小学奥数 乘除法数字谜(一)
五年级奥数专题 数字谜初步(学生版)
学科培优 数学 “数字谜初步” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜,从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字谜。
横式与竖式亦可以互相转换,本讲中将主要介绍数字谜的一般解题技巧。
主要涉及小数、分数、循环小数的数字谜问题,因此,会需要利用数论的知识解决数字谜问题。
知识梳理数字谜加减法(1)个位数字分析法（如图）加法各位数规律；减法个位数规律；乘法个位数规律；(2)加减法中的进位与错位(3)奇偶性分析法数字谜乘除法(1)解题方法：数字乘法个位数字的规律--最大值最小值的考量--加减法进位规律--合数分解质因数性质--奇偶数性质规律--余数性质数阵图1、从整体和局部两种方向入手,单和与总和2、区分数阵图中的普通点（或方格）,和关键点（方格）3、在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数,计算这些 关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围4、运用已经得到的信息进行尝试（试数）429+7例题精讲 【试题来源】 【题目】有一个五位数,在某一位数字后加上一个小数点,得到一个小数,再把这个小数和原来的五位数相加,得数十79358.73,求这个五位数? 【试题来源】 【题目】希1+望1＋杯1＝1,不同的汉字表示不同的自然数,则“希＋望＋杯”＝【试题来源】【题目】在每个方框内填入一个数字,要求所填数字都是质数,并使竖式成立【试题来源】【题目】迎杯×春杯=好好好在上面的乘法算式中,不同的汉字表示不同的数字,相同的汉字表示相同的数字。
那么“迎+春+杯+好”之和等于多少?【试题来源】【题目】由3个不同数字能组成6个互异的三位数,这6个三位数的和是2886．求所有这样的6个三位数中最小的三位数．【试题来源】【题目】下面算式(1)是一个残缺的乘法竖式,其中□≠2,那么乘积是 ．x7【试题来源】【题目】下面残缺的算式中,只写出了3个数字1,其余的数字都不是1,那么这个算式的乘积是．【试题来源】【题目】下面的除法算式(1)是一个小数的除法竖式,其中所注明的两个字母要求：A＜B,那么满足这个竖式的除数与商的和是．【试题来源】【题目】在下面的算式中,只有四个4是已知的,则被除数为【试题来源】【题目】把1,2,3,…,13这13个数分别填在如图所示的3个圆圈内,使得同一个圆圈内任意两个数相减,所得的差不在这个圆圈内．现在已经把1,4,7填在第一个圆圈内,3填在第三个圆圈内,请将其余9个数填好．【试题来源】 【题目】将I,2,3,4,5,6,7,8这8个数分成3组,分别计算各组数的和．已知这3个和互不相等,且最大的和是最小的和的2倍,那么最小的和是多少?【试题来源】【题目】红、黄、蓝和白色卡片各一张,每张上写有一个数字．小明将这4张卡片如图7-l 放置,使它们构成一个四位数,并计算这个四位数与它的数字之和的10倍的差．结果小明发现,无论白色卡片上是什么数字,计算结果都是1998．问红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字?红黄 白 蓝【试题来源】【题目】请补全下图这个残缺的除法竖式.问这个除法算式的商数是多少?31 4 7 2 11 125 6 8 910 1331 4 7习题演练【试题来源】【题目】ABCD表示一个四位数,EFG表示一个三位数,A,B,C,D,E,F,G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=1993,问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少?【试题来源】【题目】如图,4个小三角形的顶点处有6个圆圈。
小学奥数 最值的数字谜(一) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 掌握最值中的数字谜的技巧2. 能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题数字谜中的最值问题常用分析方法1. 数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜；2. 竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．3. 数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、分解质因数法、奇偶分析法等．4. 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的最值的可能值，再验证能否取到这个最值．5. 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型。
