证明:对系统(6)做基本能量估计,首先在方程∂t u -Δu =Q (u ,u )的两边同乘以u ,然后分部积分可得ʏℝ3∂t u ㊃u d x -ʏℝ3Δu ㊃u d x =ʏℝ3Q (u ,u )㊃u d x.进一步计算可得12dd t u (t ,㊃) 2L 2+ ▽u (t ,㊃) 2L2=-ð1ɤj ɤ3ʏℝ3u j▽㊃(u j(D -12u ))d x +ð1ɤj ,k ,l ɤ3ʏℝ3u j∂j (Δ-1∂k ∂l ((D -12u k )u l ))d x =㊀㊀㊀㊀-12ʏℝ3(D-12▽㊃u )u2d x -ð1ɤk ,l ɤ3ʏℝ3(▽㊃u )ә-1∂k ∂l ((D-12u k )u l )d x =0.整理上式后可以得到 u (t ,㊃) 2L2+2ʏt 0▽u (tᶄ,㊃)2L2d tᶄ= u 0 2L2.㊃71㊃南阳师范学院学报㊀第19卷㊀其次,在方程∂t u -Δu =Q (u ,u )的两边同乘以u t ,然后分部积分可得ʏℝ3∂t u ㊃u t d x -ʏℝ3Δu ㊃u t d x =ʏℝ3Q (u ,u )㊃u t d x =ʏℝ3-12(div((D -12u ) u )+div(u (D -12u )))㊃u t d x.利用柯西-施瓦兹不等式,可得u t 2L 2+12d d t ▽u (t ,㊃) 2L 2ɤC D -12u ㊃▽u L 2 u t L 2ɤ12 u t 2L 2+C 2D -12u ㊃▽u 2L2.进一步整理后可得12d d t ▽u (t ,㊃) 2L 2+12 u t 2L 2ɤC 2D -12u ㊃▽u 2L2.(26)对(26)的右边应用Hölder s 不等式,可得d d t▽u (t ,㊃) 2L 2+ u t 2L 2ɤC D -12u ㊃▽u 2L 2ɤC D -12u 2L 4 ▽u 2L 4.再利用性质2,进一步有d d t▽u (t ,㊃) 2L 2+ u t 2L 2ɤC D -12u ㊃▽u 2L 2ɤC D-12u 2L 4 ▽u 2L4ɤC D -12u 2H ㊃3/4 ▽u 2H ㊃3/4ɤC u 2H ㊃1/4 ▽u 2H㊃3/4.(27)对(27)右边的最后一个式子应用性质1可得d d t▽u (t ,㊃) 2L 2+ u t 2L 2ɤC D -12u ㊃▽u 2L 2ɤC D -12u 2L 4 ▽u 2L 4ɤC D-12u 2H ㊃3/4 ▽u 2H ㊃3/4ɤC u 2H ㊃1/4 ▽u 2H㊃3/4ɤC u 32H ㊃0u 12H ㊃1▽u 12H ㊃0▽u 32H ㊃1ɤC u 32L 2▽u L 2 ▽2u 32L 2.(28)另外,从Navier-Stokes 方程Δu -▽p =∂t u +(D-12u )㊃▽u 本身出发,方程两边同时取L 2范数,可得▽2u L 2ɤC 1 u t L 2+C 2 D -12u ㊃▽u L 2.对上式右端的第二部分应用Hölder s 不等式,得到▽2u L 2ɤC 1 u t L 2+C 2 D-12u ㊃▽u L 2ɤC 1 u t L 2+C 2 D-12u L 4 ▽u L 4.(29)利用性质2,由(29)进一步可得▽2u L 2ɤC 1 u t L 2+C 2 D-12u ㊃▽u L 2ɤC 1 u t L 2+C 2 D -12u L 4 ▽u L 4ɤ㊀㊀㊀C 1 u t L 2+C 2 D-12u H ㊃3/4 ▽u H ㊃3/4ɤC 1 u t L 2+C 2 u H ㊃1/4 ▽u H㊃3/4.(30)再利用性质1,由(30)进一步有▽2u L 2ɤC 1 u t L 2+C 2 D -12u ㊃▽u L 2ɤC 1 u t L 2+C 2 D-12u L 4 ▽u L 4ɤC 1 u t L 2+C 2 D-12u H ㊃3/4 ▽u H ㊃3/4ɤC 1 u t L 2+C 2 u H ㊃1/4 ▽u H㊃3/4ɤC 1 u t L 2+C 2 u 34H ㊃0 u 14H ㊃1▽u 14H ㊃0▽u 34H ㊃1ɤC 1 u t L 2+C 2 u 34H ㊃0▽u 12H ㊃0▽u 34H ㊃1ɤC 1 u t L 2+C 2 u 34L 2▽u 12L 2▽2u 34L 2.最后,由带ε的Young 不等式可得▽2u L 2ɤC 1 u t L 2+C 2 D -12u ㊃▽u L 2ɤC 1 u t L 2+C 2 D-12u L 4 ▽u L 4ɤC 1 u t L 2+C 2 D-12u H ㊃3/4 ▽u H ㊃3/4ɤC 1 u t L 2+C 2 u H ㊃1/4 ▽u H㊃3/4ɤC 1 u t L 2+C 2 u 34H ㊃0u 14H ㊃1▽u 14H ㊃0▽u 34H ㊃1ɤC 1 u t L 2+C 2 u 34H ㊃0▽u 12H ㊃0▽u 34H ㊃1ɤ㊃81㊃㊀第6期邵曙光:三维不可压Navier-Stokes 方程组模型的整体适定性㊀C 1 u t L 2+C 2 u 34L 2▽u 12L 2▽2u 34L 2ɤC 1 u t L 2+C 3 u 34L 2 ▽u 12L 2()4+12▽2u 34L 2()4/3.