分式的运算
分式的概念与运算
分式的概念与运算分式，也可称为有理数的形式，是表示两个整数之间关系的一种数学表达式。
它由一个分子和一个分母组成，分子表示除法的被除数，分母表示除法的除数。
在数学中，分式广泛应用于各种实际问题的求解与计算中。
本文将介绍分式的概念、基本性质，以及分式的加减乘除运算。
一、分式的概念分式的本质是一个数的表达方式，它可以表示两个整数之间的比例关系。
例如，$\frac{1}{2}$表示整数1与整数2之间的比值，读作“1除以2”。
在分式中，分子和分母可以是任意整数，并且分母不能为零。
当分子为0时，分式的值为0。
二、分式的基本性质1. 分式的值可以是一个整数、一个真分数或带分数。
当分子大于分母时，分式的值大于1；当分子小于分母时，分式的值小于1。
2. 分式可以进行化简。
也就是说，可以约分分式中的分子和分母，将它们的公约数约掉，使得分子和分母互质。
例如，$\frac{2}{4}$可以化简为$\frac{1}{2}$。
3. 分式可以进行扩展。
也就是说，可以将分子和分母同时乘以一个非零整数，得到等价的分式。
例如，$\frac{3}{5}$可以扩展为$\frac{6}{10}$。
三、分式的加减乘除运算1. 分式的加法和减法分式的加法和减法遵循公式：$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
具体来说，对于分式$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{d}$，只需将两个分式的分母取公倍数得到新的分母，然后将分子相应操作后得到新的分子，即可得到结果。
示例：$$\frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} =\frac{19}{15}$$$$\frac{7}{8} - \frac{1}{4} = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8} $$2. 分式的乘法和除法分式的乘法和除法遵循公式：$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} =\frac{ad}{bc}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
分式的乘除法
分式的乘除法分式是数学中的一种表示形式，它由分子与分母组成，分子表示被分割的数量，分母表示分割成的份数。
在分式中，乘法和除法是常见的运算。
本文将介绍分式的乘法和除法的规则和运算方法。
一、分式的乘法分式的乘法是指两个或多个分式相乘的操作。
下面是分式乘法的规则：规则1：分子乘以分子，分母乘以分母。
示例1：(2/3) * (5/7) = (2 * 5) / (3 * 7) = 10/21规则2：任意常数乘以分式，可以将常数作为分子或分母的一部分。
示例2：3 * (4/5) = (3 * 4) / 5 = 12/5规则3：分子和分母都可以进行约分。
示例3：(8/12) * (3/5) = (8/3) * (3/5) = 24/15 = 8/5二、分式的除法分式的除法是指将一个分式除以另一个分式的操作。
下面是分式除法的规则：规则1：除法可以等价为乘法。
示例1：(2/3) ÷ (4/5) = (2/3) * (5/4) = (2 * 5) / (3 * 4) = 10/12 = 5/6规则2：除法的倒数等于分子和分母交换位置后的分式。
示例2：(3/4) ÷ (2/3) = (3/4) * (3/2) = (3 * 3) / (4 * 2) = 9/8规则3：分子和分母都可以进行约分。
示例3：(4/6) ÷ (2/3) = (4/6) * (3/2) = (4 * 3) / (6 * 2) = 12/12 = 1/1 = 1三、分式乘除法的综合运算分式乘除法可以结合使用，需要按照运算的优先级和顺序进行计算。
下面是一个综合运算的示例：示例：(2/3) * (3/4) ÷ (4/5) = (2/3) * (3/4) * (5/4) = (2 * 3 * 5) / (3 * 4 * 4) =30/48 = 5/8四、小结分式的乘法和除法是分式运算中常见的操作，掌握其规则和运算方法对于数学学习和实际计算都非常重要。
分式的运算例题讲解
15.2 分式的运算1．分式的乘除(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用式子表示为：a b ·c d ＝a ·c b ·d . (2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·d b ·c. 分式的除法要转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式．【例1】 计算：(1)4a 4b 215x 2·9x 8a 4b ； (2)a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－a a ＋1；(3)a 2－4a 2＋4a ＋4·2a a 2－4a ＋4； (4)4x 2＋4xy ＋y 22x ＋y÷(4x 2－y 2)．2．分式的乘方(1)法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．(2)用式子表示：⎝⎛⎭⎫a b n ＝a n b n .解技巧 分式的乘方的理解 (1)分式乘方时，分子、分母要乘相同次方；(2)其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样．【例2】 计算：(1)⎝⎛⎭⎫a 2－b 34； (2)⎝⎛⎭⎫x 2y －z 23.3．