2019版高中全程复习方略数学(文)课时作业：第九章 概率 54 Word版含答案
最新-2021版数学一轮高中全程复习方略课件：第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布96 精品
2．如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，H 分别是棱 A1B1，D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合)，且 EH∥A1D1，过 EH 的 平面与棱 BB1，CC1 相交，交点分别为 F，G.设 AB＝2AA1＝2a， EF＝a，B1E＝2B1F.在长方体 ABCD－A1B1C1D1 内随机选取一点， 则该点取自于几何体 A1ABFE－D1DCGH 内的概率为________．
5．(2017·重庆卷)某校早上
开始上课，假设该校学生
小张与小王在早上
～
之间到校，且每人在该时间段
的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的
概率为________(用数字作答)．
解析：设小张与小王的到校时间分别为
后第 x 分钟、
第 y 分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面
解 析 ： 点 Q 取 自 △AED 或 △BEC 内 部 的 概 率 P ＝ S△ASE矩D形＋ABSC△DBEC＝12.故选 A.
答案：A
3．已知函数 f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]，则 f(x)为增函数 的概率为( )
1234 A.5 B.5 C.5 D.5
解析：∵f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]． ∴f(x)在[1,4]上是增函数． ∴f(x)为增函数的概率为 P＝4－4－－11＝35. 答案：C
因为2－2a22da＝16a3－22 ＝83，所以阴影部分的面积为 4×2＋83 32
＝332，所以所求概率 P＝4×3 4＝23，故选 D. 答案：D
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下课
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对
称，得 S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率 P＝SS正黑 方形 π
【三维设计】2022届(新课标)高考数学(文)大一轮复习精品讲义：第九章 概率 Word版含答案
第九章 概 率第一节随机大事的概率对应同学用书P141基础盘查一 随机大事及概率 (一)循纲忆知1．了解随机大事发生的不确定性和频率的稳定性． 2．了解概率的意义及频率与概率的区分． (二)小题查验 1．推断正误(1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必定大事( ) (2)“方程x 2＋2x ＋8＝0有两个实根”是不行能大事( ) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值( ) (4)不行能大事就是确定不能发生的大事( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．(人教B 版教材习题改编)某射手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数8194492178455这个射手射击一次，击中靶心的概率约是________． 答案：0.903．(2021·温州十校联考)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A .若A 是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．解析：依据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为29.答案：29基础盘查二 大事关系与运算 (一)循纲忆知了解两个互斥大事的概率加法公式：当大事A 与B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (二)小题查验1．推断正误(1)对立大事确定是互斥大事，互斥大事不愿定是对立大事(2)一个人打靶时连续射击出两次，大事“至少有一次中靶”的互斥大事是“至多有一次中靶”( ) (3)大事A ，B 为互斥大事，则P (A )＋P (B )<1( )(4)大事A ，B 同时发生的概率确定比A ，B 中恰有一个发生的概率小( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．(人教A 版教材例题改编)假如从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是14，取到方块的概率是14，则取到黑色牌的概率是________． 答案：12.3．(2021·赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是________． 答案：78对应同学用书P141考点一 随机大事的关系(基础送分型考点——自主练透) [必备学问] 1．互斥大事若A ∩B 为不行能大事(记作：A ∩B ＝∅)，则称大事A 与大事B 互斥，其含义是：大事A 与大事B 在任何一次试验中不会同时发生．2．对立大事若A ∩B 为不行能大事，而A ∪B 为必定大事，则大事A 与大事B 互为对立大事，其含义是：大事A 与大事B 在任何一次试验中有且仅有一个发生．[提示] “互斥大事”与“对立大事”的区分：对立大事是互斥大事，是互斥中的特殊状况，但互斥大事不愿定是对立大事，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．[题组练透]1．从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中： (1)恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；(2)至少有一个是奇数和两个都是奇数；(3)至少有一个是奇数和两个都是偶数；(4)至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述大事中，是对立大事的是()A．(1)B．(2)(4)C．(3) D．(1)(3)解析：选C(3)中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数依据取到数的奇偶性可认为共有三个大事：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立大事．易知其余都不是对立大事．2．设条件甲：“大事A与大事B是对立大事”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若大事A与大事B是对立大事，则A∪B为必定大事，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，大事A：“至少毁灭一次正面”，大事B：“3次毁灭正面”，则P(A)＝78，P(B)＝18，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立大事．