2009年全国中考数学压轴题100题精选四(含解析)
中考数学压轴题预测100题精选(1-10题)含答案1[1]
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2011年中考数学压轴题预测100题精选（1—10题）【01】如图，已知抛物线2(1)y a x=-+a≠0）经过点(2)A-，0,抛物线的顶点为D，过O作射线OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；（2)若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为()t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB=，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s,连接PQ，当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．【02】如图16,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P 也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时,AP = ，点Q到AC（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQt的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED为直角梯形?若能,求t（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．图16【03】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4，0）、C（8，0）、D（8，8)。
中考数学压轴题100题精选及答案(1)(1)
中考数学压轴题100题精选【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx 过A 、C 两点. (1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；A P 图16(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G .当t 为何值时，线段EG 最长? ②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。
王者荣耀上分秘籍 (1)
中考数学压轴题100题精选【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、A P 图16D （8，8）.抛物线y=ax2+bx 过A 、C 两点. (1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G .当t 为何值时，线段EG 最长? ②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。
【中考数学】易错易错压轴勾股定理选择题训练经典题目(含答案)(1)
【中考数学】易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题训练经典题目(含答案)(1)一、易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题1．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是 ( )A ．6，8，10B ．5，12，13C ．3，5，6D ．2，3，52．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 、BE 与相交于点G ，以下结论中正确的结论有（ ）（1）△ABC 是等腰三角形；（2）BF ＝AC ；（3）BH ：BD ：BC ＝1：2：3；（4）GE 2+CE 2＝BG 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2），其中结论正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形5．如图，在ABC 中，,904C AC ︒∠==cm ，3BC =cm ，点D 、E 分别在AC 、BC上，现将DCE 沿DE 翻折，使点C 落在点'C 处，连接AC '，则AC '长度的最小值 （ ）A ．不存在B ．等于 1cmC ．等于 2 cmD ．等于 2.5 cm6．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，在容器内壁离容器底部4 cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm ，则该圆柱底面周长为（ ）cm ．A ．9B ．10C ．18D ．207．如图，在平行四边形ABCD 中，∠DBC=45°，DE ⊥BC 于E ，BF ⊥CD 于F ，DE ，BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于点G ，下面给出四个结论:①2BD BE =； ②∠A=∠BHE ；③AB=BH ； ④△BCF ≌△DCE ， 其中正确的结论是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④8．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 和b ，那么ab 的值为（ ）A ．49B ．25C ．12D ．109．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，BD 平分∠ABC ，E 是AB 中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．102B ．2C 51+D ．3210．若直角三角形的三边长分别为-a b 、a 、+a b ，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（）A ．22B ．32C ．62D ．8211．如图，在△ABC ，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足恰好是边AB 的中点E ，若AD ＝3cm ，则BE 的长为（ ）A ．332cmB ．4cmC ．32cmD ．6cm12．在ABC ∆中，D 是直线BC 上一点，已知15AB =，12AD =，13AC =，5CD =，则BC 的长为（ ）A ．4或14B ．10或14C ．14D ．10 13．下列条件中，不能．．判定ABC 为直角三角形的是（ ） A ．::5:12:13a b c =B ．A BC ∠+∠=∠ C ．::2:3:5A B C ∠∠∠=D ．6a =，12b =，10c =14．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90D ︒∠=，4=AD ，3BC =．分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）A ．22B ．4C ．3D ．1015．如图， 在ABC 中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ABC 的外角ACD ∠，且EF //BC 交AC 于M ，若CM 4=，则22CE CF +的值为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．6416．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt △ABC 沿BD 进行翻折，使点A 刚好落在BC 上，则CD 的长为（ ）A ．10B ．5C ．4D ．3 17．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是( )A ．3，4，5B ．1，1，2C ．8，12，13D ．2、3、5 18．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( ) A ．4 B ．16 C ．34 D ．4或3419．如图，分别以直角ABC ∆三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123,,S S S 表示，若27S =，32S =，那么1S =（ ）A ．9B ．5C ．53D ．4520．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)( )A ．3B ．5C ．4.2D ．421．如图,A 、B 两点在直线l 的两侧,点A 到直线l 的距离AC=4,点B 到直线l 的距离BD=2,且CD=6,P 为直线CD 上的动点, 则PA PB -的最大值是（ ）A ．62B ．22C ．210D ．6 22．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A ．内角和为360°B ．对角线互相平分C ．对角线相等D ．对角线互相垂直 23．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 、b ，那么2()a b + 的值为（ ）.A ．49B ．25C ．13D ．124．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2a b +值为（ ）A ．25B ．9C ．13D ．16925．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2，其中正确结论有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个26．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…按照此规律继续下去，则S 2016的值为（ ）A ．（22）2013B ．（22）2014C ．（12）2013D ．（12）2014 27．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( )A ．8B ．8.8C ．9.8D ．1028．如图，在23⨯的正方形网格中，AMB ∠的度数是（ ）A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．60°29．三个正方形的面积如图，正方形A 的面积为（ ）A ．6B ．36C ．64D ．830．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S ；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6S ，其中116S =，245S =，511S =，614S =，则43S S +=（ ）．A．86 B．61 C．54 D．48【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题1．C解析：C【分析】求出两小边的平方和长边的平方，再看看是否相等即可．【详解】A、62+82=102，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B、52+122=132，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C、32+52≠62，此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；D、222235+=，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．2．C解析：C【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，根据等角的余角相等求出∠A＝∠BCA，再根据等角对等边可得AB＝BC，从而得证；（2）根据三角形的内角和定理求出∠A＝∠DFB，推出BD＝DC，根据AAS证出△BDF≌△CDA即可；（3）根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行解答；（4）由（2）得出BF ＝AC ，再由BF 平分∠DBC 和BE ⊥AC 通过ASA 证得△ABE ≌△CBE ，即得CE ＝AE ＝12AC ，连接CG ，由H 是BC 边的中点和等腰直角三角形△DBC 得出BG ＝CG ，再由直角△CEG 得出CG 2＝CE 2+GE 2，从而得出CE ，GE ，BG 的关系．【详解】 解：（1）∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∵CD ⊥AB ，∴∠ABE +∠A ＝90°，∠CBE +∠ACB ＝90°，∴∠A ＝∠BCA ，∴AB ＝BC ，∴△ABC 是等腰三角形；故（1）正确；（2）∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDC ＝∠ADC ＝∠AEB ＝90°，∴∠A +∠ABE ＝90°，∠ABE +∠DFB ＝90°，∴∠A ＝∠DFB ，∵∠ABC ＝45°，∠BDC ＝90°，∴∠DCB ＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC ，∴BD ＝DC ，在△BDF 和△CDA 中==BDF CDA A DFB BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△BDF ≌△CDA （AAS ），∴BF ＝AC ；故（2）正确；（3）∵在△BCD 中，∠CDB ＝90°，∠DBC ＝45°，∴∠DCB ＝45°，∴BD ＝CD ，BCBD ．由点H 是BC 的中点，∴DH ＝BH ＝CH ＝12BC ， ∴BD，∴BH ：BD ：BC ＝BH：2BH ＝1：2．故（3）错误；（4）由（2）知：BF ＝AC ，∵BF 平分∠DBC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，又∵BE ⊥AC ，∴∠AEB ＝∠CEB ，在△ABE 与△CBE 中，==ABE CBE AEB CEB BE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CBE （AAS ），∴CE ＝AE ＝12AC ， ∴CE ＝12AC ＝12BF ； 连接CG ．∵BD ＝CD ，H 是BC 边的中点，∴DH 是BC 的中垂线，∴BG ＝CG ，在Rt △CGE 中有：CG 2＝CE 2+GE 2，∴CE 2+GE 2＝BG 2．故（4）正确．综上所述，正确的结论由3个．故选C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行线的性质，勾股定理,熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．3．C解析：C【解析】试题分析：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，即∠BAD=∠CAE ． ∵在△BAD 和△CAE 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAE ，AD=AE ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ）．∴BD=CE ．本结论正确．②∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD=∠ACE ．∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°．∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°． ∴BD ⊥CE ．本结论正确．③∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABD+∠DBC=45°．∵∠ABD=∠ACE ，∴∠ACE+∠DBC=45°．本结论正确．④∵BD ⊥CE ，∴在Rt △BDE 中，利用勾股定理得：BE 2=BD 2+DE 2．∵△ADE 为等腰直角三角形，∴AD ，即DE 2=2AD 2．∴BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2．