苏教版高中数学必修2教案立体几何初步第26课时 两个平面垂直的判定和性质习题课(二)
【数学课件】两个平面垂直的判定和性质
面面垂直
线面垂直
两个平面平行的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面相互垂直。
β A
B
α
a
？ 思考题
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC， 问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相平行？
1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
S
D O
A
C B
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面的直线。
β
A
B
α
a
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α. 证明：设α ∩ β= c，过点P在平面α内 作直线b⊥ c，根据上面的定理有b⊥β.
因为经过一点只能有
一条直线与平面β垂直，
所以直线a应与b直线
重合.
β
所以a α.
α
P
a
b
c
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α.
如果两个平面垂直，那么经过 第一个平面内的一点垂直于第二 个平面的直线，再第一个平面 。
α
P
a
β
例2 求证：垂直于同一平面的两平面 的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а, 求证： a⊥γ.
证法三：
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
高一数学必修2立体几何 面面垂直的判定与性质
求证:平面A1C⊥平面B1D
E、F分别是AB、BC的中点， 求证: 平面A1C1FE⊥平面B1D G是BB1的中点 求证: 平面A1C1G⊥平面B1D
A1
D1 A D C
F
E Ｂ G G G G C1 B1
三、两个平面垂直的性质定理: 1.如果两个平面垂直，则在一个平面 内垂直于它们的交线的直线垂直于另 一个平面.
你发现了什么？
二、两个平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过了另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直.
符号: l
l
α
β l A
线面垂直，则面面垂直
线线垂直线面垂直来自面面垂直应 用 于 生 活
建筑工人砌墙时， 如何使所砌的墙和水平面垂直？
例1:在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
面面垂直的判定与性质
淮北一中高一数学备课组
学习目标
1、掌握平面和平面垂直的定义； 2、掌握平面和平面垂直的判定定理；
3、掌握平面和平面垂直的性质定理； 4、掌握判定定理和性质定理的应用。
一、两个平面垂直的定义:
如果两个平面所成的二面角是直角 (即成直二面角)，就说这两个平面 互相垂直．
观 察 生 活
证明：过A点作AD⊥SB于D点. ∵平面SAB ⊥ 平面SBC, ∴ AD⊥平面SBC， ∴ AD⊥BC. 又∵ SA ⊥ 平面ABC， ∴SA ⊥ BC. AD∩SA=A ∴BC ⊥ 平面SAB. ∴BC ⊥AB.
S
D A B C
【总结一下★成竹在胸】
为作辅助线提 供了理论依据
三、两个平面垂直的性质定理:
2.如果两个平面垂直，那么经过第一个 平面的一点垂直于第二个平面的直线， 在第一个平面内．
高中数学第八章立体几何初步-平面与平面垂直的判定课件及答案
则 AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS 为二面角 A-BC-S 的平面角．在 Rt△BSC
中，∵SB＝SC＝a，
∴SD＝
22a，BD＝B2C＝
2 2 a.
在 Rt△ABD 中，AD＝ 22a.在△ADS 中， ∵SD2＋AD2＝SA2，∴∠ADS＝90°，即二面角 A-BC-S 为直二面角，故平
面 ABC⊥平面 SBC.
(3)垂线法．过二面角的一个面内异于棱上的 A 点向另一个平面作垂线，垂 足为 B，由点 B 向二面角的棱作垂线，垂足为 O，连接 AO，则∠AOB 为二面 角的平面角或其补角．如图③，∠AOB 为二面角 α-l-β 的平面角．
【对点练清】
1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两
D．AO⊥l，BO⊥l，且 AO⊂α，BO⊂β 答案：D
3.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，二面角 A-BC-A1 的平面 角等于 ________． 答案：45°
知识点二 平面与平面垂直
(一)教材梳理填空 1．面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直__二__面__角__，就说 定义
D．不存在
()
答案：C 3．若平面 α⊥平面 β，平面 β⊥平面 γ，则
()
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α 与 γ 相交但不垂直 答案：D
D．以上都有可能
题型一 二面角的概念及其大小的计算
【学透用活】 (1)一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的． (2)构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的 平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都 与棱垂直，这三个条件缺一不可． (3)当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是 0°；当二面角的两 个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是 180°，所以二面角的平面角 α 的取值范围是 0°≤α≤180°.
