2020年青海省西宁四中、五中、十四中三校联考高考数学模拟试卷(二)(4月份)(有答案解析)

2020年青海省西宁四中、五中、十四中三校联考高考数学模拟试卷（二）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|≤0}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（）A. {-1，0，1}B. {0，1}C. {-1，0}D. {0}3.已知向量=（，||=，且⊥（-），则（+）•（-3）=（）A. 15B. 19C. -15D. -194.已知平面α⊥平面β，交于直线l，且直线a⊂α，直线b⊂β，则下列命题错误的是（）A. 若a∥b，则a∥l或b∥lB. 若a⊥b，则a⊥l且b⊥lC. 若直线a，b都不平行直线l，则直线a必不平行直线bD. 若直线a，b都不垂直直线l，则直线a必不垂直直线b5.给出下列四个命题：①命题p：；②的值为0；③若f（x）=x2-ax+1为偶函数，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=2x．④已知随机变量ξ～N（1，1），若P（-1＜ξ＜3）=0.9544，则P（ξ＜3）=0.9772．其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 46.已知为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中常数项的系数是（）A. -20B. 20C.D. 607.设实数x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A. B.C. D.8.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（）A.B. 8πC. 6πD.9.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A. f（x）=4sin（x+π）B. f（x）=4sin（x+）C. f（x）=4sin（x+）D. f（x）=4sin（x+）10.已知命题p：若a＞2且b＞2，则a+b＜ab；命题q：∃x＞0，使（x-1）•2x=1，则下列命题中为真命题的是（）A. p∧qB. （￢p）∧qC. p∧（￢q）D. （￢p）∧（￢q）11.点P在双曲线-=1（a＞0，b＞0）上，F1、F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A. B. C. 2 D. 512.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形．在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设随机变量X～B（6，），则P（X=3）=______．14.已知递减等差数列{a n}中，a3=-1，a4为a1，-a6等比中项，若S n为数列{a n}的前n项和，则S7的值为______．15.如图，在△ABC中，=，P是线段BD上一点，若=m+，则实数m的值为______．16.若函数f（x）=1+|x|+，则f（lg2）+f（lg）+f（lg5）+f（lg）=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在△ABC中，2B=A+C，且c=2a．（1）求角A，B，C的大小；（2）设数列{a n}满足，前n项和为S n，若S n=20，求n的值．18.经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：年龄x2832384248525862收缩压y（单位114118122127129135140147 mmHg）其中：，，（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（的值精确到0.01）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9～1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06～1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12～1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？19.在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，腰长为2，D、E分别是边AB、BC的中点，将△BDE沿DE翻折，得到四棱锥B-ADEC，且F为棱BC中点，BA=．（1）求证：EF⊥平面BAC；（2）在线段AD上是否存在一点Q，使得AF∥平面BEQ？若存在，求二面角Q-BE-A 的余弦值，若不存在，请说明理由．20.椭圆C：的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），若椭圆过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A，B为椭圆的左、右顶点，P（x0，y0）（y0≠0）为椭圆上一动点，设直线AP，BP分别交直线l：x=6于点M，N，判断线段MN为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由．21.已知函数f（x）=x2+（1-x）e x（e为自然对数的底数），g（x）=x-（1+a）ln x-，a＜1．（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）讨论函数g（x）的极小值；（3）若对任意的x1∈[-1，0]，总存在x2∈[e，3]，使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ；（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交点分别为A，B，点P（1，0），求的值．