菱形判定
菱形的判定
D ，作 DE // AC ，
AD 上是否存在一点 P 的位
B
P ，使 PF PN 最小，若存在，画出点 置并求出最小值。若不
存在，请说明理由。
E
P •
A
P D
30〫 2
F
N
C
四边相等的四边形是 菱形。
展示探究成果
总结
菱形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
画一画
3.有四条边相等的四边形是菱形. A
D
B
垂直的平行四边形 是菱形。
用三角板画一个菱形，并说出作图 依据：对角线互相 的依据。 依据：四边相等的
四边形是菱形。
菱形的判定探究方法 类比
（矩形的判定）
猜想
论证
定理
同学们再见！
菱形的判定探究方法 类比
（矩形的判定）
猜想
论证
定理
菱形的性质
菱形的对角线互相垂直且平分。
菱形的四边相等。
写出性质的逆命题
论证
定理
例2 已知 AP 平分 BAC ，在 AP 上取点
DF // AB 。 ( 3 ) 在（ 2）的条件下，在
B
邻边相等 平行四边形
A E
M O 1 2
FH P D
N
C
练习探究:
动手摆一摆
将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如 图所示的四边形ABCD. （1）求证：四边形ABCD是菱形。
A F C ∟ B E
D
平行四边形 邻边相等
探究:
动手摆一摆
将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如 图所示的四边形ABCD. （2）是否存在这样的菱形，使它的周长最大？ 若存在摆出对应的图形，若不存在，请说明理 由。
菱形的性质和判定
要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. 要点三、菱形的判定1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点,∠B＝∠EAF＝60°,∠BAE＝18°．求∠CEF的度数当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M,交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝DM；（2）若DF＝2，求菱形ABCD的周长．3.菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝，如图所示．求：（1）∠ABC的度数．（2）对角线AC的长．（3）菱形ABCD的面积．类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．（2）当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．一.选择题1. 下列命题中，正确的是()A. 两邻边相等的四边形是菱形B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A. 30°和150°B. 45°和135°C. 60°和120°D. 80°和100°3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6，8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，324.（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD面积是11，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A. 48B. 36C. 24D. 186. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A. B. 2 C. 3 D.二.填空题7. 已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线长为__________.8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是______ 11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝______．12.（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，且DE⊥AB．（1）求∠ABD的度数；（2）若菱形的边长为2，求菱形的面积．14. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E 和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．二.填空题7.【答案】5；【解析】设这个菱形的另一条对角线长为,所以，解得.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】；【解析】由题意∠A＝60°，DE＝.10.【答案】5；；；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】解：（1）∵DE⊥AB，AE＝BE∴△ABD是等腰三角形，∴AD＝BD∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB∴AD＝AB＝BD，∴△ABD是等边三角形∴∠ABD＝60°（2）∵AD＝AB＝2，∴AE＝1，在Rt△AED中，DE＝∴S菱形ABCD＝AB•DE＝.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，OB＝OD∵∠EDO＝∠FBO, ∠OED＝∠OFB∴△OED≌△OFB∴DE＝BF又∵ED∥BF∴四边形BEDF是平行四边形∵EF⊥BD∴平行四边形BEDF是菱形.15.【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD∴∠A＝∠ADB＝60°在△BDE与△BCF中∴△BDE≌△BCF（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°∴△BEF是等边三角形（3）∵≤△BEF的边长＜2∴∴。
菱形的判定
学习内容：§19.2.2菱形的判定学习目标：掌握菱形的判定方法一、基础知识1、菱形的定义判定：有一组邻边__________的平行四边形是菱形.几何表示：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC∴四边形ABCD是菱形。
2、菱形判定方法1：___________________平行四边形是菱形．应用判定方法1时，要注意其性质包括两个条件：（1）是平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．几何表示：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD∴四边形ABCD是菱形。