3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若大事“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的大事是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡解析：选A至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个大事，它是“2张全是移动卡”的对立大事，故选A.[类题通法]利用集合方法推断互斥大事与对立大事1．由各个大事所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则大事互斥．2．大事A的对立大事A所含的结果组成的集合，是全集中由大事A所含的结果组成的集合的补集．考点二随机大事的概率(重点保分型考点——师生共研)[必备学问]概率与频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观看某一大事A是否毁灭，称n次试验中大事A毁灭的次数n A为大事A毁灭的频数，称大事A毁灭的比例f n(A)＝n An为大事A毁灭的频率．(2)对于给定的随机大事A，由于大事A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估量概率P(A)．[典题例析](2022·陕西高考)某保险公司利用简洁随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估量赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估量在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解析：(1)设A表示大事“赔付金额为3 000元”，B表示大事“赔付金额为4 000元”，以频率估量概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示大事“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估量概率得P(C)＝0.24.[类题通法]求解随机大事的概率关键是精确计算基本大事数，计算的方法有：(1)列举法；(2)列表法；(3)利用树状图法．[演练冲关]假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图：(1)估量甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估量该产品是甲品牌的概率．解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估量概率，可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)依据频数分布图可得寿命大于200小时的两种品牌产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于 200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529.据此估量已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.考点三 互斥大事与对立大事的概率(重点保分型考点——师生共研) [必备学问]1．互斥大事的概率加法公式假如大事A 与大事B 互斥，那么P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； 2．对立大事概率公式若大事B 与大事A 互为对立大事，则P (A )＋P (B )＝1，即P (A )＝1－P (B )．A 的对立大事记为A ，当计算大事A 的概率P (A )比较困难时，可通过P (A )＝1－P (A )计算．[典题例析]依据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．解：记A 表示大事：该车主购买甲种保险；B 表示大事：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示大事：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示大事：该车主甲、乙两种保险都不购买．(1)由题意得P (A )＝0.5，P (B )＝0.3， 又C ＝A ∪B ，所以P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.5＋0.3＝0.8. (2)由于D 与C 是对立大事， 所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2. [类题通法]求概率的关键是分清所求大事是由哪些大事组成的，求解时通常有两种方法： (1)将所求大事转化成几个彼此互斥的大事的和大事，利用概率加法公式求解概率；(2)若将一个较简洁的大事转化为几个互斥大事的和大事时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立大事的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型大事的概率．[演练冲关]现有7名数理化成果优秀者，其中A 1，A 2，A 3的数学成果优秀，B 1，B 2的物理成果优秀，C 1，C 2的化学成果优秀，从中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，组成一个小组代表学校参与竞赛．(1)求C 1被选中的概率；(2)求A 1和B 1不全被选中的概率．解：(1)用M 表示“C 1恰被选中”这一大事．从7人中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，其一切可能的结果组成的12个基本大事为： (A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．C 1恰被选中有6个基本大事：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)， 因而P (M )＝612＝12.(2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中”这一大事，则其对立大事N 表示“A 1，B 1全被选中”这一大事，由于N ＝{}(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，所以大事N 由两个基本大事组成，所以P (N )＝212＝16， 由对立大事的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.对应A 本课时跟踪检测(五十五)一、选择题1．在一次随机试验中，彼此互斥的大事A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ∪B 与C 是互斥大事，也是对立大事 B ．B ∪C 与D 是互斥大事，也是对立大事 C ．A ∪C 与B ∪D 是互斥大事，但不是对立大事 D ．