青海省西宁三校联考高考数学模拟试卷(理)含答案

2015年##省##三校联考高考数学模拟试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．集合A={x∈N|x≤6},B={x∈R|x2﹣3x＞0},则A∩B=〔〕A．{3,4,5} B．{4,5,6} C．{x|3＜x≤6} D．{x|3≤x＜6}2．复数为纯虚数,则实数a=〔〕A．﹣2 B．﹣C．2 D．3．已知是第二象限角,则=〔〕A．B．C．D．4．某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是,则正视图中的x的值是〔〕A．2 B．C．D．35．某学校开设"蓝天工程博览课程",组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有〔〕A．种B．种C．种D．种6．对任意非零实数a、b,若a⊗b的运算原理如图所示,则log24⊗〔〕﹣1的值为〔〕A．B．1 C．D．27．在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,若S+a2=〔b+c〕2,则cosA等于〔〕A．B．﹣C．D．﹣8．在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5．若I为△ABC的内心,则•的值为〔〕A．6 B．10 C．12 D．159．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于〔〕A．30°B．45°C．60°D．90°10．下列四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布N〔0,1〕,若P〔ξ＞1〕=p,则P〔﹣l＜ξ＜0〕=﹣p；④在回归直线方程y=0．lx+10中,当解释变量x每增加1个单位时,预报变量平均增加0.1个单位,其中正确的命题个数是〔〕A．．1个B．2个C．．3个D．．4个11．如图,已知双曲线C：﹣=1〔a＞0,b＞0〕的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P、Q,若∠PAQ=60°且=3,则双曲线C的离心率为〔〕A． B．C． D．12．定义域为R的偶函数f〔x〕满足对任意x∈R,有f〔x+2〕=f〔x〕﹣f〔1〕,且当x∈[2,3]时,f〔x〕=﹣2x2+12x ﹣18,若函数y=f〔x〕﹣log a〔x+1〕在〔0,+∞〕上至少有三个零点,则a的取值范围是〔〕A．〔0,〕B．〔0,〕 C．〔0,〕 D．〔0,〕二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．13．设x,y满足,则z=x+y的最小值为．14．已知F1,F2分别为椭圆=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点,P为椭圆上一点,且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|,则该椭圆的离心率为．15．设a=〔sinx+cosx〕dx,则二项式〔a﹣〕6的展开式的常数项是．16．设函数f〔x〕是定义在〔﹣∞,0〕上的可导函数,其导函数为f′〔x〕,且有3f〔x〕+xf′〔x〕＞0,则不等式〔x+2015〕3f〔x+2015〕+27f〔﹣3〕＞0的解集是．三、解答题：本大题共5小题,共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n且满足a1+a5==63．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式a n；〔Ⅱ〕若数列{b n}满足b1=a1且b n+1﹣b n=a n+1,求数列的前n项和T n．18．某超市从20##甲、乙两种酸奶的日销售量〔单位：箱〕的数据中分别随机抽取100个,并按[0,10],〔10,20],〔20,30],〔30,40],〔40,50]分组,得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．〔Ⅰ〕写出频率分布直方图〔甲〕中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量〔单位：箱〕的方差分别为,,试比较与的大小；〔只需写出结论〕〔Ⅱ〕估计在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；〔Ⅲ〕设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数,以日销售量落入各组的频率作为概率,求X的数学期望．19．如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,O为AC与BD的交点,E 为PB上任意一点．〔I〕证明：平面EAC⊥平面PBD；〔II〕若PD∥平面EAC,并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°,求PD：AD的值．20．已知抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|．当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形．