贵阳一中2018届月考(一)理科数学试卷及解析

贵阳一中2018届第一次月考卷——理科数学

一、选择题

1.已知集合{|A x y ==

，2

{|

0}2

x B x x +=≤-，则A B =（ ） A. [2,1]-- B. [1,2)- C. [1,1]-- D. [1,2)

2.复数3

2

(1)(1)i i +-在复平面上对应的点位于（ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D. 第四象限 3.已知()f x 在其定义域[1,)-+∞上是减函数，若(2)()f x f x ->，则（ ） A. 1x > B. 11x -≤< C. 13x <≤ D. 13x -≤≤ 4.双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）

A. 2?? ? ???

B. ,02??

? ??? C. ,02??

? ???

D. 0) 5.某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这4人中三个项目都有人参加的概率为（ ） A.

89 B. 49 C. 29 D. 8

27

6.若方程2(1)10x k x --+=有大于2的根，则实数k 的取值范围是（ ） A. 7,

2??

-∞ ??? B. 7,2??-∞ ??? C. 7,2??

+∞ ??? D. 7,2??

+∞????

7.已知,αβ都是锐角，且sin cos cos (1sin )αβαβ=+，则（ ） A. 32

π

αβ-=

B. 22

π

αβ-=

C. 32

π

αβ+=

D. 22

π

αβ+=

8.如图1.由曲线21y x =-，直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）

A. 2

20(1)x dx -? B. 2

2

0(1)x dx -?

C. 2

201x dx -?

D.

1

2

2

21

1

(1)(1)x dx x dx --+-?

?

9.设直线2a x =与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>交于,A B 两点，若OAB ?是直角三角形，则

椭圆的离心率为（ ）

A.

B.

C. D. 12

10.已知数列{}n a 满足：111,21(2)n n a a a n -==+≥，为求使不等式

123n a a a a k ++++<的最大正整数n ，某人编写了如图2所示的程

序框图，在框图的判断框中的条件和输出框输出的表达式分别为（ ） A. ,S k i < B. ,1S k i <- C. ,S k i ≥ D. ,1S k i ≥-

11.

为得到函数22()2sin cos cos )f x x x x x =++的图象，可以把函数

()2cos(2)3g x x π

=-的图象（ ）

A. 向左平移4π个单位

B. 向左平移2π

个单位

C. 向右平移4π个单位

D. 向右平移2

π

个单位

12.图3是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的 棱的长度为（ ）

A.

B.

C.

D. 二、填空题

13. 6

1(12)x x x ??-+ ??

?展开式的常数项是 （用数字作答）.

14.已知变量,x y 满足条件,

230,29,x y x y x y ≥??

+-≥??≤-?

则23x y -的最小值等于 .

15.如图4，在ABC ?中，D 是AB 上一点，2AD DB = ，若CD CA ⊥ ，2CD =，则

CD CB ?= .

16.已知,,a b c 分别为锐角ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且

(2)(sin )()sin b A sinB c b C +-=-，则ABC ?周长的取值范围为 .

三、解答题

17.已知数列{}n a 满足：1

111,(2)21

n n n a a a n a --==≥+.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设数列1{}n n a a +的前n 项和为n T ，求证：12

n T <

. 18.为了解学生完成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每天完成数学作业的平均时间介于30分钟到90分钟之间，图5是统计结果的频率分布直方图.

（Ⅰ）数学教研组计划对作业完成较慢的20%的学生进行集中辅导，试求每天完成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？

（Ⅱ）现从高三年级学生中任选4人，记4人中每天完成数学作业的平均时间不超过50分钟的人数为X ，求X 的分布列和期望

.

19.如图6，在三棱锥K ABC -中，,,D E F 分别是,,KA KB KC 的中点，平面KBC ⊥平面

ABC ，AC BC ⊥， KBC ?是边长为2的正三角形，3AC =.

（Ⅰ）求证：BF ⊥平面KAC ； （Ⅱ）求二面角F BD E --的余弦值

.