高中数学必修2——立体几何平行和垂直(教案)
立体几何平行和垂直知识讲解知识点1 点、线、面一、平面的基本性质二、空间直线的位置关系1．位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行．3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设ba,是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线bbaa//',//'，把'a与'b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．I,,Pl P l且且三、直线与平面的位置关系llAα//l知识点2 线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭注意：⑴三垂线指AO PO PA ,,都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。
知识点3 线面垂直定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。
直线l 与平面α垂直记作：α⊥l 。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
知识点4 面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
高二数学面面垂直判定和性质 教案
高二数学面面垂直判定和性质教学目标1.掌握二面角、二面角的平面角的概念；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。
（1）正确理解二面角的平面角的概念，能够在图形中找出（作出）二面角的平面角，利用定义证明一个角是二面角的平面角，会求平面角的大小；（2）理解两个平面垂直的判定定理的内容及证明方法，会用此定理证明两个平面的垂直问题；（3）理解两个平面垂直性质定理的内容，了解定理的证明方法（同一法），能运用此定理证明某些直线与平面的垂直问题。
2.通过对二面角的平面角的定义的理解与认识，进一步体会空间图形向平面图形转化的思想和方法。
3.通过对两个平面垂直的判定定理和性质定理的作用的挖掘，进一步体会线线垂直与线面垂直的密切关系，从而从更高的角度把握空间直线与平面的位置关系。
教学建议（1）知识结构（2）重点、难点分析教学重点是二面角的平面角的概念以及两个平面垂直的判定定理和性质定理的运用；教学难点一是对两个平面垂直的判定定理和性质定理的结构、功能的认识，二是对定理的运用．①找二面角的平面角是将二面角这个空间图形转化为平面图形的重要手段，根据空间图形的特点作二面角的平面角，不仅是教学的重点更是学生学习的难点．②两个平面垂直的判定定理是证明两个平面垂直的重要依据，其前提条件是线面垂直；而性质定理则是证明一条直线与一个平面垂直的方法，其前提条件是两个平面垂直.只有明确了定理的题设与结论，才有可能灵活运用．（1）本节内容分为三课时，一是二面角及其平面角的概念及求法，二是两个平面垂直的判定定理和性质定理的推导，三是两个平面垂直的判定定理和性质定理的应用．（2）二面角的引入应从两个平面的位置关系复习开始，当两个平面不平行时，它们的位置关系是相交，相交的度量是研究成角的大小．平面几何中研究两条直线的成角化为研究两条射线所成的角，与此类比，空间两个平面的成角就转化为两个半平面所成的角．在二面角的教学中要注意与平面角的类比、并且向平面角转化．（3）可让学生研究探讨如何给二面角的平面角的下定义，回忆异面直线所成的角以及斜线与平面所成的角的定义，提示这两种空间角是如何转化为平面角的，启发学生寻求平面角的顶点以及两条边，并且这个二面角必须是确定的．另外还可借助实物如打开的课本启发学生观察判断，找到合适的平面角作为二面角的平面角．（4）选择合适的例题习题，解答后让学生归纳求二面角的平面角的常用方法．（5）应在教师的提示下由学生得出两个平面垂直的判定定理．由低级的位置关系可以得到高级的位置关系（如两个平面平行的判定定理，由线面平行推出面面平行），猜想由线面垂直应能推出面面垂直．由学生探讨两种垂直关系的过渡，从而发现结论．两个平面垂直的性质定理的发现与此类似．（6）证明两个平面垂直的判定定理和性质定理时注意分析综合法的运用．注意分析已知与所证的差异，这个差异就是最主要的矛盾，消除了差异，已知与所证就建立了联系，实现了沟通，问题也就解决了．通过证明这两个定理应使学生对分析综合法的认识有进一步的提高．教学设计示例二9.6 两个平面垂直的判定和性质第二课时教学目标：1．理解两个平面垂直的定义．2．掌握面面垂直的判定定理与性质定理．3．能应用面面垂直的判定与性质解决简单问题．教具准备：三角板、投影胶片．教学过程：［设置情境］提问：（1）竖电线杆时，电线杆所在的直线与地面应满足怎样的位置呢？（2）为了让一面墙砌得稳固，不易倒塌，墙面所在的平面与地面又应该满足怎样的位置关系呢？