洛必达法则失效的情况及处理方法(详解)
使用洛必达法则应注意的问题
使用洛必达法则应注意的问题作者：尹丽高辉高胜哲来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》2014年第10期摘要：洛必达法则是求函数极限的一种简单方便的方法。
本文通过实例，对使用洛必达法则应注意的问题进行了分析。
关键词：洛必达法则；极限；等价无穷小；分析中图分类号：O171文献标识码：A文章编号：1671—1580（2014）10—0151—02洛必达法则是求函数极限的一种简单方便的方法，而求函数极限是高等数学的重要内容，也是研究微积分学的常用工具。
因此，正确灵活地使用洛必达法则，对学生学好高等数学这门课程，深入研究微积分学，都具有积极的意义。
本文通过实例，对使用洛必达法则应注意的问题进行了分析。
一、洛必达法则定理：设在某一极限过程中，函数f（x），g（x）满足条件：（1）limf（x）=0，limg（x）=0或limf（x）=∞，limg（x）=∞；（2）在该极限过程中，f′（x），g′（x）都存在且g′（x）≠0；（3）limf′（x）1g′（x）存在或为∞，则limf（x）1g（x）=limf′（x）1g′（x）法则当x→x0，x→x+0，x→x-0，x→∞，x→+∞，x→-∞时均成立。
二、正确理解洛必达法则使用的几个主要前提和结论1.求极限函数为010型，满足洛必达法则使用的前提，分子分母分别求导，得到limf′（x）1g′（x）的极限存在，可以使用洛必达法则的结论。
2.求极限函数为110型，不满足洛必达法则使用的前提，不适用洛必达法则。
3.求极限函数为∞1∞型，考虑用洛必达法则，分子分母分别求导，发现limf′（x）1g′（x）仍为∞1∞，继续使用洛必达法则，分子分母再次分别求导。
只要符合条件，洛必达法则可多次使用[1]。
三、使用洛必达法则可能遇到的问题例1[2]：limx→∞x+sinx1x错解：原式=limx→∞1+cosx11 ，极限不存在正解：原式=limx→∞x1x+sinx1x=1+limx→∞sinx1x=1分析：求极限函数为∞1∞型，使用洛必达法则，发现limf′（x）1g′（x）不存在，但不代表原式极限不存在。
洛必达法则解高中导数问题
洛必达法则解高中导数问题在高中教学内容中，导数占据着重要的地位，并且通常在数学考试中以压轴题目出现，另外还是学生以后学习微积分的基础。
合理应用导数可以拓宽解决中学问题的视野，可以说导数是解决数学问题的有力工具。
而在运用导数解决问题的时候通过引入洛必达法则可以有效提高解题效率。
本文结合相关教学经验，分析洛必达法则在高中数学导数教学中的应用。
在高中数学教学内容中，有关导数有着较为详细的介绍，并详细论述导数的概念与几何意义，通过函数的变化率刻画函数变化的趋势。
导数教学内容是对函数性质与图像的总结与延伸，是研究函数、几何问题、证明不等式的重要工具，并且，通过导数可以实现生活中最优化问题的解答。
而应用洛必达法则可以对部分导数问题进行进一步的简化。
1应用洛必达法则的注意事项作为高中数学导数学习中的一个重要板块，洛必达法则能够有效减轻学生解决极限问题的压力，帮助他们以较为简便的方法对相关导数问题求解，大大降低了求解导数的难度，这在一定程度上有利于导数应用的广泛性，帮助学生应用导数解答大量的数学问题。
但是应用洛必达也有一些注意事项，教师在开展教学活动的过程中可以对此进行强调，引导学生在正确的情境之中合理应用洛必达法则，提高自己的解题效率。
如果教师不对应用洛必达法则的注意事项进行强调，学生难免会出现滥用洛必达法则而不自知的情况，这对于学生的解题是不利的。
教师可以从以下几个方面对洛必达法则进行强调：1、洛必达法则只能应用于0/0型或者是无穷大比无穷大型的。
在0/0型中，函数可以从正向趋近于0，也可以从负向趋近于0;在无穷大比无穷大型中，函数可以趋近于正无穷大，也可以趋近于负无穷大。
而在其他条件下，洛必达法则是不适用的。
如果学生在应用洛必达法则前没有对函数的情况进行判断，当然，他们能够应用洛必达的解题思路得出一个答案，但是这个答案是错误的，而这个错误常常不能够被学生所发现。