3、菱形判定方法2：的四边形是菱形．几何表示：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD∴四边形ABCD是菱形。
二、例题讲解如下图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.求证：平行四边ABCD是菱形.我来试一试1、在平行四边形ABCD中，OA=3，OB=4，AB=5，求证：平行四边形ABCD是菱形。
二、课内练习1、填空：（1）对角线互相平分的四边形是；（2）对角线互相垂直平分的四边形是。
ABC2、如图，已知ABCD ，添加一个条件使平行四边形为菱形，则添加条件可以是_______________。
DC3、如图ABCD 的一条边AB=9，对角线AC 和BD 的长分别是12和65，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积。
四、自我检测1、下列条件中，能判定四边形是菱形的是 （ ）．（A ）两条对角线相等 （B ）两条对角线互相垂直 （C ）两条对角线相等且互相垂直 （D ）两条对角线互相垂直平分2、已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ． 求证：四边形AFCE 是菱形．3、如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，DE 和CE 相交于E ，求证：四边形OCED 是菱形。
4、如下图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAD ，且交BF 于点C ，BD 平分∠ABC ，且交AE 于点D ，连接CD 。
菱形的判定
╳
╳
□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 （2）若AC=BD，则□ABCD是 菱 形； 矩 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 矩 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱 形。
D
O A B
C
一个平行四边形的一条边长为9， 两条对角线长是12和6√ 5 ，这是一个 特殊的平行四边形吗？为什么？求出 它的面积。
E
A
B
5、已知：如图，矩形ABCD的对角线相交 于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD、PC相 交于点P。 P (1)猜想：四边形PCOD是什么 特殊的四边形？ D
C
(2)试证明你的猜想。
O B
A （3) PO与CD有怎样的关系？
6、如图，顺次连接矩形ABCD各边中点， 得到四边形EFGH， 求证：四边形EFGH是菱形。
5 5
5
对角线互相垂直的平行 四边形是菱形
5 5
有四条边相等的四边形是菱形。
如图， ABCD的两条对角线AC、BD 相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6 （1）AC、BD互相垂直吗？为什么？ （2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
D 解： （1）∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=4 OB=OD=3 A O ∵ AB=5 ∴ AB2=OA2+OB2 0 B ∴AC⊥BD 9 0 ∴ ∠AOB=
A D
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 数学语言 ∵四边形ABCD是平行四边形 AB=AD
B O C
∴四边形ABCD是菱形
思考
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定 一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根 橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么 时候变成菱形?
菱形的定义和性质
菱形的定义和性质
一、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
二、菱形的性质：
1、对角线互相垂直且平分；
2、四条边都相等；
3、对角相等，邻角互补；
4、每条对角线平分一组对角；
5、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形；
6、在60度的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号3倍；
7、菱形具备平行四边形的一切性质。
三、菱形的判定：
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、四边相等的四边形是菱形；
3、关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；
4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
菱形菱形的判定
O
A
B
1 .下列命题中正确旳是（ C）
A.一组邻边相等旳四边形是菱形 B.三条边相等旳四边形是菱形 C.四条边相等旳四边形是菱形 D.四个角相等旳四边形是菱形
2 .对角线相互垂直且平分旳四边形是（ C）
A.矩形
B.一般旳平行四边形
C.菱形
D.以上都不对
3 .下列条件中，不能鉴定四边形ABCD为菱形旳是（C）
求证:四边形ABCD是菱形. A
证明: ∵ 四边形ABCD是平行四边形
O
C
∴OA=OC=4 OB=OD=3
B
又∵AB=5 ∴AB2=AO2+BO2 ∴∠AOB=90°
∴AC⊥BD 又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形.
6 、如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，
得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是
B
C
菱形ABCD
数学语言
∵在四边形ABCD中 AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
菱形常用旳鉴定措施：
①有一组邻边相等旳平行四边形叫做菱形
+邻边相等 =
②对角线相互垂直旳平行四边形是菱形
+对角线线相互垂直=
③有四条边相等旳四边形是菱形。
四条边相等+
=
菱形旳鉴定：
鉴定 法一
文字语言
一组邻边相 等旳平行四 边形是菱形
18.2 特殊平行四边形
18.2.2 菱形
第2课时 菱形旳鉴定
矩形与菱形
矩形
菱形
性质
定义
边
有一角是直角旳平行 有一组邻边相等旳平行四
四边形叫做矩形.
