第九章理论力学
理论力学--第九章质点运动微分方程+动力学绪论
xl(12)r(c ot sco2 st)。
4
4
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连杆AB的质量，试求
当 t0和 π 时，连杆AB所受的力。
2
y
A
O
B
β
x
解： 以滑块B为研究对象，当 =ωt 时，受力如图。连杆应受平衡力
系作用，由于不计连杆质量，AB 为二力杆，它对滑块 B 的拉力 F 沿 AB方向。
0ta 1n v v0 0c sio n 0 0sta 1n 2s H31
例题 质量为1kg的重物M, 系于长度l=0.3m的线上,线的 另一端固定于天花板上的O点,重物在水平面内作匀速圆 周运动而使悬线成为一圆锥面的母线,且悬线与铅垂线 间的夹角恒为60,试求重物运动的速度和线上的张力。
解：取重物M为研究对象，选用自然坐标轴投影形式。
③运动分析，沿以O为圆心, l为半径的圆弧摆动。
动力学
第十章 质点动力学的基本方程
④列出自然形式的质点运动微方程
mat Ft
P dv Psin 1
g dt
man Fn
Pv2 gl
FT
Pcos
2
⑤求解未知量
由2式得FT
P(c
osv2),
gl
其中 ,v为变.由 量1式重 知物作 , 因 减 此 速 0 时 ,F 运 TF T m 动
c1
d
y
d t
gt
c2
x
c1t
c3
y
1 2
gt2
c2t
c4
代入初 : 始 c1v0条 co 0,s件 c2v 得 0sin 0
c3c40
则运:动 x v 0 t方 co 0 ,y s 程 v 0 ts为 i0 n 1 2g2t
哈工大理论力学教案 第9章
解:1, AB作平面运动 作平面运动
基点: 基点: A
2,
vB = vA + vBA ? √ √
大 ? vA 小 方 √ 向
vB = vA cot
vA vBA = sin
vBA vA ωAB = = l l sin
如图所示平面机构中, 例9-2 如图所示平面机构中,AB=BD= DE= l=300mm.在图示位置时,BD‖AE,杆AB的角速度为 .在图示位置时, , 的角速度为 ω=5rad/s. . 此瞬时杆DE的角速度和杆 中点C的速度 的角速度和杆BD中点 的速度. 求:此瞬时杆 的角速度和杆 中点 的速度.
解:1, AB作平面运动 作平面运动 2, vB = vA + vBA
大 ? ωr ? 小 方 √ 向
= 60
基点: 基点:A
√
√
vB = vA cos 30 = 2 3ωr 3
= 0
vB = 0
= 90
vB = vA = ωr, vBA = 0
如图所示的行星轮系中,大齿轮Ⅰ固定, 例9-4 如图所示的行星轮系中,大齿轮Ⅰ固定,半 径为r 行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动,半径为r 径为 1 ,行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动,半径为 2. 系杆OA角速度为 系杆 角速度为 ωO . 的角速度ω 及其上B, 两点的速度. 求:轮Ⅱ的角速度 Ⅱ及其上 ,C 两点的速度.
解:1 , BD作平面运动 作平面运动
2, vD = vB + vDB 大 ? ωl 小 方 √ 向 √ ? √
基点: 基点:B
vD = vDB = vB =ωl
vD vB ωDE = = = ω = 5rad s DE l vDB vB ωBD = = = ω = 5rad s BD l
理论力学 陈立群 第9章习题解答
第九章平衡问题——能量方法 习题解答9-1质量为3 kg 的质点以5 m/s 的速度沿水平直线向左运动。
今对其施以水平向右的的常力，此力的作用经30 s 而停止，这时质点的速度水平向右，大小为55 m/s 。
求此力的大小及其所做的功。
解：取质点m 为研究对象。
由质点动量定理；()12v v F -=m t ：()12v v m Ft +=，解得：()())N (630555312=+=+=t v v m F .由质点动能定理； ()())J (450055532121222122=-⨯⨯=-==v v m Fs W .9-2如图所示，一弹簧振子沿倾角为ϑ的斜面滑动，已知物块重G ，弹簧刚度系数为k ，动摩擦因数为f ；求从弹簧原长压缩s 的路程中所有力的功及从压缩s 再回弹λ的过程中所有力的功。
解：取物块为研究对象。
物块受到重力G ，弹簧力F ，斜面摩擦力m ax F 和法向反力N F 作用，其中仅法向反力N F 不作功。