整理化简后可得 ▽2u L 2ɤ2C 1 u t L 2+2C 3 u 3L 2 ▽u 2L 2.(31)联立(28)和(31),有d d t▽u (t ,㊃) 2L 2+ u t 2L 2ɤC u 32L 2 ▽u L 22C 1 u t L 2+2C 3 u 3L 2 ▽u 2L 2()3/2ɤC u 32L 2▽u L 2()4+142C 1 u t L 2+2C 3 u 3L 2 ▽u 2L2()3/2[]43ɤC u t 6L 2 ▽u 4L 2+14u t L 2+ u 3L 2 ▽u 2L 2()2ɤC u t 6L 2 ▽u 4L2+12 u t 2L 2+12u 6L 2 ▽u 4L 2.进一步化简可得d d t ▽u (t ,㊃) 2L 2+12u t 2L 2ɤC u 6L 2 ▽u 4L 2.再由Gronwall s 不等式可得▽u (t ,㊃) 2L2+ʏt 0u t 2L 2d tᶄɤC ▽u 0 2L2exp ʏt 0u6L2▽u 2L2d tᶄ{}.(32)根据性质1,我们有u (t )H㊃12ɤ u (t ) 12H ㊃0 u (t ) 12H ㊃1ɤ u (t ) 12H ㊃0▽u (t ) 12H ㊃0.(33)综合能量估计(32)和不等式(33)可知,对于任意的T <T u 0有ʏT 0u (t )4H㊃12d t ɤʏTu (t )2L2▽u (t ) 2L 2d t ɤ u 0 2L 2ʏT 0▽u (t )2H㊃0d t <M.其中,M 是仅依赖于 u 0 2L2的有限正常数,这个结果表明T ңɕ.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀FEFFERMAN C L.Existence and smoothness of the Navier-Stokes equation[M].Cambridge:Clay Math Inst,2006:57-67.[2]㊀TAO T.Localisation and compactness properties of the Navier-Stokes global regularity problem [J].Anal PDEs,2011,6(1):25-107.[3]㊀TAO T.Structure and Randomness:Pages from Year One of a Mathematical Blog[M].Washington:American MathematicalSociety,2008.[4]㊀CHEMIN J Y,GALLAGHER I.Wellposedness and stability results for the Navier-Stokes equations in ℝ3[J].Ann Inst HPoincare Anal Non Lineaire,2009,26(2):599-624.[5]㊀DOERING C R,GIBBON J D.Bounds on moments of the energy spectrum for weak solutions of the three-dimensional Navi-er-Stokes equations[J].Phys D,2002,165(3/4):163-175.[6]㊀KOCH H,TATARU D.Well-posedness for the Navier-Stokes equations[J].Adv Math,2001,157(1):22-35.[7]㊀TAO T.Nonlinear dispersive equations:local and global analysis[M].Washington:American Mathematical Society,2006.[8]㊀TAO T.A quantitative formulation of the global regularity problem for the periodic Navier-Stokes equation[J].Dyn Partial Differ Equ,2007,4(4):293-302.[9]㊀HOU T Y,LEI Z,LI C.Global regularity of the 3D axi-symmetric Navier-Stokes equations with anisotropic data[J].Com-munications in Partial Differential Equations,2008,33(7/9):1622-1637.[10]HOU T Y,LI R.Dynamic depletion of vortex stretching and non-blowup of the 3-D incompressible Euler equations[J].JNonlinear Sci,2006,16(6):639-664.