20. 已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为12，12,F F 是椭圆的左、右焦点， P 是

椭圆上的一点，12PF PF ?的最小值为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过点2F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，圆E 是以1F 为圆心椭圆C 的长轴长为半径的圆，过2F 且与l 垂直的直线与圆E 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.

21.设2()(ln 1)(2),f x x x a x x a R =-+-∈. （Ⅰ）令()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；

（Ⅱ）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围.

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]

已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同.直线l 的极坐标方程为：2sin()33

π

ρθ+

=，曲线C 的参数方程为：

3cos ,

23sin ,

x y αα?=??

=+??（α为参数），其中[0,2)απ∈. （Ⅰ）写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； （Ⅱ）若A 、B 为曲线C 与直线l 的两个交点，求AB .

23. （本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 设()231f x x x =-++.

（Ⅰ）求不等式()4f x x <+的解集；

（Ⅱ）若函数()()g x f x ax =+有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.

贵阳第一中学2018届高考适应性月考卷（一）

理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1． 函数y =的定义域为(1][3+)A =-∞-∞，，，不等式

2

02

x x +-≤的解集为[22)B =-，，所以[21]A

B =--，，故选A.

2．复数3

2

(1i)(1i)+-1i =--，对应点为(11)--，

，位于第三象限，故选C. 3．由单调性及定义域得12x x --<≤，解得13x <≤，故选C. 4．双曲线焦点在x 轴上，22213

122a b c ==

?=，，右焦点为0?????

，故选C. 5．23

43

4C A 3643819

P ===，故选B.

6．问题等价于方程11x k x +=-在(2)+∞，

有解，而函数1

y x x

=+在(2)+∞，上递增，值域为52??+∞

???，，所以k 的取值范围是72??

∞

???

，+，故选C.

7．πsin cos cos (1sin )sin()cos sin 2αβαβαβαα??

=+?-==- ???，即2αβπ-=2，故选B.

8．阴影部分面积为1

2

22

1

[(1)]d (1)d x x x x ?--+?-，而22

2101|1|112x x x x x ?--=?-

，，

，，≤≤≤ 故选C.

9．2a x =

代入椭圆方程得y =2223()2a c a c a a =?-=?=，故选C. 10．判断的条件为S k <；输出的结果为1i -，故选B. 11．ππ()2sin 22sin 236f x x x ????=-=- ? ?????，π()2sin 26g x x ?

?=+ ???

π2sin 212x ?

?=+ ??

?，故选C ．

12．几何体ABCD 为图1中粗线所表示的图形，最长棱是AC ，

图1

AC =C ．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．6

1x x ??+ ??

?展开式的通项为6216C r r

r T x -+=，6203621r r r -=?=-=-；

无解，所以展开式的常数项为36C 20=.

15．由已知3122CB CD CA =-，0CD CA =，23

1

622

CD CB CD

CD CA =-=.

16．由已知()()()a b a b c b c +-=-，即2221

c o s 2

b c a b c A +-=?=

得60A

=?，由正弦定理，三角形的周长为

π

24sin 26B C B ?

?++=++ ??

?，ππ62B ??∈ ???，，πsin 16B ??

?+∈? ?????

，周长的取值范围为(26]+.

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） （Ⅰ）解：11111

2111

(2)2(2)21n n n n n n n a a a n n a a a a -----+=

?==++≥≥，

所以1n a ??

??????是以2为公差的等差数列，11111a a =?=，

所以1

21n

n a =-，

所以数列{}n a 的通项公式为1

21n a n =

-. ………………………………（6分） （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得111111212122121n n a a n n n n +??

=?=- ?-+-+??

， 11112212

n T n ??=-< ?+??.