A 与B ∪C ∪D 是互斥大事，也是对立大事解析：选D 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ∪B ∪C ∪D 是一个必定大事，故其大事的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个大事与其余3个大事的和大事必定是对立大事，任何两个大事的和大事与其余两个大事的和大事也是对立大事．2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17 B.1235 C.1735D ．1解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为大事A ，“从中取出2粒都是白子”为大事B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为大事C ，则C ＝A ∪B ，且大事A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.3．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并登记号码，统计结果如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是( ) A ．0.53 B ．0.5 C ．0.47D ．0.37解析：选A 取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.故选A.4．从某校高二班级的全部同学中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为： 162,153,148,154,165,168,172,171,173,150， 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.依据样本频率分布估量总体分布的原理，在该校高二班级的全部同学中任抽一人，估量该生的身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率约为( )A.25B.12C.23D.13解析：选A 从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位同学中，身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的同学有8人，频率为25，故可估量在该校高二班级的全部同学中任抽一人，其身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率约为25.5．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为( )A.16，16 B.12，23 C.16，23D.23，12解析：选C “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立大事，所以甲胜的概率为1－12－13＝16.设“甲不输”为大事A ，则A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥大事的和大事，所以P (A )＝16＋12＝23.或设“甲不输”为大事A ，则A 可看作是“乙胜”的对立大事，所以P (A )＝1－13＝23. 6．若随机大事A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫54，2 B.⎝⎛⎭⎫54，32 C.⎣⎡⎦⎤54，32D.⎝⎛⎦⎤54，43解析：选D由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1⇒⎩⎨⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43⇒54<a ≤43. 二、填空题7．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1，则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________．解析：法一：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为大事A ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为大事B ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为大事C ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为大事D ，由题意知大事A ，B ，C 彼此互斥，而大事D 包含大事A 与B ，所以P (D )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.法二：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为大事C ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过一次”为大事D ，由题意知C 与D 是对立大事，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.1＝0.9.答案：0.98．(2021·潍坊模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m ”为大事A ，则P (A )最大时，m ＝________.解析：m 可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，对应的基本大事个数依次为1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，∴两次向上的数字之和等于7对应的大事发生的概率最大．答案：79．某城市2022年的空气质量状况如下表所示：污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P1101613730215130其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50<T ≤100时，空气质量为良；100<T ≤150时，空气质量为略微污染，则该城市2022年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2022年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.答案：3510．若A ，B 互为对立大事，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y ，且x >0，y >0，则x ＋y 的最小值为________．解析：由题意可知4x ＋1y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝5＋⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥9，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时等号成立．答案：9 三、解答题11．有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．(1)求取得的两个球颜色相同的概率； (2)求取得的两个球颜色不相同的概率． 