3[1].1数系的扩充与复数的概念

自然数
整 数
} 自 负 然 整 数 数
数系的扩充
SHUXI DI KUOCHONG
有解吗? 【问题3】在整数集中方程 3x−2 = 0 有解吗? 问题3
数
数
有理数
} 自 负 然 整 数 数
} 整 分 数 数
数系的扩充
SHUXI DI KUOCHONG
有解吗? 【问题4】在有理数集中方程 x −2 = 0 有解吗? 问题4
练习 1、以2i-3的虚部为实部，3i+2i2的实部为虚部 的虚部为实部， 、 的虚部为实部 的复数是( 的复数是 A ) A. 2-2i B.2+2i C. -3+3i D. 3+3i
2、设全集I={复数 、设全集 复数},R={实数 实数},M={纯虚数 那 纯虚数},那 复数 实数 纯虚数 么( B ) A. R∪M=I ∪ B. R∩M＝{φ} ＝φ
∴当 m＝5 时，z 是实数．
m2－2m－15≠0 (2)当 m＋3≠0 m≠5且m≠－3 时，即 m≠－3
∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
m2－m－6＝0 (3)当m＋3≠0 m2－2m－15≠0
m＝3或m＝－2 时，即m≠－3 m≠5且m≠－3
R
C
复数集 虚数集 实数集
纯虚数集
C
Z N RQ
数学运用
复数
0
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
实部 虚部 实数 虚数 纯虚 数
1 4 − + i 2 3 1 − 2
4 3
2i
i
2
i sin π
b i( b ∈ R ) b≠0
0
2
−1
0
0
0
0
0
b
例1 实数m取什么值时，复数 实数m取什么值时，
z = m + 1 + ( m − 1)i
x＝1， 解得 y＝1， x＝－1， 或 y＝－1.
x2－y2＝0， 2xy＝2.
k2－3k＜0 (2)∵z＜0，k∈R，∴ 2 k －5k＋6＝0
∴k＝2.
[ 3] 已知M＝{1，(m2 －2m)＋(m2 ＋m－ 2)i}，P＝{－1，1,4i}，若M∪P＝P，求实 数m的值． [分析] 由M∪P＝P知，M是P的子集，从 而可知(m2 －2m)＋(m2 ＋m－2)i＝－1或4i， 利用复数相等的条件就可求得m的值．
∴当 m＝3 或 m＝－2 时，z 是纯虚数．
[点评] ①判断一个含有参数的复数在什么情况 下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值 有意义，如果忽略了实部是含参数的分式中的 分母m＋3≠0，就会酿成根本性的错误，其次对 参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常 关键，多与少都是不对的，解答后进行验算是 很有必要的． ②对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的 角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从 实部与虚部的角度分解成两部分去认识它．这 是解复数问题的重要思路之一．
社 会
为了计数的需要
自然数集N
负 整 数
生 活 发
为了刻画 具有相反意义的量 为了测量、 为了测量、
整数集Z
分 数
展 的 需 要
1
分配等需要
有理数集Q
无
为了用 正方形的 边长度 理 量 的对角线长的结果无 数 法用有理数表示
1
实数集R
数系的扩充
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有解吗? 【问题1】在自然数集中方程 x+4 = 0 有解吗? 问题1 有解吗? 【问题2】在整数集中方程 x+4 = 0 有解吗? 问题2
)
(2)已知a、b∈R，则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯 虚数的 ( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] 当a＝b＝0时，此复数为0是实数，故A、 B不正确；
若(a－b)＋(a＋b)i 为纯虚数，
a＋b≠0 则 a－b＝0
数系的扩充
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例2:已知 2:已知
(x+y)+(x−2y)i=(2x−5 +(3x+y)i ) 求实数 x与 y
=3 x =3 解得: 解得 y = −2
转化
根据两个复数相等的充要条件， 解: 根据两个复数相等的充要条件， 可得方程组
x + y = 2x − 5 x − 2 y = 3x + y
问题解决: 问题解决 为了解决负数开平方问题， 为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： 叫做虚数单位 并且规定： 虚数单位， =−1 (1) i 2=−1； (2)实数可以与 进行四则运算,在进行四则运算时, (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时, 原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、 原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配 律)仍然成立. 仍然成立. 这样就会出现许多新数, 这样就会出现许多新数,如 2i 、3i 、2 + i 、3 + i 等. 的数叫做复数 复数. 形如 a + bi (a , b ∈ R) 的数叫做复数.
