2018-2019学年上海市川沙中学高二上学期期中数学试题(解析版)

合集下载

2018-2019学年上海市川沙中学高二上学期期末数学试题(解析版)

上海市川沙中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．当0ab <时，方程22ax ay b -=所表示的曲线是（） A.焦点在x 轴的椭圆 B.焦点在x 轴的双曲线 C.焦点在y 轴的椭圆 D.焦点在y 轴的双曲线【答案】D【解析】先化简方程得22by x a-=-，即得曲线是焦点在y 轴的双曲线. 【详解】化简得22b y x a -=-，因为ab ＜0,所以ba-＞0，所以曲线是焦点在y 轴的双曲线. 故答案为：D 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 2．若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根αβ、，且3αβ=-，那么实数m 的值是（） A.52B.1C.1-D.52-【答案】A【解析】根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得：z =，由此可得αβ-的m 表示形式，根据3αβ-=即可求得m 的值. 【详解】因为20z z m ++=，所以z =，又因为3αβ-=，所以3=，所以419m -=，解得：52m =. 故选：A. 【点睛】实系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，有两虚根为,αβ，注意此时的240b ac ∆=-<，因此在写方程根时应写成：2b x -±=而不能写成了2b x -±=. 3．已知点()1,2A -，()2,0B ，P为曲线y =AP AB u u u v u u u v ⋅的取值范围为（） A ．[]1,7 B ．17,⎡⎤-⎣⎦C．1,3⎡+⎣ D．1,3⎡-+⎣【答案】A【解析】结合已知曲线方程，引入参数方程，然后结合和角正弦公式及正弦函数的性质即可求解．【详解】解：设(),P x y则由y =可得()221043x y y +=≥，令2cos ,x y θθ==，[](0,θπ∈，()1,2AP x y ∴=-+u u u v ，()1,2AB =u u u v，124232cos 34sin 36AP AB x y x y πθθθ⎛⎫∴⋅=-++=++=++=++ ⎪⎝⎭u u u v u u u v ，0θπ≤≤Q ，7666πππθ∴≤+≤， 1sin 126πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 14sin 376πθ⎛⎫∴≤++≤ ⎪⎝⎭，【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数性质的简单应用，参数方程的应用是求解本题的关键.二、填空题4．设抛物线的焦点坐标为（1，0），则此抛物线的标准方程为_________.【答案】24y x =【解析】根据焦点位置设出抛物线的标准方程形式：()220y px p =>，根据焦点坐标可知12p=，由此求出抛物线的标准方程. 【详解】因为焦点为()1,0，所以设抛物线标准方程为：()220y px p =>，由焦点坐标可知：12p=，所以2p =，所以抛物线标准方程为：24y x =. 故答案为：24y x =. 【点睛】本题考查根据抛物线的焦点坐标确定抛物线的标准方程，难度较易.已知抛物线的焦点位置，即可设出抛物线的标准方程，同时根据焦点坐标即可求解出抛物线的标准方程. 5．已知复数13z i =+（i 为虚数单位），则它的虚部为_________. 【答案】3【解析】根据复数(),z a bi a b R =+∈中a 为实部，b 为虚部，即可判断出13z i =+的虚部. 【详解】因为13z i =+，所以虚部是3. 故答案为：3. 【点睛】本题考查对复数z a bi =+的实部和虚部辨别，难度较易. 复数z a bi =+的虚部是数字,不包含虚数单位i .6．若复数z 满足2315z i -=+（i 是虚数单位），则z =_________. 【答案】522i +【解析】根据复数的运算法则直接计算即可. 【详解】因为2315z i -=+，所以245z i =+，所以522z i =+. 故答案为：522i +. 【点睛】本题考查复数的简单计算，难度较易.复数进行加减运算时，注意实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.7．设m R ∈，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴上，则m =______．【答案】1-【解析】()()()()1111mi i m m i ++=-++，复数()()11mi i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则复数的虚部为零，10m +=，解得：1m =-.8．将椭圆的参数方程2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）转化为普通方程_________.【答案】22143x y +=【解析】考虑到22cos sin 1θθ+=，得到,x y 的等量关系即为椭圆的普通方程. 【详解】因为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以cos 2sin xθθ⎧=⎪⎪⎨=，则2212x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则普通方程为：22143x y +=. 故答案为：22143x y +=.【点睛】若椭圆的标准方程为22221x y a b +=，则对应的椭圆参数方程为：cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩. 9．已知抛物线28y x =的焦点与双曲线2221x y a-=的右焦点重合，则双曲线的渐近线方程为_________.【答案】0x ±=【解析】首先计算出抛物线28y x =的焦点，将此焦点作为双曲线的右焦点计算出双曲线方程中2a 的值，由此可求双曲线的渐近线方程.【详解】因为抛物线28y x =的焦点为()2,0，所以22212a +=，则23a =，所以渐近线方程为：3b y x x a =±=±，即0x ±=.故答案为：0x ±=. 【点睛】（1）抛物线22y px =的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）双曲线的22221x y a b-=的渐近线方程为：0bx ay ±=.10．已知圆225x y +=和点()2,1A -，则过点A 的圆的切线方程为._________ 【答案】250x y --=【解析】经分析不存在切线斜率不存在的情况，设出切线方程：()21y k x =--，根据相切时圆心到直线的距离为圆的半径求解出k 的值，即可写出切线方程. 【详解】设切线方程为：()21y k x =--，=2k =，所以切线方程为：()221y x =--，即250x y --=. 故答案为：250x y --=. 【点睛】本题考查根据直线与圆相切求解切线方程，难度一般.求解切线方程时，注意考虑切线的斜率是否存在：斜率不存在时，需单独分析；斜率存在时利用圆心到直线的距离等于半径求解.11．若复数(),z x yi x y R =+∈复平面上对应的点在直线34150x y +-=上，则z 的最小值是_________. 【答案】3【解析】复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y，则z =(),x y 到原点的距离，再利用点到直线的距离公式即可求解z 的最小值.【详解】因为复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y ，所以22z x y =+，其表示点(),x y 到原点()0,0的距离；当z 有最小值时，原点到直线上的点距离最小，即为原点到直线34150x y +-=的距离d ，2215334d -==+，所以min 3z =.故答案为：3. 【点睛】本题考查复数模的几何意义和点到直线的距离公式的应用，难度一般.复数模的几何意义就是复数(),z a bi a b R =+∈所对应的点(),Z a b 到坐标原点的距离.12．已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为_________米. 【答案】46【解析】根据实际问题建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程并通过条件求解出方程，再利用所求的方程计算水面下降1米后水面的宽度. 【详解】据题意，建立平面直角坐标如下，设抛物线标准方程为：()220x py p =->，则如图所示：根据条件可知：()0,2C -，()4,2B -，将B 代入()220x py p =->，解得：4p =，所以抛物线方程为：28x y =-，又因为()03E -，，所以3D E y y ==-，所以224D x =，所以26D x =26DE =22646⨯=.故答案为：【点睛】本题考查抛物线方程的实际应用，难度一般.处理抛物线方程有关的实际问题，关键是能通过题意正确将坐标系建立起来并设出抛物线方程的正确形式.13．已知椭圆()222103x y a a +=>上的一点P 也在抛物线294y x =上，设抛物线焦点为F ，若2516PF =，则a =_________.【答案】2【解析】先根据抛物线的焦半径公式计算出点P 的坐标，然后将点P 的坐标代入椭圆的方程中，即可求解出a 的值. 【详解】因为2516PF =，所以25216P p PF x =+=且98p =，解得：1P x =，所以294P y =，所以32P y =±，取31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程可得：()213104a a +=>，解得：2a =. 故答案为：2. 【点睛】抛物线的焦半径公式：（1）已知抛物线的方程为()220y px p =±>，焦点为F ，抛物线上任意一点的坐标为()00,P x y ，所以02pPF x =±+；（2）已知抛物线的方程为()220x py p =±>，焦点为F ，抛物线上任意一点的坐标为()00,P x y ，所以02p PF y =±+. 14．已知a 是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且2a ≤，则实数m 的取值范围是________.【答案】34⎛- ⎝【解析】根据一元二次方程的判别式和虚数根的模列出不等式组，求得其范围. 【详解】由已知得()()222141430m m m ∆=--+=--<，解得34m >-；又因为 2a ≤，所以222142m -⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得m ≤≤；所以实数m的取值范围是34m -<≤ 故得解. 【点睛】本题考查一元二次方程的判别式和复数的模，属于基础题.15．点1F ，2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：2122MN MF MF =⋅u u u u r u u u u r u u u u r，则122MF MF +u u u u r u u u u r 的最大值为__________.【答案】6+【解析】设()00,m x y ，由2212x y +=，得()()()120,1,1,0,1,0N F F -，则由2122MN MF MF =⋅u u u u v u u u u v ，可得()222200001222x y x y +-=-+，化为()2214x y ++=，可设00221x sin y sin αα=⎧⎨=-⎩，()()12=2cos 1,21,24cos 2,42MF sin MF sin αααα--=+-u u u u v u u u u v，()1226cos 1,63MF MF sin u u u u v u u u u vαα+=+-，122MF MF +=u u u u v uu u uv==≤=6，即122MF MF +u u u u v u uu u v的最大值为6+6+【方法点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，平面向量的数量积公式，以及三角函数求最值问题，属于难题. 求最值问题常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求最值；②图象法；③不等式法；④单调性法；⑤换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化,利用三角换元后往往利用辅助角公式结合三角函数的单调性求解.16．在复数范围内，下列命题中，假命题的是（） A.若z 为实数，则z z = B.若z z =，则z 为实数 C.若z z ⋅为实数，则z 为实数 D.若z 为实数，则z z ⋅为实数【答案】C【解析】根据实数的共轭复数仍旧是实数可判断AD 的对错；一个数的共轭复数等于本身，这个数必定是实数，可判断B 的对错；一个复数与其共轭复数相乘结果一定是实数，因为z 可以是实数也可以是虚数，由此可判断C 的对错. 【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，A ．因为z R ∈，所以0b =，所以z R =且z z a ==，正确；B ．因为z z =，所以0b =，所以z R ∈，正确；C ．z z ⋅为实数对z C ∀∈（复数集）均满足，所以z 可以是实数，也可是虚数，错误.D ．因为z 为实数，所以0b =，所以z 也是实数，所以z z ⋅为实数，正确. 故选：C. 【点睛】复数判断的常用结论：（1）一个复数与其共轭复数相乘的结果一定是实数；（2）实数的共轭复数仍是实数；（3）一个复数与其共轭复数相等则此复数是实数.三、解答题17．设z 为关于x 的方程()20,x mx n m n ++=∈R 的虚根，i 为虚数单位.（1）当1z i =+时，求mn 、的值；（2）在（1）的条件下，若(),n ai a R ω=+∈，3ω≤，求a 的取值范围.【答案】（1）22m n =-⎧⎨=⎩；（2）⎡⎣ 【解析】（1）将1z i =+代入方程，并根据复数相等时实部、虚部对应相等计算mn 、的值；（2）根据复数模的计算公式：ω=n 的值已知，再根据不等式3ω≤即可求解出a 的取值范围. 【详解】（1）将1z i =+代入方程可得：()()2110i m i n ++++=，所以()20m n m i +++=，所以有：020m n m +=⎧⎨+=⎩，解得22m n =-⎧⎨=⎩；（2）因为2n =，所以2ai ω=+，所以3ω=≤，则249a +≤，解得：a ≤≤a ⎡∈⎣.【点睛】本题考查实系数方程的解以及复数的模长计算，难度较易.（1）已知实系数方程的虚根，求解方程中参数的方法：将虚根代入方程，利用复数相等计算参数值；（2）复数的模长计算：已知复数z a bi =+，则z =18．已知动点(),M x y 到点()2,0F 的距离为1d ，动点(),M x y 到直线3x =的距离为2d，且12d d =. （1）求动点(),M x y 的轨迹C 的方程；（2）若直线:2l y x =-交曲线C 于P Q 、两点，求OPQ ∆的面积.【答案】（1）22162x y +=；（2【解析】（1）利用点到点、点到直线的距离公式表示出12,d d，然后根据12d d 化简等量关系即可得到对应的点(),M x y 的轨迹方程；（2）计算出O 到:2l y x =-的距离d ，联立直线与椭圆方程利用弦长公式求解出PQ ，根据12S d PQ =⋅⋅可求OPQ ∆面积.【详解】（1）因为1d =，23d x =-，因为12d d =，所以3=，化简可得：22162x y +=，所以轨迹C 的方程即为：22162x y +=；（2）记O 到l的距离为d，所以d ==设()()1122,,,P x y Q x y ，联立222162y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22630x x -+=，所以121233,2x x x x +==，所以PQ ===所以1122S d PQ =⋅⋅==【点睛】（1）轨迹方程的两种求法：<1>定义法：根据圆锥曲线的定义设出方程进行求解；<2>坐标法：根据题设条件找到等量关系，进行化简得到,x y 的最简关系式即为轨迹方程；（2）圆锥曲线的弦长的求解方法：<1>利用弦长公式：AB ==；<2>若能直接求解出交点坐标，可直接使用点到点的距离公式求解弦长. 19．已知双曲线22:1C x y -=.（1）若经过点()0,1P -的直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点M N 、，求直线l 的斜率的取值范围；（2）在（1）的条件下，求线段MN 的中垂线l '在y 轴上的截距t 的取值范围. 【答案】（1）(；（2）()2,+∞【解析】（1）设出M N 、坐标以及直线l 的方程，联立直线与双曲线后，根据与右支有两个不同交点得到12120,0,0x x x x +>>∆>以及2x 的系数不为零计算出k 的范围；（2）根据（1）将l '的方程求解出来，然后求出在y 轴上的截距t ，根据k 的取值范围计算出t 的取值范围. 【详解】（1）设:1l y kx =-，()()1122,,,M x y N x y ，联立2211y kx x y =-⎧⎨-=⎩可得：()221220k xkx -+-=，所以12122222,11k x x x x k k +=-=---，因为直线l 与双曲线的交点在右支上，所以()22222102012014810k k k kk k ⎧-≠⎪⎪>⎪-⎨⎪->-⎪⎪∆=+->⎩，解得：(k ∈；（2）因为MN 的中点坐标为：221,11k kk ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，所以2211:11kl y x k k k⎛⎫'=-+- ⎪--⎝⎭，令0x =可得：222211t k k =-=--，且()21,2k ∈，所以2t >，则线段MN 的中垂线l '在y 轴上的截距t 的取值范围是()2,+∞. 【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的相交问题，属于综合题，难度一般.（1）根据直线与双曲线相交求解参数范围时，可先联立直线与双曲线，然后从二次项系数、韦达定理、根的判别式等角度列出不等式求解出参数范围；（2）解析几何中，线段中垂线方程的一般求法：先求解线段的中点坐标，再根据垂直关系得到中垂线的斜率，根据直线的点斜式方程即可写出中垂线方程. 20．如图，已知满足条件33z i i -=-（其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面xOy 上的对应点(),Z x y 的轨迹为圆C （圆心为C ），定直线m 的方程为360x y ++=，过()1,0A -斜率为k 的直线l 与直线m 相交于N 点，与圆C 相交于P Q 、两点，M 是弦PQ 中点.（1）若直线l 经过圆心C ，求证：l 与m 垂直；（2）当23PQ =时，求直线l 的方程；（3）设t AM AN =⋅u u u u r u u u r，试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由.【答案】（1）证明见详解；（2）1x =-或4340x y -+=；（3）t 为定值且5t =- 【解析】（1）通过圆心C 和A 计算出l 的斜率l k ，m 的斜率已知为m k ，计算1l m k k ⋅=-即可证明l 与m 垂直；（2）对直线l 的斜率是否存在分类讨论，利用几何方法：2221=2PQ d R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（d 是圆心到直线的距离，R 是圆的半径）求解斜率；（3）同样也对直线l 的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时通过数值直接计算即可；斜率存在时，l 先与圆的方程联立求从而求解出AM u u u u r的坐标表示，同理l 与m 联立求解出AN u u u r的坐标表示，由此计算t 是否为定值. 【详解】（1）证明如下：因为3z i i -，所以()22:34C x y +-=，所以圆心()0,3C ，半径2R =；又因为()1,0A -，所以()30301l k -==--且13m k =-，所以1l m k k ⋅=-，所以l 与m 垂直；（2）当直线l 的斜率不存在时，:1l x =-，此时2221=2PQ d R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()244112PQ =⨯-=，所以PQ =当l 的斜率存在且为k 时，():1l y kx =+，2d R ==，所以PQ ==43k =，此时:4340l x y -+=；综上：直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=；（3）当直线l 的斜率不存在时，可知：()()51,3,1,,1,03M N A ⎛⎫---- ⎪⎝⎭，所以()50,3,0,3AM AN ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u u r u u u r ，所以5t AM AN =⋅=-u u u u r u u u r ，即5t =-；当直线l 的斜率存在且为k 时，设():1l y kx =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立()()22134y k x x y ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩可得：()()2222126650k x k k x k k ++-+-+=，所以2122321M x x k k x k +-+==+，()22311M M k k y k x k +=+=+，即222233,11k k k k M kk ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭，所以222133,11k k k AM k k ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭u u u u r ；又由()1360y k x x y ⎧=+⎨++=⎩可得：365,1313k k N k k ---⎛⎫⎪++⎝⎭，所以55,1313k AN k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭u u u r ，故()()()()()()()()()222225351131555113113113k k k k k k t AM AN k k k k k k -+-++--=⋅=+==-++++++u u u u r u u u r，综上可知：t 为定值，且5t =-. 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，难度较难.（1）复数的常见轨迹问题：()00z z r r -=>表示以0z 对应的点为圆心，半径为r 的圆；(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z >表示以12,z z 对应的点为焦点，2a 为长轴长的椭圆；（2）定值问题的计算，可采用由特殊到一般的思路去解答.21．给出定理：在圆锥曲线中，AB 是抛物线()2:2 0y px p Γ=>的一条弦，C 是AB的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D .若,A B 两点纵坐标之差的绝对值() 0A B y y a a -=>，则ADB ∆的面积316ADBa S p∆=，试运用上述定理求解以下各题：（1）若2p =，AB 所在直线的方程为24y x =-，C 是AB 的中点，过C 且平行于x 轴的直线与抛物线Γ的交点为D ，求ADB S ∆；（2）已知AB 是抛物线()2:2 0y px p Γ=>的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，E F 、分别为AD 和BD 的中点，过E F 、且平行于x 轴的直线与抛物线()2:2 0y px p Γ=>分别交于点M N 、，若,A B 两点纵坐标之差的绝对值() 0A B y y a a -=>，求AMD S ∆和BND S ∆；（3）请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：()22 0y px p =>与弦AB 围成成的“弓形”的面积，并求出相应面积.【答案】（1）274；（2）3128AMD a S p =V ，3128BND a S p =V ；（3）设计方法见详解，312a S p =【解析】（1）由题意，先计算出A B y y -，然后直接根据316ADBa S p∆=求解ADB S ∆的值；（2）根据条件可知，,AMD BND V V 的面积计算符合定理的计算方法，故可直接利用定理中的计算方法求解,AMD BND S S V V 的值；（3）对“弓形”进行无数次（2）中的操作，每操作一次面积增加的量构成等比数列，因此面积可以写成极限式：3211111...16444lim n n a p -→+∞⎛⎫⋅++++ ⎪⎝⎭，求此极限的结果即为“弓形”面积. 【详解】（1）联立2244y x y x=-⎧⎨=⎩可得：2280y y --=，所以6A B y y -==，所以3362716324ADBa S p ∆===；（2）设点,,D M N 的纵坐标为,,D M N y y y ，由题意可知AD 为抛物线Γ的一条弦，M 是AD 的中点，且,A D 两点纵坐标之差的绝对值为()02A D ay y a -=>，由已知的结论可知：33216128AMDa a S p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭==V ，同理可知33216128BND a a S p p⎛⎫ ⎪⎝⎭==V ；（3）如果将（2）中的结果看成是一次操作，将操作继续下去，取每段新的弦的中点做平行于x 轴的直线与抛物线得到交点，并与弦的端点连接，计算得到的新三角形面积，操作无限重复下去：第一次操作：增加的面积为,AMD BND S S V V ，面积为3312216416a a p p ⎛⎫⎪⎝⎭⨯=⋅；第二次操作：增加了4个三角形，面积为33214416416a a p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭⨯=⋅；第三次操作：增加了8个三角形，面积为33318816416a a p p⎛⎫ ⎪⎝⎭⨯=⋅；…… 由此可知每次新增加的面积构成一个公比为14的等比数列，随着操作持续下去这些三角形逐渐填满整个“弓形”，所以“弓形”面积为：3332111111141 (116444161214)lim lim n n n n a a a S p p p -→+∞→+∞⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=⋅++++=⋅=⎪⎝⎭-. 【点睛】本题考查抛物线中的和弦有关的定理应用问题，灵活度较高，难度较难.（1）处理这种定理应用类型的问题，首先要对所给出的实例仔细分析，用已学的知识点去看待、解决问题；（2）掌握一些数学思想：无限分割、数形结合、化归等；（3）无限分割思想和极限产生联系.。