分式的加减(1)同分母分式相加减：①法则：分母不变，把分子相加减； ②用式子表示：a c ±b c ＝a ±b c. (2)异分母分式相加减：①法则：先通分，变为同分母的分式，再加减；②用式子表示：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad ±bc bd. 警误区 分式加减运算的注意点 (1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号；(2)异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式加减法进行运算，通分时要注意最简公分母的确定；(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式．【例3】 计算：(1)（a －b ）22ab ＋（a ＋b ）22ab ； (2)a a 2－1－11－a 2； (3)1x ＋y －1x －y ＋2x x 2－y 2；(4)12m 2－9＋23－m ； (5)x －3x 2－1－2x ＋1； (6)4a ＋2－a －2.4．整数指数幂一般地，当n 是正整数时，a －n ＝1a n (a ≠0)．这就是说，a －n (a ≠0)是a n 的倒数．这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．根据整数指数幂的运算性质，当m ，n 为整数时，a m ÷a n ＝a m －n ，a m ·a －n ＝a m ＋(－n )＝a m －n ，因此a m÷a n ＝a m ·a －n .特别地，a b＝a ÷b ＝a ·b －1，所以⎝⎛⎭⎫a b n ＝(a ·b －1)n ，即商的乘方⎝⎛⎭⎫a b n 可以转化为积的乘方(a ·b －1)n . 这样，整数指数幂的运算性质可以归纳为：(1)a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 是整数)；(2)(a m )n ＝a mn (m ，n 是整数)；(3)(ab )n ＝a n b n (m ，n 是整数)．【例4】 计算：(1)⎝⎛⎭⎫－23－2； (2)a 2b －3(a －1b )3÷(ab )－1.5．科学记数法(1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为原数整数部分的位数减1；(2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时，可以表示为a ×10－n 的形式，其中n 为原数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)，1≤|a |＜10.提示：用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小．【例5】 把下列各数用科学记数法表示出来：(1)650 000； (2)－36 900 000； (3)0.000 002 1； (4)－0.000 006 57.6．分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算．谈重点 分式乘除混合运算的方法 (1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母括号的处理，以及结果符号的确定；(3)分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式．7．分式的混合运算分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同，必须按照运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号时先去小括号再去中括号，最后结果要化为最简分式或整式．解技巧 分式混合运算的技巧 分式四则混合运算要注意：(1)按照运算顺序进行，确定合理的运算顺序是解题的关键；(2)灵活运用交换律、结合律、分配律，可以使运算简捷，而且还可以提高运算速度和准确率；(3)将结果化为最简分式或整式；(4)运算过程中要注意符号的确定．8．把分式化简后再求值 分式的化简求值题，关键是要准确地运用分式的运算法则，然后代入求值．化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变，要注意分清运算顺序，先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算．【例6】 计算：1－x 2x 2＋4x ＋4÷(x －1)2·x 2＋3x ＋2x －1.【例7】 计算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2＋2ab ÷⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2·2a 2－b 2＋2ab.【例8】 先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫3x x －1－x x ＋1·x 2－12x ，其中x ＝－3.9.运用分式运算解决实际问题运用分式运算解决实际问题，关键是理解题意，找准各种量之间的关系，这也是解决数学应用题的基本方法，作差法等也是解决这类问题的常用方法．在判断两分式的差的正负的时候，可以考虑利用完全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题．作差法举例：若x ≠y 且x ＞0，y ＞0，比较4x ＋y 与x ＋y xy的大小．【例9】 甲、乙两工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现要求甲生产出168个零件，乙生产出144个零件，则他们两人谁能先完成任务？10．分式混合运算的开放型题所以在解决此类问题时，首先还是要正确进行分式的化简，然后还要注意问题的多解的情况．举例：已知P ＝a 2＋b 2a 2－b 2，Q ＝2ab a 2－b 2，用“＋”或“－”连接P ，Q 共有三种不同的形式：P ＋Q ，P －Q ，Q －P ，请选择其中一种进行化简求值，其中a ＝3，b ＝2.【例10】 已知A ＝1x －2，B ＝2x 2－4，C ＝x x ＋2.将它们组合成(A －B)÷C 或A －B÷C 的形式，请你从中任选一种进行计算．先化简，再求值，其中x ＝3.。