而BD 2≠2AB 2，本结论错误．综上所述，正确的个数为3个．故选C ．4．B解析：B【解析】【分析】根据完全平方公式利用a+b=10，ab=18求出22a b +，即可得到三角形的形状.【详解】∵a+b=10，ab=18，∴22a b +=（a+b ）2-2ab=100-36=64，∵,c=8，∴2c =64，∴22a b +=2c ，∴该三角形是直角三角形，故选：B.【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，完全平方公式，能够利用完全平方公式由已知条件求出22a b +是解题的关键.5．C解析：C【分析】当C ′落在AB 上，点B 与E 重合时，AC'长度的值最小，根据勾股定理得到AB=5cm ，由折叠的性质知，BC ′=BC=3cm ，于是得到结论．【详解】解：当C ′落在AB 上，点B 与E 重合时，AC'长度的值最小，∵∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ，∴AB=5cm ，由折叠的性质知，BC ′=BC=3cm ，∴AC ′=AB-BC ′=2cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．C解析：C【分析】将容器侧面展开，建立A 关于上边沿的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B 的长度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求．【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点'A ，连接'A B ，则'A B 即为最短距离， 根据题意：'15A B cm =，12412BD AE cm =-+=，2222'15129A D A B BD ∴--'==．所以底面圆的周长为9×2=18cm.故选：C ．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．7．A解析：A【分析】先判断△DBE 是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出2BE ，故①正确；根据∠BHE 和∠C 都是∠HBE 的余角，可得∠BHE=∠C ，再由∠A=∠C ，可得②正确；证明△BEH ≌△DEC ，从而可得BH=CD ，再由AB=CD ，可得③正确；利用已知条件不能得到④，据此即可得到选项.解：∵∠DBC=45°，DE ⊥BC 于E ，∴在Rt △DBE 中，BE 2+DE 2=BD 2，BE=DE ，∴BD=2BE ，故①正确；∵DE ⊥BC ，BF ⊥DC ，∴∠BHE 和∠C 都是∠HBE 的余角，∴∠BHE=∠C ，又∵在▱ABCD 中，∠A=∠C ，∴∠A=∠BHE ，故②正确；在△BEH 和△DEC 中，BHE C HEB CED BE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BEH ≌△DEC ，∴BH=CD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB=CD ，∴AB=BH ，故③正确；利用已知条件不能得到△BCF ≌△DCE ，故④错误，故选A.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.8．C解析：C【解析】试题解析：如图，∵大正方形的面积是25，∴c 2=25，∴a 2+b 2=c 2=25，∵直角三角形的面积是（25-1）÷4=6，又∵直角三角形的面积是12ab=6， ∴ab=12．故选C. 9．A解析：A试题解析：如图，过D 作AB 垂线交于K ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD=∠ABD∵∠C=∠DKB=90°，∴CD=KD ，在△BCD 和△BKD 中，CD KD BD BD ⎧⎨⎩＝＝ ∴△BCD ≌△BKD ，∴BC=BK=3∵E 为AB 中点∴BE=AE=2.5，EK=0.5，∴AK=AE-EK=2，设DK=DC=x ，AD=4-x ，∴AD 2=AK 2+DK 2即（4-x ）2=22+x 2解得：x=32∴在Rt △DEK 中，2222310=+0.5=2DK KE +（）（）. 故选A ．10．B解析：B【解析】由题可知（a-b ）2+a 2=（a+b ）2，解得a=4b ，所以直角三角形三边分别为3b ，4b ，5b ，当b=8时，4b=32，故选B ．11．A解析：A【分析】先根据角平分线的性质可证CD=DE ，从而根据“HL”证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，由DE 为AB 中线且DE ⊥AB ，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt △BDE 中，根据直角三角形的性质即可求出BE 的长.∵AD 平分∠BAC 且∠C=90°，DE ⊥AB ，∴CD=DE ，由AD ＝AD ，所以，Rt △ACD ≌Rt △AED ，所以，AC=AE.∵E 为AB 中点，∴AC=AE=12AB ， 所以，∠B=30° .∵DE 为AB 中线且DE ⊥AB ，∴AD=BD=3cm ，∴DE=12BD=32, ∴BE=22332⎛⎫-= ⎪⎝⎭332cm. 故选A.【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质，及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.12．A解析：A【分析】根据AC =13，AD =12，CD =5，可判断出△ADC 是直角三角形，在Rt △ADB 中求出BD ，继而可得出BC 的长度．【详解】∵AC =13，AD =12，CD =5，∴222AD CD AC +=，∴△ABD 是直角三角形，AD ⊥BC ，由于点D 在直线BC 上，分两种情况讨论：当点D 在线段BC 上时，如图所示，在Rt △ADB 中，229BD AB AD =-=，则14BC BD CD =+=；②当点D 在BC 延长线上时，如图所示，在Rt △ADB 中，229BD AB AD =-=， 则4BC BD CD =-=．故答案为：Ａ．【点睛】 本题考查勾股定理和逆定理，需要分类讨论，掌握勾股定理和逆定理的应用为解题关键．13．D解析：D【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90︒即可．【详解】解：A 、22251213+=，ABC ∆∴是直角三角形，故能判定ABC ∆是直角三角形；B 、A BC ∠+∠=∠，90C ∴∠=︒，故能判定ABC ∆是直角三角形； C 、::2:3:5A B C ∠∠∠=，518090235C ∴∠=⨯︒=︒++，故能判定ABC ∆是直角三角形；D 、22261012+≠，ABC ∆∴不是直角三角形，故不能判定ABC ∆是直角三角形； 故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．14．A解析：A【分析】连接FC ，根据基本作图，可得OE 垂直平分AC ，由垂直平分线的性质得出=AF FC ．再根据ASA 证明FOA BOC ∆≅∆，那么==3AF BC ，等量代换得到==3FC AF ，利用线段的和差关系求出==1FD AD AF -．然后在直角FDC ∆中利用勾股定理求出CD 的长．【详解】解：如图，连接FC ，则=AF FC ．AD BC ∵∥，FAO BCO ∴∠=∠．在FOA ∆与BOC ∆中，FAO BCO OA OCAOF COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()FOA BOC ASA ∴∆≅∆，3AF BC ∴==，3FC AF ∴==，431FD AD AF =-=-=．在FDC ∆中，90D ︒∠=，222CD DF FC ∴+=，22213CD ∴+=，22CD ∴=．故选A ．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF 与DF 是解题的关键．15．D解析：D【分析】根据角平分线的定义推出△ECF 为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE 2+CF 2=EF 2．【详解】∵CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ACE=12∠ACB ，∠ACF=12∠ACD ，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD ）=90°， 又∵EF ∥BC ，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM ，∠DCF=∠CFM=∠MCF ，∴CM=EM=MF=4，EF=8，由勾股定理可知CE 2+CF 2=EF 2=64．【点睛】此题考查角平分线的定义，直角三角形的判定，勾股定理的运用，解题关键在于掌握各性质定义.16．B解析：B【分析】根据“在Rt△ABC中”和“沿BD进行翻折”可知，本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理和翻折的性质，运用方程的方法进行求解．【详解】∵∠A=90°，AB=6，AC=8，∴，根据翻折的性质可得A′B=AB=6，A′D=AD，∴A′C=10-6=4．设CD=x，则A′D=8-x，根据勾股定理可得x2-（8-x）2=42，解得x=5，故CD=5．故答案为：B．【点睛】本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．17．C解析：C【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可作出判断．【详解】A. 32+42=52，能构成直角三角形，故不符合题意；B. 12+12=）2，能构成直角三角形，故不符合题意；C. 82+122≠132，不能构成直角三角形，故符合题意；D.）2+2=2，能构成直角三角形，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．18．D解析：D试题解析：当3和5都是直角边时，第三边长为：2235+=34；当5是斜边长时，第三边长为：2253-=4．故选D ．19．A解析：A【分析】根据勾股定理与正方形的性质解答．【详解】解：在Rt △ABC 中，AB 2=BC 2+AC 2，∵S 1=AB 2，S 2=BC 2，S 3=AC 2，∴S 1=S 2+S 3．∵S 2=7，S 3=2，∴S 1=7+2=9．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．20．C解析：C【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．【详解】解：设折断处离地面的高度OA 是x 尺，根据题意可得：x 2+42=（10-x ）2，解得：x=4.2，答：折断处离地面的高度OA 是4.2尺．故选C ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．21．C解析：C【解析】试题解析：作点B 关于直线l 的对称点B ',连接AB '并延长,与直线l 的交点即为使得PA PB -取最大值时对应的点.P此时.PA PB PA PB AB -=-'='过点B '作B E AC '⊥于点,E 如图,四边形B DCE '为矩形，6, 2.B E CD EC B D BD ∴=====''2.AE ∴=22210.AB AE B E ''+=PA PB -的最大值为：210.故答案为：210.22．C解析：C【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．【详解】A 、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；B 、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；C 、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确D 、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键.23．A解析：A【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方25，也就是两条直角边的平方和是25，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12，据此即可得结果.【详解】根据题意，结合勾股定理a 2+b 2=25，四个三角形的面积=4×12ab=25-1=24， ∴2ab=24，联立解得：（a+b ）2=25+24=49．故选A. 24．A解析：A【分析】根据勾股定理可以求得22a b +等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab 的值，然后根据()2222a b a ab b +=++即可求解．【详解】根据勾股定理可得2213a b +=， 四个直角三角形的面积是：14131122ab ⨯=-=，即212ab =， 则()2222131225a b a ab b +=++=+=．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方式，正确根据图形的关系求得22a b +和ab 的值是关键．25．D解析：D【解析】分析：由四边形ABCD 与四边形EFGC 都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE 与三角形DCG 全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG ,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO ,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD 为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.详解：①∵四边形ABCD 和EFGC 都为正方形，∴CB=CD ，CE=CG ，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE ，即∠BCE=∠DCG.在△BCE 和△DCG 中，CB ＝CD ，∠BCE ＝∠DCG ，CE ＝CG ，∴△BCE ≌△DCG ，∴BE=DG ，故结论①正确.②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.由①可知，△BCE≌△DCG，∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，∴∠DOM=∠MCB=90°，∴BE⊥DG.故②结论正确.③如图所示，连接BD、EG，由②知，BE⊥DG，则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，∴BG2+DE2=2a2+2b2.故③结论正确.故选：D.点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.26．C解析：C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分S n的值，根据数的变化找出变化规律“S n=(12)n−3”，依此规律即可得出结论．【详解】解：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD 的边长为2，△CDE 为等腰直角三角形，∴DE 2+CE 2=CD 2，DE=CE ，∴S 2+S 2=S 1．观察，发现规律：S 1=22=4，S 2=12S 1=2，S 3=12S 2=1，S 4=12S 3=12，…， ∴S n =(12)n−3． 当n=2016时，S 2016=(12)2016−3=(12)2013． 故选：C ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律“S n =(12)n−3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分S n 的值，根据数值的变化找出变化规律是关键． 27．C解析：C【分析】由AP+CP=AC 得到AP BP CP ++=BP+AC ，即计算当BP 最小时即可，此时BP ⊥AC ，根据三角形面积公式求出BP 即可得到答案.