2018-2019学年上海中学高二(上)期中数学试卷(解析版)

2018-2019学年上海中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．直线2x﹣y+3＝0的倾斜角为．2．行列式中元素0所对应的代数余子式的值为．3．若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a＝．4．若＝（1，﹣2），＝（x，1），＝（1，2），且（）⊥，则x＝．5．以＝（﹣3，2）为方向向量的直线平分圆x2+y2+2y＝0，直线l的方程为．6．经过两条直线2x+3y+1＝0和3x﹣y+4＝0的交点，并且平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是．7．若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则a+b＝．8．如图，△ABC中D在边BC上，且＝2，E为AD的中点，记＝，＝，则＝（用、的线性组合表示）9．二阶方阵A＝称矩阵为A的转置矩阵记作A T，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）（M T）T＝M；（2）（M+N）T＝M T+N T；（3）（MN）T＝M T N T；（4）“M＝”是“M T＝M”的充分不必要条件；其中真命题的序号为．10．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为．11．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（2，1）的直线l交y＝x（x＞0）于点Q，那么的最大值为．12．如图，已知向量的夹角为，|﹣|＝6，向量，的夹角为，|﹣|＝2，则与的夹角为，的最大值为．二.选择题13．“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要14．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2）B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）15．实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．416．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•＝m，•+•＝n，则（）A．m＝2，n＝4B．m＝3，n＝1C．m＝2，n＝6D．m＝3n，但m，n的值不确定三、解答题（共4小题，满分0分）17．已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组．18．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61．（1）求与的夹角θ；（2）若，且＝0，求t及||19．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．20．已知a、b、c为△ABC的三边长，直线l的方程ax+by+c＝0，圆M：（x+a）2+（y+b）2＝c2．（1）若△ABC为直角三角形，c为斜边长，且直线l与圆M相切，求c的值；（2）若△ABC为正三角形，对于直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，求c的取值范围；（3）点E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，1）、G（1，1）、H（1，﹣1），设E、F、G、H四点到直线l的距离之和为S，求S的取值范围．2018-2019学年上海中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．直线2x﹣y+3＝0的倾斜角为arctan2．【解答】解：因为直线2x﹣y+3＝0的斜率为k＝﹣＝2，设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，所以θ＝arctan2，故填：arctan2．2．行列式中元素0所对应的代数余子式的值为﹣6．【解答】解：行列式中元素0所对应的代数余子式的值为：（﹣1）5•＝﹣6．故答案为：﹣6．3．若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a＝﹣2．【解答】解：直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，由于直线的斜率存在，所以斜率乘积为﹣1，即﹣1•（）＝﹣1，所以a＝﹣2．故答案为：﹣2．4．若＝（1，﹣2），＝（x，1），＝（1，2），且（）⊥，则x＝1．【解答】解：；∵；∴；∴x＝1．故答案为：1．5．以＝（﹣3，2）为方向向量的直线平分圆x2+y2+2y＝0，直线l的方程为2x+3y+3＝0．【解答】解：根据题意，要求直线的方向向量为＝（﹣3，2），设其方程为2x+3y+m ＝0，圆x2+y2+2y＝0，即x2+（y+1）2＝1，其圆心为（0，﹣1），若要求直线平分圆，则圆心在要求直线上，则有2×0+3×（﹣1）+3＝0，解可得m＝3，则要求直线的方程为2x+3y+3＝0；故答案为：2x+3y+3＝0．6．经过两条直线2x+3y+1＝0和3x﹣y+4＝0的交点，并且平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是3x+4y+＝0．【解答】解：联立直线的方程，得到两直线的交点坐标为（﹣，），平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是3x+4y+c＝0，则3（﹣）+4×+c＝0，解得c＝，所以直线方程为3x+4y+＝0．故填：3x+4y+＝0．7．若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则a+b＝3．【解答】解：根据题意，圆x2+y2+4x﹣1＝0的圆心为（﹣2，0），若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则有，解可得a＝1，b＝2；则a+b＝3；故答案为：3．8．如图，△ABC中D在边BC上，且＝2，E为AD的中点，记＝，＝，则＝（用、的线性组合表示）【解答】解：∵E为AD的中点，，∴＝＝＝＝＝，故答案为：．9．二阶方阵A＝称矩阵为A的转置矩阵记作A T，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）（M T）T＝M；（2）（M+N）T＝M T+N T；（3）（MN）T＝M T N T；（4）“M＝”是“M T＝M”的充分不必要条件；其中真命题的序号为（1）（2）（4）．【解答】解：对于（1），设M＝，则M T＝，（M T）T＝，所以（M T）T＝M，（1）正确；对于（2），设M＝，N＝，则M+N＝，∴（M+N）T＝；M T＝，N T＝，则M T+N T＝，∴（M+N）T＝M T+N T，（2）正确；对于（3），设M＝，N＝，则MN＝，∴（MN）T＝；M T＝，N T＝，则M T N T＝，∴（MN）T≠M T N T，（3）错误；对于（4），M＝时，M T＝，充分性成立，M T＝M时，M不一定为，如M＝，即必要性不成立，是充分不必要条件，（4）正确．综上，其中真命题的序号是（1）、（2）、（4）．故答案为：（1）、（2）、（4）．10．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为3．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．联立，解得D（1，2）．∴＝．解得：a＝3或a＝﹣1．又a＞0，∴a＝3．即A的横坐标为3．故答案为：3．11．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（2，1）的直线l交y＝x（x＞0）于点Q，那么的最大值为．【解答】解：设l：y＝k（x﹣2）+1，要它与y＝x（x＞0）相交，则k＞1或k＜0．令y＝0，可得：M（2﹣，0），令y＝x，得Q．∴|MP|＝，|PQ|＝．∴u＝＝．于是u2＝＝g（k），k＞1或k＜0．g′（k）＝，可得：k＝﹣2，函数g（k）取得极大值，g（﹣2）＝5．∴u max＝．此时M（﹣，0）．故答案为：．12．如图，已知向量的夹角为，|﹣|＝6，向量，的夹角为，|﹣|＝2，则与的夹角为，的最大值为．【解答】解：如图，设，则，，，∴AB＝6，，AC＝，又，∴A，O，B，C四点共圆，在△ABC中，由正弦定理得，即，∴sin∠ABC＝，则．由同弧所对圆周角相等，可得，即与的夹角为；设∠OAC＝θ，则，在△AOC中，由正弦定理得：，∴OC＝，，∴＝＝＝64×＝64×（）＝64×（）＝64×（）＝64[]．∴当，即时，有最大值为．故答案为：，．二.选择题13．“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：圆的方程可化为：，故若D2＝4F且E≠0，则圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切，若圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切，则D2＝4F且E≠0，综上“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的充要条件．故选：C．14．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2）B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）【解答】解：根据，选项A：（3，2）＝λ（0，0）+μ（1，2），则3＝μ，2＝2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）＝λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3＝﹣λ+5μ，2＝2λ﹣2μ，解得，λ＝2，μ＝1，故选项B能．选项C：（3，2）＝λ（3，5）+μ（6，10），则3＝3λ+6μ，2＝5λ+10μ，无解，故选项C 不能．选项D：（3，2）＝λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3＝2λ﹣2μ，2＝﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．15．实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时2x+y＝9．由，解得，即B（4，1），∵B在直线y＝m上，∴m＝1，故选：A．16．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•＝m，•+•＝n，则（）A．m＝2，n＝4B．m＝3，n＝1C．m＝2，n＝6D．m＝3n，但m，n的值不确定【解答】解：∵P，Q分别是AC，BC中点，∴m＝•+•＝＝＝＝＝2；∵P，Q分别是AC，BC中点，∴，，∴n＝•+•＝+＝＝＝6．故选：C．三、解答题（共4小题，满分0分）17．已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组．【解答】解：对于增广矩阵，当m＝2时，矩阵化为，此时方程组有无数个解；当m＝﹣2时，矩阵化为，此时方程组无解；当m≠±2，矩阵第二行有，（2+m）（2﹣m）•y＝（m+1）（2﹣m），得进第一行得，综上所述，当m＝2时，方程有无数个解；当m＝﹣2时，方程组无解；当m≠±2时，，．18．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61．（1）求与的夹角θ；（2）若，且＝0，求t及||【解答】解（1）∵||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61，∴•＝﹣6．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴cos θ＝＝＝﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又0≤θ≤π，∴θ＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）＝（）＝t+（1﹣t）＝﹣15t+9＝0∴t＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴||2＝（+）2＝，∴||＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）直线l1：y＝2，设l1交l于D，则D（2，2）．∵l的倾斜角为30°，∴l2的倾斜角为60°，…∴，∴反射光线l2所在的直线方程为y﹣2＝（x﹣2）．即．…已知圆C与l1切于点A，设C（a，b），∵圆心C在过点D且与l垂直的直线上，∴①…又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，∴②，由①②得，圆C的半径r＝3．故所求圆C的方程为．…（Ⅱ）设点B（0，﹣4）关于l的对称点B'（x0，y0），则，…得．固定点Q可发现，当B'、P、Q共线时，PB+PQ最小，故PB+PQ的最小值为为B'C﹣3．…，得，最小值．…（16分）20．已知a、b、c为△ABC的三边长，直线l的方程ax+by+c＝0，圆M：（x+a）2+（y+b）2＝c2．（1）若△ABC为直角三角形，c为斜边长，且直线l与圆M相切，求c的值；（2）若△ABC为正三角形，对于直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，求c的取值范围；（3）点E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，1）、G（1，1）、H（1，﹣1），设E、F、G、H四点到直线l的距离之和为S，求S的取值范围．【解答】解（1）因为若△ABC为直角三角形，c为斜边长，所以a2+b2＝c2，直线l与圆M相切，所以圆心（a，b）到直线ax+by+c＝0的距离为c，即，所以，即c2﹣c＝±c2，得c＝，或者c＝0（舍）．（2）若△ABC为正三角形，若△ABC为正三角形，则此时圆是以{c，c}为圆心，c为半径的圆，直线方程为x+y+1＝0，设圆心（c，c）到直线的距离为d，则d＝，要使直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，需满足同时成立，即，解得c≥．（3）依题意S＝+++，因为三角形的两边之和大于第三边，所以S可化为：S＝，∵c＜a+b，，∴S≤＝4，下面求S的最小值，从几何意义上看，S代表（1，1）到直线l的距离的二倍，而直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为﹣，三边中若c为最大值，则直线l在两坐标轴上的截距均小于﹣1，此时（1，1）到直线l 的最小距离大于2，即S＞4．若c不是最大值，不妨设a为最大值，则S＝＞＝＝2．综上2＜S＜．。