23.已知函数f（x）=|2x-4|+|x+1|，（Ⅰ）解不等式f（x）≤9；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2x+a的解集为A，B={x|x2-3x＜0}，且满足B⊆A，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：=i（1+i）=-1+i，对应复平面上的点为（-1，1），在第二象限，故选：B．先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．2.答案：D解析：解：∵集合A={x|≤0}={x|-1≤x＜1}，B={0，1，2，3}，∴A∩B={0}．故选：D．集合A={x|≤0}={x|-1≤x＜1}，B={0，1，2，3}，A∩B．本题考查交集的求法，考查交集、不等式性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.答案：D解析：解：向量=（，||=，且⊥（-），可得，，（+）•（-3）==-=-4-15=-19．故选：D．利用向量的垂直以及向量的模，数量积化简求解即可．本题考查向量的数量积的求法，向量的模，考查转化思想以及计算能力．4.答案：B解析：解：由平面α⊥平面β，交于直线l，且直线a⊂α，直线b⊂β，知：若a∥b，则a∥l且b∥l，故A正确；若a⊥b，则a与l不一定垂直且b与l不一定垂直，故B错误；若直线a，b都不平行直线l，则由平行公理得直线a必不平行直线b，故C正确；若直线a，b都不垂直直线l，则由线面垂直的性质得直线a必不垂直直线b，故D正确．故选：B．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5.答案：B解析：解：①命题p的￢p：∃x＞2，x2-1≤0；故①错误，②=（2x-cos x）|=2π-cosπ-（-2π-cos（-π））=2π+1-（-2π+1）=4π；故②错误；③若f（x）=x2-ax+1为偶函数，则f（-x）=f（x），即x2+ax+1=x2-ax+1，即ax=-ax，则a=-a，即a=0，则f（x）=x2+1，则f（1）=2，f′（x）=2x，则f′（1）=2，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y-2=2（x-1），即y=2x，故③正确．④已知随机变量ξ～N（1，1），若P（-1＜ξ＜3）=0.9544，则P（ξ≥3）=P（ξ≤-1）=（1-P（-1＜ξ＜3））=（1-0.9544）=0.0228，则P（ξ＜3）=1-P（ξ≥3）=1-0.228=0.9772，故④正确，故正确的命题是③④，共两个，故选：B．①根据全称命题的否定是特称命题进行判断②根据积分的定义和公式进行计算③根据偶函数的定义先求出a=0，然后结合导数的几何意义进行求解判断④根据概率的对称性结合概率公式进行求解判断即可本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．6.答案：A解析：解：模拟程序框图的运行过程，如下：i=0，s=1，i=1，i＜4，是，s==-1；i=2，2＜4，是，s==3；i=3，3＜4，是，s==；i=4，4＜4，否，退出循环，输出s的值为．∴二项式（-）6的展开式的通项是T r+1=•（）6-r•（-）r=（-1）r••（）6-2r•x3-r；令3-r=0，得r=3；∴常数项是T4=（-1）3••（）0=-20．故选：A．模拟程序框图的运行过程，求出输出S的值，再求二项式的展开式中常数项的系数值．本题考查了程序框图的应用以及二项式定理的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，并利用二项式的通项公式进行计算，属于基础题．7.答案：D解析：解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（1，-1），联立，得B（1，3）．由=，而．∴目标函数的取值范围是[，]．故选：D．由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义，即可行域内的点与定点（-1，0）连线的斜率求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．8.答案：B解析：【分析】本题考查了空间几何体三视图以及表面积的计算问题，是基础题．由三视图得出该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，结合图中数据求出三棱柱的外接球的半径，然后求解表面积．【解答】解：由几何体的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，底面是等腰直角三角形，斜边长为2，高为1，棱柱的高为2．设底面外接圆半径为r，则r=1，三棱柱外接球的半径是，故外接球的半径为：．所以三棱柱外接球的表面积为：4=8π．故选：B．9.答案：B解析：解：根据题意，对函数f（x）=A sin（ωx+φ）求导，可得f′（x）=ωA cos（ωx+φ），由导函数的图象可得A=2，再由=•=-（-），求得ω=．则Aω=2，即A=4，∴导函数f′（x）=2cos（x+φ），把（，0）代入得：2cos（+φ）=0，且|φ|＜π，解得φ=，故函数f（x）的解析式为f（x）=4sin（x+）．故选：B．对函数f（x）=A sin（ωx+φ）求导，可得f′（x），由导函数f′（x）的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，从而求得函数的解析式．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+∅）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，从而求得函数的解析式，属于中档题．