分式方程的运算
分式方程的运算主要包括以下几个步骤：
确定分母：首先需要找到分式方程中的分母，并确保它们在运算过程中不会为零。
约分：如果分子和分母有公因式，可以进行约分，简化方程。
乘法法则：如果需要将分式相乘，需要将分子和分母分别相乘。
除法法则：如果需要将一个分式除以另一个分式，可以将其转化为乘法形式，即除以一个分式等于乘以它的倒数。
加减法则：如果需要将多个分式相加减，首先需要将它们的分母统一，然后进行加减运算。
检验：最后需要检验运算结果是否正确，可以通过将结果代入原方程进行验证。
请注意，在进行分式方程运算时，需要注意运算的顺序和符号，以及确保分母不为零。
同时，也需要注意化简和整理方程的过程，避免出现分数和小数的混淆。
分式运算的八种技巧
分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。
3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。
4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。
请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。
6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。
7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。
10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。
11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。
12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。
13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。
分式的加减乘除
分式的加减乘除分式是数学中常见的一种表示数的方式，它是以分数的形式呈现，由一个分子和一个分母组成。
在实际问题中，我们常常需要对分式进行加、减、乘、除的运算。
本文将重点讨论分式的加减乘除运算，并给出相应的计算方法和示例。
一、分式的加法分式的加法是指将两个分式相加的运算。
具体的计算步骤如下：1. 对两个分式的分母进行通分，使得它们的分母相同。
2. 分别对两个分式的分子进行相应的运算。
3. 将得到的结果作为新分式的分子，通分后的分母作为新分式的分母。
示例：假设我们要计算 1/3 + 1/4，按照上述步骤进行计算：1. 通分得到：4/12 + 3/12。
2. 分子相加得到：4 + 3 = 7。
3. 分母保持不变：12。
因此，1/3 + 1/4 = 7/12。
二、分式的减法分式的减法是指将两个分式相减的运算。
计算步骤如下：1. 对两个分式的分母进行通分，使得它们的分母相同。
2. 分别对两个分式的分子进行相应的运算。
3. 将得到的结果作为新分式的分子，通分后的分母作为新分式的分母。
示例：假设我们要计算 5/6 - 2/3，按照上述步骤进行计算：1. 通分得到：5/6 - 4/6。
2. 分子相减得到：5 - 4 = 1。
3. 分母保持不变：6。
因此，5/6 - 2/3 = 1/6。
三、分式的乘法分式的乘法是指将两个分式相乘的运算。
计算步骤如下：1. 将两个分式的分子相乘，作为新分式的分子。
2. 将两个分式的分母相乘，作为新分式的分母。
示例：假设我们要计算 (2/3) * (3/4)，按照上述步骤进行计算：1. 分子相乘得到：2 * 3 = 6。
2. 分母相乘得到：3 * 4 = 12。
因此，(2/3) * (3/4) = 6/12，可以进一步化简得到 1/2。
四、分式的除法分式的除法是指将一个分式除以另一个分式的运算。
计算步骤如下：1. 将除法转化为乘法，即将被除数的分式乘以除数的倒数。
2. 将被除数的分子与除数的分子相乘，作为新分式的分子。
分式的基本运算
分式的基本运算分式是数学中一种常见的表示有理数的形式，它由分子和分母组成，用横线隔开。
在分式的计算中，我们需要掌握分数的加减乘除四种基本运算法则。
一、分数的加法和减法当两个分数的分母相同时，我们可以直接对分子进行加减操作。
例如，对于分数$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}$，我们只需要将分子相加即可得到结果$\frac{a+c}{b}$。
当两个分数的分母不同时，我们需要通过通分的方法将它们的分母转换为相同的数，再进行加减操作。
通分的方法是找出两个分母的最小公倍数，然后将分子和分母分别乘以各自的倍数以使得分母相同。
例如，对于分数$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$，我们可以通过找出$b$和$d$的最小公倍数$lcm(b,d)$，然后对分子进行乘法变换得到$\frac{a\times(lcm(b,d)/b)}{lcm(b,d)}+\frac{c\times(lcm(b,d)/d)}{lcm(b,d)}$。