容易得出结论：电线杆与地面应该垂直，否则容易倾倒；如果墙面发生倾斜，墙就容易倒塌，所以砌墙时，不能让墙面倾斜．（3）我们怎样用所学知识去描述“墙面不倾斜”这一事实呢？［探索研究］1．平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．2．两个平面垂直的判定定理提出问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的一面墙和地面是否垂直呢？（教师可鼓励学生结合自己的生活阅历大胆想象、猜测，并可用书作墙面、桌面作为地面进行模拟．学生不管想出何种方法，也不管其是否可行，教师都应给以表扬、鼓励并作出相应的分析．）由上面的讨论分析，教师得出两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．已知：，（图1）．求证：．证明：设，则由知，、共面．∵ ，，∴，垂足为点．在平面内过点作直线，则是二面角是直二面角．∴ ．3．两个平面垂直的性质提问：为什么墙面和地面垂直的时候，墙体就不容易倒塌呢？先让学生思考，然后演示实验：将一本书放置在桌面上，且使书所在平面与桌面垂直．当书面沿书面与桌面的交线转动时，由物理学原理知，它会倒塌．由此得到启发，让学生思考：如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平面呢？先让学生思考一段时间，然后分析：如图2，，，，，求证：．分析：在内作．要证，只需证垂直于内的两条相交直线就行，而我们已经有，只需寻求另一条就够了，而我们还有这个条件没使用，由定义，则为直角，即有，也就有，问题也就得到解决．可由学生写出证明过程．由上面的讨论，我们就得到了两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．下面我们来看一下两个平面垂直的性质的另一个定理，也即课本的例2（P37）．如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．已知：，，，（图3）．求证：．证明：设．过点在平面内作直线，根据上面的定理有．因为经过一点只能有一条直线与平面垂直，所以直线应与直线重合．∴ ．4．例题分析例题如图4，是⊙ 的直径，点是⊙ 上的动点，过动点的直线垂直于⊙ 所在平面，、分别是、的中点，直线与平面有什么关系？试说明理由．解：由垂直于⊙ 所在平面，知，，即是二面角的平面角．由是直径上的圆周角，知．因此，平面平面．由是△ 两边中点连线，知，故．由两个平面垂直的性质定理，知直线与平面垂直．注意：本题也可以先推出垂直于平面，再由，推出上面的结论．［演练反馈］1．如图5，在空间边形中，平面，，，．求证：（1）；（2）平面平面．2．如图6，是△ 所在平面外一点，，，．求证：平面平面．3．如图7，垂直于矩形所在平面，、分别是、的中点，二面角为．求证：平面平面．［参考答案］1．提示：由，，得面，从而面面，又，所以面，所以，得面．2．提示：取中点，连结、．，，得．3．提示：取中点，连结、，证明：，，，，，面，，，面，面．［总结提炼］定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的，理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义．证明面面垂直要从寻找面的垂线入手，课本第37页上的例2也可以当作面面垂直的一条性质定理，在解题时注意应用．布置作业：课本P39习题9.6 8，9，10．板书设计：1．两个平面垂直的判定 3．两个平面垂直性质之二2．两个平面垂直的性质之一 4．例题。
面面垂直判定定理 高一下学期数学苏教版(2019)必修第二册
AC BD
P
PA 平面ABCD, BD 平面ABCD
PA BD
又 PA AC=A，PA，AC 平面PAC，
A
BD 平面PAC
又 BD 平面PBD
B
平面PAC 平面PBD
D C
16
2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1中点，求证：
（1）BD1 平面EAC
（2）平面EAC 平面AB1C
又因为 AC 平面AEC,
所以平面 AEC 平面PBD．
12
跟踪训练2：
如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面ABCD是平行四边 形，AC BC ， ABC 60, SA SB SC 4,ASB 90 ． 求证：平面 SAB 平面ABC；
13
取AB中点O，连接SO，OC， ABC 60, SA SB SC 4,ASB 90， AC BC ， SO AB ，CO SO 2 2 ，SC2 SO2 CO2 ，
8
证明 ∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴PC⊥BD. ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC. ∵BD⊂平面PDB， ∴平面PDB⊥平面PAC.
