第4课：截交线(一)平面与平面立体相交

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平面与平面立体相交

平面与平面立体相交
何培英
平面与平面立体相交
概述平面立体的截交线作图举例
平面与平面立体相交
概述
当平面截切立体时，由截交线围成的平面图形——截断面平面与立体表面相交产生的交线——截交线
截断面
截断面
截平面
截平面
截交线
截交线
平面与平面立体相交
平面立体的截交线
1.截交线的特点
平面多边形
平面与平面立体相交产生的截交线是一个封闭的平面多边形。
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影。
由图可以看出，这是一个正垂的三棱柱与一个铅垂的六棱柱相交，三棱柱由前穿入六棱柱，不再穿出。
两立体相交可以看成是六棱柱被三个平面截切所得。
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影。求水平面与六棱柱面的交点
作图：
求水平面截切后的
1/
截交线
1//
求正垂面截切后的
2/
2//
截交线
（Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
2 1
平面与平面立体相交
作图举例例2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
作图：
求水平面截切后的截交线
求正垂面截切后的截交线（Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
1/
1//
2/
3/ (4/) 4//
2// 3//
Y4 Y3
4
2 1
多边形的顶点是截平面与立体棱线或边线的交点。
截平面与立体棱线交点截平面与立
多边形的边是截平面与立体表面的交线。体表面交线
平面立体的截交线
2.求截交线的方法
平面与平面立体相交
棱线法：求各棱线与截平面的交点。

第四章截交线

2020/6/11
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39
【例题十六】已知圆球被两个面所截，求截交线的水平投影和侧面投影。
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4-17 动画演示
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40
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41
§4.2 同轴叠加回转体截交线的画法
求取：分解多体为基本体，分析各基本体截交线形状，画出交线的投影。 [例十七]已知圆锥被两个平面P、Q所截，求截交线的水平投影和侧
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4-1 动画演示上一页
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6
（二）作图
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7
【例三】已知六棱柱被P、Q面所截切，求截交后交线的各投影。（一）分析
截平面P是正垂面，Q是侧平面，正面投影都有积聚性。求截交线的H、W面的投影。
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二、求取：同平面立体对圆锥、圆球等用素线法或纬圆法作图求交点。
三、注意： ①同平面立体； ②连线：多点光滑相连；找点：特殊点（转向轮廓线上点如最高、最底、最前、最后、最左、最右）；一般点。 ③同平面立体； ④曲面立体截交线要明确其特点：
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（二）作图
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【例四】已知四棱柱被五个面所截切，求截切后形体的俯视图
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4-2 动画演示

平面与立体相交-机械制图课件

求立体截切后的投影 6" 4" 1" 2" 6
3
1
5 6
5
3 1 2
10
4
2
4
返回
6
5
3 1 2
11
4
上一级
试求正四棱锥被两平面截切后的投影
P Q
(a) 题图 12
分析：形体分析与投影分析；
(b) 形体分析与投影分析 13
作图:①求水平面、正垂面与立体的交线
7'
7"
6'
1'
(8') 5"
8" 4" 1" 3"
(e) 检查、完成图3-22 正四棱锥被两平面截切 16
补出四棱柱截割后的左视图。
1‘2’ 3‘4’ 5‘6’ 9‘ 7‘8’ 5“ 7“ 9“ 8“ 1“ 3“ 2“ 4“ 6“
5
7
13 9
24
8
17
6
返回
例 : 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P
4 5 7 5 6 3 4 Ⅴ
33
34
●
●
●
●
35
36
例 5：求左视图例求侧面投影
虚实分界点
37
返回
例
已知三棱锥SABC和正垂的截平面P，求作截交线的三面投影。
5
返回
6
例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4) 3 1 2
4
●
●
1
●
2
●
3
4
3
●
●
空间分析投影分析
●
1

§平面与立体相交求截交线

线面交点法：求平面立体棱线与截平面的交点，顺序连接各交点，即为所求。
面面交线法：求截平面与平面立体表面的交线。
2、单一平面与平面立体截交
例.三棱锥被正垂面所截切
s’ Pv 3’
2’
s”
3” 2”
(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点 1’、2’、3’为截平面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影
截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面组成的平面图形。
截交线的形状，取决于回转体表面的形状及截平面对回转体轴线的相对位置。
曲面立体截交线形状
平面(截平面)与曲面立体表面相交,截交线的形状是 ①由曲线围成的平面图形， ②由曲线和直线围成的平面图形， ③由直线围成的平面多边形。
曲面立体截交线求法
5.整理轮廓线;
Ⅲ
Ⅰ
Ⅴ
Ⅱ
Ⅶ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅵ
圆柱截交线
3'
4('5)'
3" 5'
1('2)'
2"
2 5
3
4 1
解题步骤
4'
1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线的水平投影为椭圆的一部分；
1" 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ；
3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ；
4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；
2
4
3、多个平面与平面立体截交
如下图所示，作四棱柱被截切后的投影。
B
a' (b') b"•
•a"
A
b
分析：四棱柱的上部被一个正垂面和一个侧平面所截切，因四棱柱的四个