2、若lim（x从正向趋近于0、从负向趋近于0、趋近于正无穷大、趋近于负无穷大或者取某一个值）f（x）的导数/g（x）的导数不存在，不能够说明若lim （x从正向趋近于0、从负向趋近于0、趋近于正无穷大、趋近于负无穷大或者取某一个值）f（x）/g（x）不存在，只能说明洛必达法则失效。
二元函数求极限的洛必达法则解析
二元函数求极限的洛必达法则解析洛必达法则是一种用于求解二元函数极限的有效方法。
在这个方法中，我们可以将函数表示为两个单变量函数的比值，并通过对这些函数应用洛必达法则来求解极限。
下面将对洛必达法则进行详细解析。
在进行洛必达法则的求解之前，我们首先需要确定极限函数的形式，即将函数表示为两个单变量函数的比值。
设函数为f(x)和g(x)，则极限函数的形式可以表示为lim(x→a) f(x)/g(x)。
在这种情况下，如果f(x)和g(x)在x=a的附近连续并满足一定的条件，那么可以将其化简为lim(x→a) f'(x)/g'(x)。
为了使用洛必达法则，我们需要满足以下条件：1. 两个函数在x=a的附近连续；2. 在x=a附近，g(x)不等于0且g'(x)也不等于0；3. 当x趋近于a时，函数f(x)和g(x)的极限存在。
在满足这些条件的前提下，我们可以按照以下步骤使用洛必达法则求解极限：Step 1: 计算f'(x)和g'(x)的极限。
这些极限可以通过直接求导或应用其他求导规则来计算。
Step 2: 计算lim(x→a) f'(x)/g'(x)。
如果这个极限存在，那么它就是lim(x→a) f(x)/g(x)的极限。
Step 3: 如果极限lim(x→a) f'(x)/g'(x)不存在，那么重复Step 1和Step 2，直到找到一个极限。
通过洛必达法则，我们可以更容易地求解二元函数的极限。
这个方法不仅可以简化计算过程，还可以提供更准确的结果。
然而，需要注意的是，洛必达法则并不适用于所有情况。
有些函数无法通过洛必达法则求解其极限，因此在使用该方法时需要注意。
总结起来，洛必达法则是一种用于求解二元函数极限的有效方法。
通过将函数表示为两个单变量函数的比值，并应用洛必达法则，我们可以简化计算过程并获得更准确的结果。
然而，需要注意的是，洛必达法则并不适用于所有情况，因此在使用该方法时需要谨慎。
数论洛必达法则
数论洛必达法则-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:数论洛必达法则是数学中一个重要的定理，它在解决极限计算问题中扮演着重要的角色。
洛必达法则主要用于解决形式为\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}的不定式极限问题。
这个法则的提出和应用，极大地简化了求解极限的复杂程度，成为数学分析中的重要工具。
在本文中，我们将对洛必达法则进行详细的介绍，包括其概念、应用和意义。
我们将深入探讨这一定理在数论领域中的重要性，以及它在数学研究和实际问题中的应用。
同时，我们也会对洛必达法则的局限性进行探讨，以及未来在这一领域中的发展展望。
通过本文的阐述，读者将更加深入地理解数论洛必达法则，并对数学研究中的极限问题有更深入的认识。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将分为引言、正文和结论三部分进行阐述。
引言部分将从概述、文章结构和目的三方面介绍数论洛必达法则的重要性和意义。
正文部分将详细介绍洛必达法则的概念、应用和意义，包括其在数论领域的具体运用和影响。
结论部分将对洛必达法则进行总结，并讨论其局限性和未来的发展方向，以展望洛必达法则在数论研究中的潜力。
每个部分将以清晰的逻辑顺序和详细的论证来展现洛必达法则在数论领域的重要性和价值。
1.3 目的本文旨在深入探讨数论中的洛必达法则，并分析其概念、应用和意义。
通过对洛必达法则进行系统性的介绍和解读，旨在帮助读者更好地理解这一重要的数学原理，并且探讨洛必达法则在数论领域中的具体运用。
同时，本文也将对洛必达法则的局限性进行深入分析，并展望未来在数论研究中的潜在应用。
通过本文的阐述，读者将能够更全面地了解洛必达法则在数论领域中的重要性和意义，以及未来可能的发展方向。
2.正文2.1 洛必达法则的概念洛必达法则是数学中的一个重要概念，通常用于解决极限计算中的不定式形式。
它最初由意大利数学家洛必达（L'Hôpital）在17世纪提出，并在微积分学中得到广泛应用。