[11]HOU T Y,LEI Z.On the stabilizing effect of convection in three-dimensional incompressible flows[J].Comm Pure ApplMath,2009,62(4):501-564.(下转第58页)㊃91㊃㊃85㊃南阳师范学院学报㊀第19卷㊀参㊀考㊀文㊀献[1]㊀华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].4版.北京:高等教育出版社,2010.[2]㊀胡蔚勇.函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的非连续解[J].高等数学研究,2006,9(5):43.[3]㊀周民强.数学分析习题演练(第一分册)[M].2版.北京:科学出版社,2010.[4]㊀夏道行.实变函数论与泛函分析(上册)[M].2版.北京:高等教育出版社,2010.[5]㊀李克典,马云苓.数学分析选讲[M].厦门:厦门大学出版社,2006.Teaching treatment of using function equation to describe polynomialCHEN Qing,HUA Mengxia(School of Mathematics and Statistics,Nanyang Normal University,Nanyang473061,China)Abstract:This paper summarizes several exercises of function equation,gives the description of function as poly-nomial from the view of function equation,and discusses its application in teaching.Key words:functional equation;polynomial;continuous point(上接第19页)[12]SHIROTA T,YANAGISAWA T.Note on global existence for axially symmetric solutions of the Euler system[J].Proc JapanAcad Ser A Math Sci,1994,70(10):299-304.[13]UKHOVSKII M R,IUDOVIOH V I.Axially symmetric flows of ideal and viscous fluids filling the whole space[J].Journalof Applied Mathematics and Mechanics,1968,32(1):59-69.[14]HOU T Y,LEI Z,LUO G,et al.On finite time singularity and global regularity of an axisymmetric model for the3D Eulerequations[J].Arch Ration Mech Anal,2014,212(2):683-706.[15]BAHOURI H,CHEMIN J Y,DANCHIN R.Fourier analysis and nonlinear partial differential equations[M].Berlin:Springer-Verlag,2011.Global well-posedness of three-dimensional incompressibleNavier-Stokes equations modelSHAO Shuguang(School of Mathematics and Statistics,Nanyang Normal University,Nanyang473061,China)Abstract:In this paper,a new three-dimensional incompressible Navier-Stokes equations model is studied. Compared with the classical three-dimensional incompressible Navier-Stokes equations,the convection term u㊃▽u of the equations in the new model is adjusted to be(D-12u)㊃▽u,where D=▽is a Fourier multi-plier whose symbol is m(ξ)=ξ.Using the energy estimation method and the related theory of Sobolev space, it is proved that the Cauchy problem of the Navier-Stokes equations is globally well-posed when any initial value belongs to L2(ℝ3).Key words:Navier-Stokes equations;incompressible fluids;global well-posedness;energy estimation。