在弹簧压缩过程中，所有力的功为 ()221cos sin ks s f G W --=ϑϑ 在弹簧压缩s 再回弹λ的过程中，所有力的功为 ()()[]2221cos sin λλϑϑ--+--=s s k f G W 。
9-3弹簧原长l ，刚度系数为k ，一端固定在O 点，此点在半径为r = l 的圆周上。
如弹簧的另一端由图示的B 点拉至A 点，求弹簧力所做的功。
AC ⊥BC ，OA 为直径。
解：在B 点弹簧的变形为()l 121-=λ，在A 点弹簧的变形为l =2λ。
弹簧力所做的功为()()222211221kl k W --=-=λλ。
9-4图示机构在力F 1和F 2作用下在图示位置平衡，不计各构件自重和各处摩擦，OD=BD=l 1，AD=l 2。
求F 1/F 2的值。
解：用解析法解题。
()j i F ϑϑcos sin 11-=F , i F 22F = 点A 和B 的坐标及其变分为()()j i r ϑϑsin cos 2121l l l l A ++--= ，i r ϑcos 21l B -=题9-2图题9-3图质点的受力图()()j i r δϑϑδϑϑ⋅++⋅-=cos sin δ2121l l l l A ，i r δϑϑ⋅=sin 2δ1l B 。
理论力学第章刚体的平面运动
E
30
B vB
A vA
vD
vB CD CB
3vB
0.693
m s－1
vE60
CO
ω
轮E沿水平面滚动，轮心E的速度 水平，由速度投影定理，D，E 两
点的速度关系为
vE cos 30 vD
求得 vE 0.8 m s－1
§9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
一、问题的提出
B
vA vA
C
vD vA vDA
A Ⅱ
由于齿轮Ⅰ固定不动，接触点D不滑动，所以
ωO O
D
vDA ωⅡ
vD=0 ，因而有 vDA v A O r1 r2
Ⅰ
vDA为D点绕基点A的转动速度，应有
vDA Ⅱ DA
因此
Ⅱ
vDA DA
O (r1
r2
r2 )
（逆时针）
y
SM
O
o
x
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
刚体平面运动方程
xo xo (t )
yo
yo (t )
(t)
刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。
四、刚体的平面运动分解为平动和转动
刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点
的转动，平面图形随同基点平动的速度和加速度与基点 的选取的有关。绕基点转动的角速度和角加速度则与基 点的选择无关。
动画
刚体平面运动分解
动画
平面运动
动画
平面运动
动画
平面运动分解
动画
平面运动
动画
理论力学 第九章刚体的平面运动2 (西安交大)
A ω O1 O2
B
ω O A B
练习题
vO O A B
找出下列平面运动 刚体的速度瞬心。
B
O
vA
A
例： 椭圆尺规的A端以速度vA沿x轴的负方向运动， AB=l 。试求B端的速度以及尺AB的角速度。 AB杆速度瞬心为C. 解：
y
vA vA AC l sin
vB
BC vB BC vA AC
凡涉及到平面运动图形相对转动的角速度和
角加速度时，不必指明基点和坐标系，只需说明 平面图形的角速度和角加速度。 相对基点(平动坐标系)的转动角速度(角加速 度)就是相对于定系的绝对角速度(角加速度).
§9-2 平面运动的速度分析
1.基点法
设在平面运动刚体上取点 A为基点，已知其速 度为 vA ，平面运动刚体的角速度为 ，分析图形 上任一点B 的速度。 y´ y vBA B A O vA vA 动点－B点 动系－平移系 Ax´y´
[v A ] AB [vB ] AB
v A v B cos 0 r 0 vB cos 0
应用速度投影定理无法 求得连杆AB的角速度。
ω0
例如图平面铰链机构。已知杆O1A的角速度是ω1 ，杆
O2B的角速度是ω2，转向如图，且在图示瞬时，杆O1A
又O2B=b，O1A= b。试求在这瞬时 C 点的速度。 3
速度瞬心的特点 瞬时性：不同的瞬时，有不同的速度瞬心； 因此速度瞬心具有 加速度。
唯一性：某一瞬时只有一个速度瞬心；
瞬时转动特性：平面图形在某一瞬时的运动都可 以视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动。 注意瞬时平动与平动的区别：瞬时平动各点的 速度相同，但是加速度不同。
练习题
《理论力学》 第九章 点的复合运动.