洛必达法则5种常见错误
洛必达法则使用中的5种常见错误求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。
在建立了极限的四则运算法则，反函数求导法则，以及复合函数极限运算法则和求导证明之后，对于普通的求极限问题，都可以通过上述法则来解决，但是对于形如：000,1,,0,,,00∞∞∞⋅∞−∞∞∞（其中后面3种可以通过A e A ln =进行转换）的7种未定型，上述法则往往显得力不从心，而有时只能是望尘莫及。
17世纪末期的法国数学家洛必达给出了一种十分有效的解决方案，我们称之为洛必达法则（L,Hospital Rule）。
虽然这个法则实际上是瑞士数学家约翰第一.伯努力在通信中告诉洛必达的。
在使用洛必达法则解题过程中，可能会遇到的一些常见误区和盲点。
本文的目的不是为了追求解题技巧，而是为了培养一种好的解题习惯。
以减少在用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。
█失误一不预处理例1错误：−∞=−⋅⋅=′⋅′=+++→→→1(1lim )(lim lim 2101010x e e x xe x x x x x x 正确：+∞=′′⋅==+++→→→)1()1(lim 1lim lim 101010x x e x e xe x x x x xx █失误二急躁蛮干例：错解21126lim 2126lim 42633lim 34223lim 112212331==−=−−−=+−−+−→→→→x x x x x x x x x x x x x x 正确解：532126lim 42633lim 34223lim 12212331=−=−−−=+−−+−→→→x x x x x x x x x x x x x 例2：错解122sin cos cos cos lim cos sin sin lim sin cos lim 000==−++=++=−=→→→x x x x x e x x x x e x x x e x x x x x x 正确解：∞=++=−=→→xx x x e x x x e x x x x cos sin sin lim sin cos lim 00更好的解法：∞=+=−=−=→→→x x e x x e x x x e x x x x x x 2sin lim cos lim sin cos lim 0200经验：先考虑无穷小代换(与“0”结合)，后考虑洛必达法则上面的例子启发我们，在应用洛必达法则之前要进行预处理，以简化计算例3402220220)cos (sin sin lim cos sin sin lim )1(2sin 21cos 1lim2x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x −=⋅−=−−−→→→＝313sin lim cos sin lim 2030==−→→x x x x x x x x x █失误三对离散点列求导例4求n n n+∞→lim 错解：属于0∞型，先进行变形1lim lim lim 011lim ln lim ln 11======+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→e e e e n n nn n n n n n n n n n n 错误原因：n n n f =)(是离散的点列，是一系列孤立的点，连续都谈不上，更不用说可导。
洛必达法则详解【一元分析学经典讲义】
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练习题
一、 填空题： 填空题：
0 ∞ 1、洛必达法则除了可用于求“ ” 及“ ”两种类 洛必达法则除了可用于求“ ， 0 ∞ 型的未定式的极限外，也可通过变换解决 _____________， _____________， ____________， _____________，_____________，____________， _____________，_____________， _____________，_____________，等型的未定式 的求极限的问题. 的求极限的问题.
