运筹学教材编写组《运筹学》章节题库(第4章 运输问题——第6章 整数规划)【圣才出品】
《运筹学》 第四章习题及 答案
《运筹学》第四章习题及答案一、思考题1．运输问题的数学模型具有什么特征？为什么其约束方程的系数矩阵的秩最多等于m，n,1？2．用左上角法确定运输问题的初始基本可行解的基本步骤是什么？ 3．最小元素法的基本思想是什么？为什么在一般情况下不可能用它直接得到运输问题的最优方案？4．沃格尔法（Vogel 法）的基本思想是什么？它和最小元素法相比给出的运输问题的初始基本可行解哪一个更接近于最优解？为什么？5．试述用闭回路法检验给定的调运方案是否最优的原理，其检验数的经济意义是什么？6．用闭回路法检验给定的调运方案时，如何从任意空格出发去寻找一条闭回路？这闭回路是否是唯一的？7．试述用位势法求检验数的原理、步骤和方法。
8．试给出运输问题的对偶问题（对产销平衡问题）。
9．如何把一个产销不平衡的运输问题（产大于销或销大于产）转化为产销平衡的运输问题。
10．一般线性规划问题应具备什么特征才可以转化为运输问题的数学模型？11．试述在表上作业法中出现退化解的涵义及处理退化解的方法。
二、判断下列说法是否正确1．运输问题模型是一种特殊的线性规划模型，所以运输问题也可以用单纯形方法求解。
2．因为运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求其解也可能出现下列四种情况：有唯一最优解；有无穷多个最优解；无界解；无可行解。
3．在运输问题中，只要给出一组（,,xijm，n,1）个非零的，且满足nmx,aijix,b,,ijjj,1 i,1，，就可以作为一个基本可行解。
4．表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。
5．按最小元素法或元素差额法给出的初始基本可行解，从每一空格出发都可以找到一闭回路，且此闭回路是唯一的。
6．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k ，最优调运方案将不会发生变化。
7．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别乘上一个常数k ，最优调运方案将不会发生变化。
8．用位势法计算检验数时，先从某一行（或列）开始，给出第一个位势的值，这个先给出的位势值必须是正的。
运筹学_第4章__整数规划习题
运筹学_第4章__整数规划习题第四章整数规划4.1 某⼯⼚⽣产甲、⼄两种设备，已知⽣产这两种设备需要消耗材料A 、材料B ，有关数据如下，问这两种设备各⽣产多少使⼯⼚利润最⼤？（只建模不求解）解：设⽣产甲、⼄这两种设备的数量分别为x 1、x 2，由于是设备台数，则其变量都要求为整数，建⽴模型如下：2123max x x z +=≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x4.2 2197max x x z +=≥≤+≤+-且为整数0,35763.212121x x x x x x t s割平⾯法求解。
（下表为最优表）线性规划的最优解为：63max ,0,2/7,2/94321=====z x x x x由最终表中得：27221227432=++x x x ④将系数和常数项分解成整数和⾮负真分式之和，上式化为；2132********+=++x x x移项后得：①②③④①②③即：21221227212212274343-≤--→≥+x x x x只要把增加的约束条件加到B 问题的最优单纯形表中。
表4－3表4－4由x 1⾏得：7327171541=-+x x x 将系数和常数项分解成整数和⾮负真分数之和：74476715541+=+-+x x x x得到新的约束条件： 74767154-≤--x x747671654-=+--x x x 在的最优单纯形表中加上此约束，⽤对偶单纯形法求解：则最优解为3,421==x x ，最优⽬标函数值为z =55。
4.3 max z ＝4x 1＋3x 2＋2x 3=≥+≥++≤+-10,,13344352.32132321321或x x x x x x x x x x x t s隐枚举法解：（1）先⽤试探的⽅法找出⼀个初始可⾏解，如x 1＝x 2＝0，x 3＝1。
满⾜约束条件，选其作为初始可⾏解，⽬标函数z 0＝2。
（2）附加过滤条件以⽬标函数0z z ≥作为过滤约束：2234321≥++x x x原模型变为：max z ＝4x 1＋3x 2＋2x 3=≥++≥+≥++≤+-10,,22341334435232132132321321或x x x x x x x x x x x x x x 求解过程如表所⽰。
运筹第四章整数规划与分配问题