〔1〕求C的方程；〔2〕若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,证明直线AE过定点,并求出定点坐标．21．已知函数f〔x〕=alnx+〔a≠0〕．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕若{x|f〔x〕≤0}=[b,c]〔其中b＜c〕,求a的取值范围,并说明[b,c]⊆〔0,1〕．一、选修4-1：几何证明选讲请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22．如图,△ABC内接于直径为BC的圆O,过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P,∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点D、E,若PA=2PB=10．〔1〕求证：AC=2AB；〔2〕求AD•DE的值．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是〔t是参数〕〔1〕将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；〔2〕若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值．一、选修4-5：不等式选讲24．设函数f〔x〕=|x﹣a|〔Ⅰ〕当a=2,解不等式f〔x〕≥4﹣|x﹣1|；〔Ⅱ〕若f〔x〕≤1的解集为{x|0≤x≤2},+=a〔m＞0,n＞0〕．求证：m+2n≥4．2015年##省##五中、四中、十四中三校联考高考数学模拟试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．集合A={x∈N|x≤6},B={x∈R|x2﹣3x＞0},则A∩B=〔〕A．{3,4,5} B．{4,5,6} C．{x|3＜x≤6} D．{x|3≤x＜6}[考点]交集与其运算．[专题]计算题．[分析]根据所给的两个集合,整理两个集合,写出两个集合的最简形式,再求出两个集合的交集．[解答]解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0,1,2,3,4,5,6},B={x∈R|x2﹣3x＞0}={x∈R|x＜0或x＞3}∴A∩B={4,5,6}．故选B．[点评]本题考查集合的表示方法,两个集合的交集的定义和求法．化简A、B两个集合,是解题的关键．2．复数为纯虚数,则实数a=〔〕A．﹣2 B．﹣C．2 D．[考点]复数代数形式的乘除运算．[专题]数系的扩充和复数．[分析]利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．[解答]解：∵复数==为纯虚数,∴2a﹣1=0,2+a≠0,解得a=．故选：D．[点评]本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义,属于基础题．3．已知是第二象限角,则=〔〕A．B．C．D．[考点]两角和与差的正切函数．[专题]三角函数的求值．[分析]由诱导公式化简可得,由平方关系和条件求出sinα,由商的关系求出tanα,利用两角和的正切函数求出的值．[解答]解：由得,,因为α是第二象限角,所以sinα==,则=,所以====,故选：A．[点评]本题考查两角和的正切函数,诱导公式,以与同角三角函数的基本关系的应用,注意三角函数值的符号,属于中档题．4．某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是,则正视图中的x的值是〔〕A．2 B．C．D．3[考点]由三视图求面积、体积．[专题]计算题．[分析]由三视图可知：原几何体是一个四棱锥,其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形,一条长为x的侧棱垂直于底面．据此可求出原几何体的体积．[解答]解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥,其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形,一条长为x的侧棱垂直于底面．则体积为=,解得x=．故选：C．[点评]本题考查了三视图,由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．5．某学校开设"蓝天工程博览课程",组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有〔〕A．种B．种C．种D．种[考点]排列、组合与简单计数问题．[专题]应用题；排列组合．[分析]确定参观甲博物馆的年级有种情况,其余年级均有5种选择,所以共有54种情况,根据乘法原理可得结论．[解答]解：因为有且只有两个年级选择甲博物馆,所以参观甲博物馆的年级有种情况,其余年级均有5种选择,所以共有54种情况,根据乘法原理可得×54种情况,故选：D．[点评]本题考查排列组合知识的运用,考查乘法原理,比较基础．6．对任意非零实数a、b,若a⊗b的运算原理如图所示,则log24⊗〔〕﹣1的值为〔〕A．B．1 C．D．2[考点]程序框图．[专题]新定义；图表型；算法和程序框图．[分析]模拟执行程序框图可得程序的功能是计算并输出分段函数a⊗b=的值,由已知比较两数的大小,从而即可得解．