2022-2023学年上海市川沙中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市川沙中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l ⊂α；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥ ”是“//l α 的必要不充分条件，故选B ．【解析】空间直线和平面、直线和直线的位置关系．2．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是DF 的中点，设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，则AG 与BP 所成角的大小为（）A ．45︒B ．15︒C ．30︒D ．0︒ 【答案】C【分析】根据AP BE ⊥可得BE ⊥平面ABP ，进而得到BE BP ⊥，再在平面EBC 内找到AG 的平行线，进而得出AG 与BP 所成角即可【详解】因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，AP AB A =，故BE ⊥平面ABP ，故BE BP ⊥，取弧EC 的中点H ，连接,BH GH ，易得AG BH //，且60EBH ∠=︒，故AG 与BP 所成角即906030PBH ∠=︒-︒=︒故选：C3．如图所示，在斜三棱柱111ABC A B C 中，90BAC ︒∠=，且1BC AC ，过1C 作1C H ⊥平面ABC ，垂足为H ，则点H 在（）A ．直线AC 上B ．直线AB 上C ．直线BC 上D ．ABC 内部【答案】B【分析】先通过线线垂直证明AC ⊥面1ABC ，进而可得面ABC ⊥面1ABC ，由面面垂直的性质定理可得要过1C 作1C H ⊥平面ABC ，只需过1C 作1C H AB ⊥即可，则答案可求.【详解】连接1AC ，1BC AC ，BA AC ⊥，且1BC BA B ， AC ∴⊥面1ABC ，又AC ⊂面ABC∴面ABC ⊥面1ABC ，面ABC ⋂面1ABC AB =，要过1C 作1C H ⊥平面ABC ，则只需过1C 作1C H AB ⊥即可，故点H 在直线AB 上故选：B.4．设向量(),,0u a b =，(),,1v c d =，其中22221a b c d +=+=，则下列命题中正确命题的个数为（） ①向量v 与z 轴正方向的夹角为定值（与c 、d 之值无关）； ②u ⋅v 2③u 与v 夹角的最大值为34π ④ad bc -的最大值为1A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题意可用三角函数值假设a b c d ,,,的值，利用空间坐标的运算结合三角恒等变换和三角函数的图象性质即可求解.【详解】因为22221a b c d +=+=,所以设()cos ,sin ,0u θθ=,()cos ,sin ,1v ββ=,设z 轴正方向的单位向量为(0,0,1)m =,2222cos ,cos sin 11v mv m v m ββ⋅<>===++⨯因为[],0,πv m <>∈，所以π,4v m <>=，故①正确； cos cos sin sin cos()u v θβθβθβ⋅=+=-，所以u ⋅v 的最大值为1，故②错误； 22222cos ,cos sin cos sin 1u vu v u v θβββ⋅<>==⋅+++22cos()22θβ=-≥ 所以3π0,4u v ≤<>≤，所以u 与v 夹角的最大值为34π，故③正确； cos sin sin cos sin()ad bc θβθββθ-=-=-，所以ad bc -的最大值为1，故④正确.故选:C.二、填空题5．不重合的两个平面最多有_____________条公共直线【答案】1【分析】由平面的基本性质可求解.【详解】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：16．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α___________．【答案】12π【详解】根据题意，截得的圆形半径、球的半径以及球心到截取平面的距离，构成了一个直角三角形，根据勾股定理，可知球的半径r =24π12πr =．故正确答案为12π．7．设A ∠与B ∠的两边分别平行，若40A ∠=︒，则B ∠=___________.【答案】40︒或140︒．【分析】根据等角定理即可得到答案．【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补．故答案为：40︒或140︒．8．设ABC ∆是等腰直角三角形，斜边2AB =,现将ABC ∆（及其内部）绕斜边AB 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_____. 【答案】23π 【分析】由题意知旋转体为两个同底等高的圆锥组合体，由此求出组合体的体积．1；旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1；所以几何体的体积为V ＝213⨯⨯π×1223π=．故答案为：23π．【点睛】本题考查了旋转体的结构特征与体积的计算问题，是基础题．9．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为______（结果用反三角函数值表示）.【答案】1arctan 2 【分析】根据垂直关系找到线面角，在直角三角形中利用三角关系即可求解. 【详解】如图,因为1BB ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,所以1BB BC ⊥,所以1B CB ∠为直线1B C 与底面ABC 所成的角，所以111tan =2BB B CB BC ∠=, 所以11=arctan2B CB ∠，故答案为：1arctan 2. 10．将一段长12cm 的铁丝折成两两互相垂直的三段，使三段长分别为3cm ､4cm ､5cm ，则原铁丝的两个端点之间的距离为___________cm .【答案】52【分析】将所折铁丝用空间几何体表示，可得各侧面均为直角三角形的三棱锥，进而求原铁丝的两个端点之间的距离.【详解】由题意，三段分别为3cm,4cm,5cm AB BC CD ===，如下图示，∴,,AB BC BC CD AB CD ⊥⊥⊥，又BCAB B =，即CD ⊥面ABC ，又AC ⊂面ABC ，故CD AC ⊥，∴22252cm AD AB BC CD ++=.故答案为：52 11．一个腰长为5，底边长为8的等腰三角形的直观图的面积为______【答案】32【分析】根据直观图与原图形的面积关系直接求得.【详解】一个腰长为5，底边长为8的等腰三角形的面积为：2218851222⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，即原图形的面积为12.由24S S =直观图原图形得：直观图的面积为212324⨯=. 故答案为：32.12．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为______.【答案】33【分析】连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE //P A ，所以OEB ∠就是异面直线BE 与P A 所成的角，在直角三角形EOB 中求解即可.【详解】如下图：连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE //P A ，所以OEB ∠就是异面直线BE 与P A 所成的角，连接PO ，因为PO ⊥面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为AC DB ⊥，AC PO O ⊥=，所以BD ⊥面POC ，所以BD OE ⊥，所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则3,22a OE BE a ==，3cos 3OE OEB BE ∠==. 故答案为：33. 13．如图所示，空间几何体ADE BCF 中，四边形ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，四边形CDEF是矩形，且AD ⊥平面CDEF ，2AB AD DE ===，4EF =，则空间几何体ADEBCF 的体积为___________.【答案】203【分析】可作BM CD ⊥于M ，//MN FC 与直线EF 交于点N ，连接BN ，将几何体切割成两部分，再结合柱体和锥体体积公式求解即可【详解】如图，作BM CD ⊥于M ，//MN FC 与直线EF 交于点N ，连接BN ，由题设条件可知，2DM =，三棱柱AED BNM -为直三棱柱，体积为122242⨯⨯⨯=，锥体B MCFN -底面MCFN 为正方形，高为BM ，则锥体体积为1822233⨯⨯⨯=，故几何体ADE BCF 的体积为820433+=. 故答案为：203 14．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为_____【答案】12【分析】设圆锥的母线长为l,求出以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积以及圆锥的侧面积，根据题意，列出方程即可求得答案.【详解】设圆锥的母线长为l,则以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积为2πl ，又圆锥的侧面积为π33πl l ⨯⨯=，因为当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，所以2π43πl l =⨯，解得12l =，故答案为：1215．有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________.【答案】5π【分析】考虑圆柱的侧面展开图，将其延展一倍后矩形的对角线的长度即为铁丝的最短长度.【详解】如图，把圆柱的侧面展开图再延展一倍，所以铁丝的最短长度即为AB 的长，又()22945AB πππ=+=，填5π.【点睛】几何体表面路径最短问题，往往需要考虑几何体的侧面展开图，把空间问题转为平面问题来处理.16．设,,,A B C D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC 、ACD 、ABD △的面积，则123S S S 的最大值是______.【答案】8【分析】扩展成为长方体，根据球为长方体的外接球，利用基本不等式即可求解.【详解】设,,AB a AC b AD c ===,因为,,AB AC AD 两两垂直，扩展为长方体，所以该长方体的体对角线为球的直径，所以2222416a b c R ++==， 1()2ABC ACD ABD S S S ab ac bc ++=++△△△，因为2222222,2,2,a b ab a c ac b c bc +≥+≥+≥所以22211()()822ab ac bc a b c ++≤++=，当且仅当433a b c ===时取得等号，故答案为:8.三、解答题17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面P AC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)30°【分析】（1）设AC 和BD 交于点O ，可得1PO BD ∥，根据线面平行的判定定理即可得证．（2）由1//PO BD ，得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角．求得各个边长，根据三角函数的定义，即可得答案.【详解】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ， ∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，又∵PO ⊂平面PAC ，1BD ⊄平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角， ∵222PA PC CD PD ==+=，1222AO AC ==，且PO AO ⊥， ∴212sin 22AO APO AP ∠===．又(090]APO ∠∈︒︒，， ∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒． 18．如图所示，圆锥的顶点为P ，底面中心为O ，母线4PB =，底面半径OA 与OB 互相垂直，且2OB =.(1)求圆锥的表面积；(2)求二面角P AB O --的大小.（结果用反三角函数表示）【答案】(1)12π(2)7【分析】（1）根据圆锥的表面积公式，即可求出结果；（2）取AB 中点E ，连接PE,OE ,结合二面角的定义即可得解.【详解】（1）由题意可得，底面圆的周长为：2π4πOB ⋅=，圆锥的侧面积为12⨯底面圆的周长⨯母线长,即14π48π2⋅⋅=，所以圆锥的表面积为：28ππ212π+⋅=；（2）取AB 中点E ，连接PE ，OE ，因为PA PB OA OB ==，，所以,PE AB OE AB ⊥⊥,所以PEO ∠即为二面角P AB O --的平面角，因为4PB =，2OB =，OA 与OB 互相垂直，所以2,14OE PE ==，所以7cos 7OE PEO PE ∠==，所以二面角P AB O --的大小为7arccos7. 19．如图，AB 是圆柱1OO 的一条母线，BC 是底面的一条直径，D 是圆O上一点，且5AB BC ==，3CD =.(1)求直线AC 与平面ABD 所成角的大小；(2)求点B 到平面ACD 的距离.【答案】(1)32(2)204141【分析】（1）利用线面垂直的判定定理找到线面角，进而在直角三角形中求解；(2)作垂线找到点到平面的距离，利用等面积法求解.【详解】（1）AB ⊥平面,BCD CD ⊂平面,BCD,AB CD ∴⊥ ∴BC 是底面的一条直径, ,BD CD ∴⊥又BD ⊂平面,ABD AB平面,,ABD BD AB B =所以CD ⊥平面,ABD CAD ∴∠是直线AC 与平面ABD 所成角,因为5AB BC ==,所以52,AC =所以32sin .10CD CAD AC ∠== 所以直线AC 与平面ABD 所成角的大小32arcsin .10（2）过B 作BM AD ⊥,垂足为M ，由(1)得CD ⊥平面,ABD CD ⊂平面,ACD 所以平面ABD ⊥平面ACD ，又因为平面ABD 平面ACD AD =,BM ⊂平面ABD ,BM AD ⊥, 所以BM ⊥平面ACD ，22224,41.BD BC CD AD AB BD =-∴+= 根据等面积法1122AD BM AB BD ⋅=⋅, 2041AB BD BM AD ⋅∴== 即B 到平面ACD 204120．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，满足DE BC ∥且DE 经过ABC 的重心，将ADE 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，M 是1A D 的中点，如图所示.(1)求证：1A C ⊥平面BCDE ；(2)求CM 与平面1A BE 所成角的大小；(3)在线段1A B 上是否存在点N （N 不与端点1A 、B 重合），使平面CMN 与平面DEN 垂直?若存在，求出1A N 与BN 的比值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析 (2)4π (3)存在；2【分析】（1）结合线面垂直判定定理和折叠性质可证；（2）通过建系法求出CM 和平面1A BE 的法向量n ，设线面角为θ，结合公式sin cos ,CM n θ=求解即可；（3）在（2）的坐标系基础上，写出,,,,B C D M E 坐标，设()111,,N x y z ，1BN BA λ=，表示出点N ，分别求出平面CMN 与平面DEN 的法向量，令数量积为0，求出参数λ即可.【详解】（1）因为在Rt ABC △中，90C ∠=︒，DE BC ∥，所以,DE AD DE CD ⊥⊥，因为折叠前后对应角相等，所以1DE A D ⊥，所以DE ⊥平面1A CD ，1DE A C ⊥，又1A C CD ⊥，CD DE D =，所以1A C ⊥平面BCDE ；（2）因为DE 经过ABC 的重心，故223DE BC ==，由（1）知1A C ⊥平面BCDE ，以CD 为x 轴，CB为y 轴，1CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，由几何关系可知，12,4,23CD AD A C ===故()()()()()()10,0,0,2,0,0,2,2,0,0,3,0,0,0,23,1,0,3C D E B A M ，()1,0,3CM =，()()110,3,23,2,2,23A B A E =-=-，设平面1A BE 的法向量为(),,n x y z =，则1100n A B n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即323030y z x y z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，令2y =，则()3,1,1,2,3z x n ===，设CM 与平面1A BE 所成角的大小为θ，则有42sin cos ,2222CM nCM n CM n θ⋅====⋅⋅，故4πθ=，即CM 与平面1A BE 所成角的大小为4π；（3）设()111,,N x y z ，1BN BA λ=，即()()111,3,0,3,23x y z λ-=-，即()1110,31,23x y z λλ==-=，()()0,31,23N λλ-，()1,0,3CM =，()()0,31,23CN λλ=-，设平面CMN 的法向量为()2222,,n x y z =，则有2200n CM n CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()22223031230x z y z λλ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令23,x =则21z =-，()22331y λλ=-，()2233,,131n λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭，同理，设平面DEN 的法向量为()3333,,n x y z =，()()()0,2,0,2,31,23DE DN λλ==--，则3300n DE n DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33302230y x z λ=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令33x =，则31z λ=，故313,0,n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若平面CMN 与平面DEN 垂直，则满足230n n ⋅=，即130λ-=，13λ=，故存在这样的点，113BN BA =，所以1221A N BN ==21．如图1，正四棱锥P ABCD -，4AB PA ==.(1)求此四棱锥的外接球的体积；(2)M 为PC 上一点，求MA MB +的最小值；(3)将边长为4的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积.【答案】(1)642π3 (2)2622+(3)823【分析】(1)根据外接球与正四棱锥的关系，利用勾股定理求出外接球半径即可求解；（2）将空间图形转化为平明图形，根据两点间线段最短即可求解；(3)结合勾股定理确定四棱锥的底面边长和高即可求解.【详解】（1）如图,设外接球的半径为R , 2242AC AB BC +=221122PO PA AO =-=所以()22211R AO PO R =+-,即()22822R R =+,解得2R =所以外接球体积34π6423V R ==.（2）如图，将PBC 展开到与平面PAC 在同一个平面，此时MA A MB B +≥,在PAB 中，22244244cos15032163AB =+-⨯⨯⨯=+，所以4234(31)4234262222AB ++=+===+, 所以MA MB +的最小值为2622+. （3）联想到勾股定理证明，可设直角三角形的两条直角边长为,()x y y x >，于是42x y y x +=⎧⎨-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，则构成以2为底面边长，高为22所以1824223V =⨯⋅=.。