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
物流运筹学第4章 运输最优化-精选文档
min
2
0 13 11 6 0 10 4 0 5 7 9 7 0 1 4 4
0 13 6 0 0 5 0 1 7 6 3 0
2 11 4 2 2 min
0 9 (bij ) 2 0
第一步，画出该问题的供销平衡表和单位运价表
超市 仓库 A1 A2 A3
B1
B2
B3
B4
3 1 7
11 9 4
3 2 10
10 8 5
第二步，求初始解
1、最小元素法 超市仓库 A1 A2 A3 销量 3 6 5 6 3 B1 B2 B3 B4 储量 7 4 9
计算过程表 超
市 仓库
A1 A2
X 0
用矩阵描述时为
max z CX
AX b X 0 a 11 a 12 a 1 n A (p ,p , ,p ) 1 2 n a a a 1 m 2 mn m
b为资源向量； c为价值向量； x为决策变量的向量
单纯形法简介
问题要求极小化时数学模型是
Min z c x ij ij
i j
x 1 ,j 1 , 2 n
ij i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 1 ,i 1 , 2 n
ij j
xij 1 或 0
例题：某物流公司现有四项运输任务A、B、C、D， 现有甲、乙、丙、丁四辆车，他们完成任务所需时 间如表所示。问应指派何人去完成何工作，使所需 总时间最少？
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
x b, j 1 ,2 , ,n
i 1 ij j
运筹学教材习题答案详解
B1：2.0
3
需要量（套）
200
150
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
【解】第一步：求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
(2)
【解】最优解X＝（3/4，7/2）；最优值Z=－45/4
(3)
【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10
(4)
【解】最优解X＝（3/2，1/4）；最优值Z=7/4
(5) 【解】最优解X＝（3，0）；最优值Z=3
(6)
【解】无界解。
(7)
【解】无可行解。
(8)
【解】最优解X＝（2，4）；最优值Z=13
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为
1.3建筑公司需要用6m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－23所示：
表1－23窗架所需材料规格及数量
型号A
型号B
每套窗架需要材料
长度（m）
运筹学复习题
轴件
规格：长度（米）
每台机床所需轴件数量
A
B
C
2.9
2.1
1.5
1
1
1
6、试用单纯形法求解下列线性规划问题
2、某工厂生产A、B、C三种产品，现根据订货合同以及生产状况制定生产计划。
已知甲合同为：A产品1000件，单价600元，违约金为120元/件；
B产品700件，单价500元，违约金为100元/件。
乙合同为：B产品900件，单价550元，违约金为110元/件；
C产品800件，单价450元，违约金为90元/件。
有关各产品生产过程所需工时以及原材料的情况见下表。试以利润最大为目标，建立该工厂的生产计划线性规划模型（不求解）。
（1）应如何指派，使总的翻译效率最高？
（2）若甲不懂德文，乙不懂日文，其他数字不变，则应如何指派？
第五章图与网络分析
一复习思考题
1．通常用G(V，E)来表示一个图，试述符号V，E及这个表达式的涵义。
2．解释下列各组名词，并说明相互间的联系和区别：(a)端点，相邻，关联边；(b)环，多重边，简单图；(c)链，初等链；(d)圈，初等圈，简单圈；(e)回路，初等路；(f)节点的次，悬挂点，孤立点；(g)连通图，支撑子图；(h)有向图，赋权图。
2、用分技定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行解的目标函数是该问题目标函数值的下界；
3、用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界值，再进行比较剪枝；
《运筹学》习题汇总