[解答]解：模拟执行程序框图可得程序的功能是计算并输出分段函数a⊗b=的值,∵log24=2＜〔〕﹣1=3．∴log24⊗〔〕﹣1==1．故选：B．[点评]本题主要考查了程序框图和新定义函数,正确得到程序框图的功能是解题的关键,属于基本知识的考查．7．在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,若S+a2=〔b+c〕2,则cosA等于〔〕A．B．﹣C．D．﹣[考点]余弦定理．[专题]解三角形．[分析]由S+a2=〔b+c〕2,利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：=2bccosA+2bc,化为sinA﹣4cosA=4,与sin2A+cos2A=1．解出即可．[解答]解：∵S+a2=〔b+c〕2,∴S=b2+c2﹣a2+2bc,∴=2bccosA+2bc,化为sinA﹣4cosA=4,与sin2A+cos2A=1．解得cosA=﹣或cosA=﹣1．cosA=﹣1舍去．∴cosA=．故选：D．[点评]本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．8．在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5．若I为△ABC的内心,则•的值为〔〕A．6 B．10 C．12 D．15[考点]平面向量数量积的运算．[专题]平面向量与应用．[分析]由题意可得,∠A=,cosC=,利用二倍角的余弦公式求得cos∠ICB的值．用面积法求得三角形的内切圆半径r,再利用直角三角形中的边角关系求得CI的值,可得•=||•||•cos∠ICB 的值．[解答]解：由题意可得,∠A=,cosC==,且I为三角形ABC三内角平分线的交点,∴∠ICB=∠C,∴cosC==2cos2∠ICB﹣1,求得cos∠ICB=．设内切圆的半径为r,由S△ABC=AB•AC=6=•〔AB+AC+BC〕r=×12×r,求得r=1．再根据sin∠ICB===,∴CI=．∴•=||•||•cos∠ICB=•5•=15,故选：D．[点评]本题主要考查直角三角形中的边角关系,二倍角的余弦公式,两个向量的数量积的定义,属于中档题．9．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于〔〕A．30°B．45°C．60°D．90°[考点]异面直线与其所成的角．[专题]常规题型．[分析]延长CA到D,根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角,而三角形A1DB为等边三角形,可求得此角．[解答]解：延长CA到D,使得AD=AC,则ADA1C1为平行四边形,∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角,又A1D=A1B=DB=AB,则三角形A1DB为等边三角形,∴∠DA1B=60°故选C．[点评]本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法,考查转化思想,属于基础题．10．下列四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布N〔0,1〕,若P〔ξ＞1〕=p,则P〔﹣l＜ξ＜0〕=﹣p；④在回归直线方程y=0．lx+10中,当解释变量x每增加1个单位时,预报变量平均增加0.1个单位,其中正确的命题个数是〔〕A．．1个B．2个C．．3个D．．4个[考点]命题的真假判断与应用．[专题]概率与统计；简易逻辑．[分析]①这样的抽样是系统抽样,即可判断正误；②利用方差的计算公式与其性质,即可判断正误；③利用正态分布的对称性可得：P〔﹣l＜ξ＜0〕=,即可判断正误；④利用斜率的意义,即可判断正误．[解答]解：①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是系统抽样,因此不正确；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变,正确；③设随机变量ξ服从正态分布N〔0,1〕,若P〔ξ＞1〕=p,则P〔﹣l＜ξ＜0〕==﹣p,正确；④在回归直线方程y=0.1x+10中,当解释变量x每增加1个单位时,预报变量平均增加0.1个单位,正确．其中正确的命题个数是3．故选：C．[点评]本题考查了概率统计的有关知识、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力,属于中档题．11．如图,已知双曲线C：﹣=1〔a＞0,b＞0〕的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P、Q,若∠PAQ=60°且=3,则双曲线C的离心率为〔〕A． B．C． D．[考点]双曲线的简单性质．[专题]计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．[分析]确定△QAP为等边三角形,设AQ=2R,则OP=R,利用勾股定理,结合余弦定理,即可得出结论．[解答]解：因为∠PAQ=60°且=3,所以△QAP为等边三角形,设AQ=2R,则OP=R,渐近线方程为y=x,A〔a,0〕,取PQ的中点M,则AM=由勾股定理可得〔2R〕2﹣R2=〔〕2,所以〔ab〕2=3R2〔a2+b2〕①在△OQA中,=,所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2,可得=．