平面与平面立体相交平面截切的基本形式
合集下载
第四章 立体的表面交线
第四章立体的表面交线形体表面常见到两种交线，一种是由平面与立体相交而形成的表面交线即截交线，另一种是由两立体相交而形成的表面交线相贯线，如图4-1所示。
图4-1立体表面交线实例第一节平面体的截交线基本形体经平面切割后形成新的形体，切割基本形体的平面称为截平面，截平面与形体表面的交线称为截交线，由截交线围成的平面图形称为截面（或断面），它是新形体的一个表面，如图4-2所示。
截交线是相交两表面的共有线，也是它们的分界线，这些分界线是由一系列共有点组成的，因此求截交线可归纳为求立体表面共有点的问题。
图4-2 平面体截交线的概念一、平面体表面取点平面体表面取点就是根据平面体表面上的一个投影，求作该点其余的投影，并判别其可见性。
在特殊位置平面上的点可利用该平面的积聚性投影作图求得；在一般位置平面上的点，则要利用“找点先找线”的方法求得，即过已知点作一辅助直线，求出辅助直线的投影，再求辅助直线上已知点的投影。
其次要注意判别点的可见性，即点的投影的可见性与它所在立体表面的可见性一致。
【例4-1】如图4-3所示，已知三棱柱的表面上点A和点B的正面投影（a’）和b’，求出它们的水平投影和侧面投影。
图4-3 三棱柱表面取点分析：由图4-3（a）可以看出，点A的正面投影不可见，可判断A在三棱柱的后棱面上；点B正面投影可见，又位于右侧，可判断B在三棱柱的右侧棱面上，由于三棱柱棱面的水平投影及后棱面的侧面投影均有积聚性，因此可利用积聚性直接作图。
作图：①根据“长对正”的投影规律，如图4-3（b）所示，由点a´和b’向下引一条铅垂线与正三棱柱后棱面及右侧棱面的水平投影（斜直线）相交，交点即为A点、B点的水平投影a和b。
②根据“高平齐，宽相等”的投影规律，由a＇、b＇和a、b求得a"、b"。
③判别可见性，点A所在的平面，其水平投影和侧面投影均具有积聚性，所以无需判别它的可见性。
点B所在的右侧棱面其侧面投影不可见，故b" 不可见，标记为（b"）。
机械制图第4章(截交线与相贯线)
4.相贯线的简化画法 (1)当两圆柱的直径不等时相贯线的投影画图时可用圆弧 近似代替(如图4-7所示)，其画法是:以图中大圆柱的半径为 半径画弧代替，并向大圆柱内弯曲(当两圆柱的直径相近时， 不宜采用此法作图)。 (2)当在圆筒上钻有圆孔时(图4-8 )内相贯线和外相贯线的 简化画法相同，只是画内相贯线所取圆弧的半径应以大圆柱 内孔的半径作半径，且因为该相贯线不可见而画成虚线。作 图时，必须想清楚内相贯线的空间情况，切勿漏画或取错圆 弧半径。
上一页 下一页 返回
4.2立体表面的相贯线
作图步骤 (1)作特殊点的投影首先在相贯线的水平投影上定出最左、 最右、最前、最后点A,B,C,D的投影a,b,c,d，再在相贯线 的侧面投影上相应地做出a"、 b"、 c"、 d"。由此，做出 它们的正面投影a'、 b'、 c'、 d'。从主视图中可以看出， 点A,B和点C,D分别是相贯线上的最高、最低点，如图4-4 ( a)所示。 (2)作一般点的投影在相贯线的侧面投影上定出左右、前后 对称的4个点E, F, G,H的投影e‟‟ f‟‟ g‟‟ h"，由此可在相贯 线的水平投影上做出e f g h进而做出它们的正面投影e‟‟ f‟‟ g‟‟ h‟‟ 如图4-4 ( b)所示。
上一页 下一页 返回
4.2立体表面的相贯线
作图 (1)求特殊点. 根据相贯线最高点C,D(也是最左、最右点) 和最低点A,B(也是最前、最后点)的侧面投影a‟‟、 b”、 c‟‟、 d”可做出正面投影a‟,b‟,c‟,d‟和水平投影a,b,c,d，如图49 ( a) 。 (2)求中间点在最高点与最低点之间的适当位置作辅助平面 P，P面与圆锥的交线是圆，其水平投影反映实形，该圆的半 径可在侧面投影中量取。P面与圆柱的交线是两条平行直线， 它们在水平投影中的位置也可从侧面投影中量取 (Y1 , Y2 ) 。 在水平投影中，圆和两条平行直线的交点1,2,3,4即为相贯 线上四个点的水平投影。如图4-9(b),(c)所示。 (3)最后结果在正面投影及水平投影上分别依次光滑连接所 作各点的投影，作图结果如图4-9 ( d)所示。
第3章 基本体的投影及表面交线
机械制图与AutoCAD基础课程配套课件
1
第3章 基本体的投影及表面交线
3.1基本体的投影
一、平面立体的投影及其表面取点
平面立体由若干个平面多边形所围成的。因此，绘制平面立体的 投影，就是绘制它的所有多边形表面的投影，也就是绘制多边形各个 边和各个顶点的投 反映底面实形的投影，根据投影 规律画两底的其他投影，最后再 根据投影规律画侧棱的各个投影 （注意区分可见性）。如果某个 投影的图形对称，则应该画出对 称中心线 。
a' c'(d')
b'
a"
d"
c"
b"
d
b
a
c
（a）求特殊点
g'(h')
h"
g"
h g
（c）求一般点
e'(f')
f"
e"
f
e
（b）求最右点
a' e'(f')
c'(d') g'(h') b'
f"
d" h"
a" e"
c" g" b"
df h
b
a
g
ce
（d）光滑连接
