平面与立体相交
平面与平面立体面相交
§4-2 平面与平面立体表面相交平面与立体表面的交线，称为截交线；当平面切割立体时，由截交线围成的平面图形，称为截面。
一、平面立体的截交线和断面如图4-16a所示，平面立体的截交线是截平面上的一个多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点，它的边是截平面与平面立体表面的交线，图中截平面P与三棱锥的截交线是一个三角形ⅠⅡⅢ。
如图4-16b中的黑色图形所示，已知三棱锥SABC和正垂的截平面P，求作截交线的三面投影。
作图过程如图4-16b中的红色图形所示：（1）在棱线SA、SB、SC的正面投影s＇a＇、s＇b＇、s＇c＇与截平面P的有积聚性的迹线P v的相交处，作出它们的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1＇、2＇、3＇，与P v相重合的直线1＇2＇3＇，即为截交线△ⅠⅡⅢ的正面投影。
（2）由1＇、2＇、3＇引投影连线，分别与sa、sb、sc和s″a″、s″b″、s″c″交出1、2、3和1″、2″、3″。
连接这些点的同面投影，就作出了截交线△ⅠⅡⅢ的水平投影△123和侧面投影△1″2″3″。
由于三个棱面的水平投影和棱面SAB、SCA的侧面投影都可见，在其上的截交线的同面投影12、23、31和1″2″、3″1″也都可见，画粗实线；棱面SBC的侧面投影不可见，在其上的截交线的侧面投影2″3″也不可见，画细虚线。
如图4-17a中的黑色图形所示，已知五棱柱的正面投影和水平投影，并用正垂面P切割掉左上方的一块，被切割掉的部分用细双点划线表示，求作截交线以及五棱柱被切割后的三面投影。
因为截交线的各边是正垂面P与五棱柱的棱面和顶面的交线，它们的正面投影都重合在P v上，因为截交线的正面投影已知，五棱柱被切割后的正面投影也已知，只要作出截交线的水平投影，就可以作出五棱柱被切割后的水平投影。
根据五棱柱的正面投影和水平投影，可以作出它的侧面投影；同理，由已作出的截交线的正面投影和水平投影，也可以作出截交线的侧面投影，从而作出五棱柱被切割后的侧面投影。
空间几何体的相交与平行
空间几何体的相交与平行在几何学中，空间几何体的相交与平行是一个重要的概念，它关系着几何体之间的位置关系和相互作用。
本文将探讨空间几何体之间的相交与平行关系，并对其进行详细阐述。
一、平面与立体的相交平面与立体之间的相交是几何学中最基础的情况之一。
当一个平面与一个立体相交时，可能会出现以下几种情况：1. 平面与立体相交于一条线段：当一个平面与一个立体只有一个交点时，交点所在的线段称为平面与立体的交线段。
2. 平面与立体相交于一条线：当一个平面与一个立体有多个交点，并这些交点都在同一条直线上时，这条直线即为平面与立体的交线。
3. 平面与立体相交于点集：当一个平面与一个立体有多个交点，并且这些交点不在一条直线上时，这些交点组成的集合即为平面与立体的交点集。
二、平面与平面的相交平面与平面之间的相交有多种情况，下面列举了其中几种常见的情况：1. 平面与平面相交于一条直线：当两个平面相交于一条直线时，这条直线即为平面与平面的交线。
2. 平面与平面相交于一点：当两个平面相交于一个点时，这个点即为平面与平面的交点。
3. 平面与平面相交于一条线段：当两个平面相交于一条线段时，这条线段即为平面与平面的交线段。
三、立体与立体的相交立体与立体之间的相交情况相对复杂，下面列举了几种常见的情况：1. 立体与立体相交于一条线：当两个立体相交于一条线时，这条线即为立体与立体的交线。
2. 立体与立体相交于点集：当两个立体相交于多个点，并且这些点不在一条直线上时，这些点组成的集合即为立体与立体的交点集。
3. 立体与立体相互包含：当一个立体完全包含另一个立体时，这两个立体相互包含。
四、平行关系除了相交关系，空间几何体还存在着平行关系。
平行是指在同一平面或不同平面上的两条线或两个面之间的位置关系。
1. 平面与平面的平行：当两个平面之间的交线与它们本身都平行时，这两个平面就是平行的。
2. 直线与直线的平行：当两条直线在同一平面内，且它们的方向完全相同或者不存在交点时，这两条直线就是平行的。
平面与平面立体表面相交
§4-2 平面与平面立体表面相交平面与立体表面的交线，称为截交线；当平面切割立体时，由截交线围成的平面图形，称为截面。
一、平面立体的截交线和断面如图4-16a所示，平面立体的截交线是截平面上的一个多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点，它的边是截平面与平面立体表面的交线，图中截平面P与三棱锥的截交线是一个三角形ⅠⅡⅢ。