【例 1】 有四个不同的数字，用它们组成最大的四位数和最小的四位数，这两个四位数之和是11469，那么其中最小的四位数是多少？【考点】加减法的进位与借位 【难度】3星 【题型】填空【解析】 设这四个数字是a b c d >>>，如果0d ≠，用它们组成的最大数与最小数的和式是11469a b c dd c b a +，由个位知9a d +=，由于百位最多向千位进1，所以此时千位的和最多为10，例题精讲知识点拨教学目标5-1-2-4.最值中的数字谜（一）与题意不符．所以0d =，最大数与最小数的和式为0011469a b c c b a +，由此可得9a =，百位没有向千位进位，所以11a c +=，2c =；64b c =-=．所以最小的四位数cdba 是2049．【答案】2049【例 2】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，如果新数比原数大7902，那么所有符合这样条件的四位数中原数最大的是 ．7902D C B AA B C D -【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空【解析】 用A 、B 、C 、D 分别表示原数的千位、百位、十位、个位数字，按题意列减法算式如上式．从首位来看A 只能是1或2，D 是8或9；从末位来看，102A D +-=，得8D A =+，所以只能是1A =，9D =．被减数的十位数B ，要被个位借去1，就有1B C -=．B 最大能取9，此时C 为8，因此，符合条件的原数中，最大的是1989．【答案】1989【例 3】 在下面的算式中，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 分别代表1～9中的数字，不同的字母代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则三位数EFG 的最大可能值是 ．2006A B C DE F G +【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空【解析】 可以看出，1A =，6D G +=或16．若6D G +=，则D 、G 分别为2和4，此时10C F +=，只能是C 、F 分别为3或7，此时9B E +=，B 、E 只能分别取()1,8、()2,7、()3,6、()4,5，但此时1、2、3、4均已取过，不能再取，所以D G +不能为6，16D G +=．这时D 、G 分别为9和7；且9C F +=，9B E +=，所以它们可以取()3,6、()4,5两组．要使EFG 最大，百位、十位、个位都要尽可能大，因此EFG 的最大可能值为659．事实上134********+=，所以EFG 最大为659．【答案】659【巩固】 如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么四位数“奥林匹克”最大是奥林匹克+奥数网2008【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，1试，第2题【解析】 显然“2≤奥”，所以“1=奥或2”，如果“2=奥”，则四位数与三位数的和超过2200，显然不符合条件，所以“1=奥”，所以“9≤林”，如果“9=林”那么“200819001008+=--=匹克数网”，“0=匹=数”，不符合条件，所以“林”最大只能是8，所以“20081800100108+=--=匹克数网”，为了保证不同的汉字代表不同的数字，“匹克”最大是76，所以“奥林匹克”最大是1876。
小学奥数- 算式谜(一)
5-1-1-1.算式谜（一）教学目标数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字谜。
横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字谜的一般解题技巧。
主要横式数字谜问题，因此，会需要利用数论的简单奇偶性等知识解决数字谜问题。
知识点拨一、基本概念填算符：指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。
算符：指+、-、×、÷、（）、[]、｛｝。
二、解决巧填算符的基本方法（1）凑数法：根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，从而使等式成立。
（2）逆推法：常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。
三、奇数和偶数的简单性质（一）定义：整数可以分为奇数和偶数两类（1）我们把1，3，5，7，9和个位数字是1，3，5，7，9的数叫奇数.（2）把0，2，4，6，8和个位数是0，2，4，6，8的数叫偶数.（二）性质：①奇数≠偶数.②整数的加法有以下性质：奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数.③整数的减法有以下性质：奇数-奇数=偶数；奇数-偶数=奇数；偶数-奇数=奇数；偶数-偶数=偶数.④整数的乘法有以下性质：奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数.例题精讲模块一、巧填算符（一）巧填加减运算符号【例1】在下面算式适当的地方添上加号，使算式成立。
88888888=1000【例2】在等号左边9个数字之间填写6个加号或减号组成等式：123456789＝101【例3】在下面的□中填入“+”、“一”，使算式成立：1110987654210□□□□□□□□3□□=【巩固】在下面的□中填入“+”、“一”，使算式成立：11109876321=□□□□□□5□4□□【例4】在下面算式中合适的地方，只添两个加号和两个减号使等式成立。