高中_上海市川沙中学2018学年高二第一学期数学期末考试卷(无答案)

川沙中学2021学年高二第一学期数学期末考试卷一、填空题〔每题3分〕1.设抛物线的焦点坐标为〔1，0〕，那么此抛物线的标准方程为_________.13z i =+〔i 为虚数单位〕，那么它的虚部为_________.z 满足2315z i -=+〔i 是虚数单位〕，那么z =_________. m ∈R ，假设复数()()11z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，那么m =_________. 2cosx y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩〔θ为参数〕转化为普通方程_________. 28y x =的焦点与双曲线2221x y a -=的右焦点重合，那么双曲线的渐近线方程为_________. 225x y +=和点()2,1A -，那么过点A 的圆的切线方程为._________(),z x yi x y R =+∈复平面上对应的点在直线34150x y +-=上，那么z 的最小值是_________.9.抛物线型拱桥的顶点蹑水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为_________米.()222103x y a a +=>上的一点P 也在抛物线294y x =上，设抛物线焦点为F ，假设2516PF =，那么a =_________.α是实系数一元二次方程()222110x m x m --++=的一个虚数根，且2α≤，那么实数m 的取值范围是_________.12F F 、分别是椭圆22:12x C y +=的左、右焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，假设动点M 满足：2122MN MF MF =⋅，那么122MF MF +的最大值为_________.二、选择题〔每题3分〕13.在复数范围内，以下命题中，假命题的是〔〕 z 为实数，那么 z z = z z =，那么z 为实数z z⋅为实数，那么z为实数z为实数，那么z z⋅为实数ab<时，方程22-=所表示的曲线是〔〕ax ay bx轴的椭圆上x轴的双曲线y在轴的椭圆y轴的双曲线20z z m ++=有两虚数根αβ、，且3αβ=-，那么实数m 的值是〔〕 A.52 B.1 C.1- D.52- ()1,2A -，()2,0B ，P为曲线y =那么AP AB ⋅的取值范围为〔〕 A.[]1,7- B.[]1,7C.1,3⎡-+⎣D.1,3⎡+⎣三、解答题〔第17题共8分，第18题共8分，第19题共10分，第20题共12分，第21题共14分〕z 为关于x 的方程20x mx n ++=，,m n ∈R 的虚根，i 为虚数单位.〔1〕当1z i =+时，求m 、n 的值；〔2〕在〔1〕的条件下，假设(),n ai a R ω=+∈，3ω≤，求a 的取值范围。

上海市川沙中学2018-2019学年上学期期中高考数学模拟题

上海市川沙中学2018-2019学年上学期期中高考数学模拟题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．64B ．72C ．80D ．112【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力. 2．满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（）A.()||x f e x =B.2()x x f e e =C.2(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力. 3．若直线:1l y kx =-与曲线C ：1()1e xf x x =-+没有公共点，则实数k 的最大值为（）A ．－1B ．12C ．1D 【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．4．设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（）A.18B.12C.9D.0【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力.5．已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}xB x x R =≤∈，则集合U AC B 为（）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.6．复数i iiz (21+=是虚数单位）的虚部为（） A ．1- B ．i - C ．i 2 D ．2【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力． 7．函数的定义域为（）ABC D8．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n =（）A ．35B ． 36C ．120D ．1219．为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知C B A ,,三个社区分别有低收入家庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C 社区抽取低收入家庭的户数为（）A ．48B ．36C ．24D ．18【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题． 10．如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．π1B ．π21C ．π121-D ．π2141-【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．DABCO11．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（） A ．720 B ．270 C ．390 D ．30012．已知函数x x x f 2sin )(-=，且)2(),31(log ),23(ln 3.02f c f b f a ===，则（） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．a b c >> D ．b a c >>【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知圆22240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，m 的取值范围是________．【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力.14．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2132n n S S n n ++=+，若对n N *∀∈，1n n a a +< 恒成立，则m 的取值范围是_______．【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识，意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力．15．要使关于x 的不等式2064x ax ≤++≤恰好只有一个解，则a =_________.【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.16．（本小题满分12分）点M （2pt ，2pt 2）（t 为常数，且t ≠0）是拋物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点，过M 作倾斜角互补的两直线l 1与l 2与C 的另外交点分别为P 、Q .（1）求证：直线PQ 的斜率为－2t ；（2）记拋物线的准线与y 轴的交点为T ，若拋物线在M 处的切线过点T ，求t 的值．三、解答题（本大共6小题，共70分。

上海市川沙中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

上海市川沙中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________11．长方体1111ABCD A B C D -为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为已知3AB =，12AA =，1AD =，如果将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则V 的取值范围为．12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点且满足D P CP ^，则满足条件的所有点P 围成的平面区域的面积为二、单选题13．设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“l m且ln”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．下列四个命题中真命题是（）A．同垂直于一直线的两条直线互相平行B．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条C．底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱D．过球面上任意两点的大圆有且只有一个D．存在点,M N，使MBN△为等边三角形（1）求三棱锥A﹣A1BD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小.18．某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm，圆柱高为30cm，底面的周长为24πcm.(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到30.1cm）；(2)现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元）(2)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP DE ^？若存在，请指出P 点的位置，若不存在，请说明理由.七、证明题20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//,AD BC AB BC ^，2,4AB AD BC ===，,E F 分别为棱,BC BP 中点.(1)求证：平面//AEF 平面DCP ；(2)若平面PBC ⊥平面ABCD ，求证：AB PC ^；(3)若平面PBC ⊥平面,2ABCD PC =，且CP PB ^，求直线AP 与平面PBC 所成角.八、问答题21．如图，已知直三棱柱111A B C ABC -中，90ABC Ð=°且12,AB BC BB D E F ===、、分别为1AC BC B B 、、的中点，G 为线段DE 上一动点.(1)求1C F 与平面111A B C 所成角的正切值；(2)求点1C 到平面11A B G 的距离；(3)求锐二面角111C AG B --的余弦值的最大值.垂直于a 于A ，PB 垂直于b 于B ，设平面PAB 交直线l 于点O ，连接OA ，OB ，由于PA a ^，PB b ^，l Ìa ，l b Ì，故PA l ^，PB l ^，又PA PB P =I ，,PA PB Ì平面PAB ，故l ^平面PAB ，又OA ，OB Ì平面PAB ，故l OA ^，l OB ^，所以AOB Ð为二面角l a b --的平面角，因为直线,a b 所成角的大小为60°，所以60APB Ð=°或120°，当120APB Ð=°时，如图因为180APB AOB Ð+Ð=°，所以60AOB Ð=°；当60APB Ð=°时，如图因为180APB AOB Ð+Ð=°，所以120AOB Ð=°;CBD为边长为1的等边三角形，将如图，点A在底面BDC-的高为AECBCD△当平面ABD^平面CBD时，三棱锥AEC为平面平面,ABD平面所以异面直线AD与BC故答案为: 1 4 .11．()1,5【分析】分别计算水量较少【详解】水量较少，水面。

2018-2019上海川沙中学高二上数学期末试题(图片版)