边形叫做菱形.
具有平行四边形旳一切性质
菱形定义、性质及判定
菱形
1.
2.
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，
还具有自己独特的性质：
①边的性质：对边平行且四边相等
②角的性质：邻角互补，对角相等
③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分组对角
④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形。
菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半。
【点评】:只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半.
3.
① 一组邻边相等的平行四边形是菱形；
② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③ 四边相等的四边形是菱形。
菱形的判定方法
命题：有四条边相等的四边形是菱形。 定理：
已知：在四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA. 求证：四边形 ABCD 是菱形 证明： ∵AB=CD,AD=BC
D C
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形
A B
判定定理2：
四条边都相等的四边形是菱形.
A D B 四边形ABCD C AB=BC=CD=DA A
∴四边形AFCE是菱形
小结：
四条边相等
四边形
菱形
平行四边形
矩形与菱形
矩形 定义
边 角 对角线 四个角都是直角 相等
有一角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 三个角都是直角的四边形
菱形
有一组邻边相等的平行四 边形叫做菱形.
四条边都相等 互相垂直且平分每一组对角
有一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直的平行四边形 四条边都相等的四边形
F
H G
C
1 1 EF GH BD，FG EH AC 2 2
∴四边形EFGH是菱形
命题：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。 . 已知：在四边形ABCD中，AC分别平分∠BAD
和∠BCD，BD分别平分∠ABC和∠ADC 求证：四边形ABCD是菱形
证明：
∵ AC分别平分∠BAD和∠BCD
B
A
B
O
D
C 命题1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 命题2：四条边都相等的四边形是菱形
命题3：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形 想一想：这些逆命题都成立吗？如果成立的话 怎么样才能证明呢？
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形的判定(公开课教案)
菱形的判定一、教学目标：1.知道菱形的三种判定方法，并会叙述。
2能根据已知条件，选择适当的判定方法进行推理和计算.3.经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想。
二、教学重点:菱形的三种判定方法的应用.三、教学难点:菱形判定方法的探究及灵活运用.四、教学过程:复习回顾：菱形的性质1.具有平行四边形的一切性质。
2.菱形本身具有的特殊性质:2.四条边相等；3.两条对角线互相垂直平分, 每一条对角线平分一组对角.如何判定菱形呢？板书：菱形的判定新课讲解：1导入：（1）提问：菱形的定义。
根据菱形的定义可知：一组邻边相等的平行四边形是菱形.所以只要再有一组邻边相等的条件即可.(2)要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？2、探究与归纳菱形的第二个判定方法【活动一】用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。
问: 任意转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？继续转动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱形？你能证明你的猜想吗？学生猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
教师提问：这个命题的前提是什么？结论是什么？学生用几何语言表示命题如下：已知：在□ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，求证：□ABCD 是菱形。
分析：可先证ΔAOB ≌ΔAOD ，可得到AB=AD (或根据线段垂直平分线性质定理,得到AB=AD) ，（或者用线段垂直平分线定理来证明）最后证得□ABCD 是菱形。
小结：通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的第二个判定方法:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