接下来，我们可以直接对分子相加，将分母保持不变，得到结果$\frac{a\times(lcm(b,d)/b)+c\times(lcm(b,d)/d)}{lcm(b,d)}$。
二、分数的乘法两个分数相乘时，我们只需将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母即可。
例如，对于分数$\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}$，结果为$\frac{a\times c}{b\times d}$。
三、分数的除法两个分数相除时，我们需要将除数转换为倒数，然后再进行乘法操作。
将一个分数的分子和分母互换位置得到的新分数称为该分数的倒数。
例如，对于分数$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}$，我们可以将除数$\frac{c}{d}$转换为倒数$\frac{d}{c}$，然后再将它与被除数$\frac{a}{b}$相乘，得到结果$\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{a\times d}{b\times c}$。
分式的除法运算
分式的除法运算分式是数学中常见的表达形式，它表示了两个数的比值关系。
分式的除法运算是指对于两个分式，求它们的商的过程。
本文将介绍如何进行分式的除法运算，并通过实例进行详细说明。
一、分式的除法原理分式的除法运算可以分为两个步骤：先求出除法的倒数，再与被除数相乘。
具体步骤如下：1. 将除数的分子与被除数的分母相乘，得到新的分子。
2. 将除数的分母与被除数的分子相乘，得到新的分母。
3. 简化新的分数，即约分。
二、分式的除法实例下面通过实例来说明分式的除法运算。
实例1：计算1/4 ÷ 2/3根据分式的除法原理，我们有：分子：1 × 3 = 3分母：4 × 2 = 8得到新的分数：3/8可以发现，新的分数已经是最简形式，不需要再进行约分。
实例2：计算2/5 ÷ 1/2根据分式的除法原理，我们有：分子：2 × 2 = 4分母：5 × 1 = 5得到新的分数：4/5同样地，新的分数已经是最简形式。
实例3：计算3/8 ÷ 4/5根据分式的除法原理，我们有：分子：3 × 5 = 15分母：8 × 4 = 32得到新的分数：15/32这个分数也已经是最简形式。
三、分式的除法注意事项在进行分式的除法运算时，有几点需要注意：1. 当除数和被除数都是整数时，可以将它们看作是分母为1的分式，即a可以表示为a/1。
2. 如果分式中含有整数和分数，可以将整数转化为分数的形式再进行计算。
3. 在最终的结果中，如果分子和分母没有公因子，则为最简形式。
四、总结分式的除法运算是一种重要的数学计算方法。
要正确进行分式的除法运算，首先需要掌握分式的除法原理，然后根据原理进行计算，并化简结果。
在实际运用中，可以将分母为1的整数看作是分式，再进行运算。
同时，在结果中进行最简形式化简，使结果更加简洁和准确。
以上就是分式的除法运算的详细介绍。
通过掌握分式的除法原理和实例演算，相信读者已经对分式的除法运算有了更深入的理解，能够熟练地进行分式的除法运算。
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分式的运算【学习目标】1．能进行简单的分式的乘除法运算，正确运用运算顺序进行分式的混合运算．2．知道分式的乘方，会进行分式乘方运算．3．能进行分式的加减运算及分式的混合运算．【基础知识精讲】1．分式的乘除法：分式乘除法归根结底是分式的乘法运算，实质是约分，结果一定要化成最简分式或整式．分式的乘法法则：分式乘以分式，将分子、分母分别相乘的积，作为积的分子、分母，用式子表示为bd ac d c b a =⋅；分式的除法法则：分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘，即bc ad c d b a d c b a =⋅=÷． 2．分式的乘方：分式乘方，把分子、分母各自乘方．用式子表示为：n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛(其中n 为正整数)． 3．分式的加减法：(1)同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减．即b c a dc b a ±=±． (2)异分母的分式相加减，先通分，化成同分母的分式，然后相加减．bd bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=±．4．分式的混合运算，先乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．有理数的运算律可应用于分式计算中．【经典例题精讲】例1 计算：(1)223322ab 4y x 5y x 3b a 2⋅； (2)42322xy 9b a 10y x 3ab 5÷． 分析：或按照分式乘除法则计算．解： (1)by 6ax 5ab 4y x 3y x 5b a 2232232=⋅⋅=原式； (2)ax by b a xy y x ab 231093524322=⋅=原式． 注意：分式运算的结果要化成最简分式．例2 计算：9x 6x 4x 4x 9x 4x 2x 3x 2222+++-÷--⋅+-． 分析：先将除法化成乘法，将各分式分子、分母分解因式． 解：2x 3x )2x ()3x ()3x )(3x ()2x )(2x (2x 3x 22-+=-+⋅-+-+⋅+-=原式． 