四、相贯线的特殊情况 1.两轴线平行共底的圆柱相交，其相贯线是两条平行于轴线的直线，
2. 辅助平面法
辅助平面法就是利用三面共点的原理求相贯线上的一 系列的点，即假想用一个辅助平面截切两相贯回转体 ，得两条截交线，两截交线的交点，即为两相贯立体 表面共有的点，也是辅助平面上的点。为了能方便地 作出相贯线上的点，最好选用特殊位置平面（投影面 的平行面或垂直面）作为辅助平面，并使辅助平面与 两回转体交线的投影为最简单（为直线或圆）。
截交线的画法
截交线的画法
• 一、截交线概述 • 用平面与立体相交，截去体的一部分 ——截切
• 用以截切立体的平面——截平面。 • 截平面与立体表面的交线——截交线。
截交线的画法
• 一、截交线概述
压块的截 切过程
截交线的画法
• 一、截交线概述
通过以上两例中对截交线的分析，可以总结截交线 的性质如下： ➢ 公有性。截交线属于截平面与立体表面的共有线，
截交线上每一点均为截平面与立体表面的共有点。
➢ 封闭性。由于立体表面是封闭的，而截交线又为平
面截切所得，因此截交线都是封闭的平面图形。
➢ 截交线的形状。截交线的形状取决于立体的几何形
状及截平面与立体的相对位置，通常为平面多边形、平面 曲线或平面折线与曲线组成。
截交线的画法
• 二、平面截切平面基本体
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形。
• 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤： ★ 空间及投影分析
确定截交 线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交线，
例：求作顶尖的俯视图
复合回转体的截交线
●
●
●●
●
●●
●
●
● ● ●
● ● ●
●
截交线的画法
• 三、平面截切回转体 复合回转体的截交线
例：圆柱与圆锥同轴叠加并被两个截平面截切，已知其主视 图及左视图的一部分，补全三视图 。
截交线的画法
• 三、平面截切回转体
• 一、截交线概述 • 用平面与立体相交，截去体的一部分 ——截切
• 用以截切立体的平面——截平面。 • 截平面与立体表面的交线——截交线。
截交线的画法
• 一、截交线概述
压块的截 切过程
截交线的画法
• 一、截交线概述
通过以上两例中对截交线的分析，可以总结截交线 的性质如下： ➢ 公有性。截交线属于截平面与立体表面的共有线，
截交线上每一点均为截平面与立体表面的共有点。
➢ 封闭性。由于立体表面是封闭的，而截交线又为平
面截切所得，因此截交线都是封闭的平面图形。
➢ 截交线的形状。截交线的形状取决于立体的几何形
状及截平面与立体的相对位置，通常为平面多边形、平面 曲线或平面折线与曲线组成。
截交线的画法
• 二、平面截切平面基本体
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形。
• 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤： ★ 空间及投影分析
确定截交 线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交线，
例：求作顶尖的俯视图
复合回转体的截交线
●
●
●●
●
●●
●
●
● ● ●
● ● ●
●
截交线的画法
• 三、平面截切回转体 复合回转体的截交线
例：圆柱与圆锥同轴叠加并被两个截平面截切，已知其主视 图及左视图的一部分，补全三视图 。
截交线的画法
• 三、平面截切回转体
7平面与立体相交求截交线
一般步骤： a 在已知投影上取特殊位置点，特殊位置点有最
上、下、左、右、前、后及转向轮廓线上的点。 b 在已知投影上取一般位置 点。 c 求点的投影， 先求特殊位置点，后求一般位置
点的投影，通常会用到辅助线或辅助圆。 d 光滑地连点的投影成线。 （5）判别可见性，擦去多余的线。
32
例7 补全水平投影图
O m'
M
O
已知m′求m ，m"
m
( m" )
5
在圆锥表面上取点（素线法）
s' S
( m') M
已知m，求m′，m"
m s
s" m"
6
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
S
s'
s"
m'
M
m"
Ss
已知m ′ ，求m，m"
m
7
在球表面上取点
O N
n'
(n" )
O
已知n′ ，求n，n"
n
8
习题5-8: 已知属于圆球表面的点及曲线AB、BC、DE的一个投 影，试补全其余两面投影。
二、平面与立体相交
平面与曲面立体相交
17
二、平面与立体相交
平面与曲面立体相交
18
二、平面与立体相交
平面与曲面立体相交
19
二、平面与立体相交
平面与曲面立体相交
20
例2: 求圆柱截交线
1'
2'3'
3"
4'5'
5"
6'7'
7"
上、下、左、右、前、后及转向轮廓线上的点。 b 在已知投影上取一般位置 点。 c 求点的投影， 先求特殊位置点，后求一般位置
点的投影，通常会用到辅助线或辅助圆。 d 光滑地连点的投影成线。 （5）判别可见性，擦去多余的线。
32
例7 补全水平投影图