解：从六个球中取出两个球的基本大事是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共计15个．(1)记大事A 为“取出的两个球都是白球”，则这个大事包含的基本大事是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个，故P (A )＝315＝15；记“取出的两个球都是黑球”为大事B ，同理可得P (B )＝15.记大事C 为“取出的两个球的颜色相同”，A ，B 互斥，依据互斥大事的概率加法公式，得P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝25.(2)记大事D 为“取出的两个球的颜色不相同”，则大事C ，D 对立，依据对立大事概率之间的关系，得P (D )＝1－P (C )＝1－25＝35.12．黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表：血型A B AB O 该血型的人数所占的比例28%29%8%35%已知同种血型的人可以相互输血，O 型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能相互输血．小明是B 型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)任找一人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血分别记为大事A ′，B ′，C ′，D ′，它们是互斥的．由已知，有P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35.由于B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为大事B ′∪D ′，依据概率加法公式，得P (B ′∪D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为大事A ′∪C ′，且P (A ′∪C ′)＝P (A ′)＋P (C ′)＝0.28＋0.08＝0.36.其次节古典概型对应同学用书P143基础盘查一 古典概型 (一)循纲忆知1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机大事所包含的基本大事数及大事发生的概率． (二)小题查验 1．推断正误(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观看它是否发芽”属于古典概型，其基本大事是“发芽与不发芽”( )(2)掷一枚硬币两次，毁灭“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能大事( ) (3)在古典概型中，假如大事A 中基本大事构成集合A ，全部的基本大事构成集合I ，则大事A 的概率为card (A )card (I )( )答案：(1)× (2)× (3)√2．(北师大版教材例题改编)小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数码由4个数字2,4,6,8按确定挨次构成，小明不当心遗忘了密码中4个数字的挨次，随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是________．答案：23243．(2021·南京模拟)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参与某项活动，则甲被选中的概率为________． 解析：从甲、乙、丙3人中随机选派2人参与某项活动，有甲、乙，甲、丙，乙、丙三种可能，则甲被选中的概率为23.答案：234．(2021·昆明模拟)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．解析：抛掷两颗相同的正方体骰子共有36种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．点数积等于12的结果有：(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4种，故所求大事的概率为436＝19.答案：19对应同学用书P144考点一 古典概型(基础送分型考点——自主练透) [必备学问] 1．基本大事的特点(1)任何两个基本大事是互斥的．(2)任何大事(除不行能大事)都可以表示成基本大事的和． 2．古典概型 (1)特点：①试验中全部可能毁灭的基本大事只有有限个，即有限性． ②每个基本大事发生的可能性相等，即等可能性． (2)概率公式：P (A )＝A 包含的基本大事的个数基本大事的总数.[提示](1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性； (2)古典概型的概率计算结果与模型的选择无关． [题组练透]1．(2021·浙江模拟)从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得a 2≥4b 的概率是( ) A.13 B.512 C.12D.712解析：选C 基本大事为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)(2,3)，(2,4)，…，(4,3)，共12个，符合条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共6个，因此使得a 2≥4b 的概率是12.2．(2021·广州二模)有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( )A.16B.13C.12D.38解析：选C 能组成的两位数有12,13,20,30,21,31，共6个，其中的奇数有13,21,31，共3个，因此所组。
2019版高中全程复习方略数学(文)课时作业：第二章 函数、导数及其应用 4 Word版含答案- (8)
所以∁R M＝{x|－2≤x≤2}，所以N∩(∁R M)＝{x|1<x≤2}，故选C.熟记集合的补集和并集运算法则是解题的关键．答案：C6．已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是()A．(0,3)B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a<0，解得0<a<3且a≠1，即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.答案：B7．(2018·湖北武昌一模)设A，B是两个非空集合，定义集合A －B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝()A．{0,1} B．{1,2}C．{0,1,2} D．{0,1,2,5}解析：∵A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}＝{x|2<x<5}，A－B＝{x|x∈A且x∉B}，∴A－B＝{0,1,2,5}．故选D.答案：D8．(2018·河北衡水中学七调)已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c}，若A∪B＝B，则c的取值范围是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,2] D．