哈工大研究生数值分析试题与答案

的根；讨论用Newton迭代法求它们近似值的收

3次。（结果保留4位小数）解：设

Newton

Newton

Newton迭代：

2.

的Jacobi迭代法收敛。

解：Jacobi迭代：

时Jacobi迭代收敛

3. 设（1）用Crout三角分解法求解方程组

；

（2）用乘幂法求方程组系数阵的按摸最大的特征值和对应的特征向量。

，计算迭代三次的值）

解：（1）Crout三角分解：

（2）

4.

证明：设

由插值多项式的唯一性，比较Lagrange与Newton插值最高项系数得：

由差商与导数关系，有

5. 求4次Hermit

，满足：

并写出误差表达式。

解： 方法一：因

由

由

得：由

6. 试求求积公式

，使得其有尽可能高的代数精度，是否是Gauss5位小数）。解：求积公式准确成立，有：

得：

求积公式：

求积公式代数精度为3，是Gauss型的；

7. 的经验公式，使它与下列数据拟合

解：取

拟合函数为法方程为：

得：

拟合函数为

8. 用共轭梯度方法解方程组：

）。

共轭梯度方法

解：

解为：

9. 应用Heun 方法：

解初值问题

并在.

解：

将Heun

当

即

故取

10. 的两步方法：

（1）求出局部截断误差；

（2）讨论方法的收敛性；

（3）讨论方法的绝对稳定性。

解：

（1）Taylor展开：

（2

由收敛的充分必要条件知方法是收敛的。

（2）

应用1.

的具有二阶收敛速度的Newton

2次（结果保留4位小数）。

解：

的3重根；

改进的具有二阶收敛速度的Newton迭代法：

应用4. （舍入误差不计），问需要计算多少个节点上的函数值？

解：

复化求积公式余项为：

其中：

因有

若

即

取

故至少需519

应用9. 写出经典4阶Runge-Kutta方法求解初值问题

.（小数点后至少保留4位）Array

解：