小学初级奥数第35讲-乘除法数字谜
练一练 在□内填入适当的数字，使下列乘法竖式成立：
例七
用代数方法求解下列竖式：
练一练 用代数方法求解下列竖式：
课后作业 <作业1>
下面是一个乘法算式：问：当乘积最大时，所填的四个数字的和是多少？
×5
<作业2> 在下列算式的□中，填上适当的数字，使得算式成立。
课后作业
课后作业 <作业3>
在下式的□中填入合适的数字，并要求等式中没有重复的数字： 756=□×□□□。
例四
将1～7七个数码分别填入下列竖式的□内，使得竖式成立：
练一练
将1～7七个数码分别填入下列竖式的□内，使得竖式成立：
例五 将1～8分别填入下列竖式的八个□中，每题都有两种不同填法，请至少找出其中一种：
练一练
将1～8分别填入下列竖式的八个□中，每题都有两种不同填法，请至少找出其中一种：
例六 在□内填入填入下列3个算式的□中，使得3个等式同时成立：
□+□=□， □-□=□， □×□=□□。
例三 将1～9这九个数码填入下列三个算式的九个□中，使得三个等式都成立：
练一练
下列各小题都是由1～9九个数码组成的算式，其中有几个已知道， 请将其余的数码填入□中，使得各等式成立： （1）□×□=5□；□□÷□×□=□； （2）□×□×□=□+□；□÷□=□÷□； （3）□×□=□□□÷5□=□□。
<作业4> 在□中填入适当的数字，适当算式成立。
课后作业
课后作业 <作业5>
在下面的竖式中，被除数、除数、商、余数的和是709。请填上各□中的数字。
例一
在下列各式的□中填入适当数字，使得等式成立且数字关于等号左右对称： （1）12×23□=□32×21；（2）12×46□=□64×21； （3）□8×891=198×8□；（4）24×2□1=1□2×42； （5）□3×6528=8256×3□。
四年级奥数基础教程第9讲数字谜(一)
四年级奥数基础教程第9讲数字谜(一)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第9讲数字谜（一）我们在三年级已经学习过一些简单的数字谜问题。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要学习一些新的内容。
例1 在下面算式等号左边合适的地方添上括号，使等式成立：5+7×8+12÷4-2＝20。
分析：等式右边是20，而等式左边算式中的7×8所得的积比20大得多。
因此必须设法使这个积缩小一定的倍数，化大为小。
从整个算式来看，7×8是4的倍数，12也是4的倍数，5不能被4整除，因此可在7×8+12前后添上小括号，再除以4得17，5＋17-2=20。
解：5+（7×8+12）÷4-2=20。
例2把1～9这九个数字填到下面的九个□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）：分析与解：如果从加法与减法两个算式入手，那么会出现许多种情形。
如果从乘法算式入手，那么只有下面两种可能：2×3＝6或2×4＝8，所以应当从乘法算式入手。
因为在加法算式□+□=□中，等号两边的数相等，所以加法算式中的三个□内的三个数的和是偶数；而减法算式□-□=可以变形为加法算式□=□+□，所以减法算式中的三个□内的三个数的和也是偶数。
于是可知，原题加减法算式中的六个数的和应该是偶数。
若乘法算式是2×4＝8，则剩下的六个数1，3，5，6，7，9的和是奇数，不合题意；若乘法算式是2×3＝6，则剩下的六个数1，4，5，7，8，9可分为两组：4＋5＝9，8-7＝1（或8-1＝7）；1＋7＝8，9－5＝4（或9－4＝5）。
所以答案为与例3下面的算式是由1～9九个数字组成的，其中“7”已填好，请将其余各数填入□，使得等式成立：□□□÷□□=□-□=□-7。
三年级下册奥数试题-第6讲 数字谜(一)(PDF无答案)全国通用
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数学三年级
[实用参考]奥数试卷-乘除法算式谜.doc
![[实用参考]奥数试卷-乘除法算式谜.doc](https://img.taocdn.com/s3/m/fa63f312e2bd960590c677ca.png)
乘除法算式谜[问题一]在右面的□里填上合适的数字。
想：因为积的个位是6，那么两个因数个位相乘的积的个位也是6；一个因数十位上是6，如果它与比1大的数相乘，所得的积肯定是三位数，但两次乘得的积都是两位数，那另一个因数的十位和个位都只能填1。
解：[试一试]1．在下面的□里填上合适的数字。
2.在下面的□里填上合适的数字。
[问题二]下列算式中不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。
它们各代表什么数字时算式成立。
想：（1）由积的个位是2，一个因数是3，推出另一个因数的各位数“杯”是4。
（2）4×3＝12，在积的个位上写2，向十位进1，因为积的十位数“杯”为4，所以“金”×3的积的个位数是3，由此“金”是１。
（3）“金”是1，积的百位数为1，所以“庚”×3的积的末位数应是1，由此“庚”是7。
（4）7×3＝21，在积的百位上写1，向千位进2，因为积的千位数为7，所以“罗”×3的积的末位数应是5，由此“罗”是5。
（5）由积的万位数“罗”是5，可推得“华”为8。
解：答：华＝8，罗=5，庚=7，金=1，杯=4。