2 2
6 cos 6 x 3. = = lim π x → 2 cos 2 x
2
法则可多次使用
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注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.比如 等价替换、 极限先求等 等价替换、非0极限先求等. 例6 解
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例
求 lim
e x (1 − cos x 2 ) x ⋅ ( 1 + x 2 − 1)
x → 0 tan 2
.
0 ( ) 0
x4 2 = lim 1 = 1. ( 因 e x →1 ) 原式 = lim 解 式 2 x →0 x→0 2 x x ⋅ 2 0 e2 x − 1 − 2 x ( ) 例 求 lim 2 x . 0 x → 0 x ⋅ (e + 1 + 2 x )
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三、小结
洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，可多次 使用， 不是万能的. 使用，但不是万能的 它与其它求极限方法结合使 效果更好.比如等价替换 等价替换、 极限先求等 用，效果更好.比如等价替换、非0极限先求等
洛必达法则失效的种种情况及处理方法
《高数解题的四种思维定势》1．在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。
2．在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。
3．在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。
4．对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。
《线性代数解题的八种思维定势》1．题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。
2．若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
3．若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。
4．若要证明一组向量a1,a2,…,as线性无关，先考虑用定义再说。
5．若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。
6．若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。
7．若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。
8．若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。
关于可积和原函数存在如下三种情况可积，是充分条件1。
闭区间上的连续函数是可积的2。
只有有限个第一类间断点的函数是可积的，也就是分段连续函数是可积的3。
单调有界函数必定可积不满足以上三条的也可能是可积的，上面的是充分条件另外，关于原函数是否存在在某个区间上有第一类的函数，则在这个区间上一定不存在原函数在某个区间上有第二类间断点的函数，则在这个区间上有可能有原函数，也可能没有最后，可积和是否有原函数，说的不是一个事情，这个要记住了可积大概的理解，就是图形和x轴围成的面积是存在的，不是无穷大的原函数，就是有这样一个函数，可以表达块面积显然，面积存在的时候，是不一定有这样一个函数的关于合同，相似，等价的关系1、两个矩阵合同，并不需要他俩一定是对称矩阵！2、俩个实对称矩阵合同的充要条件是它俩必然具有相同得正负惯性指数；3、不是实对称的俩矩阵合同，根本无从讨论它俩的什么正负惯性指数——因为二次型的矩阵一定是实对称矩阵，也只有实对称矩阵对应的二次型才有所谓正负惯性指数这一概念！呵呵^_^4、两个矩阵合同，一定推出它俩等价；两个矩阵相似，也一定推出它俩等价；两矩阵相似与两矩阵合同谁也不比谁更强！5、如果两矩阵有相同的秩，且为同型矩阵，那么两矩阵等价6、两个实对称矩阵相似，可推出两个矩阵合同，但合同不能推出相似关于偏导，可微1。
洛必达法则失效的种种情况及处理方法
洛必达法则失效的种种情况及处理方法洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，也就是说洛必达法则)()(lim )()(limx g x f x g x f a x a x ''=→→的三个条件： （1）0)(lim =→x f a x （或∞），0)(lim =→x g a x （或∞）； （2）)(x f 和)(x g 在a x =点的某个去心邻域内可导；（3）A x g x f a x =''→)()(lim（或∞）。
中第三个条件尤其重要。
其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。
所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。
而对于极限问题⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 来说，因为x x g x f x x sin lim )()(lim +∞→+∞→=''不存在（既不是某个常数，也不是无穷大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。
此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。
实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。
