初中数学“分式”的深度学习
初中数学怎样才能学好分式
初中数学：怎样才能学好分式学习分式需要注意以下几个方面。
1. 正确运用分式的基本性质例1 化简y x y x +-5121。
错解：原式y x y x y x y x 52551221+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”。
而此题分子乘以2，分母乘以5，违反了分式的基本性质。
2. 分数线的括号作用例2 计算ad c a d c +-- 错解：原式0=+--=a d c d c 分析：减式的分子是一个多项式，运算时没有注意到分数线的括号作用而出错。
3. 按顺序计算例3 计算aa a a +-⋅+÷-31)3(11 错解：原式2)1(1)1(11a a a -=-÷-=分析：乘、除法是同一级运算，除法在前应先做除法，上述解法违背了运算顺序。
4. 除法运算中不能套用乘法分配律例4 计算⎪⎭⎫ ⎝⎛+--÷+-34333x x x x 错解：原式3433)3(33+÷+---÷+-=x x x x x x )3(41343312+-=--+=x x x x 分析：乘法分配律为ac ab c b a +=+)(但除法却不存在以下的对应的分配律c a b a c b a ÷+÷=+÷)(5. 分式通分后别忘了分母例5 计算1132+-+-a a a a 错解：原式1)1()1)(1(3332=-+=-+-+=a a a a a a分析：上面解法中把分式通分与解方程中的去分母相混淆。
分式通分是等值变形，不能去分母。
6. 分母不能为零例6 当x 为何值时，分式21||2-+-x x x 的值为零。
错解：由01||=-x 得1±=x所以，当1±=x 时，分式21||2-+-x x x 的值为零。
分析：当1=x 时，分母022=-+x x ，所以分式无意义。
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式(含解析)
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。
考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。
初中数学分式知识点总结（通用19篇）
初中数学分式知识点总结（通用19篇）初中数学分式知识点总结篇11.分式：形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式(fraction)。
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
2.分式有意义的条件：分母不等于0。
3.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数)约去，这种变形称为约分。
4.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A/B=A*C/B*C A/B=A÷C/B÷C (A,B,C为整式，且C≠0)5.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.6.分式的四则运算：1）同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a/c±b/c=a±b/c2）异分母分式加减法则:异分母的.分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a/b±c/d=ad±cb/bd3）分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a/b * c/d=ac/bd 4）分式的除法法则:(1)两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.a/b÷c/d=ad/bc(2)除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b÷c/d=a/b*d/c7.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.8.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)。
八年级数学《分式方程》知识点
分式方程是中学数学的重要内容，它是求解方程的一类特殊方法。
因此，分式方程的知识点有以下几方面：
一、分式方程的概念
分式方程是指用一个分式的方式表示方程的一种方法，它是一种由分式组成的等式，它的左右两端都是分式，从而把求根的问题转换成分式的比较，并设法确定方程的根。
二、求解分式方程的步骤
1.将分式方程中的项相同的分式化简，并且把等式的左右两端分别化简成分数或最简分式。
2.将分式方程中间，求解未知数的方法就是将分式的左右两端乘以分母，使之成为整式，然后使整式等于0，再解出未知数。
3.有时会出现分式方程中的未知数不能解出的情况，此时可以将此分式方程化为一元一次不等式来求解。
三、分式方程的应用
分式方程在解决一些实际问题时有着重要作用，如求解收益、组成比例、比较等。
由此可见，掌握分式方程的方法对解决实际问题有着重要意义。
四、注意事项
1.求解分式方程时需要注意把等式的左右两端分别化简成分数或最简分式。
2.使用分式方程时，要注意看清题干的字眼，要分清求解的是方程还是不等式，然后采取不同的方法
3.求解分式方程时还要注意确保所求解的方程或不等式有解。
4.分式方程的解可以使用数学软件得出。
初中数学之分式方程知识点汇总
初中数学之分式方程知识点汇总
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 初中数学分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。
在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。
因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.。
数学八下分式
数学八下分式
八年级下册数学课程中有关分式的主题主要包括分式的运算、分式的化简、分式方程等内容。