8第八讲 不可压缩的Navier-Stokes方程的解法
不可压缩Navier-Stokes方程的数值方法不可压缩Navier-Stokes方程的特点人工压缩性方法（求解定常方程）投影法涡量-流函数方法（二维问题）SIMPLE方法的连续性方程，得到2uu u ±=±迎风差分，建议采用高阶的)''(,,1j i j i p p −+α带入离散的连续性方程：/)(/)(12/1,12/1,1,2/11,2/1=Δ−+Δ−+−+++−++y v v x u u n j i n j i n j i n j i )''(,,1*,2/11,2/1j i j i j i n j i p p u u −+=++++α)''(,1,*2/1,12/1,j i j i j i n j i p p v v −+=−+++β得到离散的压力Poisson 方程：)5(ˆ'''''1,41,3,12,11,cp c p c p c p c p j i j i j i j i j i ++++=−+−+求解后，得到压力修正值：ji p ,'（4）带入（4）时得到n+1时刻的速度具体步骤：1）已知n 时刻的速度、压力2）预估压力（可取为n 时刻的压力）3）带入（1）（2）式，解出（隐格式，需迭代求解）4）求解压力的修正方程（5）得到修正压力5）带入（4）式，得到n+1时刻的速度及压力6）推进求解直到给定时刻（或收敛）*p **,v u 如该步改用显格式，则为（离散型）投影法'*1p p p n +=+楼群的三维视图来流的速度分布假定速度在10m 高处的大小为,其余高度的分布则采用风廓线分布：其中Z 是距离地面的高度，是地面粗糙系数，我们在模拟的过程中取它为0.28.10U 10(/10)U U Z α=α算例1. 北风s mU/310=5m高的速度分布15m高的速度分布35m高的速度分布70m高的速度分布80m高的速度分布5m高的流线示意图南北向截面流线示意图近壁面压力分布汽车的表面三角网格模拟来流：正前方u=20m/s（72km/h）汽车基本参数：总宽：900mm总长：2600mm总高：600mm车轮半径：180mm车轮厚度：120mm顶层长度, 宽度：800mm, 620mm流速分布图：低于21m/s的截面图流速分布图：y=0m二维流线：y=0m三维速度面，u=14m/s压力分布图。
不可压缩Navier-Stokes方程及其耦合问题的空间迭代方法研究
不可压缩Navier-Stokes方程及其耦合问题的空间迭代方法研究不可压缩Navier-Stokes方程及其耦合问题的空间迭代方法研究引言：不可压缩Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，对于许多工程和科学领域具有重要意义。
而这些方程在数值模拟中的求解一直是研究的热点和难点之一。
本文将重点讨论不可压缩Navier-Stokes方程及其在耦合问题中的数值求解方法，以期为相关领域的研究提供一定的参考。
1. 不可压缩Navier-Stokes方程简介不可压缩Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程，其主要用来描述流体的质量守恒和动量守恒。
对于不可压缩流体而言，物质密度不随时间和空间的变化而变化，由此导出了方程的不可压缩性。
在三维情况下，不可压缩Navier-Stokes方程可以表示为：∂u/∂t + u·∇u = -1/ρ ∇p + ν∇^2u∇·u = 0其中，u表示流体的速度场，p表示压强，ρ表示流体密度，ν表示运动粘度，∇表示偏微分算子。
2. 不可压缩Navier-Stokes方程的数值求解方法不可压缩Navier-Stokes方程的数值求解主要采用有限差分方法、有限元方法和谱方法等。
在本文中，将重点讨论有限差分方法。
2.1 有限差分方法有限差分方法是一种将偏微分方程转化为代数方程的方法。
在使用有限差分方法求解不可压缩Navier-Stokes方程时，通常先将连续的方程离散化为差分近似方程，然后通过迭代的方法求解离散化方程。
2.2 离散化方案为了将方程离散化，首先需要将空间进行网格划分，然后使用差分格式对方程进行近似。
在离散化的过程中，常用的差分格式有中心差分格式、向前差分格式和向后差分格式等。
2.3 空间迭代方法使用有限差分方法求解不可压缩Navier-Stokes方程时，空间迭代方法是解方程的关键步骤。
常见的空间迭代方法有雅克比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和共轭梯度法等。
三维轴对称Navier—Stokes方程的爆破问题