9
反思 感悟
证明平面与平面垂直的方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角. (2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
(3)记作： α⊥β .
3
2.平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面过另一个平面的 垂线 ，那么这两个平面 文字语言
垂直
符号语言
l⊥α， l⊂β ⇒α⊥β
图形语言
4
1.下列命题正确的是 A.平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β B.若平面α⊥β，则α内的直线垂直于平面β C.若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β D.若直线a与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有a⊥α
高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案
高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案Teaching plan of high school mathematics compulsory course 2 "vertical judgment of straight line and plane"高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。
便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。
一、教学内容分析《直线与平面垂直的判定》共2课时，本课是第1课时，本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分，均为概念性知识.本节内容以“垂直”的判定为主线展开，“垂直”在定义和描述直线和平面位置关系中起着重要的作用，集中体现在：空间中垂直关系的相互转化。
其中核心内容为——直线与平面垂直的定义和判定定理。
本节具有承上启下的作用，在已有“直线与平面位置关系，直线与直线垂直定义与判定”的基础上，引出直线与平面垂直，为学习“平面与平面的位置关系，平面与平面的垂直” 做准备，其中直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直，这三类垂直问题的研究主线是类似的，都是以定义——判定——性质为主线.判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，并体会“平面化”以及“降维”的转化思想，是本节课的重要任务.二、教学目标的确定1.课程目标（1）对空间几何体整体观察，认识空间图形;（2）以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;（3）能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定;（4）了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
高中数学苏教版必修2课时13《两个平面垂直》word学案2
DBCA课时13 两个平面垂直（2）【课标展示】1. 掌握平面与平面的位置关系.2．掌握平面和平面垂直的判定与性质定理．3. 应用平面和平面垂直的判定和性质定理证明线线垂直、线面垂直等有关问题． 【先学应知】 （一）要点1.平面与平面垂直的判定定理 （1）语言表示：_________________________________________________________________________ （2）符号表示：_________________________________________________________________________ （3）图像表示：________________________________________________________________________ 2.平面与平面垂直的性质定理 （1）语言表示：_________________________________________________________________________ （2）符号表示：_________________________________________________________________________ （3）图像表示：________________________________________________________________【合作探究】例1．如图，AB C D ，，，为空间四点．在ABC △中，2AB AC BC ===， 等边三角形ADB 以AB 为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ； （Ⅱ）当ADB △转动时，是否总有AB CD ⊥？证明你的结论．例2．如图所示, 四棱锥P -ABCD底面是直角梯形,,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, PA ＝AD ＝AB ＝1.（1）证明: //EB PAD 平面; （2）证明:平面BDE ⊥平面PDC 例3．如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO的中点，4AB BC AC ===，PA PC == （1）平面PAB ⊥平面EBO ； （2）FG ∥平面EBO ．PA COEFG(例3题图)【课时作业13】1．经过平面外一点作与此平面的垂直平面，则这样的平面可以作 个.2．