O m'
M
O
已知m′求m ，m"
m
( m" )
5
在圆锥表面上取点（素线法）
s' S
( m') M
已知m，求m′，m"
m s
s" m"
6
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
S
s'
s"
m'
M
m"
Ss
已知m ′ ，求m，m"
m
7
在球表面上取点
O N
n'
(n" )
O
已知n′ ，求n，n"
n
8
习题5-8: 已知属于圆球表面的点及曲线AB、BC、DE的一个投 影，试补全其余两面投影。
二、平面与立体相交
平面与曲面立体相交
17
二、平面与立体相交
平面与曲面立体相交
18
二、平面与立体相交
平面与曲面立体相交
19
二、平面与立体相交
平面与曲面立体相交
20
例2: 求圆柱截交线
1'
2'3'
3"
4'5'
5"
6'7'
7"
平面与立体相交
6.2.1 平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平 面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交 线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线 问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。
例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
s’ s
3
2 1
a’ b’
3 1
e’(f’)
g’(h’) b’ b”
RV
RW
h b g
df a
c e
例5
求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。
PV2
PV3 PV4
2' 5'
3'
4'
1'
1"
4" 3" 5"
2"
y y
5
3
4
y
2
1
PH1
y
3.
辅助球面法
常用的辅助球面法为同心球面法,要使辅助球面与两立 体表面交线的投影为直线或圆。
例6
3 求出若干个一般点 Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ；
3" 7" 2"
4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
8"
Ⅵ
4
6 1
Ⅰ
Ⅳ Ⅷ
Ⅴ
Ⅲ Ⅶ
7 3
5
Ⅱ
作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别 截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判 别可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向 轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。 特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区 分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。
3-5 平面立体-平面切割体的三视图
§3-5 平面切割体的三视图
工程中可以看到不少像下面这样的形体。
这类形体的三视 图如何绘制？
一、平面切割体、截交线
平面切割体——平面立体被截平面切去某些部分后的形体。
名词术语： 截平面：用于截切立体的平面。 截交线：截平面与立体表面的交线。 截断面（断面）：由截交线围成的平面 图形。
Ⅲ
Ⅱ
截平面 截交线
Ⅰ
截断面
基本体被平面截切后，在表面上出现了新的表面(截断面)和交线(截交线) §3-5 平面切割体的三视图
一、平面切割体、截交线
平面切割体截交线具有的特点： 为截平面与立体表面的共有 线、且均为直线 绘制平面切割体三视图的基本思路： 绘制基本形体 绘制每个截断面 擦除被切除的表面及边
侧平面B的H面投 影积聚为一直线
§3-5 平面切割体的三视图
举例
水平面C的V面投 影积聚为一直线 在左视图中画水 平面C和正平面D 的W面投影
正平面D的V面 投影反映实形
水平面C和正平面D的W面 投影分别积聚为一直线
根据投影关系， 在主、俯视图中 各增加一个线框 正平面D的H面投 影积聚为一直线
水平面C的H面投 影反映实形
§3-5 平面切割体的三视图
举例
描深
§3-5 平面切割体的三视图
举例
例2、切割体的三维图如图2所示，试画出其三视图。
（1）形体分析：切割体的基本体是长方体。 （2）位置分析：长方体的前上方被侧垂面 A切去一角，在前面中间用两个 侧平面B和一个正平面C上下开一个通槽。 （3）截交线、截断面及其投影分析： 侧垂面A与长方体的上面和前面的交线皆为侧垂线，与左右两侧面的交线 为侧平线，交线的W面投影与侧平面A的W面投影积聚在一起。 通槽的左右侧平面 B 与侧垂面 A的交线为侧平线，正平面 C 与侧平面 A的交 线为侧垂线。B与 A的交线、C与A的交线在H面的投影分别与平面 B、 C的H面 投影积聚在一起，在W面的投影与侧垂面A的W面投影积聚在一起。 如何画三 视图？
