球杆系统稳定性分析实习报告

球杆系统稳定性分析实习报告

实验地点：自动化专业实验室

实验日期：2013-7.8—2013.7.20

小组成员：

指导教师：

目录

一、球杆系统简述

二、球杆系统数学模型

三、球杆系统在Simulink 下的模型建立

四、控制器设计和仿真

1.P控制

2.PD控制

3.PID控制

4.根轨迹控制

5.频率响应法控制

一、系统简述

球杆系统（Ball & Beam ）是为自动控制原理等基础控制课程的教学实验而设计的实验设备。该系统涵盖了许多经典的和现代的设计方法。这个系统有一个非常重要的性质——它是开环不稳定的。不稳定系统的控制问题成了大多数控制系统需要克服的难点，有必要在实验室中研究。但是由于绝大多数的不稳定控制系统都是非常危险的，因此成了实验室研究的主要障碍。而球杆系统就是解决这种矛盾的最好的实验工具，它简单、安全并且具备了一个非稳定系统所具有的重要的动态特性。

整个装置由球杆执行系统、控制器和直流电源等部分组成。该系统对控制系统设计来说是一种理想的实验模型。正是由于系统的结构相对简单，因此比较容易理解该模型的控制过程。

球杆执行系统（如图1 所示）由一根V 型轨道和一个不锈钢球组成。V 型槽轨道一侧为不锈钢杆，另一侧为直线位移电阻器。当球在轨道上滚动时，通过测量不锈钢杆上输出电压可测得球在轨道上的位置。V 型槽轨道的一端固定，而另一端则由直流电机（DC motor ）的经过两级齿轮减速，再通过固定在大齿轮上的连杆带动进行上下往复运动。V 型槽轨道与水平线的夹角可通过测量大齿轮转动角度和简单的几何计算获得。这样，通过设计一个反馈控制系统调节直流电机的转动，就可以控制小球在轨道上的位置。

GBB1004 型球杆系统由三大部分组成：IPM100 智能驱动器、球杆装置和控制计算机。

图1 球杆系统执行机构原理图

在一长约0.4 米的轨道上放置一不锈钢球，轨道的一侧为不锈钢杆，另一侧为直线位移传感器，当球在轨道上滚动时，通过测量不锈钢杆上输出的电压信号可获得球在轨道上的位置x 。电机转动带动齿轮系驱动杠杆臂Lever Arm 转动，轨道Beam 随杠杆臂

的转动与水平方向也有一偏角α,球的重力分量会使它沿着轨道滚动，设计一个控制系统通过调节伺服角度θ使得不锈钢球在Beam 上的位置能被控制。

此系统为一个单输入（电机转角θ）、单输出（小球位置）系统，输入量θ利用伺服电机自带角度编码器来测量，输出量x 由轨道上电位器的电压信号来获得。系统组成框图如下：

图2 球杆系统组成原理图

系统包括计算机、IPM100 智能伺服驱动器、球杆本体和光电码盘、线性传感器几大部分，组成了一个闭环系统。光电码盘将杠杆臂与水平方向的夹角、角速度信号反馈给IPM100 智能伺服驱动器，小球的位移、速度信号由直线位移传感器反馈。智能伺服控制器可以通过RS232 接口和计算机通讯，利用鼠标或键盘可以输入小球的控制位置和控制参数，通过控制决策计算输出（电机转动方向、转动速度、加速度等），并由IPM100 智能伺服驱动器来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动杠杆臂运动，使球的位置得到控制。控制程序流程图：

从键盘或鼠标键入小球位置

d

x 是否在轨道

范围

重新键入新的数据

读出运动控制卡检测到的小球的

当前位置x

控制器

反馈回运动控制

驱动控制杆 ，带动横梁转动一个角度 ，以使球稳定在所要控制的位置

α是

否

+

-

x

x d -

二、 球杆系统的数学模型

传递函数

由前面分析，得到球杆系统从齿轮角度θ（s ）和小球位置(R(s))的传递函数：

22s 1m)R

J L(mgd θ(s)

R(s)

+-=

状态空间方程

线性化的系统方程还可以用状态空间方程来表示。我们将小球的位置(r)和 速度(r 的一阶导数 )作为变量， 将齿轮角度θ作为输入，状态方程如下所示：

θm)R J L(mgd 0r r 0010r r 2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡&&&& 在本实验中， 我们不用角度θ，而是用α的二阶导数来控制小球位置，这本质上就是控制横梁的转矩。状态方程变为：

u 1000ααr

r 00

10000m R J mg 0

0001

ααr r 2⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡&&&&&&&& []⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ααr r 0001y &&

三 、球杆系统在Simulink 下的模型建立

在Simulink 下可以很方便、形象的建立系统的模型，以下是建立系统模型的步骤：

i. 在Simulink 环境下新建一个模型窗口；

ii. 插入两个Linear block 库中的积分模块和一个输出模块； iii. 连接并标识各个模块如下图所示

图1-3 Matlab 仿真模型图1

iv. 按式(2-1)添加一个非线性函数计算r&&，其中u[1],u[2],u[3],u[4]分别代表r, d/dt(r), α , d/dt(α )。

（-1/0.0112+0.028）*(0.028*(-9.8)*sin(u[3])-

0.028*u[1]*(u[4]^2))

图1-4 Matlab 仿真模型图2

Matlab 仿真模型图3

v. 添加一个乘积模块，并把r 和d/dt(r)信号引入到乘积模块。