[试一试]1.下面算式中的a、b、c、d这四个字母各应代表什么数字？2．下式中“数学俱乐部”分别代表哪些数字？[问题三]右面的乘法算式中，算、式、谜各代表一个互不相同的数字。
它们各代表什么数字时算式成立。
想：由算式谜×谜=□□□谜，可知谜不等于1或0，因此移只等于5或6。
（1）若谜=5，由于算式谜×算的乘积是三位数，所以“算”不大于3，且算式谜×算的乘积的百位上的数字大于等于3小于等于5，所以算=2。
由于算式谜×式=□□5，可知式是奇数，且小于5。
（2）若谜=6，同理，算式谜×算的乘积的百位上的数字，必须大于等于4且小于等于6，所以算=2，由于2式6×式=□□6，所以式=1，但216×216=46656，不符合题意。
最新小学奥数 数字谜
最新小学奥数数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这一讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
例3 在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。
例4 已知六位数33□□44是89的倍数，求这个六位数。
例5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。
例6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。
请你填上适当的数字，使竖式成立。
练习11.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。
2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。
请你用适当的数字代替字母，使竖式成立：3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。
4.在下面的算式中填上若干个（），使得等式成立：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8。
5.将1～9分别填入下式的□中，使等式成立：□□×□□=□□×□□□=3634。
6.六位数391□□□是789的倍数，求这个六位数。
7.已知六位数7□□888是83的倍数，求这个六位数。
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数字谜是杯赛中非常重要的一块，特别是迎春杯，数字谜是必考的，一般学生在做数字谜的时候都采用
尝试的方式，但是这样会在考试中浪费很多时间．本模块主要讲乘除竖式数字谜的解题方法，学会通过找突破口来解决问题．最后通过例题的学习，总结解数字谜问题的关键是找到合适的解题突破口．在确定各数位上的数字时，首先要对填写的数字进行估算，这样可以缩小取值范围，然后再逐一检验，去掉不符合题意的取值，直到取得正确的解答．
1. 数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．
2. 数字谜突破口：这种不完整的算式，就像“谜”一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则，数的
性质（和差积商的位数，数的整除性，奇偶性，尾数规律等）来进行正确的推理，判断．
3. 解数字谜：一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口．推理时应注意： ⑴ 数字谜中的文字，字母或其它符号，只取0~9中的某个数字； ⑵ 要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件；
⑶ 必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字； ⑷ 数字谜解出之后，最好验算一遍．
模块一、乘法数字谜
【例 1】 下面是一个乘法算式：问：当乘积最大时，所填的四个数字的和是多少？
5
×
【考点】乘法数字谜 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第2题
【例 2】 下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．⨯=美妙数学数数妙，美+妙数学=妙数数。
=美妙数学___________
【考点】乘法数字谜 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯，四年级，初赛，第12题，五年级，初赛，第11题
【例 3】 北京有一家餐馆，店号“天然居”，里面有一副著名对联：客上天然居，居然天上客。
巧的很，
这副对联恰好能构成一个乘法算式(见右上式)。
相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不
例题精讲
知识点拨
教学目标
5-1-2-2.乘除法数字谜（一）
同的数字。
“天然居”表示成三位数是_______。
×
客
上天然居4
居然天上客
【考点】乘法数字谜 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】走美杯，4年级，决赛，第6题，10分
【例 4】 下面算式(1)是一个残缺的乘法竖式，其中□≠2，那么乘积是多少？
【考点】乘法数字谜 【难度】2星 【题型】填空