工程中可以看到不少像下面这样的形体。
这类形体的三视 图如何绘制？
一、平面切割体、截交线
平面切割体——平面立体被截平面切去某些部分后的形体。
名词术语： 截平面：用于截切立体的平面。 截交线：截平面与立体表面的交线。 截断面（断面）：由截交线围成的平面 图形。
Ⅲ
Ⅱ
截平面 截交线
Ⅰ
截断面
基本体被平面截切后，在表面上出现了新的表面(截断面)和交线(截交线) §3-5 平面切割体的三视图
一、平面切割体、截交线
平面切割体截交线具有的特点： 为截平面与立体表面的共有 线、且均为直线 绘制平面切割体三视图的基本思路： 绘制基本形体 绘制每个截断面 擦除被切除的表面及边
侧平面B的H面投 影积聚为一直线
§3-5 平面切割体的三视图
举例
水平面C的V面投 影积聚为一直线 在左视图中画水 平面C和正平面D 的W面投影
正平面D的V面 投影反映实形
水平面C和正平面D的W面 投影分别积聚为一直线
根据投影关系， 在主、俯视图中 各增加一个线框 正平面D的H面投 影积聚为一直线
水平面C的H面投 影反映实形
§3-5 平面切割体的三视图
举例
描深
§3-5 平面切割体的三视图
举例
例2、切割体的三维图如图2所示，试画出其三视图。
（1）形体分析：切割体的基本体是长方体。 （2）位置分析：长方体的前上方被侧垂面 A切去一角，在前面中间用两个 侧平面B和一个正平面C上下开一个通槽。 （3）截交线、截断面及其投影分析： 侧垂面A与长方体的上面和前面的交线皆为侧垂线，与左右两侧面的交线 为侧平线，交线的W面投影与侧平面A的W面投影积聚在一起。 通槽的左右侧平面 B 与侧垂面 A的交线为侧平线，正平面 C 与侧平面 A的交 线为侧垂线。B与 A的交线、C与A的交线在H面的投影分别与平面 B、 C的H面 投影积聚在一起，在W面的投影与侧垂面A的W面投影积聚在一起。 如何画三 视图？
第四章 工程制图A 立体表面交线截交线
★求截交线
★完善圆柱轮廓
结果和立体图
3′(4′) 1′(2′)
●
4(2)
●
●
3(1)
4″ 2″
●
●
3″ 1″
●
●
4
●
2●
3
●
1 ●
测试题2：空心圆柱上部开有长方槽，若已
知其V、H投影，试求W投影。
测试题2：空心圆柱上部开有长方槽，若已
知其V、H投影，试求W投影。
一、平面与圆锥相交所得截交线形状
多个平面截切立体时， 确定截交线形状为矩形和圆弧。
要分别对各截平面进行 截交线的分析和作图。
2)分析圆柱体轮廓素线的投影。 3)求截交线。
[例题4 ] 求圆柱截交线
1'2'
2"
3'4'
4"
24
1" 3"
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影为直 线和部分圆，侧面投影为矩形 ；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；
1(2)
2" ●
● 1"
3(4)
2(4)
注意：
要逐个截平面分析和绘制
截交线。当平面体只有局
部被截切时，先假想为整
体被截切，求出截交线后
1(3)
再取局部。
测试题: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P
4（5）
2(3、6、7)
5 7
6 3
4 2
1(8)
8
7
5 6
3 4
1
2
8
1
7 8
54 63 2
1
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
★完善圆柱轮廓
结果和立体图
3′(4′) 1′(2′)
●
4(2)
●
●
3(1)
4″ 2″
●
●
3″ 1″
●
●
4
●
2●
3
●
1 ●
测试题2：空心圆柱上部开有长方槽，若已
知其V、H投影，试求W投影。
测试题2：空心圆柱上部开有长方槽，若已
知其V、H投影，试求W投影。
一、平面与圆锥相交所得截交线形状
多个平面截切立体时， 确定截交线形状为矩形和圆弧。
要分别对各截平面进行 截交线的分析和作图。
2)分析圆柱体轮廓素线的投影。 3)求截交线。
[例题4 ] 求圆柱截交线
1'2'
2"
3'4'
4"
24
1" 3"
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影为直 线和部分圆，侧面投影为矩形 ；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；
1(2)
2" ●
● 1"
3(4)
2(4)
注意：
要逐个截平面分析和绘制
截交线。当平面体只有局
部被截切时，先假想为整
体被截切，求出截交线后
1(3)
再取局部。
测试题: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P
4（5）
2(3、6、7)
5 7
6 3
4 2
1(8)
8
7
5 6
3 4
1
2
8
1
7 8
54 63 2
1
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平