故选：B．[点评]本题考查双曲线的性质,考查余弦定理、勾股定理,考查学生的计算能力,属于中档题．12．定义域为R的偶函数f〔x〕满足对任意x∈R,有f〔x+2〕=f〔x〕﹣f〔1〕,且当x∈[2,3]时,f〔x〕=﹣2x2+12x ﹣18,若函数y=f〔x〕﹣log a〔x+1〕在〔0,+∞〕上至少有三个零点,则a的取值范围是〔〕A．〔0,〕B．〔0,〕 C．〔0,〕 D．〔0,〕[考点]根的存在性与根的个数判断．[专题]计算题；作图题；函数的性质与应用．[分析]由题意可判断函数f〔x〕是定义在R上的,周期为2的偶函数,令g〔x〕=log a〔x+1〕,画出f〔x〕与g 〔x〕在[0,+∞〕的部分图象如下图,将y=f〔x〕﹣log a〔x+1〕在〔0,+∞〕上至少有三个零点可化为f〔x〕与g〔x〕的图象在〔0,+∞〕上至少有三个交点,从而解出a的取值范围．[解答]解：∵f〔x+2〕=f〔x〕﹣f〔1〕,令x=﹣1,则f〔1〕=f〔﹣1〕﹣f〔1〕,∵f〔x〕是定义在R上的偶函数,∴f〔1〕=0．∴f〔x〕=f〔x+2〕,则函数f〔x〕是定义在R上的,周期为2的偶函数,又∵当x∈[2,3]时,f〔x〕=﹣2x2+12x﹣18,令g〔x〕=log a〔x+1〕,则f〔x〕与g〔x〕在[0,+∞〕的部分图象如下图y=f〔x〕﹣log a〔x+1〕在〔0,+∞〕上至少有三个零点可化为f〔x〕与g〔x〕的图象在〔0,+∞〕上至少有三个交点,g〔x〕在〔0,+∞〕上单调递减,则,解得：0＜a＜,故选A．[点评]本题考查了数形结合的思想,同时考查了学生的作图能力与转化能力,属于基础题．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．13．设x,y满足,则z=x+y的最小值为2．[考点]简单线性规划的应用．[专题]计算题；数形结合．[分析]本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件的平面区域,然后分析平面区域里各个角点,然后将其代入z=x+y中,求出z=x+y的最小值．[解答]解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B〔2,0〕时,z=x+y有最小值2．故答案为：2．[点评]在解决线性规划的小题时,我们常用"角点法",其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证,求出最优解．14．已知F1,F2分别为椭圆=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点,P为椭圆上一点,且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|,则该椭圆的离心率为．[考点]椭圆的简单性质．[专题]圆锥曲线的定义、性质与方程．[分析]利用椭圆的焦距与椭圆的通经相等列出方程,然后求解椭圆的离心率．[解答]解：由题意椭圆=1,P为椭圆上一点,且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|,可知：2c=,可得b2=ac=﹣c2+a2,即：e=1﹣e2,解得e=．故答案为：．[点评]本题考查椭圆的离心率的求法,椭圆的简单性质的应用,考查计算能力．15．设a=〔sinx+cosx〕dx,则二项式〔a﹣〕6的展开式的常数项是﹣160．[考点]二项式系数的性质；定积分．[专题]导数的概念与应用；二项式定理．[分析]求定积分求得a的值,然后写出二项展开式的通项,由x得指数为0求得r值,代入通项求得常数项．[解答]解：a=〔sinx+cosx〕dx==2．∴〔a﹣〕6=．其通项==．由3﹣r=0,得r=3．∴二项式〔a﹣〕6的展开式的常数项是．故答案为：﹣160．[点评]本题考查了定积分,考查了二项式定理,关键是熟练掌握二项展开式的通项,是基础题．16．设函数f〔x〕是定义在〔﹣∞,0〕上的可导函数,其导函数为f′〔x〕,且有3f〔x〕+xf′〔x〕＞0,则不等式〔x+2015〕3f〔x+2015〕+27f〔﹣3〕＞0的解集是〔﹣2018,﹣2015〕．[考点]函数的单调性与导数的关系．[专题]函数思想；导数的概念与应用．[分析]根据题意,构造函数g〔x〕=x3f〔x〕,x∈〔﹣∞,0〕,利用导数判断g〔x〕的单调性,再把不等式〔x+2015〕3f〔x+2015〕+27f〔﹣3〕＞0化为g〔x+2015〕＞g〔﹣3〕,利用单调性求出不等式的解集．[解答]解：根据题意,令g〔x〕=x3f〔x〕,其导函数为g′〔x〕=3x2f〔x〕+x3f′〔x〕=x2[3f〔x〕+xf′〔x〕],∵x∈〔﹣∞,0〕时,3f〔x〕+xf′〔x〕＞0,∴g〔x〕＞0,∴g〔x〕在〔﹣∞,0〕上单调递增；又不等式〔x+2015〕3f〔x+2015〕+27f〔﹣3〕＞0可化为〔x+2015〕3f〔x+2015〕＞〔﹣3〕3f〔﹣3〕,即g〔x+2015〕＞g〔﹣3〕,∴0＞x+2015＞﹣3；解得﹣2015＞x＞﹣2018,∴该不等式的解集是为〔﹣2018,﹣2015〕．故答案为：〔﹣2018,﹣2015〕．[点评]本题考查了利用导数研究函数的单调性问题,也考查了利用函数的单调性求不等式的解集的问题,是综合性题目．