在四棱锥P-ABCD 中,若PA ⊥平面ABCD,且四边形ABCD 是菱形,则平面ABC 与平面ACD 的位置关系是 .3. 过平面的一条平行线，有 个平面与已知平面垂直.4. 过平面的一条斜线，有 个平面与已知平面垂直.5. 对于直线,m n 和平面,αβ，能得出αβ⊥的一个条件是 (写出序号) （1）,//,//m n m n αβ⊥（2）,,m n m n αβα⊥⋂=⊂ （3）//,,m n n m βα⊥⊂（4）//,,m n m n αβ⊥⊥6. 把直角三角形ABC 沿斜边上的高CD 折成直二面角A －CD －B 后，互相垂直的平面 对.7. 如图，ABCD 是正方形，PA ⊥平面AC ，BE ⊥PC 于E ，求证：平面BDE ⊥平面PBC.8.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求证:11FD A AED 面平面⊥.9．（探究创新题）已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，60ADB ∠=，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且).10(<<==λλADAF ACAE求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC.10．如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是AB 、SC 的中点,求证：EF ∥平面SAD.CSF【疑点反馈】（通过本课时的学习、作业之后，还有哪些没有搞懂的知识，请记录下来）第13课时 两个平面垂直（2） 例1．〖解析〗考查直线和平面与平面和平面的相互关系 〖答案〗（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结DE CE ，， 因为ADB 是等边三角形，所以DE AB ⊥． 当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB 平面ABC AB =， 所以DE ⊥平面ABC ， 可知DE CE ⊥由已知可得1DE EC ==，在DEC Rt △中，2CD =．（Ⅱ）当A D B △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥． 证明：（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥．（ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知A B D E ⊥．又因AC BC =，所以AB CE ⊥．又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面CDE ，由CD ⊂平面CDE ，得A B C D ⊥．综上所述，总有AB CD ⊥．例2．证明:（1）取PD 中点Q , 连EQ , AQ , 则12QE CD AB == …1分 //////QE CD CD AB QE AB QE AB ⎫⎪⇒⎬⎪=⎭…………………………………………2分 //ABEQ BE AQ ⇒⇒四边形是平行四边形 ………………3分////BE AQAQ PAD BE PAD BE PAD ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭平面平面平面 (2)PA ABCD CD ABCD ⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面平面//AQ PCD BE PCD BE AQ ⇒⊥⎫⇒⊥⎬⎭平面平面 .所以平面BDE ⊥平面PDC例3．【证明】由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形，ABC ∆为等边三角形．EDBCACD PA CD AD AD PA A ⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⋂⎭＝CD PAD AQ CD AQ PAD PA AD AQ PD Q PD CD PD D ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⊂⎭⎪⎪⎫⎪⇒⊥⎬⎬⎭⎪⎪⋂⎪⎪⎭平面平面＝为的中点 ＝（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥， 因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ．因为PA ⊂平面PAC ，所以BO PA ⊥，在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，所以OE PA ⊥， 又BOOE O =，所以PA ⊥平面EBO ，所以平面PAB ⊥平面EBO；（2）连AF 交BE 于Q ，连QO ．因为E 、F 、O 分别为边PA 、PB 、PC 的中点，所以2AO OG =，且Q 是△PAB 的重心，…………………10分于是2AQAO QF OG==，所以FG //QO . …………………12分 因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO ． 【课时作业13】1．无数个.解析: 经过平面外一点作与此平面垂直的直线有且仅有一条,但过此直线的平面都与已知平面垂直,从而有无数个. 2． 互相垂直.3.有且仅有一个(或答一个)解析:在平面的一条平行线上,任取一点作平面的垂线,两条相交直线确定的平面(这样的平面只有一个)与已知平面垂直.4.有且仅有一个(或答一个)5. (3)6. 37. 证：由条件易知PB=PD ，又ΔPBC ≌ΔPDC ，∴∠PCB=∠PCD ， 由此可得，ΔBEC ≌ΔDEC ，于是∠DEC=∠BEC=90°，∴PC ⊥DE ，又PC ⊥BE ，∴PC ⊥平面BDE ，PC ⊂平面PBC ，由面面垂直的判定定理可知平面BDE ⊥平面PBC 。