【问题】求极限⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim。
【解】对于任何足够大的正数x ，总存在正整数n ，使ππ)1(+<≤n x n ，也就是说总存在正整数n ，使r n x +=π，其中π<≤r 0。
这样+∞→x 就等价于∞→n ，所以⎰⎰+∞→+∞→+=r n n x x x x r n x x x ππ00d sin 1lim d sin 1lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰+∞→r n n n n x x x x r n ππππd sin d sin 1lim 0 ππππ22lim d sin d sin 1lim 00=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∞→∞→⎰⎰r n R n t t x x n r n n r n ， 这里前面一项注意到了函数x sin 的周期为π，而后面一项作了令t n x +=π的换元处理。
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f ( x) 1 x lim lim sin x sin x dx x g ( x ) x 0 而对于极限问题 x x 来说，因为 不存在（既不是某个常数，也不是无穷
lim
大） ，而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因 此而说本问题之极限不存在。 实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。
洛必达法则失效的情况及处理方法
【本章定位】 此部分内容不需要特别掌握， 关键是要用这部分的讲解来让读者记住使用泰勒 展开式的重要性！
。
洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法， 我们在使用它时， 一定要注意到该法则是极限存在的充分条
lim
件，也就是说洛必达法则 （1） xa
x a
f ( x) f ( x) lim g ( x) xa g ( x) 的三个条件：
还有一种极限问题，原则上虽然也适合使用洛必达法则，但不具有实际可操作性，例：
6e x sin x x(6 7 x 2 ) lim x 0 1 x 2 x(3 x 2 ) 3 ln 1 x 问题，当时曾经分析说：本题如果不用泰勒公式，直接用洛必达 【例 1】求极限
法则，也能计算，但必须要用六次洛必达法则，而且导数越求越复杂，而用了泰勒公式就会方便得多了。
lim f ( x) 0
（或 ） ， x a
lim g ( x) 0
（或 ） ；
（2） f ( x) 和 g ( x) 在 x a 点的某个去心邻域内可导；
lim
（3）
xa
f ( x) A g ( x) （或 ） 。
其中第三个条件尤其重要。 其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通 过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。所以在利 用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。
这里前面一项注意到了函数 分值 R 的有界性（ 0 R 2 ） 。
sin x
的周期为 ，而后面一项作了令 x n t 的换元处理。最后注意到积
如果把上述洛必达法则失效的情况称为第一种情况， 则洛必达法则还有第二种失效的情况： 第三个条件永 远也无法验证。
3
lim
【问题 2】求极限（1）
1
n r 1 x 1 sin x dx sin x dx lim 0 x x 0 n n r n r 1 n lim sin x dx sin x dx n n n r 0
lim
lim
r 2n R 2 1 n sin x dx sin t dt lim 0 0 n n r n n r ，
2
3
x
x3 1 e x ex lim x x x ； （2） x e e 。
【分析与解】 （1）这是 型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，尝试验证
到第两次后可以得到
3 3 x3 1 x2 x3 1 lim lim x 3 x x ( x 3 1) 2 x
可知洛必达法则失效，处理的方法是分子分母同乘 e
x
，得到
e x ex 1 e 2 x lim lim 1 x 1 e 2 x x e x e x 。
1
2
e x lim 100 x 0 x 【问题 3】求极限 。
0 【分析与解】这是 0 型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，经过尝试，法则失效，处理的方法是
3
lim
x
1 x3 1 x3 1 3 lim lim 3 1 3 1 3 x x x x x 。
（2）的情况与（1）的情况完全类似，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到
e x ex e x ex e x ex lim lim x e x e x x e x e x x e x e x ， lim
1 x 0 sin x dx 。 【问题 1】求极限 x x lim
【解】对于任何足够大的正数 x ，总存在正整数 n ，使 n x (n 1) ，也就是说总存在正整数 n ，使
x n r ，其中 0 r 。
这样 x 就等价于 n ，所以
2
知洛必达法则的第三个条件
lim
x 0
e e lim 100 x 0 200 x 102 x
?
1 x2
1 x2
完全不可能得到验证，因为分子分母分别求导后愈来愈复杂，这也说明了洛必达法则对本题无效。正确有
t
效的方法是作换元，令
1
2
1 x 2 ，这样就有
t 50 e x lim 100 lim t 0 x 0 x t e 。