m2－m－6 练习： m 取何实数时， 复数 z＝ ＋(m2－2m－15)i m＋3 (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？
[分析] 在本题是复数的标准形式下，即z ＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的概念，只要 对实部和虚部分别计算，总体整合即可．
[解析]
m2－2m－15＝0 (1)当 m＋3≠0 m＝5或m＝－3 时， m≠－3
全体复数所成的集合 C 叫做复 数集. 即 C = {a + bi a , b ∈ R}
复数的分类： 复数的分类：
复数z=a+bi (a,b∈R) 复数 ∈ 条件 数的类型 b=0 实数 a=b=0 实数0 实数 b≠0 虚数 a=0且b≠0 且 纯虚数 实数 (b=0) 复数 z=a+bi (a,b∈R) ∈ 虚数(b≠0) 虚数 非纯虚数(a≠0) 非纯虚数 纯虚数(a=0) 纯虚数 实数集R是复数 实数集 是复数 的真子集， 集C的真子集， 的真子集
[解析]
∵M∪P＝P，∴M⊆P.
∴由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
m2－2m＝－1 得 2 m ＋m－2＝0
解之得 m＝1.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i
m2－2m＝0 得 2 m ＋m－2＝4
，解之得 m＝2.
综上可知 m＝1 或 m＝2.
1.数系的扩充过程； 1.数系的扩充过程； 数系的扩充过程 2.复数的基本概念及代数形式； 2.复数的基本概念及代数形式； 复数的基本概念及代数形式 3.复数的分类； 3.复数的分类； 复数的分类 4.复数的相等的充要条件。 4.复数的相等的充要条件。 复数的相等的充要条件
2
在实数集中方程 x2 +1= 0 有解吗? 有解吗? 问题5 【问题5】
数 数 数 实 数
} 自 负 然 整 数 数
} 整 分 数 数
} 有 无 理 理 数 数
数系的扩充
SHUXI DI KUOCHONG
有解吗? 【问题4】在有理数集中方程 x −2 = 0 有解吗? 问题4
2
在实数集中方程 x2 +1= 0 有解吗? 有解吗? 问题5 【问题5】
C. R U M = I
D. I I M = R
下列命题正确的是________． ①若实数a与ai对应，则实数与纯虚数一一对应； ②若z＝a＋bi，则当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯 虚数； ③复数－i＋1的虚部为－1. [答案] ③ [解析] 实数与纯虚数不能建立一一对应关系， 故①错；若z＝a＋bi为纯虚数，则需a，b∈R且a ＝0且b≠0，题目中漏掉条件a，b∈R，故②错； ③显然正确.
复数z 是虚数． ≠ 1 时，复数 是虚数． （3）当 m(m −1) = 0 且m − 1 ≠ 0 即m = 0 ） （2）当 m − 1 ≠ 0，即 m ） 时，复数z 是纯虚数． 复数 是纯虚数．
如何定义复数的相等？充要条件是什么？ 如何定义复数的相等？充要条件是什么？ 复数相等：如果两个复数的实部和虚部 如果两个复数的实部 实部和 分别相等 那么我们就说这两个复数相等 分别相等，那么我们就说这两个复数相等． 相等， 两个复数相等．
笛卡尔 (R.Descartes,1596--1661)
欧 拉 Leonhard Euler （1707-1783） ） 1777年 表示平方等于1777年 欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数 高 斯 Johann Carl Friedrich Gauss （1777—1855） ） 1801年 1801年 高斯系统使用了i这个符号 使之通行于世
，⇒a＝b≠0，
即 a＝b≠0 为该复数为纯虚数的充要条件， ∴a＝b 是该复数为纯虚数的必要而不充分条件．故选 C.
练习
(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值． (2)已知复数z＝k2 －3k＋(k2 －5k＋6)i(k∈R)，且z ＜0，求k的值．
[解析] (1)∵x、y∈R，∴由复数相等的条件，得
4 n +1
[ 1] 下列命题中，正确命题的个数是() ①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件 是x＝y＝1； ②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0. A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] A
(1)下列命题中假命题是 ( A．自然数集是非负整数集 B．实数集与复数集交集为实数集 C．实数集与虚数集交集是{0} D．纯虚数集与实数集交集为空集 [答案] C