13.时 两平面垂直-【新教材】苏教版(2019)高中数学必修第二册精品课件
发射人造地球卫星时，要使得卫星的轨道平面与地球的赤道平面
小 结
·
探 新
成一定的角度；使用笔记本时，为了便于操作，需要将显示屏打开一
提 素
知
养
定的角度，那么，如何刻画两个平面所形成的这种“角”呢？
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
13.2.4第2课时 两平面垂直-【新教材】苏教版（2 019） 高中数 学必修 第二册 课件
导
小
学 言 平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
·
结
探
提
新 知
符号语
合
言
α⊥β，α∩β＝l，__a_⊂_α__，a_⊥__l_⇒a⊥β
素 养
作
课
探
时
究 图形语
分 层
释
作
疑 难
言
业
·
返 首 页
13.2.4第2课时 两平面垂直-【新教材】苏教版（2 019） 高中数 学必修 第二册 课件
9
·
情
课
景
1．如图，三棱柱
ABC-A1B1C1
中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，
小 结
·
探 新
AA1＝2AC，D 是棱 AA1 的中点．求证：平面 BDC1⊥平面 BDC．
提 素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
21
·
情
[证明] 由题设知 BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，∴BC⊥ 课
《两个平面垂直的判定和性质》教案完美版
《两个平面垂直的判定和性质》教案（第二课时）教学目标：（一）教学知识点1、两个平面互相垂直的性质。
2、两个平面互相垂直性质的应用。
（二）能力目标1、通过性质定理的发现过程，培养学生归纳、猜想、证明的科学思维方式。
2、通过本节教学，提高学生空间想象能力。
3、通过问题解决，提高等价转化转化思想渗透的意识。
4、进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。
（三）德育目标多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神。
教学重点两个平面垂直的性质。
教学难点两个平面垂直的性质定理运用。
教学设计思路性质定理的引入，不是采取平铺直叙，而是根据数学定理的教学是由发现与论证这两上过程组成的，所以把“引入命题”和“猜想”作为本节课的重要活动内容，在教师的启发下，通过交换命题的条件和结论发现命题，完成猜想，然后在教师的引导下，让学生完成对猜想的证明，得到这个平面垂直的性质定理，在这一“探索”、“猜想”、“论证“的研究过程中，培养学生发现问题、解决问题的能力。
教学方法从条件去分析其应具有的结论，从结论去探讨其应具备的条件，诱导学生思考、分析问题。
教具准备投影片三张、照片四张、录相短片、课件。
教学过程（一）复习引入1、情景引入。
2、两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
3、图形语言4、数学符号5、交换判定定理中的条件和结论（二）新课讲解1、两个平面垂直的性质定理（1）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直另一个平面。
（2）数学符号语言（3）图形语言（4）证明:在β内引直线BE⊥CD,垂足为B2、两个平面垂直的性质二（1）如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内，垂直于它们交线的直线在第一个平面。
（2）数学符号语言（3）图形语言（4）证明3、两个平面垂直的性质三（1）如果一个平面和平面外的一条直线都与另一个平面垂直，那么这个平面和这条直线平行。
（2）数学符号语言（3）图形语言（4）证明（三）归纳小结小结作文:突出知识的发生、发展和形成过程。
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第26课时 两个平面垂直的判定和性质习题课（二）
教学目标
：
通过本节教学提高学生解决问题能力；进一步提高学生认知图形能力、空间想象能
力；从多角度解答问题过程中，感悟等价转化思想运用；创新精神，实践能力在数学中
的体现、渗透。
教学重点
：
两个平面所成二面角的棱寻求、角的求解。
教学难点
：
找求问题解决的突破口，转化思想渗透。
教学过程
：
1．复习回顾：
1）二面角的平面角找法依据.
2）三垂线定理及逆定理.
2．讲授新课：
［师］前面研究了如何找一个二面角的平面角，解决的途径有定义法、三垂线法、
垂面法，除此外又给了面积射影法求二面角.本节主要研究无棱二面角的求解思路、方法.
近几年的高考试题涉及无棱二面角问题的题目也较突出.
找无棱二面角的棱依位置可分二类，
例1：如图，在所给空间图形中ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD=AD.求平面PAD
和面PBC所成二面角的大小.
［师］面PAD和面PBC图中只给出一个公共点，
那么怎样找棱呢？请思考.
［生］作线在面内进行，BC∥AD则经BC的平面与
面PAD的交线应平行，由此想到经P作BC或AD平行线，
找到棱后的主要问题就是找平面角.
解法如下：
解：经P在面PAD内作PE∥AD，AE⊥面ABCD，
两线相交于E，连BE
∵BC∥AD
则BC∥面PAD
∴面PBC∩面PAD＝PE
∴BC∥PE
因PD⊥面ABCD，BC⊥CD
那么BC⊥PC，BC⊥面PDC
即有PE⊥面PDC
PE⊥PD，PE⊥PC
∠CPD就是所求二面角的平面角
因PD＝AD，而AD＝DC
∴∠CPD=45°
即面PAD与面PBC成角为45°.