【详解】∵AP+CP=AC ，∴AP BP CP ++=BP+AC ，∴BP ⊥AC 时，AP BP CP ++有最小值，设AH ⊥BC ，∵56AB AC BC ===，∴BH=3， ∴224AH AB BH =-=, ∵1122ABC SBC AH AC BP =⋅=⋅， ∴1164522BP ⨯⨯=⨯, ∴BP=4.8，∴AP BP CP ++=AC+BP=5+4.8=9.8，【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，最短路径问题，正确理解AP BP CP ++时点P 的位置是解题的关键.28．C解析：C【分析】连接AB ，求出AB 、BM 、AM 的长，根据勾股定理逆定理即可求证AMB ∆为直角三角形，而AM=BM ，即AMB ∆为等腰直角三角形，据此即可求解．【详解】连接AB∵22125AM =+=22125AB =+=221310BM =+=∴22210AM AB BM +==∴AMB ∆为等腰直角三角形∴45AMB ∠=︒故选C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，重点是求出三条边的长，然后证明AMB ∆为直角三角形．29．B解析：B【分析】根据直角三角形的勾股定理，得：两条直角边的平方等于斜边的平方．再根据正方形的面积公式，知：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．【详解】解：A 的面积等于100-64=36；【点睛】本题主要考查勾股定理的证明：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．30．C解析：C【分析】设1S ，2S ，3S 对应的边长为1L ，2L ，3L ，根据题意，通过等边三角形和勾股定理的性质，得23L ，从而计算得到3S ；设4S ，5S ，6S 对应的边长为4L ，5L ，6L ，通过圆形面积和勾股定理性质，得24L ，从而计算得到4S ，即可得到答案．【详解】分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S则1S ，2S ，3S 对应的边长设为1L ，2L ，3L根据题意得：21111116224S L L L =⨯==22245S L == ∴21L =，22L =∵222132L L L += ∴22232129L L L =-=∴233292944S L === 以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6S 则4S ，5S ，6S 对应的边长设为4L ，5L ，6L 根据题意得：2255511228L S L ππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭ 2266614228L S L ππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭ ∴25811L π=⨯，26814L π=⨯ ∵222564L L L += ∴()22245688111425L L L ππ=+=⨯+=⨯∴2448S 252588L πππ==⨯⨯=∴43292554S S +=+=故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形、圆形面积的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、等边三角形面积计算的性质，从而完成求解．。
中考数学压轴题100题精选之欧阳道创编
我选的中考数学压轴题100题精选【001】如图，已知抛物线2(1)=-+y a x（a≠0）经过点(2)A-，0，抛物线的顶点为∥．过顶点D平行于x D，过O作射线OM AD轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB=，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【Rt △ABC 中，∠C ．点P 从点C 出发沿A 匀速AC AB 以每秒1个单P 、Q PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP =，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C t 的值． 【003图16矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C （8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值。
[学子教育]2009年全国中考数学压轴题5(修订版) (2)
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2009年全国中考数学分类试题---综合题压轴题汇编5教师答案版1（09湖南长沙）26．（本题满分10分）如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，、(0C ，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等． （1）求实数a b c ，，的值；（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将B M N △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．2（09湖南衡阳）26、（本小题满分9如图12，直线4+-=x y AB 上任意一点（A 、B 两点除外），过M D ．（1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40<<a a （，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象． 解：（1）设点M 的横坐标为x ，则点M 的纵坐标为－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）；则：MC ＝∣－x+4∣＝－x+4，MD ＝∣x ∣＝x ； ∴C 四边形OCMD ＝2（MC+MD ）＝2（－x+4+x ）＝8∴当点M 在AB 上运动时，四边形OCMD 的周长不发生变化，总是等于8；（2）根据题意得：S 四边形OCMD ＝MC ·MD ＝（－x+4）· x ＝－x 2+4x ＝－(x-2)2+4 ∴四边形OCMD 的面积是关于点M 的横坐标x （0<x<4）的二次函数，并且当x ＝2，即当点M 运动到线段AB 的中点时，四边形OCMD 的面积最大且最大面积为4；（3）如图10（2），当20≤<a 时，42121422+-=-=a a S ；如图10（3），当42<≤a 时，22)4(21)4(21-=-=a a S ；∴S 与a 的函数的图象如下图所示：图12图12图123（09湖南娄底）25．（本小题12分）如图11，在△ABC 中，∠C =90°，BC =8，AC =6，另有一直角梯形DEFH（HF ∥DE ，∠HDE =90°）的底边DE 落在CB 上，腰DH 落在CA 上，且DE =4，∠DEF =∠CBA ，AH ∶AC =2∶3（1）延长HF 交AB 于G ，求△AHG 的面积. （2）操作：固定△ABC ，将直角梯形DEFH 以每秒1个单位的速度沿CB 方向向右移动，直到点D 与点B重合时停止，设运动的时间为t 秒，运动后的直角梯形为DEFH ′（如图12）.探究1：在运动中，四边形CDH ′H 能否为正方形？若能，请求出此时t 的值；若不能，请说明理由.探究2：在运动过程中，△ABC 与直角梯形DEFH ′重叠部分的面积为y ，求y 与t 的函数关系.25．（12分）解：（1）∵AH ∶AC =2∶3，AC=6∴AH =23AC =23×6=4又∵HF ∥DE ，∴HG ∥CB ，∴△AHG ∽△ACB (1)分∴AH AC=HG BC，即46=8HG ，∴HG =163 (2)分∴S △AHG =12AH ·HG =12×4×163=323 (3)分（2）①能为正方形…………………………………………………………………4分∵HH ′∥CD ，HC ∥H ′D ，∴四边形CDH ′H 为平行四边形 又∠C =90°，∴四边形CDH ′H 为矩形…………………………………5分又CH =AC-AH =6-4=2∴当CD =CH =2时，四边形CDH ′H 为正方形此时可得t =2秒时，四边形CDH ′H 为正方形…………………………6分②（Ⅰ）∵∠DEF =∠ABC ，∴EF ∥AB∴当t =4秒时，直角梯形的腰EF 与BA 重合.当0≤t ≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH ′的面积.…………7分过F 作FM ⊥DE 于M ，FM ME=tan ∠DEF =tan ∠ABC =AC BC=68=34∴ME =43FM =43×2=83，HF=DM=DE-ME =4-83=43∴直角梯形DEFH ′的面积为12（4+43）×2=163∴y =163 (8)分（Ⅱ）∵当4＜t ≤513时，重叠部分的面积为四边形CBGH 的面积-矩形CDH ′H 的面积.…………………………………………………………9分而S 边形CBGH =S △ABC -S △AHG =12×8×6-323=403S 矩形CDH ′H=2t∴y =403-2t ……………………………………………… (10)分（Ⅲ）当513＜t ≤8时，如图，设H ′D 交AB于P .BD =8-t又PD DB=tan ∠ABC =34∴PD =34DB =34（8-t ）………………11分 ∴重叠部分的面积y =S△PDB =12PD ·DB=12·34（8-t ）（8-t ） =38（8-t ）2=38t 2-6t+24∴重叠部分面积y 与t的函数关系式： y=316（0≤t ≤4）403-2t （4＜t ……………………………………12分≤513）38t 2-6t +24（513＜t ≤8）（注：评分时，考生未作结论不扣分）4（09湖南益阳）六、解答题：本题满分14分． 20.阅读材料：如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.六、解答题：本题满分14分．20．解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y····· 1分把A （3,0）代入解析式求得1-=a所以324)1(221++-=+--=x x x y ······· 3分设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( ··· 4分 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中图12-2 x C O y ABD1 1图12-1A解得：3,1=-=b k所以32+-=x y ·············· 6分 (2)因为C 点坐标为(１,4) 所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝2 ············· 8分32321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) ········10分 (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-= ·· 12分 由S △PAB =89S △CAB得：389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23( ··········· 14分 5（09湖南株洲）23．（本题满分12分）如图，已知ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点BE ，连结 BQ 并延长交AC 于点F 23．（1）由(3,)B m 可知3OC =，BC m =，又m =，3OA m =-，所以点A 的坐标是（3,0m -3分（2）∵45ODA OAD ∠=∠=︒ ∴3OD OA m ==-，则点D 的坐标是（0,3m -）. 又抛物线顶点为(1,0)P ，且过点B 、D ，所以可设抛物线的解析式为：2(1)y a x =-，得：22(31)(01)3a m a m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩ 解得14a m =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为221y x x =-+ ………7分 （3）过点Q 作QM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN BC ⊥于点N ，设点Q 的坐标是2(,21)x x x -+，则2(1)QM CN x ==-，3MC QN x ==-.∵//QM CE ∴PQM ∆∽PEC ∆ ∴QM PMEC PC =即2(1)12x x EC --=，得2(1)EC x =- ∵//QN FC ∴BQN ∆∽BFC ∆ ∴QN BN FC BC =即234(1)4x x FC ---=，得41FC x =+ 又∵4AC = ∴444()[42(1)](22)2(1)8111FC AC EC x x x x x x +=+-=+=⋅+=+++ 即()FC AC EC +为定值8. ……………………12分。
中考数学压轴题100题精选(11答案
中考数学压轴题100题精选(11答案中国最大的教育门户网站合并自：(奥数)、(中考)、(高考)、(作文)、(英语)、(幼教)、、等站20XX年中考数学压轴题100题精选（11-20题）答案【011】解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴ CG= FD．.........1分同理，在Rt△DEF中，EG= FD． (2)分∴ CG=EG．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG 中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴ △DAG≌△DCG．∴ AG=CG．………………………5分在△DMG与△FNG中，∵ ∠DGM=∠FG N，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴ △DMG≌△FNG．∴ MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN．……………6分在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN，MG=NG，∴ △AMG≌△ENG．∴ AG=EG．∴ EG=CG．……………………………8分证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，ME，EC，……………………4分在△DCG 与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG ≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠D CG．∴MF∥CD∥AB．………………………5分∴ 在Rt△MFE 与Rt△CBE中，∵ MF=CB，EF=BE，∴△MFE ≌△CBE．∴∠MEC＝∠MEF ＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．∴ △MEC为直角三角形．∵ MG = CG，∴ EG= MC．………8分（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分【012】解：（1）圆心O在坐标原点，圆O的半径为1，0)B(0，1)、C(1，、0)D(01)，点A、B、C、D的坐标分别为A( 1，、抛物线与直线y x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C，1)、N(11)，．点D、M、N在抛物线上，将D(01)，、M( 1，1)、N(11)，的坐标代入M( 1，c 1 a 1y ax2 bx c，得：1 a b c 解之，得：b 11 a b c c 1E度教育网1合并自：(奥数)、(中考)、(高考)、(作文)、(英语)、(幼教)、、等站抛物线的解析式为：y x2 x 1．4分2（2）y x2x 1x 1 52 4抛物线的对称轴为x12，OE 12，DE 6分连结BF，BFD 90°，△BFD∽△EOD，DEODDBFD，又DEOD 1，DB 2，FD，EF FD DE．