如图4-16b中的黑色图形所示，已知三棱锥SABC和正垂的截平面P，求作截交线的三面投影。
作图过程如图4-16b中的红色图形所示：（1）在棱线SA、SB、SC的正面投影s＇a＇、s＇b＇、s＇c＇与截平面P的有积聚性的迹线的相交处，作出它们的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1＇、2＇、3＇，与P v相重合的直线1＇2＇Pv3＇，即为截交线△ⅠⅡⅢ的正面投影。
（2）由1＇、2＇、3＇引投影连线，分别与sa、sb、sc和s″a″、s″b″、s″c″交出1、2、3和1″、2″、3″。
连接这些点的同面投影，就作出了截交线△ⅠⅡⅢ的水平投影△123和侧面投影△1″2″3″。
由于三个棱面的水平投影和棱面SAB、SCA的侧面投影都可见，在其上的截交线的同面投影12、23、31和1″2″、3″1″也都可见，画粗实线；棱面SBC的侧面投影不可见，在其上的截交线的侧面投影2″3″也不可见，画细虚线。
如图4-17a中的黑色图形所示，已知五棱柱的正面投影和水平投影，并用正垂面P切割掉左上方的一块，被切割掉的部分用细双点划线表示，求作截交线以及五棱柱被切割后的三面投影。
因为截交线的各边是正垂面P与五棱柱的棱面和顶面的交线，它们的正面投影都重合在上，因为截交线的正面投影已知，五棱柱被切割后的正面投影也已知，只要作出截交线的Pv水平投影，就可以作出五棱柱被切割后的水平投影。
根据五棱柱的正面投影和水平投影，可以作出它的侧面投影；同理，由已作出的截交线的正面投影和水平投影，也可以作出截交线的侧面投影，从而作出五棱柱被切割后的侧面投影。
机械制图课件-6平面与平面立体表面相交
平面与平面立体表面的交线称为截交线;当平面切割立体 时,由截交线围成的平面图形称为断面。
断面
一、平面立体的截交线和断面
平面立体的截交线是一个多边形,它的顶点是平面立体的
棱线或底边与截平面的交点,它的边是截平面与平面立体表
面的交线。
s′
Pv
s″
3′ 2′
3″ 2″
1′
1″
作图过程
a′ b′
c′ c″ a″
b″
c
3 a
1s
2
b
（1）、在棱线SA、SB、SC的正面投影s′a′、 s′b′、 s′c′与截平 面P的有积聚性的迹线PV的相交处，作出它们的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的 正面投影1′、 2′、 3′，与PV相重合的直线1′ 2′3′，即为截交线 △ⅠⅡⅢ的正面投影。
（2） 由1′、 2′、 3′引投影连线，分别与sa、 sb、 sc和 s″a″、 s″b″、 s″c″交出1、2、3和1″、2″、 3″。连接这些点 的同面投影，就作出了截交线△ⅠⅡⅢ的水平投影△123和侧面 投影△ 1″2″ 3″。
例3 已知一个缺口三棱锥的正面投影，补全它的水平投影和 侧面投影。
S
A
B
分析：由正面投影可见三棱锥上的缺口系水平面△ⅠⅡⅢ和正垂 面△ⅡⅢ Ⅳ组成，其中点Ⅰ、Ⅳ为棱线SA上的点，这两点的投 影必在棱线的同面投影上。点Ⅱ、Ⅲ分别为处于一般位置的棱面 △SAB和△SAC内的点，因此作辅助线求出它们的投影。
第二步
第三步 第四步
第五步
例２ 试完成五棱柱被两平面Ｐ、Ｑ截切后的正面投 影
完成后的投影图
在形状较为负责的机件上，有时会见到由平面和 平面立体相交而形成的具有缺口的平面立体或穿孔的 平面立体，只要逐个作出各个截平面与平面立体的截 交线，并画出截平面之间的交线，就可作出这些平面 立体的投影图。
§4.2 平面与立体相交求截交线
1
s 2
3
(3)连接各点同面投影即等截交 线的三个投影
(4)补全棱线投影
求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
分析：截平面为正垂面 截交线的正面投影积聚 为直线。截平面与四条 棱线相交，从正面可直 接找出交点。 作出各对应点的投影， 4• 1 2
•
1'
(4') 2'
3'
4"
3"
2"
1"
依次连接各点。 3 补全棱锥体的外形投影。
3 1
2
a
3
2
[例题5]
分析并想象出圆锥穿孔后的投影
主要内容
4.2.1 圆柱截交线 4.2.2 圆锥截交线
4.2.3 圆球截交线
一.面与圆球相交所得截交线
圆
二.求圆球截交线上点
平行圆画法:在圆球表面上取若干个平行于投
影面的平行圆,求这些平行圆与截平面的交点;
三.圆球截交线
[例题1]求圆球截交线
ο
截平面与圆锥轴线
倾斜，倾角θ>α 截交线为椭圆。
Pv
Pv
Pv
截平面与圆锥轴线 倾斜面，倾角θ=α 截交线为抛物线。
截平面与圆锥轴线 平行或倾角θ<α， 截交线为双曲线。
截平面过锥顶截 交线为三角形。
特殊点 一般点 b'
a'
a''
c'
b''
c''
整理加深
S