【例 5】 下面残缺的算式中，只写出了3个数字1，其余的数字都不是1，那么这个算式的乘积是？
【考点】乘法数字谜 【难度】2星 【题型】填空
【例 6】 右面的算式中，每个汉字代表一个数字（0~9），不同汉字代表不同数字．美+妙+数+学+花+园
= ．
42380
5⨯美妙数学
花园数学真美妙好好好美妙 【考点】乘法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，决赛，第5题，10分
【例 7】 在右边的乘法算式中，字母A 、B 和C 分别代表一个不同的数字，每个空格代表一个非零数字．求
A 、
B 和
C 分别代表什么数字？
941
A B C
A B C
⨯
【考点】乘法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【例 8】 在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．已知乘积有两种不同的得数，那么这两个得数
的差是 ．
【考点】乘法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，复试，5题
【例 9】 在图中的每个方框中填入一个适当的数字，使得乘法竖式成立。
乘积等于 。
2008
⨯
【考点】乘法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，5年级，决赛，第6题，10分
【例 10】 如图，请在右图每个方框中填入一个数字，使乘法竖式成立。
7
00×
2
【考点】乘法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】
【例 11】 在下面的乘法算式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．则A = ，
ABCDE 表示的五位数是 ．
68A
B A
C A D
A A E
D
⨯
【考点】乘法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，5年级，第13题
【例 12】 如图，请在右图每个方框中填入一个不是8的数字，使乘法竖式成立。
【考点】乘法数字谜 【难度】4星
【关键词】
【例 13】 在下面的算式中：abc cba acbba ⨯=，,,a b c 别代表0～9中的三个不同的数字，那么，数字b
是 ．
【考点】乘法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【例 14】 如图所示的乘法竖式中，“学而思杯”分别代表0～9 中的一个数字，相同的汉字代表相同的数字，
不同的汉字代表不同的数字，那么“学而思杯”代表的数字分别为________
⨯学而思杯
学而思杯
【考点】乘法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
模块二、除法数字谜
【例 15】 在方格内填上适当的数字，使得除法竖式成立。
3
1
【考点】除法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【例 16】 如图所示的除法算式中，每个□各代表一个数字，则被除数是 。
6
3
【考点】除法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，8题
8
8
8
×
【例 17】 右边的除法算式中，商数是 。
6
7
【考点】除法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第11题，4分
【例 18】 右面算式中的每个“奇”字代表1、3、5、7、9中的一个，每个“偶”
字代表0、2、4、6、8中的一个，
为使算式成立，求出它们所代表的值。
0偶奇
偶偶
偶偶偶偶
【考点】除法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】奇偶分析法
【例 19】 在右图的每个方框中填入一个数字，使得除法算式成立．则被除数应是___________．
80
8
888
【考点】除法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级，初赛，第11题
【例 20】 在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立．已知商为奇数，那么除数为 ：
9
002
e f
22
d 22d
e
d
c
b
a
9
9
01
09002
【考点】除法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，决赛，2题
【例 21】 右图是一个分数等式：等式中的汉字代表数字1、2、3、4、5、6、7、8和9，不同的汉字代表不
同的数字，如果“北”和“京”分别代表1和9，请写出“奥运会”所代表的所有三位整数，并且说明理
由。
北奥运会京心想事成
【考点】除法数字谜 【难度】6星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第14题，10分
【例 22】 如下图所示的算式中，除数是( )，商是（ ）。
【考点】除法数字谜 【难度】星 【题型】填空 【关键词】希望杯，5年级，复赛，第12题。