三、解答题：本大题共5小题,共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n且满足a1+a5==63．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式a n；〔Ⅱ〕若数列{b n}满足b1=a1且b n+1﹣b n=a n+1,求数列的前n项和T n．[考点]数列的求和；等差数列的性质．[专题]等差数列与等比数列．[分析]〔Ⅰ〕根据已知条件建立方程组,通过解方程求出首项和公差,进一步求出数列的通项公式．〔Ⅱ〕首先利用叠加法求出数列的通项公式,进一步利用裂项相消法求数列的和．[解答]解：〔Ⅰ〕法一：设正项等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,a n＞0则,得∴a n =2n+1法二：∵{a n }是等差数列且,∴,又∵a n ＞0∴a 3=7．…∵,∴d=a 4﹣a 3=2,∴a n =a 3+〔n ﹣3〕d=2n+1． 〔Ⅱ〕∵b n+1﹣b n =a n+1且a n =2n+1, ∴b n+1﹣b n =2n+3当n ≥2时,b n =〔b n ﹣b n ﹣1〕+〔b n ﹣1﹣b n ﹣2〕+…+〔b 2﹣b 1〕+b 1 =〔2n+1〕+〔2n ﹣1〕+…+5+3=n 〔n+2〕, 当n=1时,b 1=3满足上式,b n =n 〔n+2〕 ∴=．[点评]本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法,利用裂项相消法求数列的和,属于基础题型．18．某超市从20##甲、乙两种酸奶的日销售量〔单位：箱〕的数据中分别随机抽取100个,并按[0,10],〔10,20],〔20,30],〔30,40],〔40,50]分组,得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．〔Ⅰ〕写出频率分布直方图〔甲〕中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量〔单位：箱〕的方差分别为,,试比较与的大小；〔只需写出结论〕〔Ⅱ〕估计在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；〔Ⅲ〕设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数,以日销售量落入各组的频率作为概率,求X的数学期望．[考点]离散型随机变量与其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．[专题]概率与统计．[分析]〔Ⅰ〕按照题目要求想结果即可．〔Ⅱ〕设事件A：在未来的某一天里,甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里,乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．求出P〔A〕,P〔B〕,P〔C〕．〔Ⅲ〕X的可能取值为0,1,2,3,求出概率,得到分布列,然后求解期望．[解答]〔共13分〕解：〔Ⅰ〕a=0.015；…s12＞s22．…〔Ⅱ〕设事件A：在未来的某一天里,甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里,乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则P〔A〕=0.20+0.10=0.3,P〔B〕=0.10+0.20=0.3．…所以．…〔Ⅲ〕由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3．…P〔X=0〕=C30×0.30×0.73=0.343,P〔X=1〕=C31×0.31×0.72=0.441,P〔X=2〕=C32×0.32×0.71=0.189,P〔X=3〕=C33×0.33×0.70=0.027．所以X的分布列为X 0 1 2 3P 0.343 0.441 0.189 0.027…所以X的数学期望EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．…[点评]本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法,独立重复试验概率的求法,考查计算能力．19．如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,O为AC与BD的交点,E 为PB上任意一点．〔I〕证明：平面EAC⊥平面PBD；〔II〕若PD∥平面EAC,并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°,求PD：AD的值．[考点]用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角与求法．[专题]计算题；证明题；空间角；空间向量与应用．[分析]〔I〕根据PD⊥平面ABCD,得到AC⊥PD,结合菱形ABCD中AC⊥BD,利用线面垂直判定定理,可得AC⊥平面PBD,从而得到平面EAC⊥平面PBD；〔II〕连接OE,由线面平行的性质定理得到PD∥OE,从而在△PBD中得到E为PB的中点．由PD⊥面ABCD 得到OE⊥面ABCD,可证出平面EAC⊥平面ABCD,进而得到BO⊥平面EAC,所以BO⊥AE．