8分（3）点P在抛物线上．9分设过D、C点的直线为：y kx b，将点C(1，、0)D(01)，的坐标代入y kx b，得：k 1，b 1，直线DC为：y x 1．10分过点B作圆O的切线BP与x轴平行，P点的纵坐标为y 1，将y 1代入y x 1，得：x 2．P点的坐标为(2，1)，当x 2时，y x2 x 1 22 2 1 1，所以，P点在抛物线y x2x 1上．12分【013】解：（1）该抛物线过点C(0，2)，可设该抛物线的解析式为y ax2bx 2．将A(4，0)，B(1，0)代入，E度教育网2合并自：(奥数)、(中考)、(高考)、(作文)、(英语)、(幼教)、、等站1得16a 4b 2 0，a 2，a b 2 0.解得b 5 2.此抛物线的解析式为y 152x2 2x 2．（3分）（2）存在．（4分）如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为1252m 2m 2，当1 m 4时，AM 4 m，PM 1m252 2m 2．又COA PMA 90°，①当AMPM AOOC 21时，△APM∽△ACO，即4 m 212m2 52m 2．解得m1 2，m2 4（舍去），P(2，1)．（6分）②当AMPM OCOA 12时，△APM∽△CAO，即2(4 m) 152m2 2m 2．解得m1 4，m2 5（均不合题意，舍去）当1 m 4时，P(2，1)．（7分）类似地可求出当m 4时，P(5，2)．（8分）当m 1时，P( 3，14)．综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，2)或( 3，14)．（9分）（3）如图，设D点的横坐标为t(0 t 4)，则D点的纵坐标为12t2 52t 2．过D作y轴的平行线交AC于E．由题意可求得直线AC的解析式为y 12x 2．（10分）E度教育网3合并自：(奥数)、(中考)、(高考)、(作文)、(英语)、(幼教)、、等站151 1 1（11分）E点的坐标为tt 2 ．DE t2 t 2 t 2 t2 2t．***** 1 1S△DAC t2 2t 4 t2 4t (t 2)2 4．2 2（13分）1)．当t 2时，△DAC面积最大．D(2，【014】（1）解：∵A点第一次落在直线y x上时停止旋转，∴OA旋转了45.45 22∴OA在旋转过程中所扫过的面积为.……………4分3602（2）解：∵MN∥AC，∴ BMN BAC 45 , BNM BCA 45 . ∴ BMN BNM.∴BM BN.又∵BA BC，∴AM CN. 又∵OAO,C OAM OCN,∴ OAM OCN.∴ AOM CON.∴1AOM (90 45 .∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度2数为45 .……………………………………………8分（3）答：p值无变化. 证明：延长BA交y轴于E点，则AOE 45 AOM， .又∵OA CON 900 450 AOM 450 AOM，∴ AOE CO，OCOAE 1800 900 900 OCN.∴ OAE OCN.∴OE ON,AE CN.又∵ MOE MON 45,OM OM, ∴ OME∴MN ME AM AE.∴MN AM CN，∴p MN BN BM AM CN BN BM AB BC∴在旋转正方形OABC 的过程中，p值无变化. (12)2x（第26题）【015】⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)+k∵顶点C的横坐标为4，且过点(0，73)9E度教育网4合并自：(奥数)、(中考)、(高考)、(作文)、(英语)、(幼教)、、等站∴y=a(x-4)+k 73 16a k ………………①92又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6 ∴A(1，0)，B(7，0)∴0=9a+k ………………②由①②解得a=，k=－3∴二次函数的解析式为：y=3(x-4)2－399⑵∵点A、B关于直线x=4对称∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值∴DB与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x轴交于点M ∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO 73 3PMBM∴点P的坐标为(4，3) 9∴△BPM∽△BDO∴ ∴PM3DOBO73⑶由⑴知点C(4，3)，又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，3∴∠ACM=60，∵AC=BC，∴∠AC B=120①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120，则∠QBN=60∴QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q(10，3)，如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，3)②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，3)，经检验，点(10，33)与(-2，3)都在抛物线上综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC 点Q的坐标为(10，33)或(-2，3)或(4，3)．oooo【016】解：（1）设正比例函数的解析式为y k1x(k1 0)，因为y k1x的图象过点A(3，3)，所以3 3k1，解得k1 1．这个正比例函数的解析式为y x．（1分）E度教育网5中国最大的教育门户网站合并自：(奥数)、(中考)、(高考)、(作文)、(英语)、(幼教)、、等站设反比例函数的解析式为yk2x(kk2 0)．因为y 2x的图象过点A(3，3)，所以3 k293，解得k2 9．这个反比例函数的解析式为y x．（2分）（2）因为点B(6，m)在y9x的图象上，所以m 96 32，则点B 632．（3分）设一次函数解析式为y k3x b(k3 0)．因为y k3x b的图象是由y x平移得到的，所以k3 3 1，即y x b．又因为y x b的图象过点B 62，所以3992 6 b，解得b 2，一次函数的解析式为y x 2 ．（4分）（3）因为y x99 2的图象交y轴于点D，所以D的坐标为0，2 ．设二次函数的解析式为y ax2bx c(a 0)．因为y ax2bx c的图象过点A(3，3)、B63 、和D 0，9 2 2，9a 3b c 3，a 12，所以36a 6b c 3，（5分）解得2 b 4，9 c 9. c 2. 2这个二次函数的解析式为y 1292x 4x 2．（6分）（4）y x9 9 2交x轴于点C，点C的坐标是2，如图所示，S 152 6 12 6 6 1312 23 2 3 345 18 994 2814．E度教育网6中国最大的教育门户网站合并自：(奥数)、(中考)、(高考)、(作文)、(英语)、(幼教)、、等站假设存在点E(x0，y0)，使S1*****3S 4 32．四边形CDOE的顶点E只能在x轴上方，y0 0，S***-*****1 S△OCD S△OCE2 2 2 2 2 y0 8 4y0．***** 4y02，y30 2．E(x0，y0)在二次函数的图象上，12x2930 4x0 2 2．解得x0 2或x0 6．当x0 6时，点E 63 2与点B重合，这时CDOE不是四边形，故x0 6舍去，点E的坐标为322．（8分）【017】解：（1）已知抛物线y x2bx c经过A(1，，0)B(0，2)，0 1 b c 2 0 0 c 解得b 3 c 2所求抛物线的解析式为y x2 3x 2．2分（2）A(1，0)，B(0，2)，OA 1，OB 2可得旋转后C点的坐标为(31)，3分当x 3时，由y x2 3x 2得y 2，可知抛物线y x23x 2过点(3，2)将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．平移后的抛物线解析式为：y x2 3x 1．5分（3）点N在y x23x 1上，可设N点坐标为(x20，x0 3x0 1)将y x23x 1配方得y x 3 2254，其对称轴为x 32．6分E度教育网7中国最大的教育门户网站合并自：(奥数)、(中考)、(高考)、(作文)、(英语)、(幼教)、、等站①当0 x03时，如图①，2S△NBB1 2S△NDD112 1 x1 3 0 2 2 1 2 x0 x0 1图①此时x20 3x0 1 1N点的坐标为(1，1)．8分②当x30 2时，如图②同理可得1 11 32 x0 2 2 x0 2x0 3此时x20 3x0 1 1图②点N的坐标为(31)，．综上，点N的坐标为(1，1)或(31)，．10分【018】解：（1）抛物线y ax2bx 4a经过A( 1，0)，C(0，4)两点，a b 4a 0，a 1，4a 4.解得b 3. 抛物线的解析式为y x2 3x 4．（2）点D(m，m 1)在抛物线上，m 1 m23m4即m22m 3 0，m 1或m 3．点D在第一象限，点D的坐标为(3，4)．由（1）知OA OB，CBA 45°．设点D关于直线BC的对称点为点E．E度教育网8中国最大的教育门户网站合并自：(奥数)、(中考)、(高考)、(作文)、(英语)、(幼教)、、等站C(0，4)，CD∥AB，且CD 3，ECB DCB 45°，E点在y轴上，且CE CD 3．1)．OE 1，E(0，即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）．（3）方法一：作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E．由（1）有：OB OC 4，OBC 45°，DBP 45°，CBD PBA．C(0，，4)D(3，4)，CD∥OB且CD 3．DCE CBO 45°，DE CE22OB OC 4，BC ，BE BC CE DE3．BE5设PF 3t，则BF 5t，OF 5t 4，tan PBF tan CBD P( 5t 4，3t)．P点在抛物线上，3t ( 5t 4)2 3( 5t 4) 4，t 0（舍去）或t22 266，P ．25 525方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH⊥x轴于H．过Q点作QG⊥DH于G．PBD 45°，QD DB．QDG BDH 90°，又DQG QDG 90°，DQG BDH．9中国最大的教育门户网站合并自：(奥数)、(中考)、(高考)、(作文)、(英语)、(幼教)、、等站△QDG≌△DBH，QG DH 4，DG BH 1．由（2）知D(3，4)，Q( 13)，．B(4，0)，直线BP的解析式为y 3125x 5．y x2 3x 4，2解方程组312得x1 4，x2 ，y 5x 5，y1 0；5y26625.点P的坐标为266525．【019】（1）EO＞EC，理由如下：由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC，故EO＞EC …2分（2）m为定值∵S四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EODEC)=CO(EODEC) S四边形CMNO=CMCO=|C EDEO|CO=(EODEC) CO ∴mS四边形CFGHS 1……………………………………………………4分四边形CMNO（3）∵CO=1，CE 1，QF 23 ∴EF=EO=1 13 233QF ∴cos∠FEC=12∴∠FEC=60°，∴ FEA 180 60260 OEA，EAO 30∴△EFQ为等边三角形，EQ 23…………………………………………5分作QI⊥EO于I，EI=12EQ 13，IQ=2EQ 33 ∴IO=2113 33∴Q点坐标为(3,13)……………………………………6分∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)，Q(3,13)，m=1∴可求得b 3，c=1E度教育网10合并自：(奥数)、(中考)、(高考)、(作文)、(英语)、(幼教)、、等站∴抛物线解析式为y x 3x 1（4）由（3），AO 当x2……………………………………7分3EO22213时，y (3)2 3 1 ＜AB 333321,) …………………8分33233∴P点坐标为(∴BP=112AO 33方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下： 22348①BK 时，BK ∴K点坐标为(,1)或(,1)999 22332②BK时，BK 232332343∴K点坐标为(,1)或(0,1)…………10分3 3故直线KP与y轴交点T的坐标为571…………………………………………12分(0, )或(0,)或(0, )或(0,1)333方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°①当∠RTP=30°时，RT2 23 232 33②当∠RTP=60°时，RT∴T1(0,)，T2(0, )，T3(0, )，T4(0,1)7*****……………………………12分【020】解：（1）①CF⊥BD，CF=BD②成立，理由如下：∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF又BA=CA ，AD=AF ∴△BAD≌△CAF∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45° ∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD ……（1分）（2）当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下：如图：过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G 则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45° ∵AG=AC AD=AF ………（1分）E度教育网11合并自：(奥数)、(中考)、(高考)、(作文)、(英语)、(幼教)、、等站∴△GAD≌△CAF（SAS）∴∠ACF=∠AGD=45°∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………（2分）（3）如图：作AQBC于Q ∵∠ACB=45° AC=42 ∴CQ=AQ=4∵∠PCD=∠ADP=90°∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°∴△ADQ∽△DPC …（1分）PCCD∴= DQAQ设CD为x（＜x＜3）则DQ=CQ－CD=4－x则。
2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(六)全国通用