龙源期刊网 三维轴对称Navier—Stokes方程的爆破问题作者：刘云川苏文火来源：《科教导刊·电子版》2013年第29期摘要在这篇文章中，我们将要研究的是具有旋流的三维轴对称不可压缩Navier-Stokes方程在有限时间内的爆破问题，并且此发展方程的张量和涡量在这种情况下显着降低.在局部极小值的假设条件下相对于径向的变化，我们表明，解在对称轴的有限时间内爆破.关键词轴对称 Navier-Stokes方程不可压爆破发展方程中图分类号：O357.1 文献标识码：A1三维轴对称N-S方程参考文献[1] D. Chae， On the blow-up problem for the axisymmetric 3D Euler equations[J]，math.AP，2008.[2] P. Constantin， P. Lax and A. Majda， A simple one-dimensional model for the three dimensional vorticity equation[J]， Comm. Pure Appl. Math.，38， 1985： 715-724.[3] T.Hou and C.Li，Dynamic Stability of the Three-Dimensional Axisymmetric Navier-Stokes Equations with Swirl[J]， to appear in Comm. Pure Appl. Math..[4] T.Kato， Nonstationary flows of viscous and ideal fluids in R3[J]， J. Func. Anal.9，1972：296-305.[5] A.Majda and A.Bertozzi， Vorticity and Incompressible Flow[M]， Cambridge Univ. Press.2002.。
关于轴对称Navier-Stokes方程正则性的一个注记
关于轴对称Navier-Stokes方程正则性的一个注记
谢洪燕;李杰;贺方毅
【期刊名称】《应用数学和力学》
【年(卷),期】2017(38)3
【摘要】建立了一个关于轴对称不可压Navier-Stokes系统的正则性准则.证明了如果局部的轴对称光滑解u满
足‖ω~r‖L~α1((0,T);Lβ_1)+‖ω~θ/r‖L~α2((0,T);L~β2)<∞,其中
2/α_1+3/β_1≤1+3/β_1,2/α_2+3/β_2≤2和β_1≥3,β_2>3/2,那么此强解将保持光滑性直至时刻T.
【总页数】8页(P276-283)
【关键词】Navier-Stokes方程;轴对称流;爆破准则
【作者】谢洪燕;李杰;贺方毅
【作者单位】西南财经大学经济学院;四川省委党校公共管理教研部;西南财经大学金融学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.粘性系数依赖密度的可压缩的NaVier-Stokes方程的一个注记 [J], 孔春香
2.带有外力项的可压缩的Navier-Stokes方程的一个注记 [J], 孔春香
3.3维Boussinesq方程组正则性准则的一个注记 [J], 方平;王霞;宋瑞凤
4.关于椭圆方程组正则性的一个注记 [J], 边保军
5.关于3D不可压Navier-Stokes方程H1正则性的注记 [J], 杨成明;崔振琼因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
navierstokes 方程
navierstokes 方程Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，它由法国物理学家Navier和英国物理学家Stokes在19世纪提出。
Navier-Stokes方程是由质量守恒、动量守恒和能量守恒三个方程组成的，它们分别描述了流体的质量守恒、动量守恒和能量守恒。
在Navier-Stokes方程中，质量守恒方程描述了流体质量的守恒，即流体在运动过程中质量的增减关系。
动量守恒方程描述了流体运动过程中动量的守恒，即流体在受力作用下的运动规律。
能量守恒方程描述了流体运动过程中能量的守恒，即流体在运动过程中能量的转化和传递。
Navier-Stokes方程是非线性偏微分方程，其求解对于理解和预测流体运动的行为具有重要意义。
然而，由于其复杂性和非线性特点，Navier-Stokes方程的求解一直是一个困难且具有挑战性的问题。
尽管Navier-Stokes方程的解析解很难求得，但通过数值方法和计算机模拟，可以近似求解Navier-Stokes方程，从而得到流体运动的数值解。
这种数值求解方法在工程领域和科学研究中得到了广泛应用，例如在航空航天、汽车工程、石油工程等领域。
Navier-Stokes方程的研究不仅仅局限于流体力学领域，它还与其他科学领域有着密切的联系。
例如，在天气预报和气候模拟中，Navier-Stokes方程被用来描述大气和海洋的运动规律。
在生物学中，Navier-Stokes方程也可以用来描述生物体内液体的流动和输运过程。
然而，Navier-Stokes方程的求解仍然存在许多未解之谜。
其中一个著名的问题是Navier-Stokes方程的解的存在性和光滑性问题，即在一定条件下，是否存在唯一的解以及解的光滑性如何。