截交线ppt课件

该组合体是由正垂面 ABCDE截切后形
成的
该组合体与原基本体画法的区别在于截切后该正垂面与基本体表面的
交线
交线－－截交线
截切类组合体重点问题
9.3截交线的画法
截切：
各种位置面
用一个平面与立体相交，截去立体的一
部分。
平面体
曲面体
• 截平面 —— 用以截切物体的平面。 • 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。
正三棱锥截切
正三棱拄截切
正垂面
水平面
空间分析投影分析画图（找点）分析棱线投影检查截交先投影特性（类似性）
画全正六棱拄截切体三视图
正垂面
k’
水平面 p’
哪个视图画完全了？哪个没画全？哪个没画出？
画图步骤
•对未画出的视图
先画出完整的正六棱拄的视图
再根据截交线的画法画出截切体的视图
•补全没画全的视图
• 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。
求截交线的实质是求两平面的交线
交线的端点
立体表面的点
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤： ★ 空间及投影分析
☆ 截平面与体的相对位置
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV PV
P
垂直圆
P
P
倾斜椭圆
平行两平行直线
截平面是什么位置面？
PV
水平面
P
垂直圆
截平面是什么位置面？
正垂面

第五讲平面与立体的表面交线——截交线

第五讲平面与立体的表面交线——截交线教学目标：掌握立体截交线的画法教学重点：特殊位置平面与回转体的交线掌握了在立体表面上取点取线的方法，本讲介绍截交线的画法。

一、截交线的概念平面截切立体，在立体表面上产生的交线，称为截交线。

用以截切立体的平面称为截平面，截交线围成的图形称为截断面。

求截交线的目的就是求截断面。

二、截交线的基本性质从图中可以看到，立体不同以及截平面与立体相对位置不同，截交线的形状也各不相同，看它们都有一些共同的性质1．截交线是截平面与立体表面的共有线，同时位于截平面和立体的表面上。

2. 是一封闭的平面折线或平面曲线。

3. 截交线的形状取决于被截立体的形状及截平面与立体的相对位置。

三、平面与平面立体相交平面立体的表面都是平面，因此平面与平面立体的交线是一闭合的平面折线——多边形。

多边形的各边是截平面与立体相应棱面的交线，多边形的顶点是截平面与立体相应棱线的交点。

求截交线时，可根据具体情况求出棱线与截平面的交点，或求出棱面与截平面的交线。

实例分析：分析截平面切到哪些棱线和棱面，要分别求出与他们的交点和交线。

四、平面与回转体相交截交线是截平面与回转体表面的共有线。

截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。

求截交线的方法：即求截平面与回转体表面的共有点。

求截交线的步骤：·空间及投影分析☆分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以确定截交线的形状。

☆分析截平面及回转体与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。

找出截交线的已知投影，予见未知投影。

·画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆先找特殊点，再补充中间点。

☆将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。

1．平面与圆柱相交截平面与圆柱面的交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。

当截平面与圆柱轴线垂直时，截交线为圆，投影如图示；当截平面与圆柱轴线平行时，截交线为平行两直线（素线），投影如图示；当截平面与圆柱轴线倾斜时，截交线为椭圆，投影如图示。

平面与立体相交

6.2.1 平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。
例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
s’ s
3
2 1
a’ b’
3 1
e’(f’)
g’(h’) b’ b”
RV
RW
h b g
df a
c e
例5
求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。
PV2
PV3 PV4
2' 5'
3'
4'
1'
1"
4" 3" 5"
2"
y y
5
3
4
y
2
1
PH1
y
3.
辅助球面法
常用的辅助球面法为同心球面法,要使辅助球面与两立体表面交线的投影为直线或圆。
例6
3 求出若干个一般点 Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ；
3" 7" 2"
4 光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
8"
Ⅵ
4
6 1
Ⅰ
Ⅳ Ⅷ
Ⅴ
Ⅲ Ⅶ
7 3
5
Ⅱ
作图步骤：（1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截交线的形状和性质。（2）求出截交线上的特殊点。（3）根据需要求出若干个一般点。（4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性。（5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。极限位置点曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。转向轮廓点曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区分曲线可见与不可见部分的分界点。特征点曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。结合点截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。