2009年全国中考数学压轴题精选精析（六）61.（09年某某）28．如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题： （1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是秒；（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是秒； （3）求y 与x 之间的函数关系式．（09年某某28题解析）解：（1）6．···························································· （1分） （2）8． ································································································· （3分） （3）①当03x <≤时，2111sin 6022222APQ y S AP AQ x x x ==︒==13△1·····． ······························ （5分） ②当3x <≤6时，（第28题）Q 1ABCDQ 2P 3 Q 3 E P 2 P 1 O1222222121sin 6021(12-2)22APQ y S AP P Q AP CQ x x ==︒=△=?····=2.x + ···················································································· （7分） ③当69x ≤≤时，设33P Q 与AC 交于点O ． (解法一)过3Q 作3,Q E CB ∥则3CQ E △为等边三角形．33333212..Q E CE CQ x Q E CB COP EOQ ∴===-∴∥△∽△3361,212211(212),33CP OC x OE EQ x OC CE x -∴===-∴==-3333311sin 60sin 6022AQP ACP COP y S S CP AC OC CP ===-△△△-S ··°··°111(6)(212)(6)22232x x x =-⨯-⨯--⨯·6．262x x =-+-． ··································································· （10分） （解法二）如右图，过点O 作3OF CP ⊥于点F ，3OG CQ ⊥，于点,G 过点3P 作3P H DC ⊥交DC 延长线于点H ．,.ACB ACD OF OG ∠=∠∴=P 3OC DQ 3G H F又33,6,2122(6),CP x CQ x x =-=-=-3312CQP COQ S S ∴=△△3333321,3113211(212)(6)32(6).6COP CP Q S S CQ P H x x x ∴==⨯=⨯--=-△△··又331sin 602ACP S CP AC =△··°1(6)626).x x =-⨯=- 3AOP y S ∴=△3326)6)ACP OCP S S x x =-=--△△262x x =-+- ······································································ （10分） 62.（2009年某某）28．（本题满分12分）如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点(30)D ，和点(04)E ，．动点C 从点(50)M ，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标； （2）以点C 为圆心、12t 个单位长度为半径的C ⊙与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接P A 、PB ．①当C ⊙与射线DE 有公共点时，求t 的取值X 围； ②当PAB △为等腰三角形时，求t 的值．（2009年某某28题解析）解：（1）(50)C t -，，34355P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ····················· （2分） （2）①当C ⊙的圆心C 由点()50M ，向左运动，使点A 到点D 并随C ⊙继续向左运动时， 有3532t -≤，即43t ≥． 当点C 在点D 左侧时，过点C 作CF ⊥射线DE ，垂足为F ，则由CDF EDO ∠=∠，得CDF EDO △∽△，则3(5)45CF t --=．解得485t CF -=． 由12CF ≤t ，即48152t t -≤，解得163t ≤．∴当C ⊙与射线DE 有公共点时，t 的取值X 围为41633t ≤≤． ······················ （5分）②当PA AB =时，过P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，有222PA PQ AQ =+221633532525t t t ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭． 2229184205t t t ∴-+=，即2972800t t -+=． 解得1242033t t ==，． ······························· （7分）当PA PB =时，有PC AB ⊥，3535t t ∴-=-．解得35t =． ····················· （9分） 当PB AB =时，有222221613532525PB PQ BQ t t t ⎛⎫=+=+--+ ⎪⎝⎭．221324205t t t ∴++=，即278800t t --=． 解得452047t t ==-，（不合题意，舍去）． ················································ （11分）∴当PAB △是等腰三角形时，43t =，或4t =，或5t =，或203t =． ············· （12分）63.（2009年某某某某）23． (本题满分10分)已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）（2009年某某某某23题解析）解：（1）证明：在Rt △FCD 中， ∵G 为DF 的中点，∴CG =12FD ．………… 1分 同理，在Rt △DEF 中， EG =12FD ． ………………2分 ∴CG =EG ．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG =CG ．…………………………4分 证法一：连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点． 在△DAG 与△DCG 中，∵AD =CD ，∠ADG =∠CDG ，DG =DG ， ∴△DAG ≌△DCG ．∴AG =CG ．………………………5分在△DMG 与△FNG 中，∵∠DGM =∠FGN ，FG =DG ，∠MDG =∠NFG ， ∴△DMG ≌△FNG ．FBDC第23题图①BDC第23题图②BC第23题图③BDCN图 ②（一）∴MG =NG在矩形AENM 中，AM =EN ． ……………6分 在Rt △AMG 与Rt △ENG 中， ∵AM =EN ， MG =NG ， ∴△AMG ≌△ENG ． ∴AG =EG ．∴EG =CG ． ……………………………8分 证法二：延长CG 至M ,使MG =CG ，连接MF ，ME ，EC ， ……………………4分在△DCG 与△FMG 中，∵FG =DG ，∠MGF =∠CGD ，MG =CG ， ∴△DCG ≌△FMG ．∴MF =CD ，∠FMG ＝∠DCG ． ∴MF ∥CD ∥AB ．………………………5分 ∴EF MF ⊥．在Rt △MFE 与Rt △CBE 中， ∵MF =CB ，EF =BE ， ∴△MFE ≌△CBE ．∴MEF CEB ∠=∠．…………………………………………………6分 ∴∠MEC ＝∠MEF ＋∠FEC ＝∠CEB ＋∠CEF ＝90°． …………7分 ∴△MEC 为直角三角形． ∵MG = CG ， ∴EG =21MC ． ∴EG CG =．………………………………8分 （3）（1）中的结论仍然成立，即EG =CG ．其他的结论还有:EG ⊥CG ．……10分B D C图③BD C图 ②（二）64.（2009年某某）25．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.（2009年某某25题解析）（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． 1分∵E 为AB 的中点， ∴122BE AB ==． 在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ············ 2分∴112BG BE EG ====， 即点E 到BC····································· 3分 （2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．A D E BF C图4（备用）AD EBF C图5（备用）A D EB F C图1 图2A D EBF C PNM图3A D EBFCPNM （第25题） 图1A D E BF CG∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． ·················································································· 4分 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=． 则35422NH MN MH =-=-=． 在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ······································· 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =． 类似①，32MR =． ∴23MN MR ==． ··················································································· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··································· 8分 当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=-图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG图2A D EBF CPNMG H当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=． 此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5时，PMN △为等腰三角形． ···················· 10分 65.（2009年某某某某）26．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过(10)A -，，(30)B ，，(03)C ，三点，其顶点为D ，连接BD ，点P 是线段BD 上一个动点（不与B D 、重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为E ，连接BE ． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）如果P 点的坐标为()x y ，，PBE △的面积为s ，求s 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值X 围，并求出s 的最大值；（3）在（2）的条件下，当s 取得最大值时，过点P 作x 的垂线，垂足为F ，连接EF ，把PEF △沿直线EF 折叠，点P 的对应点为P '是否在该抛物线上．（2009年某某某某26题解析）26．解：（1）设(1)(3)y a x x =+-， ························ 1分把(03)C ，代入，得1a =-， ············································································· 2分∴抛物线的解析式为：223y x x =-++． ·························································· 4分顶点D 的坐标为(14)，． ··················································································· 5分（2）设直线BD 解析式为：y kx b =+（0k ≠），把B D 、两点坐标代入，得304.k b k b +=⎧⎨+=⎩，······························································································· 6分解得26k b =-=，．∴直线AD 解析式为26y x =-+． ···································································· 7分2111(26)3222s PE OE xy x x x x ===-+=-+，················································ 8分 ∴23(13)s x x x =-+<< ················································································ 9分22993934424s x x x ⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ······················································ 10分 ∴当32x =时，s 取得最大值，最大值为94． ····················································· 11分 （3）当s 取得最大值，32x =，3y =，∴332P ⎛⎫⎪⎝⎭，． ··········································· 5分 ∴四边形PEOF 是矩形．作点P 关于直线EF 的对称点P '，连接P E P F ''、． 法一：过P '作P H y '⊥轴于H ，P F '交y 轴于点M ． 设MC m =，则332MF m P M m P E ''==-=，，在Rt P MC '△中，由勾股定理，2223(3)2m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 解得158m =． ∵CM P H P M P E '''=， ∴910P H '=． 由EHP EP M ''△∽△，可得EH EP EP EM '='，65EH =． ∴69355OH =-=．∴P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，．··················································································· 13分 法二：连接PP '，交CF 于点H ，分别过点H P '、作PC 的垂线，垂足为M N 、． 易证CMH HMP △∽△． ∴12CM MH MH PM ==． 设CM k =，则24MH k PM k ==，． ∴352PC k ==，310k =． 由三角形中位线定理，1268455PN k P N k '====，． ∴12395210CN PN PC =-=-=，即910x =-．69355y PF P N '=-=-=∴P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，．··················································································· 13分 把P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线解析式，不成立，所以P '不在抛物线上． ································································································66.（2009年某某某某）26．如图①，点A '，B '的坐标分别为（2，0）和（0，4-），将A B O ''△绕点O 按逆时针方向旋转90°后得ABO △，点A '的对应点是点A ，点B '的对应点是点B ．（1）写出A ，B 两点的坐标，并求出直线AB 的解析式；（2）将ABO △沿着垂直于x 轴的线段CD 折叠，（点C 在x 轴上，点D在AB 上，点D 不与A ，B 重合）如图②，使点B 落在x 轴上，点B 的对应点为点E ．设点C 的坐标为（0x ，），CDE △与ABO △重叠部分的面积为S ．i ）试求出S 与x 之间的函数关系式（包括自变量x 的取值X 围）；ii ）当x 为何值时，S 的面积最大？最大值是多少？（第26题图）iii ）是否存在这样的点C ，使得ADE △为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（2009年某某某某26题解析）解：（1）(02)(40)A B ，，， ································· （2分） 设直线AB 的解析式y kx b =+，则有240b k b =⎧⎨+=⎩ 解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为122y x =-+ ···························································· （3分）（2）i ）①点E 在原点和x 轴正半轴上时，重叠部分是CDE △． 