这个问题至今仍未完全解决，是数学界的一个重要问题之一。
Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，它对于理解和预测流体运动的行为具有重要意义。
虽然Navier-Stokes方程的求解仍然存在许多困难和挑战，但通过数值方法和计算机模拟，我们可以近似求解Navier-Stokes方程，从而得到流体运动的数值解。
三维轴对称不可压MHD方程组解的性质研究
纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)
纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)名称由来Navier-Stokes equations描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
简称N-S方程。
因1821年由C.-L.-M.-H.纳维和1845年由G.G.斯托克斯分别导出而得名。
该方程是可压缩流体的N-S方程。
其中，Δ是拉普拉斯算子；ρ是流体密度；pN-S方程意义后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的N-S方程。
N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。
它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。
例如当雷诺数Re1时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，N-S方程简化为理想流动中的欧拉方程（=－Ñp+ρF）；而在边界层内，N-S方程又可简化为边界层方程，等等。
在计算机问世和迅速发展以后，N-S方程的数值求解才有了很大的发展。
基本假设在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。
第一个是流体是连续的。
这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。
另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强P，速度v，密度，温度Q，等等。
该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。
对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。
该有限体积记为\Omega，而其表面记为\partial\Omega。
该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。
纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·盖伯利尔·斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。
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解， 本 文将用 易 于理解 的直接 微分 方 法 ， 给 出尽 量详 细 的推 导过 程． 相 比于 完整 的 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方程， 在 轴对 称 的情 况下 ， 方 程 可 能会 出现 很 多特 别 的 地方 ， 但 主要 的正 则性 问题仍 然是 开放 性 的． 首 先简 要 地 回顾 一 下 ， 关 于 轴 对称 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方 程 的一 些 有趣 结 果 ． 在 无 旋 的情 况 下 ， Ｏ ． Ａ ． Ｌ ａ ｄ ｙ ｚ ｈ ｅ ｎ ｓ ｋ ａ ｙ ａ 、 Ｍ． Ｒ． Ｕ ｃ ｈ ｏ ｖ ｉ ｓ ｋ ｉ ｉ以及 Ｂ ． Ｉ ． Ｙ ｕ ｄ ｏ ｖ ｉ ｃ ｋ 证 明 了弱 解 是 正 则 的．同 时 ， Ｓ ． Ｌ ｅ ｏ ｎ ａ ｒ ｄ ｉ ， Ｊ ． Ｎ ｅ ｃ ａ ｓ ， Ｍ． Ｐ ｏ ｋ ｏ ｒ ｎ ｙ 也 做 了类 似 的 工 作 ． 最 近 以来 ， 在 有 涡 旋 存 在 的情 况 下 ， Ｃ ． Ｃ ． Ｃ ｈ ｅ ｎ ， Ｒ ．
柱坐标 系下 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方程 的完整表示形式． 假 设流体 的速 度在点 （ ‰， ｔ 。 ） 达到 最大值 Ｑ 。 ＝ｊ Ⅱ （ 。 ， ｔ 。 ） Ｊ ， 或者ｒ Ｊ “ （ ， ｔ ） Ｊ
在 点（ 。 ， ｔ 。 ） 达到它的最 大值 ｒ 。 Ｉ ｕ （ ‰， ｔ 。 ） ｌ ， 并且 对 Ｑ 。以及 （ 。 ， ｔ 。 ） 作 一个 时空的尺度 变换 ， 则当 ｒ 。 Ｑ 。充分 大时 ， 在 一个给
第 １ ４卷 第 １ ２期