…………………………………………………（12分）

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设每天完成作业所需时间为x 分钟以上的同学需要参加辅导，则

(70)0.02(9070)0.0050.2x -?+-?=，得65x =（分钟），

所以，每天完成数学作业的平均时间为65分钟以上的同学需要参加辅导. …（6

分）

（Ⅱ）把统计的频率作为概率，则选出的每个学生完成作业的时间不超过50分钟的概率为0.2，~(40.2)X B ，

， 44()C 0.20.8

(01234)k k k

P X k k -===，，，，， 0.8EX =. ……………………………………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：如图2，建立空间直角坐标系，则(10K ，

， 33

02BF CK ??=-= ? ??，，，(10(030)CA =-，，，， 0BF CK =，BF CK ⊥得BF CK ⊥，

0BF CA =，BF CA ⊥得BF CA ⊥，

CA ，CK 是平面KAC 内的两条相交直线， 所以BF ⊥平面KAC.

……………………………………………………（6分）

（Ⅱ）解：平面BDF 的一个法向量(10m =，

，

平面BDE （即平面ABK ）的一个法向量为(32n =-，， 3

cos 4

m n ??=

，， 所以二面角F BD E --的余弦值为34

. ………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）已知

1

2

c a =，12PF PF ?的最小值为222b c -=，又222a b c =+, 解得2

2

43a b ==，，所以椭圆方程为22

143x y +

=． ………………………（6分） （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为1122(1)(0)()()y k x k M x y N x y =-≠，，，,.

由22

(1)14

3y k x x y =-???+=?

?，得2222(43)84120k x k x k +-+-=．则22121222

8412+4343k k x x x x k k -==++，.

所以212212(1)

|||43

k MN x x k +-=+．

过点2(1)F ，0且与l 垂直的直线1

(1)m y x k =--：，1F 到m

，

所以||PQ == 故四边形MPNQ

的面积1||||2S MN PQ =

= 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ

面积的取值范围为(12，

． 当l 与x 轴垂直时，其方程为1||3||8x MN PQ ===，

，，四边形MPNQ 的面积为12． 综上，四边形MPNQ

面积的取值范围为[12，

． …………………………（12分） 21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由()ln 22f x x ax a '=-+， 可得()ln 22(0)g x x ax a x =-+∈+∞，，

， 则112()2ax

g x a x x

-'=

-=， 当0a ≤时，(0)x ∈+∞，

时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当0a >时，102x a ??∈ ???，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，

12x a ??∈+∞ ???

，时，()0g x '<，函数()g x 单调递减.

所以当0a ≤时，函数()g x 的单调递增区间为(0)+∞，

， 当0a >时，函数()g x 的单调递增区间为102a ?? ???，，单调递减区间为12a ??

+∞

???

，. ………………………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，(1)0f '=. ①当a ≤0时，()f x '单调递增，

所以当(01)x ∈，

时，()0()f x f x '<，单调递减， 当(1+)x ∈∞，

时，()0()f x f x '>，单调递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ②当102a <<

时，

112a >，由（Ⅰ）知()f x '在102a ?

? ??

?，内单调递增，可得当(01)x ∈，

时，()0f x '<，112x a ?

?∈ ???

，时，()0f x '>，

所以()f x 在(0，1)内单调递减，在112a ?

? ???

，内单调递增，

所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ③当12a =

时，即

1

12a

=，()f x '在(0，1)内单调递增，在(1)+∞，内单调递减， 所以当(0)x ∈+∞，

时，()0f x '≤，()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >

时，即1012a <

<， 当112x a ??

∈ ???

，时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(1)x ∈+∞，

时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为1

2

a >

. ………………………………（12分）

22．（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】

解：（Ⅰ）∵π2sin 33ρθ?

?+= ???，∴sin cos 3ρθθ+=，直线l 的直角坐标方程：

30y +-=．

曲线C ：3cos 23sin x y α

α?=??

=+??

(α为参数)， 消去参数可得曲线C 的普通方程为：

22(()29x y -+=．

………………………………（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，22(()29x y +-+=的圆心为D (2)，半径为3． 设AB 中点为M ，连接DM ，DA ， 圆心到直线l 的距离|323|

22

d -+-=

=，所以2DM =，

又因为3DA =，所以MA ||AB = ………………………（10分）

23．（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】

解：（Ⅰ）分段讨论得不等式解集为（0，3）． …………………………（5分） （Ⅱ）利用图象可得5

33

a -<<-.

…………………………………………（10分）