则1111(4)22222CDE S CE CD BC CD x x ⎛⎫===--+ ⎪⎝⎭△·· 21244x x =-+ 当E 与O 重合时，12242CE BO x ==∴<≤ ··········································· （4分） ②当E 在x 轴的负半轴上时，设DE 与y 轴交于点F ，则重叠部分为梯形CDFO .OFE OAB △∽△ 1122OF OA OF OE OE OB ∴==∴=， 又42OE x =-1(42)22OF x x ∴=-=-213222224CDFO x S x x x x ⎡⎤⎛⎫∴=-+-+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦四边形· ······································ （5分） 当点C 与点O 重合时，点C 的坐标为(0,0)02x ∴<< ····························································································· （6分）综合①②得22124(24)432(02)4x x x S x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤ ··············································· （7分）ii ）①当24x <≤时，221124(2)44S x x x =-+=-∴对称轴是4x = 抛物线开口向上，∴在24x <≤中，S 随x 的增大而减小∴当2x =时，S 的最大值＝21(24)14⨯-= ················································· （8分）②当02x <<时，22334424433S x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭∴对称轴是43x =抛物线开口向下∴当43x =时，S 有最大值为43·································································· （9分） 综合①②当43x =时，S 有最大值为43 ····················································· （10分）iii ）存在，点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，和502⎛⎫ ⎪⎝⎭， ···················································· （14分）附：详解：①当ADE △以点A 为直角顶点时，作AE AB ⊥交x 轴负半轴于点E ，AOE BOA △∽△ 12EO AO AO BO ∴== 21AO EO =∴= ∴点E 坐标为（1-，0）∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭， ②当ADE △以点E 为直角顶点时同样有AOE BOA △∽△12OE OA AO BO == 1(10)EO E ∴=∴，∴点C 的坐标502⎛⎫⎪⎝⎭， 综合①②知满足条件的坐标有302⎛⎫ ⎪⎝⎭，和502⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 以上仅提供本试题的一种解法或解题思路，若有不同解法请参照评分标准予以评分． 67.（2009年某某某某）26．已知：如图所示，关于x 的抛物线2(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点(20)A -，、点(60)B ，，与y 轴交于点C ． （1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A M P Q 、、、为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．（2009年某某某某26题解析）26．解：（1）根据题意，得4203660a c a c -+=⎧⎨++=⎩ ···································· 1分 解得143a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ········································ 3分 ∴抛物线的解析式为2134y x x =-++ ······· 4分顶点坐标是（2，4） ······················································································· 5分（2）(43)D ， ································································································· 6分设直线AD 的解析式为(0)y kx b k =+≠（第26题图）第26题图3直线经过点(20)A -，、点(43)D ，2043k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩ ······························································································ 7分 121k b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ ····································································································· 8分 112y x ∴=+ ································································································· 9分 （3）存在． ································································································ 10分 1(2220)Q -， ····························································································· 11分 2(222)Q --，0 ························································································ 12分 3(6260)Q -， ····························································································· 13分 4(6260)Q +，····························································································· 14分 68.（2009年某某某某）26.如图14，抛物线与x 轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1＞x2，与y 轴交于点C(0,4)，其中x1,x2是方程x2-2x-8=0的两个根.(1)求这条抛物线的解析式；(2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE∥AC，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.69.（2009年某某某某）26．如图所示，已知在直角梯形OABC 中，AB OC BC x ∥，⊥轴于点(11)(31)C A B ，，、，．动点P 从O 点出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P 点作PQ 垂直于直线．．OA ，垂足为Q ．设P 点移动的时间为t 秒（04t <<），OPQ △与直角梯形OABC 重叠部分的面积为S ．。
中考数学压轴题51-100道答案
中考数学压轴题51~100题精选答案【051】解：（1）3k=-，（-1，0），B（3，0）．3分（2）如图14（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM．则△AOC的面积=23，△MOC的面积=23，△MOB的面积=6，∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9． 6分说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．（3）如图14（2），设D（m，322--mm），连结OD．则0＜m＜3，322--mm＜0．且△AOC的面积=23，△DOC的面积=m23，△DOB的面积=-23（322--mm），∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积=629232++-mm=875)23(232+--m．∴存在点D315()24-，，使四边形ABDC的面积最大为875．（4）有两种情况：如图14（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C．∵∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．∴点E的坐标为（0，3）．∴直线BE的解析式为3y x=-+．12分由2323y xy x x=-+⎧⎨=--⎩，解得1125xy，；ì=-ïïíï=ïî2230.xy，ì=ïïíï=ïî∴点Q1的坐标为（-2，5）．13分如图14（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2．∵∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．∴点F的坐标为（-3，0）．∴直线CF的解析式为3y x=--． 14分图14（2）图14（3）图14（4）由2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩， 解得1103x y ，；ì=ïïíï=-ïî 2214x y ，．ì=ïïíï=-ïî∴点Q2的坐标为（1，-4）．综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4）， 使△BCQ1、△BCQ2是以BC 为直角边的直角三角形．【052】解：（1）根据题意，得04202.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，解得132ab c =-==-，，．232y x x ∴=-+-．（2分）（2）当EDB AOC △∽△时，得AO CO ED BD =或AO COBD ED =， ∵122AO CO BD m ===-，，，当AO CO ED BD =时，得122ED m =-， ∴22m ED -=，∵点E 在第四象限，∴122m E m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （4分） 当AO CO BDED =时，得122m ED =-，∴24ED m =-， ∵点E 在第四象限，∴2(42)E m m -，．（6分）（3）假设抛物线上存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形，则1EF AB ==，点F 的横坐标为1m -，当点1E 的坐标为22m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，点1F 的坐标为212m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∵点1F 在抛物线的图象上，∴22(1)3(1)22mm m -=--+--，∴2211140m m -+=， ∴(27)(2)0m m --=，∴722m m ==，（舍去），∴15324F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∴33144ABEFS=⨯=．（9分）当点2E 的坐标为(42)m m -，时，点2F 的坐标为(142)m m --，，∵点2F 在抛物线的图象上，∴242(1)3(1)2m m m -=--+--，∴27100m m -+=， ∴(2)(5)0m m --=，∴2m =（舍去），5m =，∴2(46)F -，，∴166ABEFS =⨯=．【053】解：（1）设(1)(3)y a x x =+-，把(03)C ，代入，得1a =-，2分∴抛物线的解析式为：223y x x =-++．顶点D 的坐标为(14)，． 5分（2）设直线BD 解析式为：y kx b =+（0k ≠），把B D 、两点坐标代入，得304.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得26k b =-=，．∴直线AD 解析式为26y x =-+． 7分2111(26)3222s PE OE xy x x x x ===-+=-+，∴23(13)s x x x =-+<< 9分22993934424s x x x ⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 10分∴当32x =时，s 取得最大值，最大值为94． 11分（3）当s 取得最大值，32x =，3y =，∴332P ⎛⎫⎪⎝⎭，．∴四边形作点P 关于直线EF 的对称点P '，连接P E P F ''、．法一：过P '作P H y '⊥轴于H ，P F '交y 轴于点M．设MC m =，则332MF m P M m P E ''==-=，，．在Rt P MC '△中，由勾股定理，2223(3)2m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．解得158m =．∵CM P H P M P E '''=，∴910P H '=．由EHP EP M ''△∽△，可得EH EP EP EM '='，65EH =．∴69355OH =-=．∴P '坐标99105⎛⎫- ⎪⎝⎭，．13分法二：连接PP '，交CF 于点H ，分别过点H P '、作PC 的垂线，垂足为M N 、．易证CMH HMP △∽△．∴12CM MH MH PM ==． 设CM k =，则24MH k PM k ==，．∴5PC k ==由三角形中位线定理，1268455PN k P N k '====，．∴12395210CN PN PC =-=-=，即910x =-．69355y PF P N '=-=-=∴P '坐标99105⎛⎫- ⎪⎝⎭，．13分把P '坐标99105⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线解析式，不成立，所以P '不在抛物线上．14分【054】（1）由抛物线经过点A(0，1)，C(2，4)，得21,122 4.4c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩解得2,1.b c =⎧⎨=⎩∴抛物线对应的函数关系式为：21214y x x =-++．（2分）（2）当1t=时，P 点坐标为(1，1)，∴Q 点坐标为(2，0)．当4t =时，P 点坐标为(2，3)，∴Q 点坐标为(5，0)． （5分）（3）当0t <≤2时，211(211)124S t t =-++-⨯．S 218t t=-+． 当2t <≤5时，1(5)(2212)2S t t =-+-+-．S215322t t =-+-． （8分） 当3t=时，S 的最大值为2．