2020年八年级数学下册因式分解专题01 提取公因式(提升学生版)

专题01 提取公因式（提升版）

【典型例题】

类型一、因式分解的概念

例1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）； （5）． 【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断.

【答案与解析】

解：因为(1)(2)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；

(4)的左边不是多项式而是一个单项式，

(5)中的、都不是整式，所以(4)(5)也不是因式分解， 只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．

【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．

举一反三：

【变式】下列变形是因式分解的是 ( )

A. B.

C. D. 【答案】B ；

类型二、提公因式法分解因式

例2、把下列各式分解因式：

（1）2m （m ﹣n ）2﹣8m 2（n ﹣m ）

（2）﹣8a 2b +12ab 2﹣4a 3b 3．

【思路点拨】（1）直接提取公因式2m （m ﹣n ），进而分解因式得出答案；

（2）直接提取公因式﹣4ab ，进而分解因式得出答案．

【答案与解析】

解：（1）2m （m ﹣n ）2﹣8m 2（n ﹣m ）

=2m （m ﹣n ）[（m ﹣n ）+4m ]

()a x y ax ay +=+2221(2)(1)(1)x xy y x x y y y ++-=+++-24(2)(2)ax a a x x -=+-221122

ab a b =g 2

22112a a a a ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭

21a 1a

243(2)(2)3a a a a a -+=-++2244(2)x x x ++=+1

1(1)x x x

+=+2(1)(1)1x x x +-=-

=2m （m ﹣n ）（5m ﹣n ）；

（2）﹣8a 2b +12ab 2﹣4a 3b 3

=﹣4ab （2a ﹣3b +a 2b 2）．

【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

举一反三：

【变式】下列分解因式结果正确的是（ ）

A.a b +7ab ﹣b =b （a +7a ）

B.3x y ﹣3xy +6y =3y （x ﹣x ﹣2）

C.8xyz ﹣6x y =2xyz （4﹣3xy ）

D.﹣2a +4ab ﹣6ac =﹣2a （a ﹣2b +3c ） 【答案】D.

解：A 、原式=b （a +7a +1），错误；

B 、原式=3y （x ﹣x +2），错误；

C 、原式=2xy （4z ﹣3xy ），错误；

D 、原式=﹣2a （a ﹣2b +3c ），正确．

故选D ．

类型三、提公因式法分解因式的应用

例3、若、、为的三边长，且，则按边分类，

应是什么三角形？

【答案与解析】

解：∵

∴

当时，等式成立，

当时，原式变为，得出，

∴

∴是等腰三角形.

【总结升华】将原式分解因式，就可以得出三边之间的关系，从而判定三角形的类型.

例4、对任意自然数（＞0），是30的倍数，请你判定一下这个说法的正确性，并说说理由. 【答案与解析】

解：

∵为大于0的自然数，

∴为偶数，15×为30的倍数，

即是30的倍数.

【总结升华】判断是否为30的倍数，只需要把分解因式，看分解后有没有能够整除30

2222222

22a b c ABC ∆()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-ABC ∆()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---()()()()a b b a c a a b --=--a b =a b ≠a b a c -=-b c =a b b c ==或ABC ∆n n 42

2n n +-()44422222221152n n n n n n +-=⨯-=-=⨯n 2n 2n 422n n +-422n n +-422n n +-

的因式.

举一反三：

【变式】说明能被7整除. 【答案】

解：

所以能被7整除.

例5、已知xy =﹣3，满足x +y =2，求代数式x y +xy 的值．

【思路点拨】将原式提取公因式xy ，进而将已知代入求出结果即可．

【答案与解析】

解：∵xy =—3，x +y =2，

∴x y +xy =xy （x +y ）=﹣3×2=﹣6．

【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

2001991983

43103-⨯+⨯200199198343103-⨯+⨯()

198219833431073

=-⨯+=⨯200199198343103-⨯+⨯2222

【巩固练习】

一.选择题

1.把多项式2x 3y ﹣x 2y 2﹣6x 2y 分解因式时，应提取的公因式为（ ）

A ．x 2y

B ．xy 2

C ．2x 3y

D ．6x 2y

2. 观察下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中可以用提公因式法分解因

式的有（ ） A ．①②⑤ B ．②④⑤ C ．②④⑥ D ．①②⑤⑥

3. 下列各式中，运用提取公因式分解因式正确的是（ ）

A. B. C. D. 4. 分解因式的结果是（ ） A. B. C. D. 5.把﹣6x y ﹣3x y ﹣8x y 因式分解时，应提取公因式（ ）

A.﹣3x y

B.-2x y

C.x y

D.﹣x y 6. 计算的结果是（ ） A. B.－1 C. D.－2

二.填空题

7. 把下列各式因式分解：

（1）__________.

（2）_________________. 8. 在空白处填出适当的式子：

（1）； （2） 9. 因式分解：______________.

10.若ab =2，a ﹣b =﹣1，则代数式a 2b ﹣ab 2的值等于___________.

abx adx -2226x y xy +328421m m m -++3223

a a

b ab b ++-()()()

22256p q x y x p q p q +-+++()()()24a x y x y b y x +--+()()()()22222a x a a x -+-=-+()

32222x x x x x x ++=+()()()2x x y y x y x y ---=-()2

313x x x x --=--2322212n n n x

x x +++-+()22n x

x x -+()2322n x x x -+()2122n x x

x +-+()322n x x x -+32222322222222()201120102

2+-2010220102-2168a b ab --=()()22

32x x y x y x ---=()(

)()()111x y y x --=-+()()238423279

ab b c a bc +=+()()()x b c a y b c a a b c +--+----=