[2，＋∞)解析：A＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，因为A∪B＝B，所以A⊆B，所以c≥2，所以c∈[2，＋∞)，故选D.答案：D9．(2018·湖北省七市(州)协作体联考)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2,3,5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为()A．147 B．140C．130 D．117解析：由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝5有相同的元素，当y＝3，x＝5,15,25，…，95时，与y＝5，x＝3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.答案：B17．设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)·(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．解析：若a>1，则集合A＝{x|x≥a或x≤1}，利用数轴可知，要使A∪B＝R，需要a－1≤1，则1<a≤2；若a＝1，则集合A＝R，满足A∪B＝R，故a＝1符合题意；若a<1，则集合A＝{x|x≤a或x≥1}，显然满足A∪B＝R，故a<1符合题意．综上所述，a的取值范围为(－∞，2]．答案：(－∞，2]。
2019优化方案高考数学(文)总复习(人教A版)第9章第2课时-精选文档
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第9章 概率
温 故 夯 基 • 面 对 高 考 考 点 探 究 • 挑 战 高 考 考 向 瞭 望 • 把 脉 高 考
互动探究在本题条件下求事件B： “am∥(am＋bn)”发生的概率．
解：由 am ∥(am ＋bn)，得 mn＝ 2，故 B 包含 1 (1,2)(2,1)共 2 个，∴P＝ . 8
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 P(A)＝_______________________
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第9章 概率
考点探究•挑战高考
考点突破
考点一
简单的古典概型问题
温 故 夯 基 • 面 对 高 考 考 点 探 究 • 挑 战 高 考 考 向 瞭 望 • 把 脉 高 考
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第9章 概率
温 故 夯 基 • 面 对 高 考 考 点 探 究 • 挑 战 高 考 考 向 瞭 望 • 把 脉 高 考
考点二
复杂的古典概型问题
求复杂事件的概率问题，关键是理解题目的实
际含义，必要时将所求事件转化为彼此互斥事
件的和，或者是先去求对立事件的概率，进而
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第9章 概率
温 故 夯 基 • 面 对 高 考 考 点 探 究 • 挑 战 高 考 考 向 瞭 望 • 把 脉 高 考
【规律方法】在古典概型条件下，当基本事件 1 总数为 n 时， 每一个基本事件发生的概率均为 . n 要求事件 A 的概率，关键是求出基本事件总数 n 和事件 A 中所含基本事件数 m，再由古典概 m 型概率公式 P(A)＝ 求出事件 A 的概率． n
2019版高中全程复习方略数学(文)课时作业：第二章函数、导数及其应用9
故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.
当x＝0时，不等式为0≥0成立．
当x<0时，不等式等价于x－2≤a.
∵x－2<－2，∴a≥－2.
综上可知，a∈[－2,0]．
方法二：分离参数法
∵|f(x)|＝
∴由|f(x)|≥ax，分两种情况：
(1) 恒成立，可得a≥x－2恒成立，
A．(－∞，4) B．(－4,4]
C．(－∞，4)∪[2，＋∞) D．[－4,4)
解析：由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上递减，则 ≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)，选D.
答案：D
10．若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中不可能成立的是()
B．(－3,0]
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(－3,0)
解析：∵f(x)＝ ，
∴要使函数f(x)有意义，
需使 ，即－3<x<0.
答案：A
3．(2018·河南新乡二模，4)设a＝60.4，b＝log0.40.5，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是()
A．a<b<cB．c<b<a
答案：3
13．若f(x)＝lgx，g(x)＝f(|x|)，则g(lgx)＞g(1)时，x的取值范围是________．
解析：当g(lgx)＞g(1)时，f(|lgx|)＞f(1)，
由f(x)为增函数得|lgx|＞1，
从而lgx＞1或lgx＜－1，
2019版高中全程复习方略数学(文)课时作业：第二章 函数、导数及其应用 9 Word版含答案
8．(2018·河北正定质检)设函数f(x)＝ 则f(－98)＋f(lg 30)＝()AΒιβλιοθήκη 5 B．6C．9 D．22
解析：f(－98)＋f(lg 30)＝1＋lg[2－(－98)]＋10lg 30－1＝1＋lg 100＋ ＝1＋2＋3＝6，故选B.
答案：B
9．(2018·江西九江七校联考，7)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是()
解析：函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间 上恒有f(x)>0，由x∈ ，得2x2＋x∈(0,1)．又在区间 上恒有f(x)>0，故a∈(0,1)，易得f(x)的定义域为 ∪(0，＋∞)，结合复合函数的单调性的判断规则知，函数的单调递增区间为 .
答案：
[能力挑战]
15．当0<x≤ 时，4x<logax，则a的取值范围是()
A．(－∞，4) B．(－4,4]
C．(－∞，4)∪[2，＋∞) D．[－4,4)
解析：由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上递减，则 ≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)，选D.
答案：D
10．若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中不可能成立的是()
解析： ⇒ ⇒ ⇒10<x<100，故函数的定义域为{x|10<x<100}．
答案：{x|10<x<100}
12．已知2x＝3，log4 ＝y，则x＋2y的值为________．
解析：由2x＝3，log4 ＝y得x＝log23，y＝log4 ＝ log2 ，所以x＋2y＝log23＋log2 ＝log28＝3.
