初中数学培优题库试题6附答案

第Ⅰ卷(选择题共36分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分) 1．在1，－1，3，－2这四个数中，互为相反数的是( ) A ．1与－1 B ．1与－2 C ．3与－2 D ．－1与－2

2．习近平总书记提出了未来5年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11 700 000人，将数据11 700 000用科学记数法表示为( )

A ．1.17×107

B ．11.7×106

C ．0.117×107

D ．1.17×108

3．函数y ＝2x 4－x 中自变量x 的取值范围是( )

A ．x≠－4

B ．x≠4

C ．x≤－4

D ．x≤4 4．下列运算正确的是( ) A ．x 3＋x 3＝2x 6 B ．x 2·x 3＝x 6 C ．x 3÷x＝x 3 D ．(－2x 2)3＝－8x 6

5．已知点P(a ，m)，Q(b ，n)都在反比例函数y ＝－2

x 的图象上，且a

＜0＜b ，则下列结论一定正确的是( ) A ．m ＋n ＜0 B ．m ＋n ＞0

C ．m ＜n

D ．m ＞n

6．同一直角坐标系中，一次函数y 1＝k 1x ＋b 与正比例函数y 2＝k 2x 的图象如图所示，则满足y 1≥y 2的x 的取值范围是( )

A ．x≤－2

B ．x≥－2

C ．x ＜－2

D ．x ＞－2

7．学校为创建“书香校园”，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10 000元，购买文学类图书花费9 000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x 元，则可列方程为( ) A.10 000x －9 000x －5＝100 B.9 000x －5－10 000x ＝100

C.10 000x －5－9 000x ＝100

D.9 000x －10 000x －5＝100 8．实数a ，b 满足a ＋1＋4a 2＋4ab ＋b 2＝0，则b a 的值为( ) A ．2 B.12 C ．－2 D ．－12

9．图1是一个边长为(m ＋n)的正方形，小颖将图1中的阴影部分拼成图2的形状，由图1和图2能验证的式子是( )

A ．(m ＋n)2－(m －n)2＝4mn

B ．(m ＋n)2－(m 2＋n 2)＝2mn

C ．(m －n)2＋2mn ＝m 2＋n 2

D ．(m ＋n)(m －n)＝m 2－n 2 10．下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为( )

A ．73

B ．81

C ．91

D ．109

11．如图，平行于x 轴的直线与函数y ＝k 1x (k 1＞0，x ＞0)，y ＝k 2x (k 2＞0，

x ＞0)的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若△ABC 的面积为4，则k 1－k 2的值为( )

A ．8

B ．－8

C ．4

D ．－4

12．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，分析下列四个结论：

①abc＜0；②b 2－4ac ＞0；③3a＋c ＞0；④(a＋c)2＜b 2，其中正确的结论有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

第Ⅱ卷(非选择题共84分)

二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分) 13．因式分解：x 2y －y 3＝__________________________．

14．分式方程1x ＋2－3x

x 2－4

＝0的解为x ＝________．

15．对于两个非零实数x ，y ，定义一种新的运算：x ※y＝a x ＋b

y .若1※(－

1)＝2，则(－2)※2的值是________．

16．如图，一座拱桥，当水面AB 宽为12 m 时，桥洞顶部离水面4 m ．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系．若选取点A 为坐标原点时的抛物线表达式是y ＝－1

(x －6)2＋4，则选取

点B 为坐标原点时的抛物线表达式是______________．

17．对一个实数x 按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输

入一个实数x”到“结果是否大于88？”为一次操作．如果操作只进

行一次就停止，则x的取值范围是____________．

三、解答题(本大题共7个小题，共64分．解答要写出必要的文字说

明、证明过程或演算步骤)

18．(本题满分7分)

(1)(1－2)0＋|2－5|＋(－1)2 018－

×45；

(2)解不等式组

??12（x＋1）≤2，

x＋2

≥

x＋3

，

并求出不等式组的整数解之和．

19．(本题满分7分)

先化简，再从－3，－2，0，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．

x＋3

x2－9

x2－2x

－

x－2

20．(本题满分8分)

某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种

型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；

若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元．

(1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？

(2)该中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1

180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？

21．(本题满分9分)

某市制米厂接到加工大米的任务，要求5天内加工完220吨大米，制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务．乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工大米数量y(吨)与甲车间加工时间x(天)之间的关系如图1所示；未加工大米w(吨)与甲加工时间x(天)之间的关系如图2所示，请结合图象回答下列问题：(1)甲车间每天加工大米________吨，a＝__________；

(2)求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量y(吨)与x(天)之间函数关系式；

(3)若55吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？再加工多长时间恰好装满第二节车厢？

22．(本题满分10分)

俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．

(1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2 400元？ (3)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 最大？最大利润是多少元？

23．(本题满分11分)

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(4，2)，直线y ＝－12x ＋52与边AB ，BC 分别相交于点M ，N ，函数y ＝k

x (x ＞0)的图

象过点M.

(1)试说明点N 也在函数y ＝k

(x ＞0)的图象上；

(2)将直线MN 沿y 轴的负方向平移得到直线M′N′，当直线M′N′与

函数y ＝k

(x ＞0)的图象仅有一个交点时，求直线M′N′的表达式．

24．(本题满分12分)

已知：如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与坐标轴分别交于点A(0，6)，B(6，0)，C(－2，0)，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式；

(2)当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值？

(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE∥x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？

若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案

1.A

2.A

3.B

4.D

5.D

6.A

7.B

8.B

9.B 10.C 11.A 12.B

13．y(x ＋y)(x －y) 14.－1 15.－1 16．y ＝－1

9(x ＋6)2＋4 17.x ＞49

18．解：(1)原式＝1＋5－2＋1－5＝0.