由点连线
P
b
c
a
Ⅰ
解题步骤 1 分析 截交线的水 平投影和侧面投影已 知，正面投影为双曲 线并反映实形； 2 求出截交线上的特 殊点A、C； 3 求出一般点B ； 4 光滑且顺次地连接 各点，作出截交线， 并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
5平面与立体相交
作业
上 节
P 轴线 = 交线为抛物线
P
轴线 0 < 交线为双曲线
进入 ACAD
平面与回 转体相交 3.1
平面与圆 柱相交
单面与圆锥相交 是什么点？ 椭圆短轴的投影
P
3.2
平面与圆 锥相交
P
3.3
平面与 球相交
3.4
平面与组合 回转体相交
截交线分析
截交线投影分析 截交线为椭圆
正面投影积聚成直线 检查 水平、侧面投影均为椭圆
3.3
平面与 球相交
3.4
平面与组合 回转体相交
作业
上 节
平面与回 转体相交 3.1
平面与圆 柱相交
3.3 平面与球相交
注意
3.2
平面与圆 锥相交
3.3
平面与 球相交
3.4
平面与组合 回转体相交
交线为圆
作业
上 节
球面上 无直线
平面与回 转体相交 3.1
平面与圆 柱相交
多截面与球相交
3.2
平面与圆 锥相交
作业
上 节
交线可见性 轮廓线投影 椭圆画法 特殊点 中间点 光滑连接曲线
平面与回 转体相交 3.1
平面与圆 柱相交
多面与圆锥相交
3.2
平面与圆 锥相交
中点
3.3
平面与 球相交
3.4
平面与组合 回转体相交
作业
上 节
进入 ACAD
平面与回 转体相交 3.1
平面与圆 柱相交
观察与思考
3.2
平面与圆 锥相交
平面与圆 柱相交
3.1 平面与圆柱相交
一组平面与圆柱相交
3.2
平面与圆 锥相交
6 平面与立体相交
连线原则：
1、一个平面完全截断立体时，属于立体同一棱 面上的点才能相连； 2、当几个平面截切立体时，属于立体同一棱面， 又属于同一截平面的两点，方能相连，但截平 面与截平面间的交线除外。
重点、难 点： 掌握平面立体切割体的投
影作图方法。
作业： P26 6-1 P27 6-2
第二节 平面与曲面立体 相交
例6-7 求圆锥切割体的投 影。 投影规律：长对正、高平齐、宽相等
3'(4') 5'(6') ° 7'(8') ° 1' ° Pv
° ° 2'
极限点、转向点 特征点
取一般点 依次光滑连接
2″ 3″ 4″ ° ° 6″ 5″ ° ° 8″ 7″ ° °
° °
1″
°
64 8°
°
1
水平、侧面投影是椭圆 将切割体投影补齐
2 ° ° ° °°
3d动画
75 3
例6-8 求圆锥切割体的水平投影和侧面 投影。 投影规律：长对正、高平齐、宽相等
作图: 形体分析 Qv—正垂面 Pv—水平面 正面投影积聚成两条直线
Qv
° 1' °
1″
°
取特殊点：
极限点、转向点、 特征点、 结合点 取一般点 切口的底面是圆 切口的侧面是抛物线 将切割体投影补齐
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ
二、平面与平面立体相交
1、平面与棱柱相交
Pv—正垂面 正面投影是一 条直线 有积聚性 （定位） 水平投影与 棱面积聚 侧面投影取点连线 将切割体投影补齐
b(e)2
°
作图：
a′
b′
c′
a″(c″)
b″
3′ °
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整理棱线投影
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二、平面与回转体相交
平面截切回转体，在回转体表面留有的交线， 称为回转体的截交线。
㈠ 回转体截交线性质
1、截交线是截平面与回转 体表面的公有线。截交线上 的点为截平面与回转体表面 的公有点。
2、截交线的形状通常为平 面曲线，特殊情况下可含有 直线段组成。截交线的形状 取决于回转体表面性质和截 平面与回转体的相对位置。
一、截交线概述
平面截切立体，在立体表面留有的交线成为截交线。 依据立体表面性质不同，立体的截交线可分为：
平面体截交线和曲面体截交线
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二、平面与平面立体相交
平面截切平面立体，在平面立体表面留有的交 线，称为平面立体的截交线。
㈠ 平面体截交线的性质：
⒈平面体截交线是截平面与平面 立体表面的公有线。
2、投影作图
运用锥面取点方法作 出抛物线顶点和底端点、 转向轮廓线上点和一般 点，用曲线光滑连接各 点。
3、整理轮廓线
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【例题3】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析