整数、运输、目标三、整数规划（每小题20分，共100分）1.对应线性规划的最优解是（3.25，2.5），它的整数规划的最优解是A. (4，1)B.(4，3)C.(3，2)D.(2，4)2.下列说法正确的是A.整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值B.用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解C.用分枝定界法求解一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界，再进行比较剪枝D.分枝定界法在处理整数规划问题时，借用线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线性模型解的同时，逐步加入对各变量的整数要求限制，从而把原整数规划问题通过分枝迭代求出最优解。
3. x 1要求是非负整数，它的来源行是A. B. C. D. 4.，最优解是A.（0, 0）B.（0，1）C.（1，0）D.（1，1）5 分枝定界法中a .最大值问题的目标值是各分枝的下界b .最大值问题的目标值是各分枝的上界c .最小值问题的目标值是各分枝的上界d .最小值问题的目标值是各分枝的下界 12121212max 32,2314,0.5 4.5,,0Z x x x x x x x x =++≤+≤≥且为整数145578333x x x -+=32313154-≤-x x －254-≤-x x －254＝＋S x x +254＝－＋s x x 12121212max 3,437,24,,01Z x x x x x x x x =++≤+≤=或e .以上结论都不对A. a,bB. b,dC. c,dD. e四、目标规划（每小题20分，共100分）1.要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值，目标函数是A.B.C.D.2.下列正确的目标规划的目标函数是 "A. max Z ＝d －+d +B. max Z ＝d －－d +C. min Z ＝d －+d +D. min Z ＝d －－d +3. 目标函数的含义是A. 首先第一和第二目标同时不低于目标值，然后第三目标不低于目标值B.第一、第二和第三目标同时不超过目标值C.第一和第二目标恰好达到目标值，第三目标不超过目标值D.首先第一和第二目标同时不超过目标值，然后第三目标不超过目标值4.目标规划)(m in 22211+--++=d d p d p Z )(m in 22211+-+++=d d p d p Z 11222min ()Z p d p d d +-+=+-11222min ()Z p d p d d --+=+-11223min ()Z p d d p d ---=++⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-++=-+++++=+-+-+-+-+---+)4,,1(0,,,20506040)(min 21442331222111214332211 i d d x x d d x d d x d d x x d d x x d P d P d d p z i i －的满意解是A.（50，20）B.（40，0）C.（0，60）D.（50，10）5 下列线性规划与目标规划之间错误的关系是A.线性规划的目标函数由决策变量构成，目标规划的目标函数由偏差变量构成B.线性规划模型不包含目标约束，目标规划模型不包含系统约束C.线性规划求最优解，目标规划求满意解D.线性规划模型只有系统约束，目标规划模型可以有系统约束和目标约束E.线性规划求最大值或最小值，目标规划只求最小值五、运输问题（每小题10分，共100分）1.有6个产地7个销地的平衡运输问题模型的对偶模型具有特征A 有12个变量B 有42个约束 C. 有13个约束D．有13个基变量2.有5个产地4个销地的平衡运输问题A.有9个变量B.有9个基变量C. 有20个约束D．有8个基变量3.下列变量组是一个闭回路A.{x11,x12,x23,x34,x41,x13}B.{x21,x13,x34,x41,x12}C.{x12,x32,x33,x23,x21,x11}D.{x12,x22,x32,x33,x23,x21}4. m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件是A.m+n－1个变量恰好构成一个闭回路B.m+n－1个变量不包含任何闭回路C.m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路D.m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关5.运输问题A.是线性规划问题B.不是线性规划问题C.可能存在无可行解D.可能无最优解6.