10.答案：A解析：解：若a＞2且b＞2，则＜且＜，得+＜1，即＜1，从而a+b＜ab，∴命题p为真．∵直线y=x-1与函数y=的图象在（0，+∞）内有唯一交点，则方程x-1=有正数解，即方程（x-1）•2x=1有正数解，∴命题q为真，∴p∧q为真命题．故选：A．利用基本不等式的性质判断p为真命题，由直线y=x-1与函数y=的图象在（0，+∞）内有唯一交点，可得命题q为真命题，再由复合命题的真假判断得答案．本题考查复合命题的真假判断，考查基本不等式的应用，考查函数零点的判定方法，是中档题．11.答案：D解析：解：设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，且分别设为m-d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m-（m-d）=2a，m+d=2c，（m-d）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=d，a=d，故离心率e==5．故选：D．设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，且分别设为m-d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=d，a=d，由离心率公式计算即可得到．本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．12.答案：B解析：解：正三角形的边长为1，则圆的半径为1，三角形对应的扇形面积为=，正三角形的面积S==，则一个弓形面积S=-，则整个区域的面积为3（-）+=-，则在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是=，故选：B．设正三角形的边长为1，求出正三角形的面积以及弓形面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应图形的面积是解决本题的关键．13.答案：解析：解：∵随机变量X服从二项分布B（6，），∴P（X=3）=C36（）3×（1-）3=．故答案为：．根据条件中所给的变量符合二项分布，写出变量取值不同时对应的概率公式，本题x=3，代入公式得到要求的概率．本题考查二项分布的概率计算公式，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．14.答案：-14解析：解：设递减等差数列{a n}的公差d＜0，a3=-1，a4为a1，-a6等比中项，∴a1+2d=-1，=-a6×a1，即=-（a1+5d）×a1，联立解得：a1=1，d=-1．则S7=7-=-14．故答案为：-14．设递减等差数列{a n}的公差d＜0，a3=-1，a4为a1，-a6等比中项，可得a1+2d=-1，=-a6×a1，即=-（a1+5d）×a1，联立解出即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：解析：解：∵；∴；又；∴；∵B，P，D三点共线；∴；∴．故答案为：．根据即可得出，代入即可得到，这样再根据B，P，D三点共线即可得出，解出m即可．考查向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，以及三点共线的充要条件．16.答案：6解析：解：f（x）=1+|x|+，∴f（-x）+f（x）=2+2|x|，∵lg=-lg2，lg=-lg5，∴f（lg2）+f（lg）+f（lg5）+f（lg）=2×2+2（lg2+lg5）=6，故答案为：6根据指数与对数的运算的性质计算即可．本题考查了指数与对数的运算，考查了抽象概括能力和运算求解能力17.答案：解：（1）由已知2B=A+C，又A+B+C=π，所以，又由c=2a，所以，所以c2=a2+b2，所以△ABC为直角三角形，，（2）所以，由．解得2k+2=6，所以k=2，所以n=4或n=5．解析：（1）利用余弦定理以及已知条件求出三角形内角的大小即可．（2）化简数列的通项公式，通过数列求和，转化求解即可．本题考查数列与三角函数相结合，余弦定理的应用，数列求和，考查计算能力．18.答案：解：（1）由表中数据，可得散点图：（如下）（2）∴回归直线方程为．（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为0.91×70+88.05=151.75（mmHg）∵∴收缩压为180mmHg的70岁老人为中度高血压人群．解析：（1）根据表中数据即可得散点图．（2）由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（3）将x=70带入计算，根据题干已知规定即可判断70岁的老人，属于哪类人群．本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．19.答案：（1）证明：取AB中点H，连结DH、HF，在等腰Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=AC=2，D、E分别是边AB、BC的中点，∴AD=BD=1，又∵翻折后，∴翻折后AD⊥BD，且△ADB为等腰直角三角形，则DH⊥AB，∵翻折后DE⊥AD，DE⊥BD，且AD∩BD=D，∴DE⊥平面ADB，∵DE∥AC，∴AC⊥平面ADB，则AC⊥DH，又AB∩AC=A，∴DH⊥平面ABC，又∵HF∥AC，DE∥AC，且HF=AC=DE，∴DEFH是平行四边形，则EF∥DH，∴EF⊥平面ABC；（2）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系D-xyz．