［师］从整个过程可看到，找棱的过程也是经公共点作表示平面的一线的平行线，
而平面角依垂面找到并求得.
请同学归纳小结例1的解法，并完成例2.
例2：如图，斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60°角，侧面BCC1B
1
⊥面ABC. 求平面AB1C1与底面ABC所成二面角大小.
［师］首先解释一下斜三棱柱，面ABC及
面A1B1C1都是几何体底面且平行，CC1∥＝ AA1∥＝ BB1.
［生］A是面AB1C1和面ABC的一个公共点，这两个
面的棱图中也没有给出.但由上下两面平行应有交线平行
于B1C1，此题难点就是如何找平面角.
［师］考虑面BB1C1C⊥面ABC及棱长相等两个条件，
请同学思考.
师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.
解：因面ABC∥面A1B1C1，则面BB1C1C∩面ABC＝BC
面BB1C1C∩面A1B1C1＝B1C1
∴BC∥B1C1，则B1C1∥面ABC
设所求两面交线为AE，即二面角的棱
则B1C1∥AE，即BC∥AE
经C1作C1D⊥BC于D，因面BB1C1C⊥面ABC
∴C1D⊥面ABC，C1D⊥BC
又∠C1CD＝60°,CC1＝a故CD＝a2
即D为BC中点
又△ABC是等边三角形
∴BC⊥AD
那么有BC⊥面DAC1即AE⊥面DAC1
故AE⊥AD，AE⊥AC1
∠C1AD就是所求二面角的平面角.
因C1D＝32a，AD＝32a，C1D⊥AD
故∠C1AD＝45°.
［师］请同学小结该题，解决问题关键是什么，难在什么地方.
［生］同例1，关键是找棱、找角、而找角较难.
［师］继续看例3，看该问题与前两个问题相同点是什么，不同点是什么？
例3：如图，几何体中 AA1∥＝ BB1∥＝ CC1，AA1⊥面ABC，△ABC为正三角形，面A1EC
⊥面AC1，E∈BB1，AA1＝A1B1，求面A1EC与面ABC所成二面角的大小.
［师］此题显然依上述方法去找平行线已不可能.由图B1C1与CE不平行.但与前两个
问题的相同点还是两面从图形看到的只有一个公共点，依公理我们只有去找另一公共点，
观察图我们可看到CE与B1C1是同一平面内线，突破口就选在面B1C1CB内，找到点后，
二面角的棱也就找到.请同学思考并表述过程.
解：∵A1是平面A1EC与平面A1B1C1的一个公共点，
∴只需找到另一个公共点，即可.
因AA1＝A1B1＝A1C1，连AC1
则AC1⊥A1C，AC1∩A1C＝O
取BB1的中点E，连EO
因面ABC是正三角形，则经B作BG⊥AC有
BG⊥面AC1，OE∥BG
∴OE⊥面AC1
因面A1EC⊥面AC1，故E是BB1中点
那么EB1∥＝ 12 CC1
∴CE与B1C1延长后必交于一点F，
即F为面A1EC，面A1B1C1的另一个公共点
连A1F，则A1F为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的棱
因FB1＝B1C1＝A1B1，∠A1B1F＝120°
∴∠FA1B1＝30°
那么∠C1A1F＝90°即A1C1⊥A1F
那么CA1⊥A1F（三垂线定理）
∠CAC1为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的平面角.
∠CA1C1＝45°，因AA1∥＝ BB1∥＝ CC1
而面ABC∥面A1B1C1
∴面A1EC与面ABC所成二面角大小为45°.
［师］找公共点F是解此题关键，例1、2是通过公共点作棱，例3是通过再找公共
点而得棱.因题条件不同而采用不同作法.例1、2找棱的方法不妨叫“作平行线”，例3的
方法叫“找公共点”.
［师］问题的解决不一定就一种思路，一条途径，只要多去想条件涉及到的知识点，
解决方法总会找到，“柳暗花明又一村”的境界一定能达到.
3．课时小结：
依图形结构，对两类问题（例1、2为一类，例3为一类）分别用“作平行线”法及
“找公共点”法完成，但一切问题都不是绝对的。
4．课后作业：