川沙中学2018学年高二第一学期数学期末考试卷一、填空题（每题3分）1.设抛物线的焦点坐标为（1，0），则此抛物线的标准方程为_________.2.已知复数13z i =+（i 为虚数单位），则它的虚部为_________.3.若复数z 满足2315z i -=+（i 是虚数单位），则z =_________.4.设m ∈R ，若复数()()11z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m =_________.5.将椭圆的参数方程2cosx y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）转化为普通方程_________.6.已知抛物线28y x =的焦点与双曲线2221x y a-=的右焦点重合，则双曲线的渐近线方程为_________.7.已知圆225x y +=和点()2,1A -，则过点A 的圆的切线方程为._________8.若复数(),z x yi x y R =+∈复平面上对应的点在直线34150x y +-=上，则z 的最小值是_________.9.已知抛物线型拱桥的顶点蹑水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为_________米.10.已知椭圆()222103x y a a +=>上的一点P 也在抛物线294y x =上，设抛物线焦点为F ，若2516PF =，则a =_________.11.已知α是实系数一元二次方程()222110x m x m --++=的一个虚数根，且2α≤，则实数m 的取值范围是_________.12.点12F F 、分别是椭圆22:12x C y +=的左、右焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：2122MN MF MF =⋅，则122MF MF +的最大值为_________. 二、选择题（每题3分）13.在复数范围内，下列命题中，假命题的是（） A.若z 为实数，则 z z =B.若z z =，则z 为实数C.若z z⋅为实数，则z为实数D.若z为实数，则z z⋅为实数14.当0ab<时，方程22-=所表示的曲线是（）ax ay bA.焦点在x轴的椭圆上B.焦点在x轴的双曲线C.焦点y在轴的椭圆D.焦点在y轴的双曲线15.若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根αβ、，且3αβ=-，那么实数m 的值是（）A.52B.1C.1-D.52-16.已知点()1,2A -，()2,0B ，P为曲线y =AP AB ⋅的取值范围为（） A.[]1,7-B.[]1,7C.1,3⎡-+⎣D.1,3⎡+⎣三、解答题（第17题共8分，第18题共8分，第19题共10分，第20题共12分，第21题共14分）17.设z 为关于x 的方程20x mx n ++=，,m n ∈R 的虚根，i 为虚数单位. （1）当1z i =+时，求m 、n 的值；（2）在（1）的条件下，若(),n ai a R ω=+∈，3ω≤，求a 的取值范围。

2018-2019学年上海市浦东新区高二(上)期中数学试卷(解析版)

2018-2019学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 下列命题正确的是（）A. 单位向量都相等B. 若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C. 若|a +b |=|a −b |，则a ⋅b =0D. 若a 与b 都是单位向量，则a ⋅b =12. 在等比数列{a n }中，若a 4，a 8是方程x 2-4x +3=0的两根，则a 6的值是（）A. ± 3B. − 3C. 3D. ±33. 已知a=（5，4），b =（3，2），则与2a -3b 平行的单位向量为（） A. ( 55,2 55) B. ( 55,2 55)或(− 55,−2 55) C. ( 55,−2 55)或(− 55,2 55)D. (− 55,−2 55)4. 已知等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的和S n ，若集合M ={S |S =n →∞limSn S 2n，q ≠-1}，则M 等于（）A. {0}B. {0,12,1}C. {1,12}D. {0,12}二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 计算：n →∞lim3n +4n=______ 6. 行列式a 1b 1c 1a 2b 2c 2a 3b 3c 3中c 2的代数余子式是______ 7. 已知向量a =（2，3），b =（-2，1），则a 在b 方向上的投影等于______． 8. 用对角线法则计算行列式： 30−2213−231=______9. 数列{a n }中，a 1=8，a 4=2，且满足a n +2-2a n +1+a n =0，数列{a n }的递推公式是______ 10. 关于x 、y 的二元线性方程组 nx −y =22x +my =5的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为 103011 ，则二阶行列式 2m n −1 =______． 11. 设i ，j 是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且AB =4i +2j ，AC =3i +4j ，则△ABC 面积的值等于______． 12. 用数学归纳法证明“1+12+13+…+12n−1＜n （n ∈N *，n ＞1）”时，由n =k （k ＞1）不等式成立，推证n =k +1时，左边应增加的项数共______项．；13. 已知数列{a n }是无穷等比数列，其前n 项和是S n ，若a 1+a 2=2，a 3+a 4=1，则n →∞limS n 的值为______．14. 已知直角三角形ABC 中，∠B =π2，A （2，-2），B （m ，3），C （3，7），那么m =______15. n →∞lim （1n 2+4n 2+7n 2+⋯+3n−2n 2）=______16. 设点A （2，2），B （4，1），在x 轴上求一点P ，使AP ⋅BP 最小，此时∠APB =______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17. 数列{a n }的通项公式是a n = 2−nn +1(n =1，2)13n (n ＞2)，前n 项和为S n ，计算（1）n →∞lima n ；（2）n →∞limS n ．18. 已知线性方程组 2x +5y =85x +2y =10．（1）写出方程组的系数矩阵和增广矩阵；（2）运用矩阵变换求解方程组．19. 已知|a |=2，|b |=3，且向量a 与b 的夹角为π3，求|3a -2b |．20. 已知e 1 ，e 2 是平面内两个不共线的非零向量，AB =2e 1 +e 2 ，BE =−e 1 +λe 2 ，EC =−2e 1 +e 2 ，且A ，E ，C 三点共线．（1）求实数λ的值；（2）已知e 1 =（2，1），e 2 =（2，-2），点D （3，5），若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．21. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =12n 2+112n （n ∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设c n =1(2an −11)(2a n−9)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k2013对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值；（Ⅲ）设f （n ）= 3a n−13,(n =2k ,k ∈N ∗)a n ,(n =2k−1,k∈N ∗)是否存在m ∈N *，使得f （m +15）=5f （m ）成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：向量有大小、方向两个属性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故A不对；B选项对三个非零向量是正确的，若是零向量时，若与共线，与共线，则与共线不一定成立．当两个向量互相垂直时两向量和的模与差的模一定相等，故C选项是正确的．若与都是单位向量，则•=1不一定成立，当两者垂直时，内积为零．故选：C．题设条件简单，本题的解题需要从选项入手，逐一进行验证排除．本题考点是向量的共线与相等，属于对基础概念考查的题目，解答此类题需要对相关的概念熟练掌握才能正确作答．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的性质，隔项同号是解决问题的关键，属中档题．解方程可得a4和a8，可得a62=a4•a8，解之由a4，a6同号可得．【解答】解方程x2-4x+3=0可得x=1，或x=3故a4=1，a8=3，或a4=3，a8=1故a62=a4•a8=3，故a6=，又a52=a4•a6＞0，即a4，a6同号，又a4＞0，故a6=故选：C．3.【答案】B【解析】解：∵=（5，4），=（3，2），∴2-3=（1，2），∴，则与2-3平行的单位向量为（2-3）=，化简得，．故选：B．先求出2-3的模，再利用平行的单位向量公式加以计算，可得所求的单位向量的坐标本题着重考查了向量的坐标运算、向量模的公式和单位向量等知识．4.【答案】B【解析】解：当q=1时，S n=na1，S2n=2na1，∴=．当q≠1时，S n=，∴==．∴S==，当q＞1时，S=0．当0＜|q|＜1时，S=1．当q＜-1时，S=0．综上可得：集合M={0，1，}．故选：B．当q=1时，S n=na1，S2n=2na1，即可得出．当q≠1时，S n=，可得=．对q分类讨论即可得出．本题考查了等比数列的性质及其前n项和公式、数列极限性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】3【解析】解：=（3+）=3．故答案为：3．直接利用数列的极限的运算法则求解即可．本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查．6.【答案】-a1b1 a3b3【解析】解：行列式中c2的代数余子式是：（-1）2+3=-．故答案为：-．利用行列式的代数余子式的定义直接求解．本题考查行列式的代数余子式的求法，考查行列式的代数余子式的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】-55【解析】解：根据投影的定义可得：在方向上的投影为||cos＜，＞==-．故答案为：-根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义，要求熟练应用公式．8.【答案】-40【解析】解：：=3×1×1+0×3×（-2）+（-2）×2×3-（-2）×1×（-2）-2×0×1-3×3×3=-40．故答案为：-40．利用行列式展开对角线法则直接求解．本题考查三阶行列式的展开式的求法，考查行列式展开对角线法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】a n=−2+an−1,n≥28,n=1【解析】解：数列{a n}中，a1=8，a4=2，且满足a n+2-2a n+1+a n=0，即有a n+2-a n+1=a n+1-a n=…=a4-a3=a3-a2=a2-a1，即数列{a n}为首项为8的等差数列，则公差d===-2，则数列{a n}的递推公式是a n=，故答案为：a n=．由题意可得a n+2-a n+1=a n+1-a n=…=a4-a3=a3-a2=a2-a1，即数列{a n}为首项为8的等差数列，运用等差数列的通项公式可得公差，即可得到所求递推式．本题考查数列的递推式，注意运用等差数列的性质，考查化简整理能力，属于基础题．10.【答案】-1【解析】解：矩阵为，对应的方程组为：，由题意得：关于x、y的二元线性方程组的解为：，∴⇒∴则二阶行列式=-2-mn=-1故答案为：-1．先由矩阵为，对应的方程为：，再由题意得：关于x、y的二元线性方程组的解为：，从而求得m，n的值，最后利用行列式的计算法则求解即可．本题主要考查了几种特殊的矩阵变换，解答的关键是对增广矩阵的理解，利用方程组同解解决问题．11.【答案】5【解析】解：由题意知又cos∠BAC===，∴sin∠BAC=又S△ABC=sin∠BAC=×2×5×=5故答案为5由题意，是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的单位向量，且，可得由三角形面积公式知，可先由公式cos∠BAC=求出两向量夹角余弦，再求出sin∠BAC，代入面积公式S△ABC=sin∠BAC，即可求出三角形的面积本题考查向量在几何中的应用，考查了向量坐标的定义，向量夹角的坐标表示，向量模的坐标表示，同角三角函数关系，三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握三角形的面积公式S△ABC=sin∠BAC，由公式确定出解题的方向先求出两向量的夹角．由题设条件得出两向量的坐标是本题的难点，理解向量坐标表示的定义是突破难点的关键．12.【答案】2【解析】解：n=k时，左边=1+++…+，当n=k+1时，左边=1+++…+++．∴左边增加的项数为2．故答案为：2．分别写出n=k和n=k+1时，不等式左边的所有项，根据分母特点计算多出的项数．本题考查了数学归纳法的证明步骤，属于基础题．13.【答案】4【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=2，a3+a4=1，∴，解得a=4-2，q=，或a1=4+2，q=-1当a1=4-2，q=，∴=4-．∵=0，∴=4．a1=4+2，q=-∴=4-．∵=0，∴=4．故答案为：4．利用当等比数列{a n}的公比q满足0＜|q|＜1时，则=0，即可得出．熟练掌握：满足0＜|q|＜1时，=0是解题的关键．14.【答案】-2或7【解析】解：∵；∴AB⊥BC；；∴；解得m=-2，或7．故答案为：-2或7．根据即可得出，而，从而得出，解出m即可．考查向量垂直的充要条件，根据点的坐标可求向量的坐标，向量数量积的坐标运算．15.【答案】32【解析】解：（）===（-）=-=-0=．故答案为：．运用等差数列的求和公式和=0，结合极限的运算性质可得所求值．本题考查数列极限的求法，注意运用等差数列的求和公式和重要数列的极限，考查运算能力，属于基础题．16.【答案】arccos1010【解析】解：设P（x，0），则=（x-2，-2），=（x-4，-1），∴=（x-2）（x-4）+2=x2-6x+10=（x-3）2+1．∴当x=3时，取得最小值．此时，=（-1，2），=（1，1），∴cos∠APB===．∴∠APB=arccos．故答案为：．设P（x，0），得出关于x的二次函数，从而可求出最小时的P点坐标，再根据平面向量的夹角公式得出∠APB ．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．17.【答案】解：（1）n ＞2，n →∞lim a n =n →∞lim13=0．（2）n ＞2时，S n =12+0+127[1−(13)n −3]1−13=12+118[1−(13)n−3]． n →∞lim S n =12+118=59．【解析】（1）利用通项公式与极限的定义即可得出．（2）利用等比数列的求和公式可得n ＞2时，S n =+0+．化简利用极限的定义即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、极限的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵线性方程组 2x +5y =85x +2y =10．∴方程组的系数矩阵为 5225，增广矩阵为 5210258．--------4分（2）∵ 2x +5y =85x +2y =10，∴ 5210258 → 5210−10−25−40 → 52100−21−20 → 5210012021→ 5017021012021 → 103421012021，∴ x =3421y =2021．【解析】（1）由线性方程组，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵．（2）由→→→，能求出方程组的解．本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：|3a -2b |2=9a 2+4b 2−12a ⋅b =36+36-12×2×3×cos π3=36； |3a -2b |=6．【解析】首先由已知求出的数量积，然后利用向量的平方与其模的平方相等解答．本题考查了平面向量的模的计算；一般的，利用向量的平方与模的平方相等解答．20.【答案】解：（1）AE =AB +BE =（2e 1 +e 2 ）+（-e 1 +λe 2 ）=e 1 +（1+λ）e 2 ．∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AE =k EC，即e 1 +（1+λ）e 2 =k （-2e 1 +e 2 ），得（1+2k ）e 1 =（k -1-λ）e 2 ．∵e 1 ，e 2 是平面内两个不共线的非零向量，∴ λ=k −11+2k =0，解得k =-12，λ=-32．（2）BC =BE +EC =-3e 1 -12e 2=（-6，-3）+（-1，1）=（-7，-2）．∵A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，∴AD =BC ．设A （x ，y ），则AD=（3-x ，5-y ）， ∵BC=（-7，-2）， ∴ 5−y =−23−x =−7，解得y =7x =10，即点A 的坐标为（10，7）．【解析】（1）可以利用三点共线，得到向量的线性关系，解出λ的值，得到本题结论，（2）由已知几何条件得到向量间关系，再坐标化得到A 点的坐标，即本题答案．本题考查了向量共线和向量的坐标运算，本题难度不大，属于基础题． 21.【答案】解：（I ）当n =1时，a 1=S 1=12+112=6．当n ≥2时，a n =S n -S n -1=(12n 2+112n )-[12(n −1)2+112(n −1)]=n +5．此式对于n =1时也成立．因此a n =n +5(n ∈N ∗)．（II ）∵c n =1(2an −11)(2a n −9)=1(2n−1)(2n +1)=12(12n−1−12n +1)， ∴T n =12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n +1)]=12(1−12n +1)=n 2n +1． ∵T n +1-T n =n +12n +3−n 2n +1=1(2n +3)(2n +1)＞0，∴数列{n 2n +1}单调递增， ∴（T n ）min =T 1=13．令13＞k 2013，解得k ＜671，∴k max =670．（III ）f （n ）= 3a n −13,(n =2k ,k ∈N ∗)a n ,(n =2k−1,k∈N ∗)= 3n +2,(n =2k ,k ∈N ∗)n +5,(n =2k−1,k∈N ∗)，（1）当m 为奇数时，m +15为偶数，∴3m +47=5m +25，解得m =11．（2）当m 为偶数时，m +15为奇数，∴m +20=15m +10，解得m =57∉N ∗（舍去）．综上可知：存在唯一的正整数m =11，使得f （m +15）=5f （m ）成立．【解析】（I ）利用当n=1时，a 1=S 1，当n≥2时，a n =S n -S n-1即可得出；（II ）利用“裂项求和”即可得出T n ，再利用其单调性即可得出k 的最大值；（III ）利用（I ）求出f （n ），再对m 分为奇数和偶数讨论即可得出．熟练掌握“利用当n=1时，a 1=S 1，当n≥2时，a n =S n -S n-1即可得出a n ”、“裂项求和”、数列的单调性、分类讨论的思想方法等是解题的关键．。