(2)解不等式1

2(x ＋1)≤2得x≤3，

解不等式x ＋22≥x ＋3

得x≥0，

则不等式组的解集为0≤x≤3，

∴不等式组的整数解之和为0＋1＋2＋3＝6.

19．解：原式＝x 2x ＋3·（x －3）（x ＋3）x （x －2）－x 2x －2＝x （x －3）x －2－x 2

x －2

＝x 2－3x －x 2x －2＝－3x

x －2

∵????

?x ＋3≠0，x －2≠0，x≠0，

∴x≠0，x≠－3且x≠2，

故当x ＝－2时，原式＝－3×（－2）（－2）－2＝－32

20．解：(1)设每个A 型放大镜x 元，每个B 型放大镜y 元．

根据题意得?????8x ＋5y ＝220，

4x ＋6y ＝152，

解得?????x ＝20，

y ＝12.

答：每个A 型放大镜20元，每个B 型放大镜12元．

(2)设可以购买a 个A 型放大镜，则购买B 型放大镜(75－a)个．根据题意得20a ＋12(75－a)≤1 180，

解得a≤35.

答：最多可以购买35个A 型放大镜． 21．解：(1)20 15

(2)设y ＝kx ＋b ，把(2，15)，(5，120)代入得

?????15＝2k ＋b ，120＝5k ＋b ，解得?

????k ＝35，b ＝－55， ∴y＝35x －55(2≤x≤5)．

(3)①当0＜x≤1时，20＋15＝35＜55，不合理； ②当1＜x≤2时，20x ＋15＝55，x ＝2；

③当2＜x≤5时，20x ＋35x －55＝110，x ＝3，3－2＝1(天)．答：加工2天可装满第一节车厢，再加工1天可装满第二节车厢． 22．解：(1)y ＝300－10(x －44)，即y ＝－10x ＋740(44≤x≤52)．

(2)根据题意得(x －40)(－10x ＋740)＝2 400，解得x 1＝50，x 2＝64(舍去)．

答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2 400元． (3)w ＝(x －40)(－10x ＋740)＝－10x 2＋1 140x －29 600 ＝－10(x －57)2＋2 890，

当x ＜57时，w 随x 的增大而增大，而44≤x≤52，

∴当x ＝52时，w 有最大值，最大值为－10(52－57)2

＋2 890＝2 640. 答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的

利润w 最大，最大利润是2 640元．

23．解：(1)∵矩形OABC 的顶点B 的坐标为(4，2)， ∴点M 的横坐标为4，点N 的纵坐标为2. 把x ＝4代入y ＝－12x ＋52得y ＝1

2，

∴点M 的坐标为(4，1

2)．

把y ＝2代入y ＝－12x ＋5

2得x ＝1，

∴点N 的坐标为(1，2)． ∵函数y ＝k

x (x ＞0)的图象过点M ，

∴k＝4×1

2＝2，

∴y＝2

(x ＞0)．

把N(1，2)代入y ＝2

x 得2＝2，

∴点N 也在函数y ＝k

x (x ＞0)的图象上．

(2)设直线M′N′的表达式为y ＝－1

x ＋b ，

由?????y ＝－1

x ＋b ，

y ＝2x

得x 2－2bx ＋4＝0.

∵直线y ＝－12x ＋b 与函数y ＝2

x (x ＞0)的图象仅有一个交点，

∴(－2b)2－4×4＝0，解得b 1＝2，b 2＝－2(舍去)，

∴直线M′N′的表达式为y ＝－1

x ＋2.

24．解：(1)∵抛物线过点B(6，0)，C(－2，0)， ∴设抛物线的表达式为y ＝a(x －6)(x ＋2)，将点A(0，6)代入得－12a ＝6，解得a ＝－1

，

∴抛物线的表达式为y ＝－12(x －6)(x ＋2)＝－1

x 2＋2x ＋6.

(2)如图，过点P 作PM⊥OB 于点M ，交AB 于点N ，作AG⊥PM 于点G.

设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b ，将点A(0，6)，B(6，0)代入得

?????b ＝6，6k ＋b ＝0，解得?????k ＝－1，

b ＝6，

则直线AB 的表达式为y ＝－x ＋6. 设P(t ，－1

t 2＋2t ＋6)，其中0＜t ＜6，

则N(t ，－t ＋6)，

∴PN＝PM －MN ＝－12t 2＋2t ＋6－(－t ＋6)＝－12t 2＋2t ＋6＋t －6＝－

2t 2＋3t ，

∴S △PAB ＝S △PAN ＋S △PBN ＝12PN·AG＋1

2PN ·BM ＝1

2PN·(AG＋BM) ＝1

PN·OB ＝12×(－1

2t 2＋3t)×6 ＝－32t 2

＋9t

＝－32(t －3)2

＋272

，

∴当t ＝3时，△PAB 的面积有最大值． (3)存在．如图，

∵PH⊥OB 于点H ，

∴∠DHB＝∠AOB＝90°，∴DH∥AO.

∵OA ＝OB ＝6， ∴∠BDH＝∠BAO＝45°. ∵PE∥x 轴，PD⊥x 轴， ∴∠DPE ＝90°.

若△PDE 为等腰直角三角形，则PD ＝PE.

设点P 的横坐标为a ，

∴PD＝－12a 2＋2a ＋6－(－a ＋6)＝－12a 2

＋3a ，

PE ＝2|2－a|，

∴－12a 2

＋3a ＝2|2－a|，

解得a ＝4或a ＝5－17，

∴P(4，6)或P(5－17，317－5)．