复变函数计算

1.设z 1=

i

z i -=

+32

12，，试用指数形式表z 1z 2及

2

1z z .

2.试证函数x +y 在z 平面上任何点都不解析.

3.试证函数f (z )=x 3+3x 2yi -3xy 2-y 3i 在z 平面上解析，并分别求出其导函数.

4.不用计算，验证积分

⎰c

z

dz cos

之值为零，其中C 均为单位圆周|z |=1.

5.证明级数∑

∞

=1

n n

n

i

收敛. 6.求下列函数f (z )=

1

-e 2z

z

在z =±1的留数.

25．利用留数计算积分⎰

+∞

∞

-++=

dx

x x x

I )

9)(1(2

2

2

17．设复数)

2)(1(--=

i i i z

（1）求z 的实部和虚部；（2）求z 的模；（3）指出z 是第几象限的点.

18．设iy x z +=.将方程1Re ||=+z z 表示为关于x ,y 的二元方程，并说明它是何种曲线. 19．设)()(2323y cx y i bxy ax z f +++=为解析函数，试确定a,b,c 的值. 20．设),(),()(y x iv y x u z f +=是解析函数，其中xy x y y x u 2),(22--=，

求),(y x v . 21．求)

2)(4(2)(---

=z z z f 在圆环域3|1|1<-

22设z

z f -=11sin

)(的幂级数展开式为∑∞

=0

n n n z a ，求它的收敛半径，并计算系数a 1,a 2.

23.设C 为正向简单闭曲线，a 在C 的内部，计算I =

.)

(213

dz a z ze

i

z C

-⎰

π

24.求)

(1)(3

i z z z f -=在各个孤立奇点处的留数.

1．设z =

2

3-

1i ，求｜z ｜ 及Ar gz ． 2．试证函数z

1在z 平面上任何点都不解析．

3．若函数f (z ) 在区域D 内解析，在D 内f ′(z )=0 ，试证f (z ) 在D 内必为常数． 4．不用计算，验证积分∫c 6

52

++z z

dz e z

之值为零，其中C 均为单位圆周｜z ｜=1 ．

5．将函数 ⎰0z

e

z 2

dz 展成z 的幂级数，并指出展式成立的范围． 6．将函数

)

(z-z z 112

+在圆环0＜｜z ｜＜1 内展为洛朗级数．

7.求4

=⎰z

3

4

2

2

15

)

2()1(++z z

z

dz 之值． 17．（本题6分）用θcos 与θsin 表示θ5cos ．

18．已知z ≠时2

2

y

x y x +-=υ为调和函数，求解析函数υi u z f +=)(的导数)(z f '，并将它表示

成z 的函数形式．

19.计算积分I=dz ix y x c

⎰+-)(2，其中C 为从0到1+i 的直线段．

20．将函数f(z)=ln(z 2-3z +2)在z =0处展开为泰勒级数．

1．函数f (z )=x 2-y 2-x +i (2xy-y 2

)在复平面上何处可导？何处解析？ 22．计算积分I=dz

z z

c ⎰

+-)

1()1(12

2

，其中C 为正向圆周x 2+y 2-2x =0.

23利用留数计算积分I=⎰-c z

dz z e

2

2)

1(，其中C 为正向圆周z =2．

24将函数)

1(1)(2

-+=

z z z z f 在圆环域0

17．将曲线的参数方程z =3e it

+e -it

（t 为实参数）化为直角坐标方程. 18．设C 是正向圆周⎰

+-=-C

z

dz z z e

z .2

3,2112

计算

19．求0

)

2)(1()(=-+=z z z z z f 在处的泰勒展开式，并指出收敛圆域.

20．求)

2)(1(12)(+-+=

z z z z f 在圆环域1

22．设v (x ,y )=arctan

)(),0(z f x x

y >是在右半平面上以v (x ,y )为虚部的解析函数，求f (z ).

23．设C 是正向圆周2=z ，计算.)

1(2

dz z z e

I C

z

⎰

-= 24设C 是正向圆周1=z ，计算⎰

+=C

dz z

z I .

2sin )1(2

1.求函数f （z ）=z

z 在z 平面上的不连续点. 21．计算z =(1+i )2i 的值.

2.将函数f （z ）=

3

1

+z 在|z |<3内展开为幂级数.

3.设点z 0分别是解析函数f （z ）和g （z ）的m 阶零点和n 阶零点，证明：z 0是函数f （z ）·g （z ）的m +n 阶零点.

4.讨论函数f （z ）=2

3

)

1(z z

-的奇点（包括无穷远点）及其类型.

5.求函数f （z ）=

2

)

1)(2(+-z z z

在点z =2和z =-1处的留数.

6.试求映射w =f （z ）=z 2

-2z 在点z =1-2i 处的旋转角和伸缩率.

四、证明函数f （z ）=x 2-y 2

+i （2xy -2）在复平面上解析，并求f ′（z ）. 五、用留数计算积分：⎰

+π

20

2

4cos 5d sin

x

x

x . 1.若f )1(

i

z +=z

，求lim i

z →f （z ）.

2.讨论函数f （z ）=2x 3

+3iy 3

在z 平面上的可导性与解析性.