2018-2019学年高二数学上学期期中试题(含解析)

2018-2019学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的．）1.等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=" ( " )A. 9B. 12C. 15D. 16【答案】D【解析】【分析】利用等差数列通项性质即可得出．【详解】解：∵{an}是等差数列，∴a2+a11＝a4+a9＝a6+a7．∵a2+a4+a9+a11＝32，∴a6+a7＝16．故选D．【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．2.若，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用实数的运算性质和作差比较，结合不等式的基本性质，即可求解.【详解】对于A中，，所以，所以不正确；对于B中，根据实数的运算性质，当时，是正确的；对于C中，，可得，所以不正确；对于D中，，所以是正确的，是不正确的，故选：B【点睛】本题主要考查了不等式的性质及其应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，利用实数的运算性质和作差比较法，结合不等式的基本性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3.在△ABC中,已知，则角A=（）A. 30°或150°B. 60°或120°C. 60°D. 30°【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理得，解之可求得，再根据三角形的大边对大角，可得选项.【详解】根据正弦定理得：，因为,所以.故选:D.【点睛】本题考查三角形的正弦定理，在运用时注意三角形中的大边对大角的性质，属于基础题.4.在三角形中，，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：，选A 考点：余弦定理5.已知单调递增的等比数列中，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由等比数列的性质，可得到是方程的实数根，求得，再结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，等比数列中，，，根据等比数列的性质，可得，，所以是方程的实数根，解得或，又因为等比数列为单调递增数列，所以，设等比数列的首项为，公比为可得，解得，所以数列的前项和.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【详解】因为，所以，所以，所以，所以，即，所以是等腰三角形．故选A．7.等比数列的前项和为，若，，则等于（）A. -3B. 5C. -31D. 33【答案】D【解析】【分析】先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，求得公比，再利用等比数列的前n项和公式，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，等比数列中，，可得，解得，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8.不等式的解集是（）A. B.C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】把不等式化简为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，不等式，可转化为，根据一元二次不等式的解法，可得不等式的解集为.故选：B.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了计算能力.9.已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A ＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据正弦定理由可得,,在中,,为边长为1的正三角形,.故B正确.考点：正弦定理.【思路点睛】本题主要考查正弦定理,属容易题.三角形问题中强调边角统一,边角互化可以用正弦定理和余弦定理.本题中应根据正弦定理将已知条件转化为角的三角函数之间的关系式,即可轻松求得所求.10.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1 =an+3，若an＝2014，则n＝（）A. 667B. 668C. 669D. 672【答案】D【解析】试题分析：因为，所以数列是等差数列，，所以考点：1．等差数列定义；2．等差数列的通项．11.已知是坐标原点，点，若点为平面区域，上的一个动点，则的取值范围是（）A. [﹣1，0]B. [0，1]C. [0，2]D. [﹣1，2]【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，利用向量数量积运算可得目标函数，化目标函数为直线方程的斜截式，由数形结合得的取值范围．【详解】满足约束条件的平面区域如图所示：联立，解得S（1，1），P（0,2）.∵，，∴，令，化为，作出直线，由图可知，平移直线至S时，目标函数有最小值0；平移直线至P时，目标函数有最大值2．∴的取值范围是[0，2]．故选C【点睛】本题考查简单的线性规划的简单应用，平面向量数量积公式的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．12.已知不等式的解集为，若，则“”的概率为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：解分式不等式得集合P，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果.详解：，∴，，∴．选．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知数列前项和，则的通项公式为________．【答案】【解析】【分析】根据的关系式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，数列前项和，当时，，当时，，当时，适合上式，所以的通项公式为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用数列的前n项和求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的和的关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14.太湖中有一小岛C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km到达B处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.【答案】【解析】如图所示，过C作CD⊥AB，垂足为D，∠A=15°，∠CBD=75°，AB=1km，△ABC中，BC=，△CBD中，CD=BCcos15°== km．故填．15.已知函数，那么当取得最小值时，的值是________．【答案】【解析】【分析】直接利用基本不等式，确定等号成立的条件，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，根据基本不等式，可得，当且仅当时，即时等号成立.故答案为：.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16.设的内角所对的边分别为，若，则角=__________.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理到，，再利用余弦定理得到，得到答案.【详解】，则，，故.根据余弦定理：，故.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.三、解答题（本大题包括6小题，共70分）17.在等差数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设的前项和为，若，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题设条件列出方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式；（Ⅱ）利用等差数列的求和公式，求得，再偶，即可求解.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，，可得，解得，所以数列的通项公式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可得数列的前n项和为，令，即，解得.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了方程思想，以及运算能力.18.在中，分别为角所对的边，已知.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求的最大值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)18.【解析】试题分析：(Ⅰ)由正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得；(Ⅱ)有(I)的结论结合均值不等式的结论可得的最大值是18.试题解析：（Ⅰ）因为，由正弦定理可得，由余弦定理，得，解得，所以（Ⅱ）由余弦定理，得，又，所以即，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为18.另解（Ⅱ）：由（Ⅰ）和正弦定理知：,且,所以，所以的最大值为18.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19.某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低（）个百分点，预测收购量可增加个百分点.（1）写出税收（万元）与的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的，试确定的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，可知降低税率后的税率为（10-x）%，农产品的收购量为a（1+2x%）万担，收购总金额 200a（1+2x%），从而可求税收y（万元）与x的函数关系式；（Ⅱ）利用税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，可建立不等关系，从而可得x的取值范围．试题解析：（1）降低税率后的税率为，农产品的收购量为万担,收购总金额为万元.依题意有（2）原计划税收为万元依题意有化简得.取范围是.点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．20.已知函数．（Ⅰ）试求的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知，，分别为的三个内角，，的对边，若，，，试求的面积【答案】（Ⅰ）最小正周期为，递减区间为；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用倍角公式、诱导公式和降幂公式，化简得到函数的，再结合三角函数的图象与性质，即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）及，求得，利用余弦定理和基本不等式，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意，函数，所以函数的的最小正周期为，令，解得，所以函数的单调递减区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因为，可得，即，又因为，所以，又由，由余弦定理可得，即，即，解得所以的面积，即的面积为.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力.21.已知数列为等差数列，且，．(1) 求数列的通项公式； (2) 令，求证：数列是等比数列．（3）令，求数列的前项和.【答案】解: (1)∵数列为等差数列,设公差为,由,得,,∴，.(2)∵,∴∴数列是首项为9，公比为9的等比数列 .（3）∵，，∴∴…【解析】试题分析：(1)∵数列为等差数列,设公差为, …………………… 1分由,得,,∴，…………………… 3分. …………………… 4分(2)∵, …………………… 5分∴，…………………… 6分∴数列是首项为9，公比为9的等比数列 . …………………… 8分（3）∵，，∴………………… 10分∴………… 12分考点：等差数列的性质；等比数列的性质和定义；数列前n项和的求法．点评：裂项法是求前n项和常用的方法之一．常见的裂项有：，，，，，22.已知函数，其中．（I）若，求在区间上的最大值和最小值；（II）解关于x不等式【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）见解析【解析】【详解】(Ⅰ)最小值为，最大值为；(Ⅱ)当时，不等式解集为当时，不等式解集当时，不等式解集为当时，不等式解集为2018-2019学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的．）1.等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=" ( " )A. 9B. 12C. 15D. 16【答案】D【解析】【分析】利用等差数列通项性质即可得出．【详解】解：∵{an}是等差数列，∴a2+a11＝a4+a9＝a6+a7．∵a2+a4+a9+a11＝32，∴a6+a7＝16．故选D．【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．2.若，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用实数的运算性质和作差比较，结合不等式的基本性质，即可求解.【详解】对于A中，，所以，所以不正确；对于B中，根据实数的运算性质，当时，是正确的；对于C中，，可得，所以不正确；对于D中，，所以是正确的，是不正确的，故选：B【点睛】本题主要考查了不等式的性质及其应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，利用实数的运算性质和作差比较法，结合不等式的基本性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3.在△ABC中,已知，则角A=（）A. 30°或150°B. 60°或120°C. 60°D. 30°【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理得，解之可求得，再根据三角形的大边对大角，可得选项.【详解】根据正弦定理得：，因为,所以.故选:D.【点睛】本题考查三角形的正弦定理，在运用时注意三角形中的大边对大角的性质，属于基础题.4.在三角形中，，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：，选A考点：余弦定理5.已知单调递增的等比数列中，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由等比数列的性质，可得到是方程的实数根，求得，再结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，等比数列中，，，根据等比数列的性质，可得，，所以是方程的实数根，解得或，又因为等比数列为单调递增数列，所以，设等比数列的首项为，公比为可得，解得，所以数列的前项和.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形【解析】【详解】因为，所以，所以，所以，所以，即，所以是等腰三角形．故选A．7.等比数列的前项和为，若，，则等于（）A. -3B. 5C. -31D. 33【答案】D【解析】【分析】先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，求得公比，再利用等比数列的前n项和公式，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，等比数列中，，可得，解得，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8.不等式的解集是（）A. B.C. 或D. 或【答案】B【解析】把不等式化简为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，不等式，可转化为，根据一元二次不等式的解法，可得不等式的解集为.故选：B.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了计算能力.9.已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据正弦定理由可得,,在中,,为边长为1的正三角形,.故B正确.考点：正弦定理.【思路点睛】本题主要考查正弦定理,属容易题.三角形问题中强调边角统一,边角互化可以用正弦定理和余弦定理.本题中应根据正弦定理将已知条件转化为角的三角函数之间的关系式,即可轻松求得所求.10.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1 =an+3，若an＝2014，则n＝（）A. 667B. 668C. 669D. 672【答案】D【解析】试题分析：因为，所以数列是等差数列，，所以考点：1．等差数列定义；2．等差数列的通项．11.已知是坐标原点，点，若点为平面区域，上的一个动点，则的取值范围是（）A. [﹣1，0]B. [0，1]C. [0，2]D. [﹣1，2]【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，利用向量数量积运算可得目标函数，化目标函数为直线方程的斜截式，由数形结合得的取值范围．【详解】满足约束条件的平面区域如图所示：联立，解得S（1，1），P （0,2）.∵，，∴，令，化为，作出直线，由图可知，平移直线至S时，目标函数有最小值0；平移直线至P时，目标函数有最大值2．∴的取值范围是[0，2]．故选C【点睛】本题考查简单的线性规划的简单应用，平面向量数量积公式的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．12.已知不等式的解集为，若，则“”的概率为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：解分式不等式得集合P，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果.详解：，∴，，∴．选．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知数列前项和，则的通项公式为________．【答案】【解析】【分析】根据的关系式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，数列前项和，当时，，当时，，当时，适合上式，所以的通项公式为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用数列的前n项和求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的和的关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14.太湖中有一小岛C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km到达B处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.【答案】【解析】如图所示，过C作CD⊥AB，垂足为D，∠A=15°，∠CBD=75°，AB=1km，△ABC中，BC=，△CBD中，CD=BCcos15°==km．故填．15.已知函数，那么当取得最小值时，的值是________．【答案】【解析】【分析】直接利用基本不等式，确定等号成立的条件，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，根据基本不等式，可得，当且仅当时，即时等号成立.故答案为：.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16.设的内角所对的边分别为，若，则角=__________.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理到，，再利用余弦定理得到，得到答案.【详解】，则，，故.根据余弦定理：，故.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.三、解答题（本大题包括6小题，共70分）17.在等差数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设的前项和为，若，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题设条件列出方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式；（Ⅱ）利用等差数列的求和公式，求得，再偶，即可求解.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，，可得，解得，所以数列的通项公式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可得数列的前n项和为，令，即，解得.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了方程思想，以及运算能力.18.在中，分别为角所对的边，已知.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求的最大值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)18.【解析】试题分析：(Ⅰ)由正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得；(Ⅱ)有(I)的结论结合均值不等式的结论可得的最大值是18.试题解析：（Ⅰ）因为，由正弦定理可得，由余弦定理，得，解得，所以（Ⅱ）由余弦定理，得，又，所以即，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为18.另解（Ⅱ）：由（Ⅰ）和正弦定理知：,且,所以，所以的最大值为18.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19.某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低（）个百分点，预测收购量可增加个百分点.（1）写出税收（万元）与的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的，试确定的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，可知降低税率后的税率为（10-x）%，农产品的收购量为a（1+2x%）万担，收购总金额 200a（1+2x%），从而可求税收y（万元）与x的函数关系式；（Ⅱ）利用税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，可建立不等关系，从而可得x的取值范围．试题解析：（1）降低税率后的税率为，农产品的收购量为万担,收购总金额为万元.依题意有（2）原计划税收为万元依题意有化简得.取范围是.点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．20.已知函数．（Ⅰ）试求的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知，，分别为的三个内角，，的对边，若，，，试求的面积【答案】（Ⅰ）最小正周期为，递减区间为；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用倍角公式、诱导公式和降幂公式，化简得到函数的，再结合三角函数的图象与性质，即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）及，求得，利用余弦定理和基本不等式，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意，函数，所以函数的的最小正周期为，令，解得，所以函数的单调递减区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因为，可得，即，又因为，所以，又由，由余弦定理可得，即，即，解得所以的面积，即的面积为.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力.21.已知数列为等差数列，且，．(1) 求数列的通项公式； (2) 令，求证：数列是等比数列．（3）令，求数列的前项和.【答案】解: (1)∵数列为等差数列,设公差为,由,得,,∴，.(2)∵,∴∴数列是首项为9，公比为9的等比数列 .（3）∵，，∴∴…【解析】试题分析：(1)∵数列为等差数列,设公差为, …………………… 1分由,得,,∴，…………………… 3分. …………………… 4分(2)∵, …………………… 5分∴，…………………… 6分∴数列是首项为9，公比为9的等比数列 . …………………… 8分（3）∵，，∴………………… 10分∴………… 12分考点：等差数列的性质；等比数列的性质和定义；数列前n项和的求法．点评：裂项法是求前n项和常用的方法之一．常见的裂项有：，，，，，22.已知函数，其中．（I）若，求在区间上的最大值和最小值；（II）解关于x不等式【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）见解析【解析】【详解】(Ⅰ)最小值为，最大值为；(Ⅱ)当时，不等式解集为当时，不等式解集当时，不等式解集为当时，不等式解集为。