过点O作OF⊥AE于点F,连接OF,证出AE⊥BF,由二面角平面角的定义得∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角,即∠BFO=45°．分别在Rt△BOF和Rt△AOE中利用等积关系的三角函数定义,算出OE=,由此即可得到PD：AD的值．[解答]解：〔I〕∵PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥PD∵菱形ABCD中,AC⊥BD,PD∩BD=D∴AC⊥平面PBD又∵AC⊂平面EAC,平面EAC⊥平面PBD；〔II〕连接OE,∵PD∥平面EAC,平面EAC∩平面PBD=OE,PD⊂平面PBD∴PD∥OE,结合O为BD的中点,可得E为PB的中点∵PD⊥平面ABCD,∴OE⊥平面ABCD,又∵OE⊂平面EAC,∴平面EAC⊥平面ABCD,∵平面EAC∩平面ABCD=AC,BO⊂平面ABCD,BO⊥AC∴BO⊥平面EAC,可得BO⊥AE过点O作OF⊥AE于点F,连接OF,则∵AE⊥BO,BO、OF是平面BOF内的相交直线,∴AE⊥平面BOF,可得AE⊥BF因此,∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角,即∠BFO=45°设AD=BD=a,则OB=a,OA=a,在Rt△BOF中,tan∠BFo=,可得OF=Rt△AOE中利用等积关系,可得OA•OE=OF•AE即a•OE=a•,解之得OE=∴PD=2OE=,可得PD：AD=：2即PD：AD的值为．[点评]题给出一个特殊四棱锥,要我们证明面面垂直,并在已知二面角大小的情况下求线段的比值,着重考查了空间垂直位置关系的判断与证明和二面角平面角的求法等知识,属于中档题．20．已知抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|．当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形．〔1〕求C的方程；〔2〕若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,证明直线AE过定点,并求出定点坐标．[考点]抛物线的简单性质．[专题]综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．[分析]〔1〕根据抛物线的焦半径公式,结合等边三角形的性质,求出的p值；〔2〕设出点A的坐标,求出直线AB的方程,利用直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,求出点E的坐标,写出直线AE的方程,将方程化为点斜式,可求出定点．[解答]解：〔1〕由题意知F〔,0〕,设D〔t,0〕〔t＞0〕,则FD的中点为〔,0〕,因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知：3+=|t﹣|,解得t=3+p或t=﹣3〔舍去〕．由=3,解得p=2．所以抛物线C的方程为C的方程为y2=4x．〔2〕由〔1〕知F〔1,0〕,设A〔x1,y1〕,|FD|=|AF|=x1+1,∴D〔x1+2,0〕,故直线AB的斜率为﹣,因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y=﹣x+b,代入抛物线方程得y2+y﹣=0,由题意△=0,得b=﹣．设E〔x2,y2〕,则x2=,y2=﹣．当y12≠4时,k AE=,可得直线AE的方程为y﹣y1=〔x﹣x1〕,由y12=4x1,整理可得y=〔x﹣1〕,直线AE恒过点F〔1,0〕,当y12=4时,直线AE的方程为x=1,过点F〔1,0〕,所以直线AE过定点F〔1,0〕．[点评]本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法,定点问题,考查直线与抛物线的位置关系,属于中档题．21．已知函数f〔x〕=alnx+〔a≠0〕．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕若{x|f〔x〕≤0}=[b,c]〔其中b＜c〕,求a的取值范围,并说明[b,c]⊆〔0,1〕．[考点]利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．[专题]导数的综合应用．[分析]〔Ⅰ〕求出函数的导数,通过a的范围,判断导函数的符号,即可求函数f〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕利用〔Ⅰ〕,直接求解a＞e．当a＞e时．构造函数g〔x〕=x﹣2lnx〔x≥e〕,求出导数,当x＞e时,推出然后求解bc的范围,即可说明[b,c]⊆〔0,1〕．[解答]〔共13分〕解：〔Ⅰ〕．…〔ⅰ〕当a＜0时,f′〔x〕＜0,则函数f〔x〕的单调递减区间是〔0,+∞〕．…〔ⅱ〕当a＞0时,令f′〔x〕=0,得．当x变化时,f′〔x〕,f〔x〕的变化情况如下表xf′〔x〕﹣0 +f〔x〕↘极小值↗所以f〔x〕的单调递减区间是,单调递增区间是．…〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知：当a＜0时,函数f〔x〕在区间〔0,+∞〕内是减函数,所以,函数f〔x〕至多存在一个零点,不符合题意．…当a＞0时,因为f〔x〕在内是减函数,在内是增函数,所以要使{x|f〔x〕≤0}=[b,c],必须,即．所以a＞e．…当a＞e时,．