以下是八年级下册数学中关于分式的一些常见知识点：
1. 分式的乘法和除法：学习如何进行分式的乘法和除法运算，包括分子乘法、分母乘法、分子除法和分母除法等。
2. 分式的加法和减法：掌握分式的加法和减法运算规则，包括通分、合并同类项等操作。
3. 分式的化简：学习如何化简分式，包括约分、提取公因式、分子分母同乘同除等方法，使分式的表达更简洁。
4. 分式方程：解决涉及分式的方程，包括一元一次分式方程和一元二次分式方程等，掌握解题的方法和技巧。
5. 分式的应用：了解分式在实际问题中的应用，如物品分配、比例关系、时间速度等问题，通过分式运算解决实际生活中的计算问题。
八年级下册数学中的分式知识是数学学习中的重要内容，需要通过练习和实践来加深理解和掌握。
建议学生多做练习题，加强对分式运算规则的理解和掌握，提高解决问题的能力和技巧。
初中数学分式学习技巧
初中数学分式学习技巧初中数学分式学习技巧主要包括以下几点：1.理解分式的基本概念：首先要清楚分式的定义，即分式是两个整式的商。
理解分子、分母的概念，以及分式有意义的条件（分母不能为0）。
2.掌握分式的基本性质：包括分式的约分、通分、乘除法和加减法。
理解这些性质并熟练掌握它们的运算方法，是分式学习的关键。
3.多做练习：通过大量的练习，可以加深对分式性质的理解和掌握，提高解题速度和准确性。
在做题时，要注意分式的化简，避免结果出现最简公分母为0的情况。
4.学会观察和分析：在解决分式问题时，需要观察分式的结构，分析是否有公因式、是否可以用公式法等。
这需要一定的数学素养和逻辑思维能力。
5.善于总结和归纳：在学习的过程中，要善于总结和归纳各种分式运算的方法和技巧，形成自己的解题思路和方法体系。
此外，还有一些特殊的学习技巧可以帮助更好地掌握分式：1.整体通分法：将后两项看作一个整体，进行整体通分，可以简捷求解。
2.逐项通分法：通过观察各分母的特点，联想乘法公式，从左到右依次通分。
3.先约分，再通分：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值进行计算。
4.裂项相消法：通过观察，题目中的后两个分式的分母都是两个因数之积，而分子又是一个定值，要以将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再进行通分。
5.整体代入法：把条件时整理一下，然后整体代入求值。
6.公式变形法：把条件式进行变形，利用乘法公式再对要求的式子变形，然后代入。
7.设辅助参数法：利用条件式设一个辅助参数，再代入到所求的式子中去，达到化简的目的。
8.倒数变换法：把条件式整体取倒数，使条件更简单，所求的式子也取倒数，求出值后再倒过来。
9.特殊值法：由已知条件无法求出a、b、c的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入所求的式子求出结果。
这种方法多用在填空题、选择题中。
以上这些技巧和方法可以帮助你更好地掌握初中数学分式的学习。
同时，还需要注意学习方法和学习态度的调整，保持积极的学习态度和良好的学习习惯。
八年级数学下册---分式知识点总结
第十六章 分式1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ）3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，n n a a 1=- （)0≠a6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数)（1）同底数的幂的乘法：m n m n a a a+∙=； （2）幂的乘方：()m n mn a a=;（3）积的乘方：()n n n ab a b =； （4）同底数的幂的除法：m n m n a a a -÷=( a ≠0)；（5）商的乘方：()nn n a a b b=；(b ≠0) 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
解分式方程的步骤 ：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根． 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
人教版九年级数学下册 第3讲 分式 知识点梳理
； .
由分式的基本性质可将分式进行化简：
例：化简： = .
知识点三：分式的运算
4.分式的约分和通分
(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，
即 ；
(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即
分式通分的关键步骤是找出分式的最
2.分式的意义
(1)无意义的条件：当B＝0时，分式 无意义；
(2)有意义的条件：当B≠0时，分式有意义；(3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式 ＝0.
失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0.
例：当 的值为0时，则x＝-1.
3.基本性质
( 1 )基本性质： (C≠0)．
简公分母，然后根据分式的性质通分.
例：分式 和 的最简公分母为 .
5.分式的加减法
(1)同分母：分母不变，分子相加减.即 ± ＝ ；
(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即 ± ＝ .
例： ＝－1.
6.分式的乘除法
(1)乘法： · ＝ ；(2)除法： ＝ ；
(3)乘方： ＝ (n为正整数).
第3讲分式
一、知识清单梳理
知识点一：分式的相关概念
关键点拨及对应举例
1.分式的概念
（1）分式：形如 (A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子.
（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.
在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字母.例：下列分式：①;②;③;④ ，其中是分式是②③④；最简分式③.