2019版高中全程复习方略数学(文)课时作业： 4 Word版含答案
C. D．－
解析：令t＝ x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则4a－1＝6，解得a＝ .
答案：B
7．(2018·河北“五名校”质检)函数f(x)＝ 则不等式f(x)>2的解集为()
A．(－2,4) B．(－4，－2)∪(－1,2)
C．(1,2)∪( ，＋∞) D．( ，＋∞)
答案：(－∞，1)
12．对任意x都满足2f(x)－f(－x)＝x2＋x，求f(x)＝________.
解析：∵2f(x)－f(－x)＝x2＋x，①
∴2f(－x)－f(x)＝x2－x，②
①×2＋②得
3f(x)＝3x2＋x，
∴f(x)＝x2＋ x.
答案：x2＋ x
13．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－ ， ]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
A．－log37 B．－
C．－ D．－
解析：当a≤0时，2a－2＝－2无解；当a>0时，由－log3a＝－2，解得a＝9，所以f(7－a)＝f(－2)＝2－2－2＝－ .
答案：D
二、填空题
11．(2018·南京二模)函数f(x)＝ln 的定义域为________．
解析：本题考查对数函数的定义域．要使函数f(x)＝ln 有意义，则 >0，解得x<1，故函数f(x)的定义域为(－∞，1)．
解析：要使函数有意义，则需
∴ ∴1≤x≤3，故选B.
答案：B
4．(2018·黄山质检)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝x＋2，则f(x)＝()
A．x＋1 B．2x－1
C．－x＋1 D．x＋1或－x－1
解析：f(x)是一次函数，设f(x)＝kx＋b，f(f(x))＝x＋2，可得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b＝x＋2，∴k2＝1，kb＋b＝2.解得k＝1，b＝1.即f(x)＝x＋1.故选A.
2019版高中全程复习方略数学(文)课时作业：第二章 函数、导数及其应用 9 含答案
C．(－∞，,0)
解析：∵f(x)＝ ，
∴要使函数f(x)有意义，
需使 ，即－3<x<0.
答案：A
3．(2018·河南新乡二模，4)设a＝60.4，b＝log0.40.5，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是()
A．a<b<cB．c<b<a
一、选择题
1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()
A．log2xB.
C．log xD．2x－2
解析：f(x)＝logax，∴f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.
答案：A
2．函数f(x)＝ 的定义域是()
A．(－3,0)
A．f(x)在(－∞，0)上是减函数
B．f(x)在(－∞，－1)上是减函数
C．f(x)在(0，＋∞)上是增函数
D．f(x)在(－∞，－1)上是增函数
解析：由题意，函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0且a≠1)，则说明函数f(x)关于直线x＝－1对称，当x∈(－1,0)时，恒有f(x)>0，即|x＋1|∈(0,1)，f(x)>0，则0<a<1.又u＝|x＋1|在(－∞，－1)上是减函数，(－1，＋∞)上是增函数，结合复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，－1)上是增函数．
∴f(－x)＝lg ＝－lg ＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)＝－ .
答案：D
5．如果log x<log y<0，那么()
A．y<x<1 B．x<y<1
C．1<x<yD．1<y<x
2019届高三数学文一轮复习：第十章 概率 课时跟踪训练54含解析
课时跟踪训练(五十四)
[基础巩固]
一、选择题
1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，
B ，
C ，
D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()
A ．A ＋
B 与
C 是互斥事件，也是对立事件
B ．B ＋
C 与
D 是互斥事件，也是对立事件
C ．A ＋C 与B ＋
D 是互斥事件，但不是对立事件
D ．A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件
[解析]由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ＋B ＋C ＋D 是一个必然事件，其事件的关系可由如图所示的Venn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D.