上海市高二上学期期中数学试卷含答案(共3套)

a 上海市高二第一学期数学期中考试试卷（满分： 100 分考试时间： 90 分钟）一二解答题题号总分1-1213-16171819 20 21得分一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每小题填对得 3分，否则一律得零分 .1.已知 a 1, 3 ，则 a .2.方程组x 2 y 3 x 2 y1 的增广矩阵为.1 013.行列式 2 13 中 3 的代数余子式的值为 .13 1an 2n 1 4.已知 aR ，若 lim21 , 则 a．n2n3n 13n4 n 5. limn 1n 1．n346. 若首项为 2 的无穷等比数列 a n 的各项的和为 10，则公比 q.7. 已知 a3 ， b4 ， a b5 ，则 a 与 b 的夹角为.8. 已知 a1,2 ， b m,4 ， a || 2 a b ，则实数 m 的值为.9.设向量 a3,0 ， b2,6 ，则 b 在 a 上的投影为.10. 已知数列 { a } 是首项为 1，公差为 2 的等差数列， S 是其前 n 项和，则 lim S n．n 11. 已知向量 a ， b 是同一平面内的两个向量，其中实数的取值范围是.n a 1,2 ， b 1,1 n2 n， a 与 ab 的夹角为锐角，则12. 如图所示：矩形 A B P Q 的一边 A B 在 x 轴上，另两个顶点 P ,Q 在函数 f ( x)2 x ( x0) 的图 n n nnnnnn1 x2像上（其中点l i m S n =.nB n 的坐标为 n,0 (n 2, n N *)），矩形 A n B n P n Q n 的面积记为 S n ，则a k二、选择题（本大题满分 12 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的 .13. 下列命题中，真命题为（）（A ）若 a0 ，则 a 0 ；（ B ）若 ab ，则 a b 或 ab ；（C ）若 a 与 b 是平行的向量，则 a 与 b 是相等的向量；（ D ）若 b1 ( 1)na ，则 a b0 ．14. 数列a n 的通项公式是 a n，则此数列（）2（A ）有极限，其值是整数；（ B ）有极限，其值是分数；（C ）有两个极限；（ D ） lim na n 不存在．15. 在数列a 中， a 1 1 1 1 11 ，则 a（）n n2 3 42n k 11 2n1 (A)a k(B)112k 12k 2 2k 4(C) a1 k2k 2(D)a 11k2 k 1 2k 216. 有下列四个命题： 2①若 lim a nnA 2，则 lim a nnA ； ②若 a n 0 ， lim a nnA ，则 A 0 ；③若 lim ab0 ，则 lim alim b ；④若 lim aA ，则 2lim aA 2.nnnnnnnnnnn其中正确命题的个数是（）（A ） 1 个（ B ） 2 个（ C ） 3 个（D ） 4 个三、解答题（本大题满分 52 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤 .17. （本题满分 10 分）已知 A( 3, 4), B(5, 10) ， O 为坐标原点，(1)求向量 AB 的坐标及 AB ；(2)若 OCOA OB ，求与 OC 同向的单位向量的坐标．18. （本题满分10 分）用行列式的方法解关于x、y 的二元一次方程组mx y 13mx my 2m，并对解的情况进行讨论.319. （本题满分10 分）已知O 为坐标原点，OA3, 4 ，OB 6, 3 ，OC 5 m, 3 m .（1）若A，B，C 三点共线，求m 的值；（2）若△ABC 是以角 A 为直角顶点的直角三角形，求m 的值以及此时三角形的面积.20．（本题满分10 分）已知等比数列{ a} ，首项为 a ，公比为q ，lim( a1q n )1，求首项 a 的取值范围.n 1n 1 q 2 121. （本题满分12 分）已知点的序列A n x n ,0 , n N*, ，其中x10, x2 a a 0 , ，A3 是线段A1A2 的中点，A4 是线段A2 A3的中点，A n 是线段A n 2 A n 1 的中点，（1）写出x n 与x n1, x n 2 之间的关系式n 3 ；（2）设a n x n 1 x n ，计算a1, a2 ,a3 , 由此推测数列a n 的通项公式，并加以证明.第一学期高二数学期中考试试卷答案及评分细则注：填空题结果只要等价就得分；解答题其他解法相应给分。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2018-2019学年上海市川沙中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．下列命题中正确的是（）；A ．若非零向量,,a b c ，满足a b a c ⋅=⋅，则b c =B ．若0a b ⋅=则0a =或0b =C ．若不平行的两个非零向量,a b ，满足a b =r r，则()()0a b a b +⋅-=D ．若a //b ，则a b a b ⋅= 【答案】C【解析】当0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，则可判断A,B 错误，由向量的运算法则及向量模的运算可得a b =r r⇒()()0a b a b +⋅-=，可得C 正确；由a //b ，则需讨论两向量同向共线与反向共线，可得D 错误. 【详解】解：对于选项A ，a b a c ⋅=⋅，则-)0a b c ⋅=（则b c =或-)a b c ⊥（，即A 错误；对于选项B ，若0a b ⋅=则0a =或0b =或a b ⊥，即B 错误；对于选项C ，因为a b =r r ，所以22a b =，即220a b -=，即()()0a b a b +⋅-=，即C 正确；对于选项D ，若a //b ，当,a b 同向共线时，a b a b ⋅=，当,a b 反向共线时，a b a b ⋅=-，即D 错误，故选：C. 【点睛】本题考查了向量的数量积、向量的运算法则及两向量垂直的充要条件，属基础题.2．如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程0(),f x y =的解”是正确的，则下列命题中正确的是（） A ．曲线C 是方程0(),f x y =的曲线B ．方程0(),f x y =的每一组解对应的点都在曲线C 上 C ．不满足方程0(),f x y =的点(,)x y 不在曲线C 上D ．方程0(),f x y =是曲线C 的方程【答案】C 【解析】【详解】由曲线与方程的对应关系,可知:由于不能判断以方程0(),f x y =的解为坐标的点是否都在曲线C 上, 故方程0(),f x y =的曲线不一定是C,所以曲线C 是方程0(),f x y =的曲线不正确; 方程0(),f x y =的每一组解对应的点都在曲线C 上也不正确; 不能推出曲线C 是方程0(),f x y =的轨迹, 从而得到A,B,D 均不正确,不满足方程0(),f x y =的点(,)x y 不在曲线C 上是正确的. 故选 C.3．已知点A,B,C,D 是直角坐标系中不同的四点，若()AC AB R λλ=∈，()AD AB R μμ=∈，且112uλ+=，则下列说法正确的是( ), A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D【解析】根据向量共线定理得到,,,A B C D 四点共线，再根据反证法求证，问题可逐一解决. 【详解】解：由()AC AB R λλ=∈，()AD AB R μμ=∈，可得：,,,A B C D 四点共线，对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则12AC AB =，则1,02λμ==，不满足112uλ+=，即选项A 错误；对于选项B ，若D 是线段AB 的中点，则12AD AB =，则10,2λμ==，不满足112uλ+=，即选B 错误；对于选项C ，若C 、D 同时在线段AB 上，则01,01λμ<<<<，则112u λ+>，不满足112uλ+=，即选项C 错误；对于选项D ，假设C 、D 同时在线段AB 的延长线上，则 1,1λμ>>，则112u λ+<，则不满足112uλ+=，即假设不成立，即C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上，即选项D 正确；故选：D. 【点睛】本题考查了向量共线定理，重点考查了反证法，属中档题.4．已知()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（） A ．无论12k P P 、、如何,总是无解 B ．无论12k P P 、、如何,总有唯一解 C ．存在12k P P 、、，使之恰有两解 D ．存在12k P P 、、，使之有无穷多解【答案】B【解析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出1122,,,a b a b 的关系，再求解方程组的解，即可求解，得到答案．【详解】由题意，点()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，直线1y kx =+的斜率存在，所以2121b b k a a -=-，即12a a ≠，且11221,1b ka b ka =+=+，所以211212122121a b a b ka a ka a a a a a -=-+-=-，由方程组11221(1)1(2)a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩，21(1)(2)b b ⨯-⨯可得：122121()a b a b x b b -=-，即1221()a a x b b -=-，所以方程组有唯一的解．故选B ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，直线的斜率的求法，以及一次函数根与系数的关系和方程组的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．二、填空题5．直线l 过点A （1,2），且法向量为（1，-3），则直线l 的一般式方程为____________ 【答案】x -3y +5=0【解析】先由直线的法向量为（1，-3），求出直线的斜率为13，再结合直线点斜式方程的求法，求出直线方程，然后整理为一般式即可. 【详解】解：由直线的法向量为（1，-3），则直线的斜率为13，又直线过点A （1,2），由直线点斜式方程可得12(1)3y x -=-，整理得350x y -+=，故答案为：350x y -+=. 【点睛】本题考查了直线的法向量及直线的点斜式方程，重点考查了直线一般方程的求法，属基础题.6．直线21yx=3倾斜角的大小为____________（结果用反三角函数值表示）【答案】arctan 2【解析】先求出直线的斜率为2，再可得tan 2θ=，再求θ即可得解. 【详解】解：因为直线21yx=3，设直线的倾斜角为θ，则tan 2θ=，又[)0,θπ∈，所以arctan 2θ=，故答案为：arctan 2. 【点睛】本题考查了直线的斜率及倾斜角的关系，属基础题.7．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭、解为3{5x y ==，则12c c -= ．【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点】线性方程组的增广矩阵8．向量a =（-1）同向的单位向量为_________【答案】1-2⎛ ⎝⎭【解析】先求出向量a 的模长，再结合向量a 同向的单位向量为a a，求解即可.【详解】解：因为向量a =（-1），所以2(1)2a =-=，则向量a =（-1）同向的单位向量为1,2aa ⎛=- ⎝⎭ ，故答案为：1-22⎛ ⎝⎭，.【点睛】本题考查了向量的单位向量，重点考查了单位向量的定义，属基础题.9．行列式4513789xx 中，第三行第二列的元素8的代数余子式大于0，则实数x 满足的条件是_________【答案】x ＞12【解析】根据3阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 附以符号(1)i j+-后，叫做ij a 的代数余子式，得元素8的代数余子式为324(1)13x +-，再运算即可得解.【详解】解：行列式4513789xx 中，第三行第二列的元素8的代数余子式为324(1)1213x x +-=-，由题意有120x ->且8x ≠ ，即12x >，故答案为：12x >. 【点睛】本题主要考查了代数余子式的概念及行列式的计算，重点考查了对代数余子式运算法则得理解，属基础题. 10．已知直角坐标平面内的两个向量a ＝(1，3)，b ＝(m ，2m －3)，使平面内的任意一个向量c 都可以唯一表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是________．【答案】{},3m m R m ∈≠-.【解析】由题意知，a 与b 为一组基底，则这两个向量不共线，于此列出不等式求出实数m 的取值范围.【详解】cr Q 可以唯一表示成c a b λμ=+r r r ，a ∴r与b 不共线，233m m ∴-≠，3m ∴≠-，故答案为：{},3m m R m ∈≠-. 【点睛】本题考查平面向量基底的概念，考查平面向量的坐标运算，基底本质上就是一组不共线的向量，考查化归与转化思想，属于基础题。