例： ＝ ； ＝2y；
初二数学分式函数知识点整理
初二数学分式函数知识点整理分式函数是初中数学中的一个重要内容，本文将对初二数学分式函数的知识点进行整理和总结。
一、分式的定义与性质分式是由分子和分母组成的表达式，其中，分子和分母都是代数式。
分式可以表示两个整式之间的除法关系。
分式的形式可以是普通分式、整式分式和带分数等形式。
分式的性质包括：分式的值与分式的定义有关、分式的定义域、分式的相等与简化、分式的约分与通分，以及分式的加减乘除等运算性质。
二、分式函数的定义与性质分式函数是指含有分式形式的函数。
具体来说，分式函数是由一个分子是整式，分母是整式的有理函数所定义的函数。
分式函数在数学中起到了连接有理函数和代数函数的桥梁作用。
分式函数的性质包括：定义域、值域、奇偶性、单调性以及图像的特点等。
三、分式函数图像的绘制方法1. 首先，确定分式函数的定义域，并排除分母为零的情况。
2. 然后，确定分式函数的值域，可以通过求函数的极值来确定函数的变化趋势。
3. 接下来，绘制分式函数的图像，可以通过绘制关键点、画出特殊点的渐近线、寻找函数的极值点等方法来帮助绘制图像。
需要注意的是，当分式函数有分母为一次因式的平方时，可能会出现拐点。
四、分式函数的应用分式函数在实际生活中有着广泛的应用，特别是在经济学、物理学等领域。
1. 经济学中可以通过分式函数描述成本、利润、价格等变化规律。
2. 物理学中可以通过分式函数描述物体运动的位移、速度、加速度等变化规律。
五、分式函数的解与方程解分式函数的关键是将其化为整式方程。
可以通过以下步骤解决分式函数的方程：1. 将分式函数化为整式方程。
2. 化简方程，使其成为一元高次或低次整式方程。
3. 求解整式方程，得出解的集合。
六、分式函数的综合运用分式函数的知识点在数学中具有重要的综合性，能够与其他知识点相互结合，解决复杂的问题。
例如，在几何学中，可以通过分式函数知识点来解决比例问题，在代数学中，可以通过分式函数知识点来解决方程与不等式等问题。
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2019年6月分式属于代数式的外延，是用来表达情境数量关系和解决生活问题的一种工具.它与整式、分数、方程、不等式、反比例函数及图形部分都有着千丝万缕的联系，对它的掌握程度直接影响到对这些内容的掌握.所以，教师要深入理解分式的概念，探究它的本质，通过现象观其“形”，透过本质抽丝剥茧观其“里”，兼顾内外全面理解探究分式的内涵.一、透过数学史,观分式之背景分式源自于代数式，想要透彻地理解分式，首先需追本溯源到代数式.人类数学发展史中首先出现的是具体的“量”，如1棵树、3只羊等，经过漫长的岁月洗礼，“量”也得到相应的发展，产生了如1、2、3、25、12等具有抽象意义的“数”，这是具体的“量”发展为抽象的“数”的过程，也是数学史上一次“质”的飞跃，“数”的产生决定了算术理论的产生.随着人类思维的发展和生活现实的需要，抽象的“数”也不能满足人类的需求了.如：想要表述数量之间的规律性，例如，加法或乘法交换律等，用纯粹的“数”难以表达清楚，数学史上的第二次“飞跃”应运而生，即使用字母代表相应的数.法国的韦达先生在1591年，在总结前人“数”的经验基础上，通过《美妙的代数》这本书，表达了使用一些字母符号对已知和未知的数量关系进行表达，打响了代数和算术区别的第一枪.抽象的字母符号在代数中使用的方式，有效地推进了代数的历史发展.“数”和“字母符号”同时参与数学运算的方法使“代数式”走上数学史的大舞台.人类文化早期阶段，分数随着生活的实际需要，在均分和度量的基础上产生.生活中的两个数无法进行整除，则使用分数来表达其结果.所谓的分数，“分”源自于平均分配，这也是“分数”名称的由来.从分数到分式的变化，除了“形似”，还要把分数的分母、分子从具体的数朝字母表示的数发展.如12、23、34……之间的规律可以使用字母表达，分式也随之产生.同样，在整式相除的运算中，也需要将分式运用到其中.因为分式和分数在形式上雷同，根据人类常规思维模式，根据分数的名称命名分式.当前数学教材中，对于分式使用的是形式性概念，如：字母A和B分别是两个整式的代表，而字母B中又含有字母，则AB这个代数式就称为分式，字母A是这个分式的分子，字母B是这个分式的分母.二、代数思想,解析分式内涵分式具有分数的一切特点.但是，代数式又有着区别于分数的内涵，它的抽象性决定了自己具有独特的基本属性.1.