下列结论正确的有A 运输问题的运价表第r行的每个c ij同时加上一个非零常数k，其最优调运方案不变B 运输问题的运价表第p列的每个c ij同时乘以一个非零常数k，其最优调运方案不变C.运输问题的运价表的所有c ij同时乘以一个非零常数k, 其最优调运方案变化D．不平衡运输问题不一定存在最优解7.下列说法正确的是A.若变量组B包含有闭回路，则B中的变量对应的列向量线性无关B.运输问题的对偶问题不一定存在最优解C. 平衡运输问题的对偶问题的变量非负D．第i行的位势u i是第i个对偶变量8. 运输问题的数学模型属于A.0-1规划模型B.整数规划模型C. 网络模型D.以上模型都是9.不满足匈牙利法的条件是A.问题求最小值B.效率矩阵的元素非负C.人数与工作数相等D.问题求最大值10.下列错误的结论是A.将指派（分配）问题的效率矩阵每行分别乘以一个非零数后最优解不变B.将指派问题的效率矩阵每行分别加上一个数后最优解不变C.将指派问题的效率矩阵每个元素同时乘以一个非零数后最优解不变D.指派问题的数学模型是整数规划模型PPT习题。
第六章 运筹学 整数规划案例
第六章整数规划6.1 用图形将一下列线性规划问题的可行域转换为纯整数问题的可行域(在图上用“×”标出)。
1、 max z=3x1+2x2S.T. 2x1+3x2≤122x1+x2≤9x1、x2≥0解：2、 min f=10x1+9x2S.T. 5x1+3x2≥45x1≥8x2≤10x1、x2≥06.2 求解下列整数规划问题1、 min f=4x1+3x2+2x3S.T. 2x1-5x2+3x3≤44x1+x2+3x3≥3x2+x3≥1x1、x2、x3=0或1解：最优解（0，0，1），最优值：22、 min f=2x1+5x2+3x3+4x3S.T. -4x1+x2+x3+x4≥2-2x1+4x2+2x2+4x2≥4x1+x2-x2+x2≥3x1、x2、x3、x3=0或1解：此模型没有可行解。
3、max Z=2x1+3x2+5x3+6x4S.T. 5x1+3x2+3x3+x4≤302x1+5x2-x2+3x2≤20-x1+3x2+5x2+3x2≤403x1-x2+3x2+5x2≤25x1、x2、x3、x3=正整数解：最优解（0，3，4，3），最优值：474、min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x10+7 x11+5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+175 x16+300 x17+375 x18 +500 x19约束条件x1 + x2+x3≤30x4+ x5＋x6-10 x16≤0x7+ x8＋x9-20 x17≤0x10+ x11＋x12-30 x18≤0x13+ x14＋x15-40 x19≤0x1 + x4+ x7+x10+ x13＝30x2 + x5+ x8+x11+ x14＝20x3 + x6+ x9+x12+ x15＝20x i为非负数（i=1,2…..8）x i为非负整数（i=9,10…..15）x i为为0－1变量（i=16,17…..19）解：最优解（30，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，20，20，0，0，0，1），最优值：8606.3 一餐饮企业准备在全市范围内扩展业务，将从已拟定的14个点中确定8个点建立分店，由于地理位置、环境条件不同，建每个分店所用的费用将有所不同，现拟定的14个店的费用情况如下表：公司办公会决定选择原则如下：（1）B5、B3和B7只能选择一个。
运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-运输问题(圣才出品)
需进行进一步调整。
利用闭回路法进行解的改进。
在初始方案表中以（丙，A）出发作一闭回路，利用闭回路进行调整，得到的结果如表
3-4 所示：
表 3-4
A
B
C
D
供应量
甲
7
6
483Leabharlann M145 / 41
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乙
10 5
6
6
8
M
16
丙
0
3
四、简答题 1．用表上作业法解运输问题时，在什么情况下会出现退化解?当出现退化解时如何处理? 答：当运输问题某部分产地的产量和，与某一部分销地的销量和相等时，在迭代过程中 间有可能在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行和一列，这时就出现了退化。 当出现退化时，为了使表上作业法的迭代工作能顺利进行下去，退化时应在同时划去的 一行或一列中的某个格中填入数字 0，表示这个格中的变量是取值为 0 的基变量，使迭代过 程中基变量个数恰好为（m+n-1）个。