截交线为圆弧和两根 直线段，两截平面间有 一条交线。截交线的正 面投影落在截平面的正 面积聚性投影上，求作 截交线的水平投影和侧 面投影。
3、整理轮廓线
浏览三维动画•工程制图平面与立体相交
3、圆球的截交线 平面截切圆球，其截交线的形状为圆。
当截平面平行于投影面时，则截交线圆的投影反映实形； 当截平面垂直于投影面时，则截交线圆的投影为直线段； 当截平面倾斜于投影面时，则截交线圆的投影为椭圆。
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平面与立体相交
6.2.1 平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平 面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交 线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线 问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。
例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
s’ s
3
2 1
a’ b’
3 1
e’(f’)
g’(h’) b’ b”
RV
RW
h b g
df a
c e
例5
求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。
PV2
PV3 PV4
2' 5'
3'
4'
1'
1"
4" 3" 5"
2"
y y
5
3
4
y
2
1
PH1
y
3.
辅助球面法
常用的辅助球面法为同心球面法,要使辅助球面与两立 体表面交线的投影为直线或圆。
例6
3 求出若干个一般点 Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ；
3" 7" 2"
4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
8"
Ⅵ
4
6 1
Ⅰ
Ⅳ Ⅷ
Ⅴ
Ⅲ Ⅶ
7 3
5
Ⅱ
作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别 截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判 别可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向 轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。 特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区 分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。
平面与立体相交PPT课件
垂直相交
总结词
当平面与立体垂直且相交时，称为垂直相交。
详细描述
垂直相交是指平面与立体在空间中垂直且有一个公共点。这个公共点是平面与立 体的交点，也是平面与立体边界线的起点和终点。垂直相交通常发生在平面与立 体的棱线或顶点相交时。
斜交
总结词
当平面与立体不平行也不垂直，且有一个公共点时，称为斜 交。
平面与立体相交ppt 课件
目 录
• 平面与立体的基本概念 • 平面与立体的相交类型 • 平面与立体相交的特性 • 平面与立体相交的应用 • 平面与立体相交的实例分析
01
CATALOGUE
平面与立体的基本概念
平面的定义与性质
定义
平面是指在空间中无限延展、没 有厚度的二维图形。
性质
平面具有无限延展性、无厚度、 可无限分割等特性。
当一个平面与一个立体垂 直时，它们在某个方向上 相互垂直，形成垂直线。
02
CATALOGUE
平面与立体的相交类型
平行相交
总结词
当平面与立体平行且不重合时，称为平行相交。
详细描述
平行相交是指平面与立体在空间中平行且不与立体接触，即平面与立体的边界 线平行且不相交。在这种情况下，平面与立体之间没有公共点。
详细描述
斜交是指平面与立体在空间中不平行也不垂直，有一个公共 点。这个公共点是平面与立体的交点，也是平面与立体边界 线的起点和终点。斜交通常发生在平面与立体在空间中形成 一定的角度时。
03
CATALOGUE
平面与立体相交的特性
相交线的性质
相交线是平面与立体接触的部 分，具有确定的长度和方向。
相交线的位置和数量取决于平 面和立体的形状、大小和相对 位置。