２ ０１ ５ 年 １ ２月
南 阳 师 范 学 院 学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｎａ ｎ ｙ ａ ｎ ｇ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖｏ １ ．１ ４ Ｎｏ ． １ ２ Ｄｅ ｅ ． ２ ０１ ５
的解 是 光滑 的 ， 这里 ｒ 是 点 到 轴 的距 离 ， ｔ 是 时 间． 另外 ， Ｇ ． Ｔ ｉ ａ ｎ ， Ｚ ． Ｘ ｉ ｎ 构 造 了一 组 带有 奇 性初 始 值 的
本 文将 采用 另外 一 种方 法研 究轴 对称 的 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方程 ， 目的是搞 清楚 当 流速非 常高 时 ， 解 的整 体 结构 ． 受到 Ｈ ａ ｍ ｉ ｌ ｔ ｏ ｎ和 Ｐ ｅ ｒ ｅ ｌ ｍ ａ ｎ研究 Ｒ ｉ ｃ ｃ ｉ 流 的思 想方 法 的启发 ， 考虑 当流 体 的速度 在点 （ 。 ， ｔ 。 ） 达 到最 大
三维轴对称不可压 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方 程 的 奇 异 性 结 构
邵 曙 光
（ 北京工业大学 应用数理 学院， 北京 １ ０ ０ １ ２ ４ ）
摘 要 ： 研 究 了三 维 轴 对 称 不 可 压 缩 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方程解 Ｍ （ ， ｔ ） 的奇异性 结构理论． 利 用直接微 分 方法 ， 推 导建立 了
值ｌ ｕ （ 。 ， ｔ 。 ） ｌ ， 或者 ｒ ｌ ｕ （ ， ｔ ） ｌ 在点（ 。 ， ｔ 。 ） 达到它的最大值 ｒ 。 （ ｌ 。 ， ｔ 。 ） ｌ 时， 可 以用类似 的方法研究轴对
称的 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方程 ．
１ 柱坐标 系下 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方 程 的推 导
定 的抛 物 型 区 域 中 ， 解 （ ， ） 在 ｃ ； 范 数 下 趋 向 于 一 个 非 零 的 常 向 量．
关键 词 ： Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ方程 ； 柱 面 坐标 ； 轴对称 ； 奇 异 性 结 构 中 图分 类 号 ： Ｏ ２ ９ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ １ — ６ ｌ ３ ２ （ ２ ０ ｌ ５ ） １ ２— ０ ０ ０ ｌ 一 ０ ６
Ｍ． Ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ， Ｔ ． Ｐ ． Ｔ ｓ ａ ｉ 和Ｈ ． Ｔ ． Ｙ ａ ｕ 在［ ７ — ８ ］ 中证 明了当解被 Ｃ ｒ
奇异 轴 对称解 ． Ｔ ． Ｙ ． Ｈｏ ｕ ， Ｃ ． Ｌ ｉ 找 到 了一类 特殊 的整 体光 滑解．
ｌ ｔ ｌ… （ ０ ≤ａ ≤１ ） 有界控制时， 轴对称
为 了推 导 出柱坐 标 系下 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方 程 的具 体 形 式 ， 需 要 写 出直 角坐 标 系 中变 量 、ｒ 、 ０ 、 之 间 的关 系 ， 以及 Ｈａ ｍｉ ｌ ｔ ｏ ｎ算子 和 Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ算子 在柱 坐标 系下 的表示 形 式．
０ 引 言
本 文在 带有 最 大流 速 的时空 区域 中 ， 研 究 三维 轴对 称不 可压 缩 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方 程
ｆ 十Ｍ ・ｖ ＋Ｖｐ＝ △Ｍ
Ｊ Ｉ Ｖ
・
＝
０ ．
， ｔ ≥ ０ ， ∈ 尺
（ １ ）
解 的结 构． 为 了便 于研 究 应 用 ， 本文将给出 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ － Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方 程 的柱 坐标 表 示形 式 ， 但是推导 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方程 的柱坐标 表 示形 式 的难 度 较 大 ， 一 般 的文 献 都 没 有 给 出具 体 推 导 过 程 ， 为 了便 于 同行 更 好 地 理
１ ． １ 柱 坐标 系下 Ｈ ａ ｍｉ ｌ ｔ ｏ ｎ算 子 的表示 形式
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ５— ０ ７— ２ ０