（10分）【055】（1）过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，9090BCD ACO ACO CAO ∠+∠=∠+∠=°，° BCD CAO ∴∠=∠；又90BDC COA CB AC ∠=∠==°；，BCD CAO ∴△≌△，12BD OC CD OA ∴====，∴点B 的坐标为(31)-，； 4分（2）抛物线22y ax ax =+-经过点(31)B -，，则得到1932a a =--， 5分解得12a =，所以抛物线的解析式为211222y x x =+-；7分（3）假设存在点P ，使得ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形：①若以点C 为直角顶点；则延长BC 至点1P，使得1PC BC =，得到等腰直角三角形1ACP △，8分过点1P作1PM x ⊥轴，11190CP BC MCP BCD PMC BDC =∠=∠∠=∠=，，°； 1MPC DBC ∴△≌△121CM CD PM BD ∴====，，可求得点1P (1，-1)； 11分②若以点A 为直角顶点；则过点A 作2APCA ⊥，且使得2AP AC =，得到等腰直角三角形2ACP △， 12分过点2P作2P N y ⊥轴，同理可证2AP N CAO △≌△；13分221NP OA AN OC ∴====，，可求得点2(21)P ，；14分 经检验，点1(11)P -，与点2(21)P ，都在抛物线211222y x x =+-上． 16分【056】解：（1） C （3，0）；（2）①抛物线c bx ax y ++=2，令x =0，则y =c ， ∴A 点坐标（0，c ）．∵ac b22=，∴242424442c a ac a ac ac a b ac ==-=-，∴点P 的坐标为（2,2ca b -）．∵PD ⊥x 轴于D ，∴点D 的坐标为（0,2a b-）． ……………………………………5分根据题意，得a=a ′，c= c ′，∴抛物线F ′的解析式为c x b ax y ++='2．又∵抛物线F ′经过点D （0,2a b-），∴c a b b a b a +-+⨯=)2('4022．……………6分∴ac bb b 4'202+-=．又∵ac b 22=，∴'2302bb b -=．∴b:b ′=32．②由①得，抛物线F ′为cbx ax y ++=232．令y=0，则0232=++c bx ax ． ∴a b x a b x -=-=21,2． ∵点D 的横坐标为,2a b -∴点C 的坐标为（0,a b -）．设直线OP 的解析式为kx y =．∵点P 的坐标为（2,2c a b -），∴ka bc 22-=，∴22222b b b b ac b ac k -=-=-=-=，∴x b y 2-=． ∵点B 是抛物线F 与直线OP 的交点，∴x bc bx ax 22-=++．∴a b x a b x -=-=21,2．∵点P 的横坐标为a b 2-，∴点B 的横坐标为a b -把a bx -=代入x b y 2-=，得b y -=(2∴点B 的坐标为),(c a b-．∴BC ∥OA ，AB ∥∴四边形OABC 是平行四边形．又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC 是矩形．【057】(1))6,0(),0,8(B A(2)∵8=OA ，6=OB ，∴10=AB当点P 在OB 上运动时，t OP =1，t t OP OA S 4821211=⨯⨯=⨯=；当点P 在BA 上运动时，作OA D P ⊥2于点D ，有AB AP BO D P 22=∵t t AP -=-+=161062，∴53482tD P -=∴51925125348821212+-=-⨯⨯=⨯⨯=t t D P OA S （3）当124=t时，3=t ，)3,0(1P ，此时，过AOP ∆各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点M 不存在；当125192512=+-t 时，11=t ，)3,4(2P ，此时，)3,0(1M 、)6,0(2-M 【058】解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±，令0x =，得1y =-∴ A(1,0)- B (1,0) C (0,1)-3分（2）∵OA=OB=OC=1 ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45∵AP ∥CB ，∴∠PAB=45，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，则∆APE 为等腰直角三角形 令OE=a ，则PE=1a + ∴P (,1)a a +∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=-解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴PE=34分∴四边形ACBP 的面积S =12AB •OC+12AB •PE=112123422⨯⨯+⨯⨯=5分(3)． 假设存在∵∠PAB=∠BAC =45∴PA ⊥AC∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MGA=∠PAC =90在Rt △AOC 中，OA=OC=1 ∴Rt △PAE 中，AE=PE=3 ∴AP=6分设M 点的横坐标为m ，则M2(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <-(ⅰ) 当∆AMG ∽∆PCA 时，有AG PA =MGCA∵AG=1m --，MG=21m -2= 解得11m =-（舍去） 223m =（舍去）………7分(ⅱ) 当∆MAG ∽∆PCA 时有AG CA =MG PA即2=，解得：1m =-（舍去）22m =-∴M (2,3)-8分② 点M 在y 轴右侧时，则1m >(ⅰ) 当∆AMG ∽∆PCA 时有AG PA =MGCA∵AG=1m+，MG=21m -∴2= 解得11m =-（舍去） 243m = ∴M 47(,)39(ⅱ) 当∆MAG ∽∆PCA 时有AG CA =MGPA即2=解得：11m =-（舍去）24m = ∴M (4,15) ∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似，M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39，(4,15)【059】解：（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形 ∴AB=AD ，AE=AG ，∠BAD ＝∠EAG ＝90º ∴∠BAE ＋∠EAD ＝∠DAG ＋∠EAD ∴∠BAE ＝∠DAG∴△ BAE ≌△DAG …………4分 （2）∠FCN ＝45º …………5分 理由是：作FH ⊥MN 于H ∵∠AEF ＝∠ABE ＝90º∴∠BAE +∠AEB ＝90º，∠FEH+∠AEB ＝90º∴∠FEH ＝∠BAE 又∵AE=EF ，∠EHF ＝∠EBA ＝90º ∴△EFH ≌△ABE …………7分 ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ，∴CH ＝BE ＝FH ∵∠FHC ＝90º，∴∠FCH ＝45º …………8分（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，…………9分 理由是：作FH ⊥MN 于HADGM BEA CNDFG图（1）H由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90º 结合（1）（2）得∠FEH ＝∠BAE ＝∠DAG又∵G 在射线CD 上，∠GDA ＝∠EHF ＝∠EBA ＝90º ∴△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ……11分 ∴EH ＝AD ＝BC ＝b ，∴CH ＝BE ，∴EH AB ＝FH BE ＝FH CH∴在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝FH CH ＝EH AB ＝ba∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝ba【060】解：（1）根据题意，得4203660a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得143a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为2134y x x =-++，顶点坐标是（2，4）（2）(43)D ，，设直线AD 的解析式为(0)y kx b k =+≠直线经过点(20)A -，、点(43)D ，2043k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩121k b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ 112y x ∴=+（3）存在．120)Q ，，2(2)Q -，0，3(6Q -，4(6Q +【061】解（1）A （4-，0），B （0，3） 2分（每对一个给1分）（2）满分3分．其中过F 作出垂线1分，作出BF 中垂线1分，找出圆心并画出⊙P 给1分． （注：画垂线PF 不用尺规作图的不扣分）（3）过点P 作PD ⊥y 轴于D ，则PD=x，BD=3y-， 6分PB=PF=y ，∵△BDP 为直角三形，∴ 222PB PD BD =+∴222BP PD BD=+，即2223y x y=+-即222(3)y x y =+-∴y 与x 的函数关系为216y x =+（4）存在解法1：∵⊙P 与x 轴相切于点F ，且与直线l 相切于点B∴AB AF=，∵22225AB OA OB =+=，∴225AF =∵AF=4x + ， ∴22(4)5x +=，∴19x x ==-或 11分把19x x ==-或代入21362y x =+，得5153y y ==或第26题图∴点P 的坐标为（1，53）或（-9，15）12分【062】解：实践应用（1）2；l c ．16；13．（2）54．拓展联想（1）∵△ABC 的周长为l ，∴⊙O 在三边上自转了lc 周．又∵三角形的外角和是360°，∴在三个顶点处，⊙O 自转了3601360=（周）．∴⊙O 共自转了（lc +1）周． （2）lc +1．【063】（1）① 对称轴422x =-=-（2分）② 当0y =时，有2430x x ++=，解之，得 11x =-，23x =-∴ 点A 的坐标为（3-，0）． （4分）（2）满足条件的点P 有3个，分别为（2-，3），（2，3），（4-，3-）．（7分）（3）存在．当0x =时，2433y x x =++= ∴ 点C 的坐标为（0，3） ∵ DE ∥y 轴，AO =3，EO =2，AE =1，CO =3∴AED △∽AOC △ ∴AE DE AO CO = 即 133DE= ∴ DE=1（9分）∴DEOCS =梯形1(13)22⨯+⨯=4在OE 上找点F ，使OF =43，此时COFS =△14323⨯⨯=2，直线CF 把四边形DEOC分成面积相等的两部分，交抛物线于点M ． （10分）设直线CM 的解析式为3y kx =+，它经过点403F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．则4303k -+= （11分）解之，得94k =∴ 直线CM 的解析式为 934y x =+（12分）【064】解：（1）抛物线2124y x x =--+与y 轴的交于点B∴B （0，2）∵22112(2)344y x x x =--+=-++ ∴A （—2，3）（2）当点P 是 AB 的延长线与x 轴交点时，AB PB PA =-．当点P 在x 轴上又异于AB 的延长线与x 轴的交点时，在点P 、A 、B 构成的三角形中，AB PB PA <-．综合上述：PA PB AB -≤（3）作直线AB 交x 轴于点P ，由（2）可知：当PA —PB 最大时，点P 是所求的点 8分作AH ⊥OP 于H ．∵BO ⊥OP ，∴△BOP ∽△AHP∴AH HPBO OP= 由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2，∴OP=4，故P （4，0）【065】解：（1）∵AB 是⊙O 的直径（已知） ∴∠ACB ＝90º（直径所对的圆周角是直角） ∵∠ABC ＝60º（已知）∴∠BAC ＝180º－∠ACB －∠ABC ＝ 30º（三角形的内角和等于180º） ∴AB ＝2BC ＝4cm （直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半）即⊙O 的直径为4cm ．（2）如图10（1）CD 切⊙O 于点C ，连结OC ，则OC ＝OB ＝1/2·AB ＝2cm ． ∴CD ⊥CO （圆的切线垂直于经过切点的半径） ∴∠OCD ＝90º（垂直的定义） ∵∠BAC ＝ 30º（已求）∴∠COD ＝2∠BAC ＝ 60º ∴∠D ＝180º－∠COD －∠OCD ＝ 30º∴OD ＝2OC ＝4cm∴BD ＝OD －OB ＝4－2＝2（cm ）∴当BD 长为2cm ，CD 与⊙O 相切．（3）根据题意得：BE ＝（4－2t ）cm ，BF ＝tcm ；如图10（2）当EF ⊥BC 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF ∽△BAC ∴BE ：BA ＝BF ：BC 即：（4－2t ）：4＝t ：2解得：t ＝1如图10（3）当EF ⊥BA 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF ∽△BCA ∴BE ：BC ＝BF ：BA 即：（4－2t ）：2＝t ：4解得：t ＝1.6 ∴当t ＝1s 或t ＝1.6s 时，△BEF 为直角三角形．【066】（1）由112C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得(12)A ，，代入反比例函数m y x =中，得2m = ∴反比例函数解析式为：2(0)y x x => 2分解方程组15222y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由15222x x -+=化简得：2540x x -+= (4)(1)0x x --=，1241x x ==，所以142B ⎛⎫⎪⎝⎭，5分（2）无论P 点在AB 之间怎样滑动，PMN △与CAB △总能相似．因为B C 、两点纵坐标相等，所以BC x ∥轴．又因为AC y ∥轴，所以CAB △为直角三角形．同时PMN △也是直角三角形，AC PM BC PN ∥，∥．∴PMN CAB △∽△． 8分（在理由中只要能说出BC x ∥轴，90ACB∠=°即可得分．）【067】（1）解：∵直角梯形ABCD ，AD BC ∥PD QC ∴∥∴当PD QC =时，四边形PQCD为平行四边形．由题意可知：2AP t CQ t ==， 82t t ∴-= 38t =83t =∴当83t s=时，四边形PQCD 为平行四边形．3分（2）解：设PQ 与O ⊙相切于点H ， 过点P 作PEBC ⊥，垂足为E直角梯形ABCD AD BC ，∥PE AB ∴=由题意可知：2AP BE t CQ t ===，222BQ BC CQ t ∴=-=-222223EQ BQ BE t t t =-=--=-AB 为O ⊙的直径，90ABC DAB ∠=∠=°AD BC ∴、为O ⊙的切线AP PH HQ BQ ∴==，22222PQ PH HQ AP BQ t t t ∴=+=+=+-=-5分在Rt PEQ △中，222PE EQ PQ +=，22212(223)(22)t t ∴+-=-即：28881440tt -+=，211180t t -+=，(2)(9)0t t --=1229t t ∴==，，因为P 在AD 边运动的时间为8811AD ==秒而98t=>，9t ∴=（舍去），∴当2t =秒时，PQ 与O ⊙相切． 8分【068】解：（1）如图4，过B 作BG OA G ⊥于，则13AB =B QDBQE过Q 作，于H OA QH ⊥则QP ===（2分）要使四边形PABQ 是等腰梯形，则AB QP =，即,13)310(1442=-+tt∴53=或5t =（此时PABQ 是平行四边形，不合题意，舍去）（3分）（2）当2=t时，410282OP CQ QB ==-==，，。
09年中考数学压轴题汇编(一)
2009年中考数学压轴题汇编（一）中考资源网2009年中考数学压轴题汇编25.如图，在平面直角坐标系xOy中，Ａ，Ｂ，Ｃ三个机战的坐标分别为A??6,0?，B?6,0?，C0,43，延长AC到点D,使CD =??12AC,过点D作DE∥AB交BC 的延长线于点 E. 求D点的坐标；作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线y?kx?b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；设G为y轴上一点，点P从直线y?kx?b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。