[答案]D
2．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为()
A.15
B.25
C.35
D.45
[解析]记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 是彼此互斥的，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 的概率的并
集．P (B ∪D ∪E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝15＋15＋15＝35
.[答案]C。
2019版高中全程复习方略数学(文)课时作业：第二章 函数、导数及其应用 4 Word版含答案- (39)
解析：∵－＝>0，
∴bc－ad与ab同号，
∴用任意两个作为条件，另一个作为结论都是正确的．
答案：3
8．(2018·南昌一模)已知△ABC的三边长a，b，c满足b＋c≤2a，c＋a≤2b，则的取值范围是________．
②若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；
③若a>b，c>d，则ac>bd；
④若a>b，则>.
其中正确的有()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：①ac2>bc2，则c≠0，则a>b，①正确；
②由不等式的同向可加性可知②正确；
③需满足a、b、c、d均为正数才成立；
④错误，比如：令a＝－1，b＝－2，满足－1>－2，
其中正确的是()
A．①与③ B．①与④
C．②与③ D．②与④
解析：由于0<a<1，所以函数f(x)＝logax和g(x)＝ax在定义域上都是单调递减函数，而且1＋a<1＋，所以②与④是正确的．
答案：D
4．(2018·赣中南五校联考)对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：
①若ac2>bc2，则a>b；
解析：∵ab2>a>ab，∴a≠0.
当a>0时，b2>1>b，
即解得b<－1；
当a<0时，b2<1<b，
即无解．
综上可得b<－1.
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课时作业 54 几何概型 一、选择题 1．(2018·武汉调研)在长为16 cm的线段MN上任取一点P，以MP、NP为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于60 cm2的概率为( )
A.14 B.12
C.13 D.34 解析：本题考查几何概型．设MP＝x，则NP＝16－x，由x(16－x)＞60，解得6＜x＜10，所以所求概率P＝10－616＝14，故选A. 答案：A 2．(2018·贵阳一模)已知函数f(x)＝kx＋1，其中实数k的值随机选自区间[－2,1]，则对任意的x∈[0,1]，f(x)≥0的概率是( )
A.13 B.12
C.23 D.34 解析：当x＝0时，k∈[－2,1]；当x∈(0,1]时，k≥－1x，而x∈(0,1]⇒－1x∈(－∞，－1]，故k≥－1，从而k∈[－1,1]．因此所求概率为1－－1－－＝23.故选C. 答案：C
3．(2018·湖南省五市十校高三联考)在矩形ABCD中，AB＝2AD，在CD上任取一点P，△ABP的最大边是AB的概率是( )
A.22 B.32 C.2－1 D.3－1 解析：分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于P1，P2，则当P在线段P1P2
间运动时，能使得△ABP的最大边是AB，易得P1P2CD＝3－1，即△ABP的最大边是AB的概率
是3－1. 答案：D 4．(2018·武汉市武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为( )
A.34 B.23
C.13 D.14
解析：因为log0.5(4x－3)≥0，所以0<4x－3≤1，即34答案：D 5．一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A.18 B.116
C.127 D.2764 解析：根据几何概型知识，概率为体积之比，即P＝－343＝18. 答案：A 6．(2018·洛阳市第一次统一考试)若θ∈[0，π]，则sin(θ＋π3)>12成立的概率为( ) A.13 B.12
C.23 D．1 解析：依题意，当θ∈[0，π]时，θ＋π3∈[π3，4π3]，由sinθ＋π3>12得π3≤θ＋π3<5π6，0≤θ2，选B.
答案：B 7．(2018·深圳调研)设实数a∈(0,1)，则函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零点的概率为( ) A.34 B.23 C.13 D.14 解析：本题考查几何概型．由函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零点，可得Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋1)＝4a－3≥0，解得a≥34，即有34≤a＜1，结合几何概型的概率计算公式可得
所求的概率为P＝1－341－0＝14，故选D. 答案：D 8．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A.π12 B．1－π12
C.π6 D．1－π6 解析：点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记“点P
到点O的距离大于1”为事件M，则P(M)＝23－12×4π3×1323＝1－π12. 答案：B 9．(2018·安徽淮南一模)《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是( )
A.3π20 B.π20
C.3π10 D.π10 解析：依题意，直角三角形的斜边长为17.设内切圆半径为r，则由等面积法，可得12
×8×15＝112×(8＋15＋17r)，解得r＝3，∴向此三角形内投豆子，豆子落在其内切圆内的
概率是P＝π×3212×8×15＝3π20.