11．一动点P 在抛物线22y x =上运动，则它与定点Q （3,0）的连线中点M 的轨迹方程是____ 【答案】24129y x x =-+【解析】先设(,),(,)M x y P m n ，再利用中点坐标公式可得232m x n y=-⎧⎨=⎩，再代入到22n m =，消,m n 即可得解. 【详解】解：设(,),(,)M x y P m n ，因为P 在抛物线22y x =上运动，则22n m =，①又点P 与定点Q （3,0）的连线中点为M ，则2320x m y n =+⎧⎨=+⎩ ，即232m x n y =-⎧⎨=⎩，②将②代入①中消,m n 得：222(23)y x =-，整理得24129y x x =-+，即M 的轨迹方程是24129y x x =-+，故答案为：24129y x x =-+. 【点睛】本题考查了曲线与方程，主要考查了利用相关点法求轨迹方程，重点考查了中点坐标公式，属基础题. 12．我们把b 除a 的余数r 记为r =abmodb ，例如4=9bmod 5，如图所示，若输入a =209，b =77，则循环体“r ←abmodb ”被执行了___次【答案】4【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,,a b r 的值，当0r =时满足条件，退出循环，从而得解. 【详解】模拟程序的运行，可得a =209，b =77，55r =，不满足条件0r =，再执行循环体，77,55,22a b r ===，不满足条件0r =，再执行循环体，55,22,11a b r ===，不满足条件0r =，再执行循环体，22,11,0a b r ===，此时，满足条件0r =，推出循环，输出a 的值为22，由此可得循环体“r ←abmodb ”被执行了4次，故答案为：4. 【点睛】本题考查了程序框图，重点考查了运算能力，属基础题.13．已知点()M a b ，在直线3415x y +＝_______．【答案】3【解析】表示点()0,0到点(),a b 的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果. 【详解】()0,0到点(),a b 的距离，又∵点(),M a b 在直线:3425l x y +=上，最小值等于点()0,0到直线34150x y +-=的距离，且3d ==.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型. 14．若()2,2a =，1b =，则a b +的最大值为___________【答案】1【解析】由1b =，设(cos ,sin )b θθ=，再由向量加法的坐标运算及向量模的运算可得(2a b +=+=.【详解】解：因为1b =，设(cos ,sin )b θθ=，则()2cos ,2sin a b θθ+=++，所以(2a b +=+==≤1=，当且仅当sin()14πθ+=时取等号，故答案为：1. 【点睛】本题考查了向量加法的坐标运算及向量模的运算，重点考查了辅助角公式及三角函数最值的求法，属中档题. 15．设M （11,x y ），N （22,x y ）为不同的两点，直线l ：0ax by c ++=，δ=1122ax by cax by c++++,下列命题正确中正确命题的序号是_______（1）若δ0＞，则直线l 与线段MN 相交；（2）若δ=-1，则直线l 经过线段MN 的中点；（3）存在δR ∈，使点M 在直线l 上；（4）存在δR ∈，使过M 、N 的直线与直线l 重合. 【答案】（2）（3）【解析】由点与直线的位置关系，设直线方程为l ： 0Ax By c ++=，（0B ≠），0,0()P x y ，当00()0B Ax By c ++>，则点P 在直线的上方，当00()0B Ax By c ++=，则点P 在直线上，当00()0B Ax By c ++<，则点P 在直线的下方，再结合点到直线的距离公式运算可以判断（2）（3）正确，（1）（4）错误. 【详解】解：对于命题（1），因为δ0＞，所以1122ax by cax by c++++>0,由点与直线的位置关系可得，M （11,x y ），N （22,x y ）在直线同侧，即直线l 与线段MN 不相交，即命题（1）错误；对于命题（2），因为δ=-1<0,所以M （11,x y ），N （22,x y ）在直线两侧，由点到直线的距离公式有M （11,x y ）到直线l ：0ax by c ++=的距离为1d =，N （22,x y ）到直线l ：0ax by c ++=的距离为2d =，则12d d =，即直线l 经过线段MN 的中点，即命题（2）正确；对于命题（3），当δ=0时，110ax by c ++=，即点M 在直线l 上，即命题（3）正确；对于命题（4），220ax by c ++≠，则点N 不在直线l 上，即过M 、N 的直线与直线l 不重合，即命题（4）错误；故答案为：（2）（3）. 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式及点与直线的位置关系，属基础题.16．如图,OM ∥AB ,点P 在由射线OM ,线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r ，则x 的取值范围是___；当12x =-时，y 的取值范围是___.【答案】()0∞-，1322⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以,OB OA 的反向延长线为相邻两边，得到x 的取值范围，当12x =-时，要使点P 落在指定区域内，即点P 应落在DE 上，得到y的取值范围. 【详解】解：如图，OMAB ,点P 在射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以,OB OA 的反向延长线为相邻两边，故x 的取值范围是()0∞-，；当12x =-时，要使点P 落在指定区域内，即点P 应落在DE 上，13,22CD OB CE OB ==,故y 的取值范围是：1322⎛⎫⎪⎝⎭，.【点睛】本题考查了平面向量基本定理及向量加法的平行四边形法则，属基础题.三、解答题17．已知直线1l ：(m +2)x +(m +3)y -5=0和2l ：6x +(2m -1)y -5=0,问实数m 为何值时，分别有： (1)1l 与2l 相交； (2)1l 2l ∥【答案】（1）542m m ≠-≠，；（2）52m =-【解析】（1）由1l 与2l 相交，则(2)(21)(3)6m m m +-≠+⨯，求解即可；（2）由1l 2l ∥，可得(2)(21)6(3)(2)(5)6(5)m m m m +-=+⎧⎨+⨯-≠⨯-⎩，求解即可.【详解】解：（1）因为直线1l ：(m +2)x +(m +3)y -5=0和2l ：6x +(2m -1)y -5=0, 则(2)(21)(3)6m m m +-≠+⨯，解得(25)(4)0m x +-≠，即52m ≠-且4m ≠；（2）因为1l 2l ∥，可得(2)(21)6(3)(2)(5)6(5)m m m m +-=+⎧⎨+⨯-≠⨯-⎩，解得5424m x m ⎧=-=⎪⎨⎪≠⎩或，即52m =-. 【点睛】本题考查了由两直线相交、平行求参数的值，重点考查了运算能力，属基础题. 18．设()1,1OA =，()3,0OB =，()3,5OC =. （1）求证AB AC ⊥，并求ABC ∆的面积；（2）对向量()11,a x y =r ，()22,b x y =r，定义一种运算：()1221,f a b x y x y =-，试计算(),f AB AC 的值，并说明它与ABC ∆面积之间的等量关系，由此猜想这一运算的几何意义.【答案】（1）证明见解析，ABC ∆的面积为5（2）(),102f AB AC S ==， (),f a b 表示以a ，b 为邻边的平面四边形的面积【解析】（1）利用向量的减法，求出,AB AC 的坐标，然后计算出0AB AC ⋅=，从而证明出AB AC ⊥，再根据直角三角形的面积公式，求出ABC ∆的面积；（2）根据新定义的运算，计算出(),f AB AC 的值，然后找到与ABC ∆的面积的关系，得到答案. 【详解】（1）因为()1,1OA =，()3,0OB =，()3,5OC =，所以()2,1AB OB OA =-=-，()2,4AC OC OA =-=，所以0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥.22AC ==，22AB ==11522S AB AC === （2）因为()1221,f a b x y x y =- 而()2,1AB =-，()2,4AC =，所以()(),221410f AB AC =⨯--⨯=，所以(),2f AB AC S =所以(),f a b 表示以a ，b 为邻边的平面四边形的面积. 【点睛】本题考查向量的减法的坐标表示，向量数量积的坐标表示，属于简单题. 19．已知直线1l 与直线2l ：3x +4y -12=0平行，且和两坐标轴的正半轴相交. （1）若直线1l 与直线2l 之间的距离为5，求直线1l 的方程；（2）若直线1l 与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求直线1l 的方程.【答案】（1）34370x y +-=；（2）340x y +-=【解析】（1）由两直线平行，则设直线1l ：340x y m ++=，再运算即可；（2）先求直线1l ：340x y m ++=的横、纵截距，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】解：（1）因为直线1l 与直线2l ：3x +4y -12=0平行，可设直线1l ：340x y m ++=，由直线1l 和两坐标轴的正半轴相交，则0m <，5=，解得13m =或37m =-，又0m <，则37m =-，即所求直线方程为34370x y +-=；（2）由（1）得，令0x =得4m y =-，令0y =得3mx =-，则直线1l 与两坐标轴围成的三角形的面积为1()()1243m m⨯-⨯-=，又0m <，则m =-故所求直线方程为340x y +-=. 【点睛】本题考查了平行直线方程的求法及直线的截距，属基础题.20．设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是i 、j ，坐标平面上点列*n n n A B N ∈、（）分别满足下列两个条件：①1OA j =且n 1n A A i j +=+；②14OB i =且n 114(1)n B B i n n +=⨯+；（1）写出2OA 及3OA 的坐标；（2）求n OA 的坐标；（3）若△n 1n OA B +的面积是n a ，求()*n a n N ∈的表达式.【答案】（1）()21,2OA =,()3 2,3OA =；（2）()1,n OA n n =-；（3）2421n n na n +=+ 【解析】（1）由向量的加法2112OA OA A A =+，2332OA OA A A =+可得解；（2）由向量的减法n+1n OA OA i j -=+，再累加n 1()n n OA OA OA -=-+12()...n n OA OA ---++211()OA OA OA -+求和即可；（3）由向量的减法得111()41n n OB OB i n n +-=-⨯+，再累加求和得1n OB +=2141n i n +⨯+，再求三角形面积即可. 【详解】解：（1）由2112OA OA A A =+=j i j ++=2(1,2)i j +=，2332OA OA A A =+=223(2,3)i j i j i j +++=+=；（2）因为n 1n A A i j +=+，所以n+1n OA OA i j -=+，所以n 1()n n OA OA OA -=-+12()...n n OA OA ---++211()OA OA OA -+=(1)(1,)n i n j n n -+=-，故()1,n OA n n =-，（3）由n 114(1)n B B i n n +=⨯+，则111()41n n OB OB i n n +-=-⨯+，则11()n n n OB OB OB ++=-+1()...n n OB OB --++ 211()OB OB OB -+ =11()41i n n -⨯+11()41i n n +-⨯-11...()412i ++-⨯4i +=2141n i n +⨯+，则△n 1n OA B +的面积为214(21)42211n n n n n n ++⨯⨯=++，故n a 2421n n n +=+. 【点睛】本题考查了向量加法、减法的运算及累加法求通项公式，重点考查了运算能力，属中档题. 21．已知A (a ,0)、B (0,b )（其中ab ≠0）O 为坐标原点.（1）动点P (x,y )满足()1()OP OA OB R λλλ=+-∈,求P 点的轨迹方程；（2）设12n ,,,P P P 是线段AB 的n +1（n ≥1）等分点，当n =2018时，求12n OP OP OP ++的值；（3）若a =b =1,t ∈[0,1],求3(1)4t AB AO BO t BA -+--的最小值.【答案】（1）x ya b+=1；（2）（3）54【解析】（1）由()1()OP OA OB R λλλ=+-∈，可得点,,A B P 三点共线,即点P 在直线AB 上, 再求直线的截距式方程即可；（2）设122018,,,P P P 依次为从A 起始的2019个等分点，可得m n OP OP OA OB+=+，再首尾相加可得12n OP OP OP ++的值；（3）3(1)4t AB AO BO t BA -+--的几何意义是：线段AB 上的一点M 到两个定点1(0,0),(0,)4O N 的距离之和，再利用两点之间线段最短，求最小值即可. 【详解】解: （1）因为()1()OP OA OB R λλλ=+-∈, 所以()[(1)]1OP OA OB λλλλ=+-+-, 所以()1(())OP O OA P B O λλ=---, 即()1AP PB λλ=-,即点,,A B P 三点共线,即点P 在直线AB 上, 由直线的截距式方程可得: P 点的轨迹方程为x ya b+=1；（2）不妨设122018,,,P P P 依次为从A 起始的2019个等分点，于是有12018120192019OP OA OB =+, 20181201820192019OP OA OB =+, 所以12018OP OP OA OB +=+，事实上，对任意的正整数,m n ，若2019m n +=，则有201920192019m m m OP OA OB -=+，201920192019n n nOP OA OB -=+，即m n OP OP OA OB+=+，所以122018120182201710091010...()()...()OP OP OP OP OP OP OP OP OP +++=++++++ 1009()OA OB =+,所以201182OP OP OP ++=（3）当a =b =1,根据题意，在线段AB 上存在一点M ，使得t AB AM = , (1)t BA BM -=, 且有点1(0,)4N ，34BN BO =,则有t AB AO AM AO OM -=-=, 3(1)4BO t BA BN BM MN --=-=,则3(1)4t AB AO BO t BA -+--的几何意义是：线段AB 上的一点M 到两个定点1(0,0),(0,)4O N 的距离之和，又直线AB 的方程为1x y +=，易得点(0,0)O 关于直线1x y +=的对称点为(1,1)C ，根据反射定律可得CN 即为所求的最小值，又54CN ==，故3(1)4t AB AO BO t BA -+--的最小值为54. 【点睛】本题考查了三点共线的坐标表示及向量的线性运算，重点考查了向量模的几何意义，属综合性较强的题型.。