- 1 - 中考资源网期待您的投稿！zkzyw@ 中考资源网- 2 - 中考资源网期待您的投稿！zkzyw@ 中考资源网26．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA 在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC 的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．求过点E、D、C的抛物线的解析式；将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO56是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理；对于中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB 的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理．26．解：已知，得C(3，0)，D(2，2)，??ADE?90°??CDB??BCD，?AE? AD?tan?ADE?2?tan?BCD?2?12?1．y A Ex D B O 26题图C ······························1)．?E(0，设过点E、D、C的抛物线的解析式为y?ax?bx?c(a?0)．将点E的坐标代入，得c?1．将c?1和点D、C的坐标分别代入，得?4a?2b?1?2，···························?9a?3b?1?0.?2- 3 - 中考资源网期待您的投稿！zkzyw@ 中考资源网5?a????6解这个方程组，得? ?b?13?6?故抛物线的解析式为y??56x?2136················x?1．E F?2GO成立．························?点M在该抛物线上，且它的横坐标为?点M的纵坐标为12565，．························ F A E x y 设DM的解析式为y?kx?b1(k?0)，将点D、M的坐标分别代入，得1?2k?b1?2，???k??，2 ?612 解得?.?k?b1??b?3．5?1?5Ｍ D B O G K C ?DM的解析式为y??12x?3．····················3)，EF?2．·························?F(0，过点D作DK⊥OC于点K，则DA?DK．??ADK??FDG?90°，??FDA ??GDK．又??FAD??GKD?90°，?△DAF ≌△DKG．?KG?AF?1．?GO?1．······························?EF?2GO．?点P 在AB上，G(1，0)，C(3，0)，则设P(1，2)．222222?PG?(t?1)?2，PC?(3?t)?2，GC?2．2222①若PG?PC，则(t?1)?2?(3?t)?2，- 4 - 中考资源网期待您的投稿！zkzyw@ 中考资源网解得t?2．?P(2，2)，此时点Q与点P重合．2)．·····························?Q(2，②若PG?GC，则(t?1)2?2??22，解得t?1，?P(1，2)，此时GP⊥x轴．GP 与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，?点Q的纵坐标为73．?7? ?Q?1，?．····························· 3??③若PC?GC，则(3?t)2?22?22，解得t?3，?P(3，2)，此时PC?GC?2，△PCG是等腰直角三角形．过点Q作QH⊥x 轴于点H，y 则QH?GH，设QH?h，?Q(h?1，h)．??56(h?1)?752Q A E P (Q) (P) D Q (P) B 136(h?1)?1?h．解得h1?，h2??2．O G H C x ?127?Q?，?55??．···········?综上所述，存在三个满足条件的点Q，??7?3??127?，?．?55?即Q(2，2)或Q?1，?或Q? 26．如图，已知抛物线y?a(x?1)2?33(a?0)经过点A(?2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM ∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．- 5 - 中考资源网期待您的投稿！zkzyw@中考资源网求该抛物线的解析式；若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s)．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？若OC?OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t(s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．*26．解：?抛物线y?a(x?1)2?33(a?0)经过点A(?2，0)，33y M D C A P ?0?9a?33?a?? ......................... 1分?二次函数的解析式为：y??33x?2233x?833 ............. 3分?D为抛物线的顶点?D(1，33)过D作DN?OB 于N，则DN?33，AN?3，?AD??OM∥AD 3?(33)?6??DAO?60° .............. 4分22y D M C ①当AD?OP时，四边形DAOP是平行四边形. (5)分?OP?6?t?6(s) ②当DP?OM时，四边形DAOP是直角梯形 A H P B x 过O作OH?AD于H，AO?2，则AH?1 O E NQ ?OP?DH?5t?5(s) (6)分③当PD?OA时，四边形DAOP是等腰梯形?OP?AD?2AH?6?2?4?t?4(s) - 6 - 中考资源网期待您的投稿！zkzyw@ 中考资源网综上所述：当t?6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．7分△OCB 是等边三角形及已知，?COB?60°，OC?OB，则OB?OC?AD?6，OP?t，BQ?2t，?OQ?6?2t(0?t?3) 32过P作PE?OQ于E，则PE? (8)分t ?SBCPQ?12?6?33?12?(6?2t)?32t 3?3?63=t????2?2?823 ...........................9分638当t?32时，SBCPQ的面积最小值为323423 (10)分?此时OQ?3，OP=，OE??QE?3?234?94PE?334 ?PQ?PE?QE2 2??33??4??33?9? (11)分??????2?4?? - 7 - 中考资源网期待您的投稿！zkzyw@。
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2009年全国中考数学压轴题精选精析（四） 37.（09年黑龙江牡丹江）28．（本小题满分8分） 如图，ABCD在平面直角坐标系中，6AD，若OA、OB的长是关于x的一元二
次方程27120xx的两个根，且OAOB． （1）求sinABC的值． （2）若E为x轴上的点，且163AOES△，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断AOE△与DAO△是否相似？
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．
（09年黑龙江牡丹江28题解析）解：（1）解27120xx得1243xx， OAOB 43OAOB， ··································································································· 1分
在RtAOB△中，由勾股定理有225ABOAOB 4sin5OAABCAB ··························································································· 1分
（2）∵点E在x轴上，163AOES△ 11623AOOE
83OE
880033EE，或， ··························································································· 1分
由已知可知D（6，4） 设DEykxb，当803E，时有
x y A D
B O C 28题图 46803kbkb
解得65165kb
61655DEyx······································································································ 1分
同理803E，时，6161313DEyx ······································································ 1分 在AOE△中，89043AOEOAOE°，， 在AOD△中，9046OADOAOD°，， OEOAOAOD
AOEDAO△∽△ ································································································ 1分
（3）满足条件的点有四个
123475224244(38)(30)1472525FFFF，；，；，；， ····································· 4分
说明：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，可参照本评分标准酌情给分. 38.（09年黑龙江齐齐哈尔）28．（本小题满分10分）
直线364yx与坐标轴分别交于AB、两点，动点PQ、同时从O点出发，同时到达A
点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出AB、两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（3）当485S时，求出点P的坐标，并直接写出以点OPQ、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
（09年黑龙江齐齐哈尔28题解析）（1）A（8，0）B（0，6） ·········································· 1分 （2）86OAOB， 10AB
x A O Q
P
B y 点Q由O到A的时间是
881（秒）
点P的速度是61028（单位/秒） ··· 1分
当P在线段OB上运动（或03t≤≤）时，2OQtOPt， 2St ······································································································································ 1分
当P在线段BA上运动（或38t≤）时，6102162OQtAPtt，, 如图，作PDOA于点D，由PDAPBOAB，得4865tPD， ······································ 1分 21324255SOQPDtt ························································································· 1分
（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）
（3）82455P， ····················································································································· 1分
12382412241224555555IMM
，，，，， ·································································· 3分
注：本卷中各题，若有其它正确的解法，可酌情给分． 39.（09年黑龙江绥化）28．(本小题满分lO分)
（09年黑龙江绥化28题解析） 40.（09年湖北鄂州）27．如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO (1)试比较EO、EC的大小，并说明理由
(2)令；四边形四边形CNMNCFGHSSm，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由
(3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝31，Q为AE上一点且QF＝32，抛物线y＝mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式. (4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。
（09年湖北鄂州27题解析）（1）EO＞EC，理由如下： 由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC， 故EO＞EC …2分 （2）m为定值 ∵S四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC) S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO ∴1CMNOCFGHSSm四边形四边形 ……………………………………………………4分 （3）∵CO=1，3231QFCE， ∴EF=EO=QF32311 ∴cos∠FEC=21 ∴∠FEC=60°， ∴3060260180EAOOEAFEA， ∴△EFQ为等边三角形，32EQ …………………………………………5分
作QI⊥EO于I，EI=3121EQ，IQ=3323EQ ∴IO=313132 ∴Q点坐标为)31,33( ……………………………………6分 ∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)， Q)31,33( ，m=1 ∴可求得3b，c=1 ∴抛物线解析式为132xxy ……………………………………7分 （4）由（3），3323EOAO 当332x时，3113323)332(2y＜AB
∴P点坐标为)31,332( …………………8分 ∴BP=32311AO 方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：
①3323232BK时，932BK∴K点坐标为)1,934(或)1,938(
②3232332BK时，332BK ∴K点坐标为)1,334(或)1,0(…………10分 故直线KP与y轴交点T的坐标为 )1,0()31,0()37,0()35,0(或或或 …………………………………………12分
方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°
①当∠RTP=30°时，23332RT
②当∠RTP=60°时，3233
32RT
∴)1,0()31,0()35,0()37,0(4321TTTT，，， ……………………………12分 41.（09年湖北恩施州）24.如图，在ABC中，∠A90°，10BC, ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点(D不与A、B重合)，过点D作DE∥BC，交AC于
点E．设xDE以DE为折线将△ADE翻折，所得的DEA'与梯形DBCE重叠部分的面积记为y.
（1）．用x表示∆ADE的面积; （2）．求出0﹤x≤5时y与x的函数关系式； （3）．求出5﹤x﹤10时y与x的函数关系式； （4）．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
（09年湖北恩施州24题解析）解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC ∴2)(BCDESSABCADE
即241xSADE 3分 (2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5 ∴当0﹤5x 时 241xSyADE 6分
CB
A