则A（0，1，0），B（0，0，1），E（1，0，0），C（2，1，0），，设Q（0，t，0）（0≤t≤1），则，设平面BQE的法向量为=（x，y，z），则由，取y=1，则=（t，1，t），要使AF∥平面BEQ，则须，∴，即线段AD上存在一点，使得AF∥平面BEQ，设平面BAE的法向量为=（x，y，z），则由，取y=1，则=（1，1，1），∴cos＜＞=，∵二面角Q-BE-A为锐二面角，∴其余弦值为，即线段AD上存在一点Q（点Q是线段AD上的靠近点D的一个三等分点），使得AF∥平面BEQ，此时二面角Q-BE-A的余弦值为．解析：（1）取AB中点H，连结DH、HF，在等腰Rt△ABC中，由已知可得AD=BD=1，则DH⊥AB，由线面垂直的判定可得DE⊥平面ADB，进一步得到AC⊥平面ADB，则AC⊥DH，可得DH⊥平面ABC，然后证明DEFH是平行四边形，得EF∥DH，从而得到EF⊥平面ABC；（2）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系D-xyz．求出A，B，E，C，F的坐标，设Q（0，t，0）（0≤t≤1），求出平面BQE的法向量，由=0求得，即线段AD 上存在一点，使得AF∥平面BEQ，再求出平面BAE的法向量为，由两法向量所成角的余弦值可得二面角Q-BE-A的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．20.答案：解：（1）由已知c=1，∴a2=b2+1①∵椭圆过点，∴②联立①②得a2=4，b2=3，∴椭圆方程为；（2）设P（x0，y0），已知A（-2，0），B（2，0），∵y0≠0，∴x0≠±2∴AP，BP都有斜率∴，∴，③∵，∴，④将④代入③得，设AP方程y=k（x-2），∴BP方程，∴，由对称性可知，若存在定点，则该定点必在x轴上，设该定点为T（t，0），则，∴，∴（6-t）2=24，∴，∴存在定点或以线段MN为直径的圆恒过该定点．解析：（1）由题意，椭圆C的焦点为（-1，0），（1，0），且过点（1，），由椭圆的定义，可得a的值，从而可求椭圆C的方程；（2）设P（x0，y0），已知A（-2，0），B（2，0），根据斜率公式，可得，求出直线AP，BP的方程，再根据向量的垂直即可求出．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查恒过定点问题，考查分类讨论的数学思想，综合性强．21.答案：解：（1）∵f′（x）=x（1-e x），∴f′（1）=1-e，即切线的斜率是1-e，又f（1）=，则切点坐标是（1，），故f（x）在x=1处的切线方程是y-=（1-e）（x-1），即2（e-1）x+2y-2e+1=0；（2）∵g′（x）==，a＜1，函数g（x）的定义域是{x|x＞0}，∴0＜a＜1时，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜a或x＞1，令g′（x）＜0，解得：a＜x＜1，∴g（x）在（0，a）递增，在（a，1）递减，在（1，+∞）递增，∴g（x）的极小值为g（1）=1-a，a≤0时，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴g（x）的极小值是g（1）=1-a，综上，函数g（x）的极小值是1-a；（3）若对任意的x1∈[-1，0]，总存在x2∈[e，3]，使得f（x1）＞g（x2）成立，等价于f（x）在[-1，0]上的最小值大于函数g（x）在[e，3]上的最小值，x∈[-1，0]时，f′（x）=x（1-e x）≤0，当且仅当x=0时不等式取“=”，∴f（x）在[-1，0]上单调递减，∴f（x）在[-1，0]上的最小值是f（0）=1，由（2）得，g（x）在[e，3]递减，∴g（x）在[e，3]的最小值是g（e）=e-（a+1）-，故1＞e-（a+1）-，解得：a＞，又a＜1，故a∈（，1）．解析：（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；（3）问题等价于f（x）在[-1，0]上的最小值大于函数g（x）在[e，3]上的最小值，分别求出f（x），g（x）的极小值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，是一道综合题．22.答案：解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的直角坐标方程为l：x+y-1=0．------2分∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，∴曲线C的直角坐标方程为C：x2+y2-4x=0．--------4分（Ⅱ）将直线l的参数方程为（t为参数）代入曲线C的方程，得：，--------6分∴|t1-t2|==，------8分∴==．------10分．解析：（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数，能求出直线l的直角坐标方程；由曲线C的极坐标方程，能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得，由此能求出的值．本题考查直线的直角坐标方程、曲线的直角坐标方程、两线段的倒数和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．23.答案：解：（Ⅰ）f（x）≤9可化为|2x-4|+|x+1|≤9，故，或，或；…（2分）解得：2＜x≤4，或-1≤x≤2，或-2≤x＜-1；…（4分）不等式的解集为[-2，4]；…（5分）（Ⅱ）易知B=（0，3）；…（6分）所以B⊆A，又|2x-4|+|x+1|＜2x+a在x∈（0，3）恒成立；…（7分）⇒|2x-4|＜x+a-1在x∈（0，3）恒成立；…（8分）⇒-x-a+1＜2x-4＜x+a-1在x∈（0，3）恒成立；…（9分）故…（10分）解析：（Ⅰ）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）求出B，根据集合的包含关系求出a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。