分数与分式的比较分式起源于分数，是在分数的基础上，根据生活需要而衍生出的新内容.运用字母代表“数”，将一些辩证思想渗透到分式中，使分数与分式产生横向的关联.由此可见，分数与分式性质相通，形式相同，分式可以理解为分数的一种常用形式，而分数又是分式的特别案例.在数学课堂学习中，根据分式和分数的性质进行对比和转化的过程中，既要符合表面的“形”，也要深入理解由“形”导致的内涵之变.分式的运算中，要根据其性质和属性进行类比分析，找出其中的异同点.2.分数到分式的转化（1）分母为0的情况.分母在分式中代表的是除数，在数学运算中0是不可以做除数的，所以，在分式中，0不可以作为分母.那么，分式的概念中，怎么没有附加上B≠0这一条件呢？其实，分式就代表着除法运算，既然是除法运算，就已经包含了0不做除数的条件.此时，在分式概念中再添加B≠0这一条件，会显得多此一举.如果添加上B≠0这一条件，容易让学生误解为分母永不能是0，而分式中的分母应该是它的值不能为0.这也是有意义和无意义分式的区别.若分式值是0，不能仅仅关注分式中的分子值为0，还要注意分母的取值不能为0.在y=kx（k是常数，k≠0）这个反比例函数中，x≠0的取值范围由分母不是0所决定，简而言之，只要是蕴含除法运算的函数关系，其分母均初中数学“分式”的深度学习◉山东省淄博市张店区第九中学高轶群◉山东省淄博市张店区第九中学牛文军数线坛在教育纵横不为0.（2）去除假分数、带分数等类似的概念.如：2+25的运算结果用225表示，一部分学生简单地理解为a+b a 的运算结果就是a b a.例1已知：223√=223√，338√=338 √，4415√=4415√，…，寻找出其中的规律，第n 个等式是__________.部分学生的答案错为：nnn 2-1√=n nn 2-1√（n 为整数，且n ≥2）.这些情况是数到式的变化.三、从空间观念中理解分式的形式分式的形式一般的理解就是AB这样的代数式，虽然这是不够严谨的形式定义，但是这种简单的代数式命名基本能够满足数学活动的需求.1.对AB中A 和B 的理解在AB这个分式定义里，学生通常只关注到外显的AB这个形式，或者单纯地理解为有了分式线就是分式，忽略分式的分子和分母的限制，对A 和B 所表达的内容没有十分清晰的理解.为什么使用大写的A 和B 两个字母，而不用小写的a 和b 呢？通常情况下，小写字母用来代表“数”，而分式中的分子和分母所代表的是“整式”，“数”和“整式”有着明显的区别.因此，要使用大写和小写字母来区分.分式的定义里，分母B 必须是含有字母的整式；分子A 则没有这样的限定，分子A 是可以含有字母也可以不含字母.例如，代数式2x+y是分式，而代数式x+y 2、3a+bπ则不是分式.2.对AB中“—”即分数线的理解1175年，阿尔·哈萨创用“—”为分数线，表示“÷”.在数学运算中，简单的“—”就能代表两个整式相除，简单、快捷地表达了分式，给数学的运算带来便捷.例如，将（m+n ）÷（a+b ）用分式的形式表达，则可以一目了然，从中也可以看出分数线本身就带有括号的功能.在解分式方程的过程中，去分母后需要加括号也源于此.3.除法与分数线的关系在同一个分数中，除法和分数线所表达的含义是类似的，“÷”仅是运算，而分式却可以代表运算的结果.分式属于代数式，代数式是算式，而分式则是两个整式相除的算式.同时，分式也可以理解为两个整式的比值，即除法运算的“商”.在不同的场合分式有着不一样的意义和作用.例2想让分式4m-1的值是正整数，则m 该取何值？想要解这道题，首先要知道数4能被什么数整除.商为正整数，即分母“m-1”是数4的正约数.例3想让分式x-12+x的值大于0，x 该取何值？想解这道题，只要找出怎样的两个数相除商是正数，即“x-1”与“2+x ”同号.例2和例3都是关于分式值的题型，可以清晰地看出分式中的除法运算.4.分式计算中常见的错误类型分析例4通分：（1）x x-1；（2）y-2x+1.错解:（1）x x-1=x ·x+1（x-1）（x+1），（2）y-2x+1=y-2·x-1（x+1）（x-1）.分数通分首先要寻找“最小公倍数”，将异分母化成同分母；而分式通分则是寻找“最简公分母”，在分母的转化中要特别注意括号的添加.例5计算：2a-3a+1-a-2a+1.错解:2a-3a+1-a-2a+1=2a-3-a-2a+1=a-5a+1.多项式的分子、分母运算，需要及时添加“（）”.例6计算：2a a+2-a-2a+1.