平面与平面体相交

5
4
1 2 3
10
例6
已知切割体的V面投影，完成其H、W面投影。
s
1
s"
1" 2
2"
34 6" 4" 3" 5"
6
5
注意： b" 同一棱面上的两
a
a
b
4 6 1
c a" c"
c
点相连接
s
2 5
3
b
11
例7
已知四棱锥切割体的正面投影，求其它两投影。
6' 2(3) 1 6" 5" 4" 1" 2"
截交线
截断面
切割体
1
3.3
概述:
平面与形体表面相交
此问题为平面截切立体的问题
3.3.1 平面与平面立体相交
截平面
一截交体
截平面切割形体后,不移去截交线任何部分。
截平面：切割立体的平面；截交线：截平面与立体表面的交线；截交体
2
3.3
•
平面与形体表面相交
截交线为封闭的平面折线——平面多边形。
3
y2
5
6
1
2
4
y2
y1
12
作业：3-17 3-18 3-20 3-22
3-27
选做：3-24 3-28
13
由于截交体没有移去任何一部分因此截交线的可见性只与棱面的可见性有关注意与切割体的区别棱面可见截交线就可见
3.3
平面与形体表面相交
截交线截平面
学习要点掌握体的截交线的特性及其投影的求法
可见性的判别概述此问题归结为平面截切立体的问题： • 截平面：切割立体的平面； • 截交线：截平面与立体表面的交线； • 截断面：由截交线围成的平面。 • 截交线的特性：共有性、封闭性

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(2) 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 (3)截交线的形状取决于被截立体的形状及截平面与立体的相对位置。
(4)截交线的投影的形状取决于截平面与投影面的相对位置。
4.3 截交线的求法
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
求截交线的步骤：
★ 空间及投影分析 ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形
6′(7′)
PV2
7″
6″
PV1
4′(5′) 5″ 4″
2′(3′) 1′
3″ 1″
2″
3
5
1
2
4
例7: 求带切口三棱锥的投影
s' 4' s" 4"
1' a'
2' 3' b'c'
3" b"
c"
a" y
c 3
y
a
1 4
s y
2 b
例6:求作俯视图。
正垂面
1′
1″ 2″ 侧垂面
2′
●
1
2
●
●
8 5
8
6●
●
3 1●
● ●
4
2
例4 求八棱柱被正垂面P截切后的俯视图。
例5：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
●
1
●
注意：
2 1
要逐个截平面分析和三面共点：绘制截交线。当平面体只 Ⅰ、Ⅱ两点分有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交别同时位于三个面线后再取局部。上。
确定截交线的形状
确定截交线的投影特性
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4) 1 2 4
●
1
●
Ⅳ
2
Ⅰ
●
Ⅱ
Ⅲ
3
●
3
4
●
3
● ●
●
1
2
截交线在俯、 ★ 求截交线左视图上的形 ★ 分析棱线的投影状？ ★ 检查尤其注意检查截交线投影的类似性
★ 空间分析截平面与体的 ★ 投影分析交线的形状？
几个棱面相交？
例2:三棱锥被一正垂面截切，求截交线的投影。
s 3 2 3 s
2
1
a b c
1
a(c)
y
b
a
1 s 2 3
c
Ⅲ Ⅰ
A
y
Ⅱ
b
B
例3: 求六棱柱被平面P截切后的俯视图。
p′ 3(4)
2(5) 1(6) 6 5 4 3 1 2 5 6 4 3 2 1
Ⅰ
●
Ⅱ
例6:求作俯视图。
正垂面
1′
1″ 2″
2′
●
1
2
●
第4章平面与平面立体截交的投影
4.1 截交线的定义 4.2 截交线的性质 4.3 截交线的求法 4.4 本课小结
4.1 截交线的定义
★ 用平面与立体相交，截去体的一部分 ——截切。
★ 用以截切立体的平面——截平面。
★ 截平面与立体表面的交线——截交线。
4.2 截交线的性质：
(1) 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形。
Ⅳ
Ⅴ
Ⅲ Ⅱ
Ⅵ Ⅰ
截交线的投影分析棱线截交线的形状？检查截交求截交线特性？的投影
线的投影
例3: 求六棱柱被平面P截切后的俯视图。
p′
例4：求八棱柱被正垂面P截切后的俯视图。
P
●
4(5)
●
5 7 6 3
4 2 1 7
5 4 6 3
2(3,6,7)
2
1
1(8) 7● 8●