注意：将分式除法化为乘法后，在计算过程中可以约分．例3 计算： (1)22n m 5p 3⎪⎭⎫ ⎝⎛-； (2)3222b a 2c 3ab c ⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-． 分析：分式乘方，将分子、分母各自乘方．解： (1)242n m 25p 9=原式； (2)bc 27a 8c 27b a 8b a c 4336422=⋅=原式． 注意：乘除与乘方混合时，应先算乘方，再算乘除．例4 计算： (1)ab 2)b a (ab2)b a (22++-； (2)ab 2)b a (ab2)b a (22+--． 分析：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减．解： (1)ab 2)b a ()b a (22++-=原式ab 2b ab 2a b ab 2a 2222++++-=ab 2b 2a 222+=ab b a 22+=； (2)ab 2)b a ()b a (22+--=原式ab 2b ab 2a b ab 2a 2222---+-=ab 2ab4-=＝－2．例5 计算： (1)y 1x 1+； (2)y 1x +； (3)ab 5c 2b a 31ab2122-+； (4)4x x 2x 12---； (5)2x x 1x 232x 42--+-+-．分析：异分母分式相加减，先通分，化成同分母分式，再相加减．(1)y 1x 1+=原式 y yx +=； (2)y 1x +=原式 y 1y xy +=y 1xy +=； (3)ab 5c 2b a 31ab2122-+ 22b a 30abc12b 10a 15-+=； (4)4x x 2x 12---)2x )(2x (x )2x )(2x (2x -+-+-+=)2x )(2x (2+-=； (5)2x x 1x 232x 42--+-+-2x x 1)1x )(2x (3x 3)1x )(2x (4x 42--++-+-+-+=2x x 2x 2--+=．点拔：整式可看做分母为1的分式．例6 计算：2x x 2x 2--+．分析：将x ＋2可看作12x +．2x x 12x 2--+=原式2x x 4x 22---=2x 4--= 2x 4--=．点拔：当一个多项式与分式相加减时，可以将多项式逐项通分，也可以将多项式当做一个整体通分化简．例7 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⋅+-b a a 2b a b a 1a 21．分析：分式的混合运算，按照分式混合运算法则或运用运算律化简．解法1： (1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅+-=a 2ab 2a 2a 2b a b a 1a 212原式 a 2)b a (a 2)b a (b a 1a 21+-+⋅+-=a 2)a 21)(b a (b a 1a 21-+⋅+-=a 2a 21a 21--=a 2a211+-=＝1；解法2：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅+-=)b a (a 2b a b a 1a 21原式)b a (b a 1a 2b a b a 1a 21+⋅+++⋅+-=1a 21a 21+-=＝1．点拔：分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算或化简．例8 先化简再求值：2222b 4ab 4a b a b 2a b a 1++-÷+--，其中3a =，b ＝2． 分析：化简求值题，应先化简，再代入求值．解：2222b a b 4ab 4a b 2a b a 1-++⋅+--=原式)b a )(b a ()b 2a (b 2a b a 12-++⋅+--=b a b 2a 1++-= b a b2a b a +--+=b a b+-=， 当3a =，b ＝2时，432)32(2322-=--=+-=原式．注意：化简的结果要化成最简分式，计算的结果要分母有理化．【中考考点】例1 (2001·云南省)化简：x 1y x x ⋅÷＝( ) A ．1B ．xyC ．x yD ．y x分析：此题考查分式的乘除混合运算．解：x y x 1x y x x 1y x x =⋅⋅=⋅÷，故选C ．注意：分式乘除混合运算，将除法转化为乘法后再计算．例2 (2001·青海省)分式2x 2x 2x 2x -+-+-化简的结果是( )A ．4x x82--B ．4x x 82+-C ．4x x82- D ．4x 8x 222-+分析：此题考查异分母分式加减法．解：2x 2x 2x 2x -+-+-)2x )(2x ()2x ()2x (22-++--=)2x )(2x (x8-+-=4x x82--=，故选A ．注意：分式加减时，不要弄错符号．例3 (2002·聊城市)计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2a a a 242a ＝_________． 分析：此时考查分式四则混合运算．解：a 2a 2a 412a -⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=原式a 2a 2a 44a 2-⋅-+-=＝a ．点拔：分式分子、分母是多项式时，先将分子和分母按同一字母降幂或升幂排列，再化简，计算简单些．例4 (2001·山东聊城)已知a －2b ＝2 (a ≠1)，求222222b 4ab 4a b 2a b 4a b 4a -+-++--的值．分析：可将a －2b 当做一个整体代入求值．