令g〔x〕=x﹣2lnx〔x≥e〕,则．当x＞e时,g′〔x〕＞0,所以,g〔x〕在[e,+∞〕上是增函数．所以当a＞e时,g〔a〕=a﹣2lna＞g〔e〕=e﹣2＞0．所以．…因为,,f〔1〕=1＞0,所以f〔x〕在内存在一个零点,不妨记为b,在内存在一个零点,不妨记为c．…因为f〔x〕在内是减函数,在内是增函数,所以{x|f〔x〕≤0}=[b,c]．综上所述,a的取值范围是〔e,+∞〕．…因为,,所以[b,c]⊆〔0,1〕．…[点评]本题考查函数的导数判断函数的单调性,函数的最值的求法,考查分类讨论以与分析问题解决问题的能力．一、选修4-1：几何证明选讲请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22．如图,△ABC内接于直径为BC的圆O,过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P,∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点D、E,若PA=2PB=10．〔1〕求证：AC=2AB；〔2〕求AD•DE的值．[考点]相似三角形的判定．[专题]推理和证明．[分析]〔1〕通过证明△ABP∽△CAP,然后证明AC=2AB；〔2〕利用切割线定理以与相交弦定理直接求AD•DE的值．[解答]解：〔1〕∵PA是圆O的切线∴∠PAB=∠ACB又∠P是公共角∴△ABP∽△CAP…∴∴AC=2AB…〔2〕由切割线定理得：PA2=PB•PC∴PC=20又PB=5∴BC=15…又∵AD是∠BAC的平分线∴∴CD=2DB∴CD=10,DB=5…又由相交弦定理得：AD•DE=CD•DB=50…[点评]本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定与切线性质的应用．属于基础题．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是〔t是参数〕〔1〕将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；〔2〕若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值．[考点]参数方程化成普通方程．[专题]坐标系和参数方程．[分析]本题〔1〕可以利用极坐标与直角坐标互化的化式,求出曲线C的直角坐标方程；〔2〕先将直l的参数方程是〔t是参数〕化成普通方程,再求出弦心距,利用勾股定理求出弦长,也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解,求出对应的参数t1,t2的关系式,利用|AB|=|t1﹣t2|,得到α的三角方程,解方程得到α的值,要注意角α范围．[解答]解：〔1〕∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,∴〔x﹣2〕2+y2=4．〔2〕将代入圆的方程〔x﹣2〕2+y2=4得：〔tcosα﹣1〕2+〔tsinα〕2=4,化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则,∴|AB|=|t1﹣t2|==,∵|AB|=,∴=．∴cos．∵α∈[0,π〕,∴或．∴直线的倾斜角或．[点评]本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化,本题难度适中,属于中档题．一、选修4-5：不等式选讲24．设函数f〔x〕=|x﹣a|〔Ⅰ〕当a=2,解不等式f〔x〕≥4﹣|x﹣1|；〔Ⅱ〕若f〔x〕≤1的解集为{x|0≤x≤2},+=a〔m＞0,n＞0〕．求证：m+2n≥4．[考点]绝对值不等式的解法．[专题]不等式．[分析]对第〔1〕问,将a=2代入函数的解析式中,利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第〔2〕问,先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值,再将"m+2n"改写为"〔m+2n〕〔+〕",展开后利用基本不等式可完成证明．[解答]解：〔I〕当a=2时,不等式f〔x〕≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|,①当x≤1时,原不等式化为2﹣x≥4+〔x﹣1〕,得,故；②当1＜x＜2时,原不等式化为2﹣x≥4﹣〔x﹣1〕,得2≥5,故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时,原不等式化为x﹣2≥4﹣〔x﹣1〕,得,故．综合①、②、③知,原不等式的解集为∪．〔Ⅱ〕证明：由f〔x〕≤1得|x﹣a|≤1,从而﹣1+a≤x≤1+a,∵f〔x〕≤1的解集为{x|0≤x≤2},∴得a=1,∴+=a=1．又m＞0,n＞0,∴m+2n=〔m+2n〕〔+〕=2+〔〕,当且仅当即m=2n时,等号成立,此时,联立+=1,得时,m+2n=4,故m+2n≥4,得证．[点评]1．已知不等式的解集求参数的值,求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍,再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．2．本题中,"1"的替换很关键,这是解决此类题型的一种常用技巧,应注意体会证明过程的巧妙性．。