采用最小元素法得初始调运方案如表 3-2 所示：（因为基格个数=7-1=6 个，故在一空
格中填入 0）
表 3-2
A
B
C
D
供应量
甲
7
6
48
3
M
14
乙
10 5
6
6
8
M
16
丙
3
50
8 15 7
15
4 / 41
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需求量
10
12
2．一个运输问题，如果其单位运价表的某一行元素分别加上一个常数，最优调运方案 是否发生变化，试说明理由(用表或直接用公式)；[武汉大学 2007 研]
运筹学习题答案第六章
运筹学习题答案第六章运筹学习题答案第六章第一节：线性规划线性规划是运筹学中的一种重要方法，它通过建立数学模型来解决实际问题。
在第六章中，我们学习了线性规划的基本概念和求解方法。
本节将针对第六章的习题提供详细的解答。
第1题：某公司生产两种产品，产品A和产品B。
每单位产品A的利润为5万元，每单位产品B的利润为4万元。
产品A每单位需要3个工时，产品B每单位需要2个工时。
公司每天有8个小时的工时可用。
求解公司每天应生产多少单位的产品A和产品B，才能使利润最大化？解答：设产品A的产量为x，产品B的产量为y。
根据题意可得以下线性规划模型：目标函数：Max Z = 5x + 4y约束条件：3x + 2y ≤ 8非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0根据图形法，我们可以绘制出约束条件的图形，并找到最优解。
通过计算，我们得到最优解为x = 2，y = 1。
即公司每天应生产2个单位的产品A和1个单位的产品B，才能使利润最大化。
第2题：某公司有两个生产车间，分别生产产品A和产品B。
车间1每天可生产产品A 4个单位或产品B 2个单位；车间2每天可生产产品A 3个单位或产品B 6个单位。
产品A的利润为3万元，产品B的利润为2万元。
公司每天有8个小时的工时可用。
求解公司每天应生产多少单位的产品A和产品B，才能使利润最大化？解答：设车间1生产的产品A的单位数为x1，车间2生产的产品A的单位数为x2。
设车间1生产的产品B的单位数为y1，车间2生产的产品B的单位数为y2。
根据题意可得以下线性规划模型：目标函数：Max Z = 3x1 + 2x2 + 2y1 + 3y2约束条件：4x1 + 3x2 ≤ 82x1 + 6x2 ≤ 8非负约束：x1 ≥ 0，x2 ≥ 0，y1 ≥ 0，y2 ≥ 0通过计算，我们得到最优解为x1 = 2，x2 = 0，y1 = 0，y2 = 1。
即公司每天应生产2个单位的产品A和1个单位的产品B，才能使利润最大化。
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五、计算题
1．甲、乙、丙三个铁矿石开采基地向 A、B、C、D 四个工厂供应原料，各供应地的供
应量（万吨），各需求地需求量（万吨）和相互之间的运价（百万元/万吨）如表 4-1 所示。
由于外在的原因，工厂 D 的原料只能由铁矿石开采基地丙来供应。请求解满足这一要求的
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第 4 章 运输问题
一、判断题 1．运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而其求解结果也可能出现四种情况之一： 有惟一最优解，有无穷多最优解，无界解，无可行解。（）[北京交通大学 2010 研] 【答案】× 【解析】运输问题是一种特殊的线性规划模型，它总存在可行解，或存在惟一最优解， 或有无穷最优解。
三、填空题 1．运输问题任一基可行解非零分量的个数的条件是:______。
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【答案】小于等于行数+列数-1 【解析】任意运输问题的基可行解可变量个数为：行数+列数-1。然而基变量也可能等 于 0，所以运输问题任一基可行解非零分量的个数小于等于行数+列数-1。
8
15
用位势法检验得各空格的检验数（括号内）如表 4-3 所示：
表 4-3
A
B
C
D
ui
甲
（4） 7
6
48
3 （M-2） M
0
乙
10 5
6
6 （3） 8 （M-4） M
2
丙
（-5） 3 （-4） 5 5
8
15
7
5
vj
3
4
3
2
在初始方案中，存在两个非基变量的检验数小于 0，所以该方案不是此问题的最优方案，
2．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数 k，最优调 运方案是否会发生变化：______。[武汉大学 2006 研]