解：)b 4ab 4a ()b 2a ()b 2a )(b 2a ()b 2a )(b 2a (22+--++-+-+=原式2)b 2a ()1b 2a )(b 2a ()b 2a )(b 2a (--+-+-+=2)b 2a (1b 2a b 2a --+--=432-=310-=． 注意：将a ＝2b ＋2代入也可求出式子的值．例5 (2002·贵阳市)已知22b 22a +=-=，，求22222223b a ab a b ab 2a b a b a --÷+++的值．分析：此题是化简求值题．解：)b a (a )b a )(b a ()b a ()b a (b a 22--+⋅++=原式 ＝ab)22)(22(+-=＝4－2＝2．【常见错误分析】例1 计算：x x 1x ⋅÷． 错解：x 1x x x 1x =⋅=⋅÷． 正解：3x x 1x x x x 1x =⋅⋅=⋅÷．错解分析：含有乘除运算的式子，应从左往右依次计算，或将除法转化为乘法后，运用乘法结合律进行简便运算．例2 计算：1x 11x 1+--． 错解：2)1x (1x 1x 11x 1=--+=+--． 正解：1x 2)1x )(1x ()1x (1x 1x 11x 12-=+---+=+--．错解分析：将分式的通分与解方程的去分母相混淆．【学习方法指导】1．分式的乘除法可以类比分数的乘除法，分式加减法则可以类比分数加减法则．2．分式运算的结果要化成最简分式．3．通过颠倒除式的分子和分母，将分式除法转化成分式乘法．4．分式的四则运算要先弄清顺序再计算或化简．【规律总结】1．本节包括分式的乘除、加减及其混合运算，当分式的分子和分母都为多项式时，可先分解因式，再进行计算或求值．2．求分式的值时，应先将所求代数式化简，然后代入求值．3．分式运算的结果要化成整式或最简分式．【同步达纲练习】一、填空题1．计算：__________x 2y y y x 2x 2=-+-．2．计算：____________1a 1a a 2=---．3．计算：______________1x 1x 2x x 11122=-+----．4．计算：______________a 6a 532a 3a 322=---+-．5．计算：________________)1x (11x 11x 12=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-．6．若01x 4x 2=++则______________x 1x 22=+．7．若x ＋y ＝－1，则_______________xy 2y x 22=++．8．________________b a a b a 2=+--．二、选择题9．3x =时，代数式x 1x 21x x 1x x -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--的值是( )A ．213-B ．231-C ．233- D ．233+10．化简2222a ab b ab ab b a ----的结果是( ) A ．a bb a 22+- B ．b aC ．b a -D ．ab b 2a 22+ 11．下面的计算中，正确的是( )A ．21x x 1x 11x =-----B ．2244222322a b b a b a b a b a ba =÷=⋅÷ C ．1b a a b b a b a b a m mm m m m m 3m 3m 2m 2=⋅=⋅÷D ．0)1x (x )1x (x )x 1(x )1x (x 6666=---=-+-12．化简分式ab b a a b b a 22+--的结果是( ) A ．10 B ．b a 2-C ．a b2-D ．a b 213．计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1x 111x 112的结果是( ) A ．1B ．x ＋1C ．x 1x +D ．1x 1-三、解答题14．化简：4x 24x 216x 42--++-．15．化简：x1x 3x 2x 1x x 3x 1x 2222+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+．16．已知23y 32x -=+=，，求y x y x )y x (2244++÷-的值．17．先化简代数式)n m ()n m (mn2n m n m n m n m 22222-+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+，然后请你自取一组a 、b 的值代入求值(所取a 、b 的值要保证原代数式有意义)．18．观察下列关系式：212111+=，613121+=，1214131+=，… 请你观察上列各式并归纳出一般结论．19．已知实数x 、y 满足04y 2x 32|1y x 2|=+-++-，求代数式2222y 4xy 4x y x y 2x y x 1+--÷---的值．20．已知122y 22x -=-=，，求2y xy 2x y x y x y x 2222-++-++-．参考答案 【同步达纲练习】一、 1．12．1a 1- 3．1x 1x 32--4．)3a )(1a (6--5．1x 2x 2++-6．147．21 8．b a b 2+-二、9．B 10．B 11．C 12．C 13．C三、14．4x 24x 216x 42--++-)4x )(4x (8x 28x 24-+---+=16x 122--=．15．3x 1-．16．2)y x )(y x (+-，48．17．m ＋n ．18．)1n (n 11n 1n 1+++=(n 为整数且n ≥1)．19．⎩⎨⎧==5y 2x ，y x y 3+=原式715=． 20．y x y 4+-=原式20212-=．。