提示：此方法包括两个条件——（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直。
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
思考：如图，在平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=5，则四边形ABCD 是菱形吗？【活动二】探究与归纳菱形的第三个判定方法【操作探究】过程: 先画两条等长的线段AB 、AD ，然后分别以B 、D 为圆心，AB 为半径画弧，得到两弧的交点C ，连接BC 、CD ，就得到了一个四边形，提问：观察画图的过程，你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?你能得到什么结论?学生观察思考后，展开讨论，指出该四边形四条边相等，即有两组对边相等，它首先是一个平行四边形，又有一组邻边相等，根据菱形定义即可判定该四边形是菱形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
逸夫学校八年级下数学高效课堂导学案
课题：菱形的性质 主备人：许萍萍 序号：1001 领导签字：
班级 姓名 日期:
自研课
（时段： 晚自习 时间： 20分钟 ）
1、旧知链接：菱形的定义： 的平行四边形是菱形。
2、新知自研：认真自研教材P99； 3、学前准备：准备一长一短两根木条和一根橡皮筋。
展示课：
（时段： 正课 时间：60分钟 ）
一、学习目标： 探究菱形的判定定理
二、【定向导学·互动展示】
课 堂
元 素
自研自探环节 合作探究环节 展示提升环节 质疑评价环节 总结归纳环节
自 学 指 导 （ 内容·学法·时间 ） 互 动 策 略 内容·形式·时间） 展 示 方 案 （内容·方式·时间） 随堂笔记
（成果记录·知识生成·同步演练 ）
︻ 导 学 一 ︼ 菱形判定定理的探究与运用 （59min） 认真自研教材P99例3以上内容，完成下列探究： 1、菱形的判定方法（一）： 菱形的定义： 的平行四边形叫做菱形。 2、探究、观察，提出猜想： 按照P99“探究”实验： ①固定两个木条中点是为了保证这个四边形是 ； 当两根木条 时，这个四边形为菱形； ②提出猜想： 的平行四边形是菱形 3、验证猜想： 已知： 求证： 证明： （6min） （1）小组长检查自研成果，并给出等级认定； （2）交流猜想： 组长主持，各成员将自己的自研成果与疑难在组内交流，重点交流证明思路，就老师分配的任务，重点攻关，形成展示策略预案。 （6min） 展示方案提示： 方案一： 板书菱形的定义，并作简要解释。 演示实验，提出合理猜想 方案二： 验证猜想： 画出图形 写出已知、求证并给出证明过程。 （15min） 随堂笔记： 菱形的判定定理：
① 平行四边形是菱形；
② 平行四边形是菱形；
③ 四边形是菱形；
同步演练：
一个平行四边形的一条边长是9，两条对角
线的长分别是12和56，这是一个特殊的
平行四边形吗？为什么？求出它的面积。
解：
︻
导
学
二
︼
例题
导析
与同
步演
练
4.认真阅读例3，整理证明思路：
5.体会画菱形的常用方法，思考菱
形的判定方法。
1、动手作图，提出猜想：
①利用直尺和圆规作一个四边相
等的四边形（要求：保留作图痕迹）
②观察所作图形，提出猜想：
的四边形是菱形。
2、验证猜想：
组长主持，各成
员将自己的自
研成果与疑难
在组内交流，重
点交流证明思
路
（4min） 方案三: 例3例题思路剖析，解题格式规范 方案四： 展示尺规作菱形 板书已知、求证，并给出规范
的证明过程。
全班展示同步演
练
（15min）
等级认定：
当堂反馈(8min):
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，
CF∥BE且交AD于F，连接BF、BE、CE。试说明四边形BECF是菱形。
训练课（时段：晚自习 ， 时间：25分钟）
“日日清巩固达标训练题” 自评： 师评：
基础题：
1、下列图形中，不一定为菱形的是（ ）
A、两对角线互相垂直平分的四边形 B、有一条对角线平分一个内角的平行四边形
C、对角线互相垂直的四边形 D、有两个全等的等边三角形拼成的图形
2、下列给出的条件，能判定一个四边形为菱形的是（ ）
A、有一组对边平行且相等，有一个角是直角
B、有一组对边平行，另一组对边相等，两条对角线相互垂直
C、两组对边分别相等，且有一组相邻的角相等
D、一组对边相等，一组对角相等，有一组邻边相等
发展题
：
如图，AE∥BF,AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：四边形ABCD
是菱形。
提高题：
如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，AB、CD满足什么
条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论。
培辅课（时段：大自习 附培辅单）
1、今晚你需要培辅吗？（需要，不需要）
2、效果描述：
反思课
1、病题诊所：
2、精题入库：
【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗？