概率统计学复习题及答案

《概率论与数理统计》综合练习题

第一章﹑事件与概率

1．事件之间的关系与运算：事件的积、和、差，事件的包含，尤其是对互不相容（互斥）事件，互逆（对立）事件，事件的独立性等概念的理解及其应用；交换律，结合律，分配律，对偶律等的运用

例1．设A﹑B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中哪些是正确的：（B、D）

A、P(AB)=P(A)P(B),

B、P(A+B)=P(A)+P(B),

C、P(AˉBˉ)=0,

D、P(A-B)=P(A),

E、P(A∪B)=1，

F、P(AB) > 0

解：由题意：P(A)>0, P(B)>0，A、B互不相容有P(AB)=0，

A中，P(AB)=0，而P(A)P(B)>0,不正确，当A、B独立时选项A是对的；A不对；

B中，由加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)= P(A)+P(B)，或根据有限可加性直接得到，B对；

D中，由减法公式P(A-B)=P(A)- P(AB)= P(A)，D对；

可类似讨论其他选项均不对。

2．古典概型的计算：公式P(A)=N(A)/N(Ω)

例2．将四个不同的球随机地放入五个不同的杯中，求(1)出现四个空杯的概率；(2)杯中球的个数最

多为一个的概率。

解：此题为古典概型中的分房模型：

将四个不同的球放入五个不同的杯子，每个球有五种不同的放法，

则Ω中含有54个基本事件，即N(Ω)= 54，

(1)事件A：出现四个空杯，即四个球放入同一个杯子中，将五个杯子选出一个放入四球，共有五种选法，即N(A)= C51，

由公式得P(A)=N(A)/N(Ω)= C51/ C544！=1/125.

(2)事件B：杯中球的个数最多为一个，即四个球放入四个不同的杯子中，还剩一个空杯，即先从五个杯子中选出四个，共C54种选法，再把四个不同的球放入，共有4！种方法，根据乘法原理得N(B)= C54A44，由公式得P(B)=N(B)/N(Ω)= C54A44/ 54=24/125.

3．伯努利概型，二项概率公式的应用，其公式：X~B(n,p), P{X=k}= C n k p k(1-p)n-k, k=0,1,2,…,n。

例3．一批产品的次品率为p (0

解：X：4件产品中次品的个数，则X～B(4,p)

(1)P{X=1}= C41p(1-p)3=4p(1-p)3，

(2) P{X≥1}=1- P{X<1}=1-P{X=0}=1-(1-p)4

4．全概率公式，贝叶斯公式，事件独立性

例4．某商店有100台相同型号的冰箱待售，其中70台是甲厂生产的，20台是乙厂生产的，10台是丙厂生产的，已知这三个厂生产的冰箱质量不同，它们的不合格率依次为0.1、0.4、0.2，现有一位顾客从这批冰箱中随机地取了一台，试求：（1）该顾客取到一台合格冰箱的概率；（2）顾客开箱测试后发现冰箱不合格，试问这台冰箱来自甲厂的概率是多大？

解：B：所取冰箱合格,

A1：冰箱取自甲厂，P(A1)=0.7, P(B|A1)=0.9,

A2：冰箱取自乙厂，P(A2)=0.2, P(B|A2)=0.6

A3：冰箱取自丙厂，P(A3)=0.1, P(B|A3)=0.8

(1)由全概率公式：P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)=0.7?0.9+0.2?0.6+0.1?0.8=0.83

(2)由贝叶斯公式：P(A1|Bˉ)= P(A1)P(Bˉ|A1) /P(Bˉ)=0.7?0.1/(1-0.83)=0.4118

例5．若甲盒中有三个白球，二个黑球，乙盒中装有一个白球，二个黑球。由甲盒中任取一球投入

乙盒，再从乙盒中任取一球。

（1）求从乙盒中取得一个白球的概率；

（2）若从乙盒中取得一个黑球，问从甲盒中也取得一个黑球的概率。 解：（略）参照第一章课后习题23题。 第二章﹑随机变量与概率分布

1．随机变量X 的分布函数、密度函数的定义及其性质；掌握常见的离散型随机变量的分布律，并会用离散型随机变量分布律求分布函数和概率。

例6．设随机变量X 的概率密度为f(x)，则f(x)下列哪些是正确的：(C 、F)

A 、0≤x ≤1

B 、P{X ≥x}=??-∞

x f(t) dt C 、??-∞

+∞ f(t) dt =1 D 、f(-∞)=0

E 、f(x)在(-∞,+∞)上单调增加

F 、f(x) ≥0

解：由密度函数的性质直接得到。D 、E 选项分别是分布函数的性质。

例7．设随机变量X 的概率分布为 ????

X 1 2 3P 1/2 1/3 1/6 , 求：(1) X 的分布函数F(x)；(2) P{X ≥2}。 解：（1）由分布函数的定义：F(x)=P{X ≤ x}，得： 当x<1时，F(x)=P{X ≤ x}= P{X< 1}=0; 当1≤x<2时，F(x)=P{X ≤ x}= P{X=1}=1/2;

当2≤x<3时，F(x)=P{X ≤ x}= P{X=1}+ P{X=2}=1/2+1/3=5/6;

当x ≥3时，F(x)=P{X ≤ x}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=1/2+1/3+1/6=1. 综上可得：

0,

11,122()11,23231,3x x F x x x

（2）

{}{}2121{1}

11122

P X P X P X ≥=-<=-==-=

或

{}{}{}

223111362

P X P X P X ≥==+==+=。

2．连续型随机变量的密度函数的性质，f(x)≥0 , ?-∞+∞

f(x)dx=1；掌握常见的连续型随机变量的密度函数，并且利用密度函数求概率；

例8．设随机变量X 服从正态分布N(μ, σ2)，

(1)若密度函数f(x)= 18π

e -(x-1)

2

8 ，求μ, σ2的值。

(2)若密度函数为f(x)= 12π

e -x

2

4 ，则μ, σ2的值各为多少？

解：（1）由正态分布的密度函数

(

)()2

2

2

2

12222()1,4x u x f x u σσ---

-

?=

=

?==

（2）由正态分布的密度函数

(

)22

2

24

2

()

0,2

x u x

f x

u

σ

σ

-

--

==

?==

例9．设随机变量X服从区间[4, 7]上的均匀分布，求P{5

解：

[][]

{}97

55

1

,4,7

4,7()3

0,

112

59()(75)

333

x

X U f x

P X f x dx dx

?

∈

?

∴=?

??

∴<<===-=

??

Q:

其他

例10．设连续性随机变量X的概率密度为f(x)=

?

?

?cx+1， 0 ≤ x ≤ 1

0，其它

，试确定常数c，并求P{X>1/ 2}。解：由d. f.f(x)的性质：

1

1()(1)

f x dx cx dx

+∞

-∞

==+

??

=2

1

110

22

c c

x x c

??

+=+=?=

?

??

有

11

11

22

1

11

()(01)1

22

2

P X f x dx dx x

??

>==+==

??

??

??

例11. 设连续随机变量X的概率密度为f(x)=

?

?

?ke-6x x≥0

0 x<0试确定常数k，并求P{X>3}。

解：由密度函数f(x)的性质：1=?

-∞

+∞

f(x)dx=?

+∞

ke-6x dx=-

k

6e

-6x|

+∞

=

k

6，得k=6；

P{X>3}= ?

3

+∞

6e-6x dx =-e-6x|

3

+∞

= e-18。

第三章﹑二维随机变量与概率分布

1．二维离散型随机变量的联合分布律的性质，边缘分布律，随机变量独立性的概念

例12．设二维随机变量(X,Y)取下列数组(-1,0), (-1,1), (0,0), (1,0)的概率依次为3/(4c), 1/(2c), 3/(4c), 1/c，其余数组概率为0，求c的值。

解：由二维离散型随机变量联合分布律的规范性∑P{X=x i,Y=y j}=1知：3/(4c)+1/(2c)+3/(4c)+1/c=1，

?3/c=1，?c=3.

2．二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布，联合密度，边缘分布，边缘密度等；已知联合密度求边缘密度；随机变量独立性的概念

例13．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，求(1)P{Y>1}的积分表达式；

(2) P{X<1}的积分表达式。

解：(1)P{Y>1}=?

1

+∞

dy?

-∞

+∞

f(x,y)dx=?

-∞

+∞

dx?

1

+∞

f(x,y) dy；

(2) P{X<1}=?

-∞

1

dx?

-∞

+∞

f(x,y)dy=?

-∞

+∞

dy?

-∞

1

f(x,y)dx

例14．设随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)=?????73 e - 7y 0 ≤x ≤ 3，y ≥0

0 其他

，

求X 、Y 的边缘概率密度函数f X (x)，f Y (y) .

解：当0 ≤x ≤ 3时，f X (x)= ?-∞+∞f(x,y)dy=?0+∞

73e -7y dy= -13e -7y |0+∞=1

3

，否则，f X (x)=0

所以f X (x)= ?????13 0 ≤x ≤ 3

0 其他

；

当y ≥0时，f Y (y)= ?-∞+∞f(x,y)dx=?03

7

3

e -7y dx=7e -7y ，否则，

f Y (y)=0

所以f Y (y)= ???7e -7y y ≥0

0 其他

。

例15．设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为f(x,y)= ??? x+y 0≤x ≤1，0≤y ≤1

0 其他

，求：

(1)X 、Y 的边际概率密度f X (x), f Y (y)； (2)P{0

解：(1)当0 ≤x ≤ 1时，f X (x)= ?-∞+∞f(x,y)dy=?01(x+y)dy=(xy+y 22)|01=x+1

2

，得f X (x)= ?

???? x+12 0≤x ≤1 0 其他，

同理可得：f Y (y)= ????? y+12 0≤y ≤1

0 其他；

(2) P{0

(x+12)dx=(x 22+x 2)|01/4=5

32

；

(3)因f X (x) f Y (y)= ?

???? (x+12)( y+12) 0≤x ≤1 0≤y ≤1

0 其他 ≠f(x,y)，所以X 与Y 不独立。

例16．设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为f(x,y)=?

????14xy 0≤x ≤2. 0≤y ≤2

0 其他，求：

(1)X 、Y 的边际概率密度f X (x), f Y (y)； (2)P{0

21,02

()(,)042

0,X x

xydy x f x f x y dy +∞

-∞

?=≤≤?==?????其他 21,02()(,)042

0,Y y

xydy y f y f x y dx +∞-∞

?=≤≤?

==?????其他 （2）21011

{01}0244x x P X dx <<===?

（3）1

,02,02

()()(,)4

,X Y xy x y f x f y f x y ?≤≤≤≤?==∴???其他x 与y 独立

第四章﹑数字特征

1．期望、方差的计算，并会利用其性质求解；掌握常见的离散型和连续型随机变量的期望与方差

例17．设随机变量X~N(2, 9)，Y=aX+b ，且Y~N(0,1)，求a, b 的值。 解：由X~N(2, 9)，得E(X)=2,D(X)=9,

由Y~N(0,1)，得E(Y)=0,D(Y)=1, 根据Y=aX+b

22

110()()23

3

1()()92

233a a E Y aE X b a b or

D Y a D X a b b ??

=

=-??==+=+???????

===????=-=???

?

例18. 已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P{X=3}=4P{X=2}，求D(X). 解：由 {},0,1,2,!

k e P X k k k λ

λ-==

=???

又{3}4{2}P X P X === 3243!2!

e e λ

λλλ--?

= 12λ?= 由()()12D x D x λ

=∴=

例19．已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且E(X+1)=3，求D(X). 解：

()()(1)132()2

x P y E x E x D x λλλλ∴=∴+=+=?=∴==Q :

2．已知二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律，求期望、方差、协方差与相关系数。

例20．设随机变量的联合分布律为????

??

X ╲Y 1 2 0 1/4 1/12 2 1/6 1/2

求：(1) E(X), E(Y),E(XY)；(2)D(X), D(Y)；(3) ρxy 。

解（1）X 与Y 的边缘分布律：????X 0 2P 1/3 2/3 ，????Y 1 2P 5/12 7/12

451419()()3

121212

1117

()212226233E X E Y E XY =

=

+==??+??=+=

（2）

[][]2

2

2

22

2

2248168

()()()433399

5719331935()()()41212121212144

D X

E X E X D Y E Y E Y ??=-=?-=-=

???????=-=

+?-=-= ? ?????

（3

）

741921192

(,)()()()3312999

20.4781

xy Cov X Y E XY E X E Y ρ=-?=

-?=-=∴

=

=

=≈

3．期望的应用：求预期利润，利润平均值，预期收益等。 例21. 一商店经销某种商品，每周进货的数量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变

量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品可获利润为500元。试计算此商店经销该种商品每周所得到利润的期望值。

解：X ：进货量，Y ：需求量，X 与Y 独立，且都服从区间[10,20]上的均匀分布，则其联合密度函数

1

,1020,1020(,)100

,x y f x y ?≤≤≤≤?

=???其他 设Z ：每周所得的利润，要求E(Z).

由

1

221000,

(,)1000500(),(,)(,)11

1000500()10010020

20

20105()101010202010(20)531050)1010214166.7

D D Y Y X Z g X Y X Y X Y X

EZ g x y f x y dxdy

y dxdy x y dxdy y

dy ydx dy x y dx

y y y y dy y dy

+∞+∞

-∞-∞≤?==?

+->?∴==?

++=++??=-+-- ???=????????????

第五、六章﹑中心极限定理与统计量分布

1．独立同分布的中心极限定理和二项分布的中心极限定理的应用

例22．设随机变量序列X 1，X 2，…，X n ，…独立同分布，且E(X i )=μ, D(X i )=σ2,σ>0,i=1,2,….,Φ(x) 为标准正态分布的分布函数，则对于任意实数x ，

求：(1)lim x →∝ P{∑i=1n Xi -n μσn ≤2}, (2) lim x →∝ P{∑i=1n Xi -n μσn

≥x} 解：（1）()lim 22n i n X n P μ→∞

??

-???

≤=Φ??????

∑

（2）()n lim 1n i X n P x x μ→∞

??

-???

≥=-Φ??????

∑

例23．设X 1,X 2,…,X n ,…是相互独立且同分布的随机变量序列，其分布律为????

X i 0 1P 1-p p , i=1,2,…，

0

n

X i ，n=1,2,…, Φ(x)为标准正态分布函数，求 lim n →∝ P {

Y n -np

np(1-p)

≤1}

. 解：由二项分布的中心极限定理lim n →∝ P{Yn-np

np(1-p)≤1}=(1)Φ。

例24. 设随机变量X~B(100, 0.8)，应用中心极限定理求P{X ≥85}。(已知Φ(1.25)=0.8944) 解：由X~B(100, 0.8)，n=100，p=0.8，q=1-p=0.2，得

{}

{

}()()80()(1)168518518580141 1.2510.89440.1056

E X np D X np p P X P X P ===-=∴≥=-<=-≤-??≈-Φ ?

??

=-Φ=-=

2．几种常用的统计量及其分布：χ2分布，t 分布，F 分布 例25．设X 1,X 2,X 3,X 4,X 5,X 6来自总体X ～N(0,3)的样本， （1）设Y = X 12+X 22+X 32+X 42，求C 1，使得C 1Y ～χ2(4)

（2）设Z =(X 1+X 2+X 3)2+(X 4+X 5+X 6)2，求C 2，使得C 2Z ～χ2(2). 解：（1）由X ～N(0,3)，得(0,3)i X N :

，i=1,2,3，(0,1)N

:

()2222

24χ∴+++: 即()()22222

112341

11433

c Y X X X X c χ=+++?=: （2）

()()()()123

2222

12345620,13

129

19

X X X N X X X X X X c χ++??∴+++++????∴=

::

第七章﹑参数估计

1．掌握利用矩方法求未知参数的估计量；掌握估计量的两种评选标准：无偏性和有效性

例26. 设X 1,X 2,…,X n 是均匀分布总体X~U[θ,3θ]的样本，θ>0是未知参数，记 X ˉ=1n ∑i=1

n

X i ， 求θ的矩估计θ^。 解：由X~U[θ,3θ]，得

()()$132,2

22

E X E X A X

X X θθ

θθθ

+=

===∴=?=且

所以$2

X θ

=是θ的矩估计。

例27. 设总体X~N(μ,1)，其中μ为未知参数，X 1,X 2,X 3为X 的某个样本， 设 μ1^=12X 1+aX 2+14X 3 , μ2^=bX 1+14X 2+13X 3 , 都是μ的无偏估计，求a,b 的值； 并确定哪一个无偏估计是最有效的。 解：由μ

1^，μ2^都是μ的无偏估计，得 μμ1211111124244

115111431243Eu a u u a b Eu b u u ????=++==--= ?????????

?????=--=

=++= ???????

又

μμμμ12

211111654()()416161614451150()()()12169144D u D X D u D X D u u ??=++== ?

??

????=++=≤ ? ? ?????

所以μ2

u 更有效。

2．单个正态总体均值方差的区间估计

例28．用传统工艺加工某种水果罐头，每瓶中维生素C 的含量为随机变量X （单位：mg ）。设

X~N （μ，σ2），其中μ，σ2均未知。.现抽查25瓶罐头进行测试，测得维生素C 的平 均含量为20.80mg ，样本标准差为1.60mg ，试求μ的置信度95%置信区间。 （附：t 0.025(24)=2.0639，t 0.025(25)=2.0595）

解： X

ˉ=20.80，S=1.60. 1-α=0.95, α=0.05,n=25

由于σ2未知，利用t= x ˉ -μ

S/n

~ t(n-1)，且t α/2 (n-1)= t 0.025(24)=2.0639得

μ的置信度95%置信区间为： (X

ˉ-t α/2 (n-1)S n ，X ˉ+t α/2 (n-1)S n ) =(20.80-2.0639?1.6025，20.80+2.0639?1.60

25

)

=(20.1396，21.4604)

例29．某次考研的数学统考卷中，从答卷中随机抽取25份，算得平均分数为80分，样本方差s 2=400，又据历年资料知统考分数服从正态分布N(μ, σ2)。求该次统考的平均分数μ的置信度为0.95的置信区间。(精确到三位小数，t 0.025(24)=2.0639, t 0.05(24)=1.7109) 解：X

ˉ=80，S 2=400,S=20. 1-α=0.95, α=0.05,n=25,

由于σ2未知，利用t=

xˉ -μ

S/n

~ t(n-1)，且tα/2 (n-1)= t0.025(24)=2.0639得

μ的置信度95%置信区间为：

(Xˉ-tα/2 (n-1)S

n

，Xˉ+tα/2 (n-1)

S

n

)

=(80-2.0639?20

25

，80+2.0639?

20

25

)

=(71.7444，88.2556)