答案：A 10．(2018·太原模拟)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在
小正方形的概率为15，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为( )
A.55 B.255 C.15 D.33 解析：本题考查几何概型．设大正方形边长为a，直角三角形中较大锐角为θ，θ∈π4，π2，则小正方形的面积为a2－4×12×acosθ×asinθ＝a2－a2sin2θ，则由题意，
得a2－a2sin2θa2＝15，解得sin2θ＝45.因为θ∈π4，π2，所以sinθ＋cosθ＝1＋sin2θ＝35 ①，sinθ－cosθ＝1－sin2θ＝15 ②.由①＋②解得sinθ＝255，故选B. 答案：B 二、填空题
11．(2018·黄山一模)向面积为S的△ABC内任意投掷一点P，则△PBC的面积小于S2的概率为________．
解析：∵S△PBC<12S△ABC，∴h′上的高． 设DE为△ABC的中位线(如图所示)，则梯形BCED(阴影部分)中的点满足要求，
∴所求概率P＝S梯形BCEDS△ABC＝34.
答案：34 12．在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于V3
的概率是________．
解析：由题意可知VS－APCVS－ABC＞13，三棱锥S－ABC的高与三棱锥S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM，BN分别为ΔAPC与△ABC的高，所以VS－APCVS－ABC＝S△APCS△ABC＝PMBN＞13，又PMBN＝APAB，所以APAB＞13.
故所求的概率为23(即为长度之比)． 答案：23 13．(2018·甘肃省张掖市第一次考试)在区间[0，π]上随机取一个数θ，则使2≤2sinθ＋2cosθ≤2成立的概率为________．
解析：由2≤2sinθ＋2cosθ≤2，得22≤sinθ＋π4≤1，结合θ∈[0，π]，
得θ∈0，π2，∴使2≤2sinθ＋2cosθ≤2成立的概率为π2π＝12. 答案：12 14.
(2018·山东青岛一模)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________． 解析：易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S1＝(3－1)2＝4－23，
大正方形的面积为S＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P＝S1S＝4－234＝2－32. 答案：2－32 [能力挑战] 15．(2018·江西赣州十四县联考)已知定义在区间[－3,3]上的单调函数f(x)满足：对任意的x∈[－3,3]，都有f(f(x)－2x)＝6，则在[－3,3]上随机取一个实数x，使得f(x)的值不小于4的概率为( )
A.16 B.56
C.13 D.12 解析：由题意设对任意的x∈[－3,3]，都有f(x)－2x＝a，其中a为常数，且a∈[－3,3]，则f(a)＝6，f(a)－2a＝a，∴6－2a＝a，得a＝2，故f(x)＝2x＋2，由f(x)≥4得x≥1，因
此所求概率为3－13＋3＝13. 答案：C
16．(2018·云南省第一次统一检测)在平面区域 x＋y－4≤0x＞0y＞0内随机取一点(a，b)，则函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为( ) A.14 B.13
C.12 D.23
解析：不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB的内部及边界AB(不包括边界OA，OB)，则S△AOB＝12×4×4＝8.函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数，则应满
足a＞0且x＝4b2a≤1，即 a＞0a≥2b，可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界OC，BC，不包括边界OB)，由 a＝2ba＋b－4＝0，解得a＝83，b＝43，所以S△COB＝12×4×43＝83，根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率为838＝13，故选B. 答案：B 17．(2018·湖北省七市协作体联考)平面区域A1＝{(x，y)|x2＋y2＜4，x，y∈R}，A2
＝{(x，y)||x|＋|y|≤3，x，y∈R}．在A2内随机取一点，则该点不在A1内的概率为________．
解析：分别画出区域A1，A2，如图圆内部分和正方形及其内部所示，根据几何概型可知，
所求概率为18－4π18＝1－2π9.
答案：1－2π9