【答案】不发生变化 【解析】如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数 k，最 优调运方案中各变量的检验数均不发生变化，所以最优调运方案不发生变化。
四、简答题 1．用表上作业法解运输问题时，在什么情况下会出现退化解？当出现退化解时如何处 理？ 答：当运输问题某部分产地的产量和，与某一部分销地的销量和相等时，在迭代过程中 间有可能在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行和一列，这时就出现了退化。 当出现退化时，为了使表上作业法的迭代工作能顺利进行下去，退化时应在同时划去的 一行或一列中的某个格中填入数字 0，表示这个格中的变量是取值为 0 的基变量，使迭代过 程中基变量个数恰好为（m+n-1）个。
变量小于 m+n-1 个。
2．运输问题中，m+n-1 个变量构成基本可解的充要条件是它不含（）。[深圳大学 2006 研]
A．松弛变量 B．多余变量 C．闭回路 D．圈 【答案】C 【解析】位于闭回路上的一组变量，它们对应的运输问题约束条件的系数列向量线性相 关，因而在运输问题基可行解的迭代过程中，不允许出现全部顶点由填有数字的格构成的闭 回路。也就是说，在确定运输问题的基可行解时，除要求基变量的个数为（m+n-1）外， 还要求运输表中填有数字的格不构成闭回路。
【答案】A
【解析】在运输问题中，其自变量的个数是 m×n，约束方程有 m+n 个，但是对于产
n
mn
nm
m
销平衡问题，有以下关系式存在： bj ( xij ) ( xij ) ai 。故，模型最多
j 1
i1 j1
j1 i1
i1
只有 m+n-1 个独立方程，由此得运输问题最多有 m+n-1 个基变量。当出现退化解时，基
最优调运方案，要求采用最小元素法建立初始调运方案，采用位势法进行方案检验。[北京
交通大学 2011 研]
表 4-1
A
B
C
D
供应量
甲
7
4
3
7
14
乙
5
6
8
5
16
丙
3
5
8
7
15
需求量
10
12
8
15
解：该问题属于运输平衡问题。因为工厂 D 的原料只能由铁矿石开采基地丙来供应，
所以这里规定甲、乙和 D 之间的运价为 M，M 表示足够大的正数。
二、选择题 1．在产销平衡运输问题中，设产地有 m 个，销地有 n 个。如果用最小元素法求最优 解，那么基变量的个数为（）。[暨南大学 2011 研] A．不能大于（m+n-1） B．不能小于（m+n-1） C．等于（m+n-1）
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D．不确定
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2．运输问题按照最小元素法给出的初始基可行解，从每一空格出发可以找出且仅能找 出惟一的闭合回路。（）[南京航空航天大学 2011 研]
【答案】√ 【解析】从每一空格出发一定存在和可以找到惟一的闭回路。因（m+n-1）个数字格 （基变量）对应的系数向量是一个基。任一空格（非基变量）对应的系数向量是这个基的线 性组合。而这些向量构成了闭回路。
需进行进一步调整。
利用闭回路法进行解的改进。
在初始方案表中以（丙，A）出发作一闭回路，利用闭回路进行调整，得到的结果如表
4-4 所示：
表 4-4
A
B
C
D
供应量
甲
7
6
48
3
M
14
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乙
10 5
6
6
8
M
Hale Waihona Puke 16丙03
5
8 15 7
15
需求量
10
12
8
15
用位势法再对上述改进解进行检验，计算出各空格的检验数如表 4-5 所示：
表 4-5
A
B
C
D
ui
甲
4
采用最小元素法得初始调运方案如表 4-2 所示：（因为基格个数=7-1=6 个，故在一空
格中填入 0）
表 4-2
A
B
C
D
供应量
甲
7
6
48
3
M
14
乙
10 5
6
6
8
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M
16
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丙
3
50
8 15 7
15
需求量
10
12
2．一个运输问题，如果其单位运价表的某一行元素分别加上一个常数，最优调运方案 是否发生变化，试说明理由（用表或直接用公式）；[武汉大学 2007 研]
答：最优方案不会发生变化。因为在计算任意空格的检验数时，若其通过变化行的一个
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