错解:-a-2a+1=a a+1-a-2a+1=2a+1.分数约分，只是分子和分母两个数的约分；而分式在约分中，应该约去分子和分母的公因式，但是很多学生受分数约分的思维影响，出现约分变形的错误.例4、5、6，导致错误产生的根本因素是，分数中的分母和分子仅仅是单项，涉及两个数，而分式中的分母和分子是多项，涉及整式，在“单”和“多”之间产生了错误的比较，从而出现负迁移.例7计算：-b a +b+5a.错解:-b a +b+5a =-b+b+5a =-2b+5a.(下转第82页)人与旗杆的距离、木杆与人的身高是需要测量的数据.当然，设计方法是多样化的，还有学生设计出来利用镜子的反射推断出旗杆高度的方案.【案例3】实验设计：让某学生作为观测者，在他与旗杆之间的地面上水平放置一面镜子（如何确定镜子是水平放置的），固定镜子的位置，让学生看着镜子调整自己所站的位置，直到能够通过镜子看到旗杆的顶端.然后测出学生的站点与镜子的距离、镜子与旗杆底部的距离，即可得出旗杆的高度.【理论解读】当镜子水平放置时，入射角和反射角是相等的.可以得出如图3所示的几何图形.既然当镜子水平放置时，入射角和反射角是相等的，那么，△ABO△CDO，则有CD=DO·AB OB与镜子的距离BO、旗杆与镜子的距离DO，再根据学生的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度.当然，在案例3中，学生进行实验时必须注意一些问题，比如，要使镜面水平放置，通过入射角等于反射角才能得出两个直角三角形相似，镜面没有放置水平时，其效果是不相同的，学生在实验方案设计时并没有考虑到这个因素，在实际测量过程中，选取的观察者是不同的学生时，身高不同，计算的结果是不同的.学生思考减小误差的方法，如将学生的身高改为学生的眼睛到地面的距离，若仍有较大的差距，学生发现了镜面没有放置水平，也给出了合理的解释，如图4：可以看出，∠1=∠2，不是视线与地面的夹角了.所以，通过数学实验与理论的结合，让学生在提升核心素养的同时也驱动了其对数学探究的内在潜能.三、进行数学实验,是学生数学学科核心素养潜移默化的过程提升学生的数学学科核心素养与课堂教学紧密相关，特别是在初中数学的具体化教学中，教师需要主动融入实验教学这个理念，让学生在数学实验的探究过程中潜移默化学科素养.比如，学生在设计案例3的实验方法时，产生了测量的误差，于是，让学生以镜面没有放置水平为条件去分析测定的误差（偏小还是偏大），让学生课下再去分析其中涵盖的数学道理，并提交相关的报告.在案例3的测定的误差分析报告中，学生用了其结果CD=DO·ABOB，再结合几何图形进行说明.其中部分学生是这样推断的：如图5，学生的视线与地面夹角越小，学生站点距离镜面位置越远，即OB越长，推断出CD越小.通过课后反思，学生在此对亲身经历的实验操作有了重新的认识，其数学思维品质得到了长足的发展，从而提升数学学科核心素养.总之，初中课堂也应该是精彩的，唯有教师全心全意地优化属于自己的教学过程，从数学学科核心素养的角度认识数学实验，不拘一格进行数学实践，才能在课堂教学中不断提升数学学科核心素养.参考文献:[1]黄河清.发展学生数学核心素养的教学研究与实践[J].中学数学教学参考(中),2018(2).[2]霍锐泉.数学实验促进学生数学核心素养的发展[J].中学数学研究:华南师范大学,2017(10).[3]卢良芳.注重数学实验展示探索过程积累思想方法———提升初中学生数学核心素养的实践与探索[J].中学数学(下),2016(10).W(上接第80页)图3B图4A例8解方程：5x-4x-2=4x+103x-6-1.错解:方程的两边同时乘3（x-2），得3·5x-4=4x+ 10-3x-6.在解方程的过程中，去掉分数线则需要增加括号，但是这种性能在分数中几乎没有体现.由此可知，分式是能够化成两个整式比的特殊代数式，它有三个方面的属性：具有除法运算的性能，分子和分母分别是两个整式，分式的分母中必须含有字母.定义是人们对客观事物认识的小结，也是思维的组成单位.分式的性质和运算法则，在其定义中有清晰的显示，这一章节的核心内容是“运算”，只有在充分理解分式产生的背景、内涵和形式后，才能提升学生的运算能力.参考文献:[1]徐品方.数学趣史[M].北京:科学出版社,2013.[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准(2011年版)解读[M].北京:北京师范大学出版社,2012.W图5。