dvr dt
ar
ωe
vr
由速度的定义，知：
z
ve ωe r
e
dve dt
dωe dt
r
ωe
dr dt
e
其中：dωe dt
αe
O
dr dt
va
ve
vr
x
dve dt
αe r
ωe (ve
vr )
ae αe r ωe vr
M r′ r
rO
vB
vAa B
C
a
O
vAe vvBAr r
A
vBa vBe vBr
O1
1
vBa
例题6
已知：h； ；
求：AB 杆的速度
解：取 AB 杆端点 A 为动点， 凸轮为动系
B
va
vr
ve
A
va ve vr
ve h
h
O
n
va ve tan h tan
例题7
M2
vr
M
va ve
M′ M1
MM MM1 M1M
lim MM lim MM1 lim M1M t0 t t0 t t0 t
MM
va lim t 0
Δt
vr
lim t 0
MM 2 Δt
ve
lim
t 0
MM1 Δt
va ve vr
求：(1) 小环M的速度 (2) 小环M相对于AB杆的速度
解：（1）取小环M为动点 AB杆为动系
va ve vr
第九章刚体的平面运动_理论力学
刚体作平面运动时，任意瞬时，平面图形上存在 且仅存在一个点，在此瞬时该点的绝对速度为零，称该点为此瞬时刚体的瞬时速度中心， 或 称速度瞬心（简称瞬心） ，此瞬时刚体上其他各点的速度分布规律等效于此瞬时图形以刚体 的角速度 绕 瞬 心 作 定 轴 转 动 时 的 速 度 分 布 一 样 。 如 图 9-11 （ b ） 所 示 。
例 9-1 图 9-18 所示曲柄连杆机构。 已知
，
。 ① 求图示位置连杆 AB 之瞬心；
② 求 OA 在铅垂位置时连杆 AB 之运动特点。
解：① 分析各构件运动， OA 绕 O 作定轴转动， ，方向如图示；AB 杆作平面运动；B 点作直线运动。VB 沿 OB 方向，属于已知 两点速度方位，过 A、B 两点分别作 vA 和 vB 的垂线,其交点 C 即为图示瞬时之瞬心 C 。 ② 当 OA 位于铅垂位置时的情形。如图 9-19 所示。此时 vA∥vB ，但与 AB 不垂直，
由定义不难推出， 在刚体运动过程中， 由此推出以下结论。
的运动 （见§7-1.2） 。
结。
刚体平面运动方程式 现在来描述平面图形 在空间的位置。 （1）在图形上作直线 （2）运动方程式 ，只需确定 的位置就可以确定 的位置。见图 9-6
（9-1） §9-2 平面运动分解为平动和转动
因此式（9-2）改写成： (9-3) 其中：vM 为动点 的绝对速度
vA 为基点的速度（相对于定系） vMA 为动点 见图 9-9，则 (9-4) 2. 速 度 投 影 定 理 -- 速 度 分 析 的 第 二 种 方 法 （ 亦 称 " 基 点 法 的 推 论 " ） 相对于基点 的速度 （相对速度） ,若在平面运动刚体上另取一点 B ，
这样，平面运动分解成跟随基点的平动和相对于基点的转动。这种分解方法称为基点法。 2. 基点法的特点 （1）平动部分与基点选择有关。 （2）转动部分与基点选择无关。读者试用作图方法验证之。 （3）相对于动系转动的角速度 形的角速度，与基点选择无关。 §9-3 平面运动刚体上各点的速度分析 。由于是平动动系，所以 。称为图
《理论力学》第九章 质点动力学 习题解
第九章 质点动力学 习题解 [习题9-1] 质量为kgm2的质点沿空间曲线运动，其运动方程为：324ttx，ty5，24tz。求st1时作用于该质点的力。
解： （1）求加速度 23238)4(ttttdtddtdxvx
tttdtddtdvaxx68)38(2 )/(2168|221smatx
5)5(tdtddtdyvy
0)5(dtddtdvayy
0|1tya 344)2(ttdtddtdzvz
2312)4(ttdtddtdvazz
)/(12112|221smatz
（2）求作用在质点上的力 )(422|1NmaFtxx
)(002|1NmaFtyy
)(24122|1NmaFtzz
力的大小： )(331.242404222222NFFFFzyx 力的方向角： 2
054.80331.244arccosarccos
F
Fx
090331.240arccosarccos
F
Fy
046.9331.2424arccosarccos
F
Fz
力的作用点： )(3114|321mxt
)(515|1myt
)(121|41mzt
即在F作用点在M（3，－5，－1）。
[习题9-2] 某质量为kg5的质点在jtitF)2sin(100)2cos(90（F以N计）作用下运动，已知当0t时，cmx40，cmy50，00•x，scmy/100•。试求该质点的运动方程。 解：
由jtitF)2sin(100)2cos(90可知： )2cos(90tFx )2sin(100tFy )2cos(90tmaFxx
)2cos(9022tdtxdm )2cos(90522tdtxd )2cos(1822tdtxd )2()2cos(9tdtdt
材料力学：第九章 强度理论
－材料的断裂条件
强度条件
σ1 － 构件危险点处的最大拉应力 [σ] － 材料单向拉伸时的许用应力
最大拉应变理论（第二强度理论）
理论要点
引起材料断裂的主要因素－最大拉应变 e1
e1 e1u
宜用第一强度理论考虑强度问题
一种常见应力状态的强度条件
单向、纯剪切联合作用
塑性材料 强度条件：
纯剪切许用应力
单向、纯剪 切联合作用
纯剪切情况下（s = 0）
塑性材料强度条件:
[σ] τmax 2
[σ] τmax 3
强度理论的应用
使用强度理论进行强度校核的步骤：
(1)画剪力图、弯矩图，确定危险截面； (2)据应力公式，确定截面上的危险点； (3)求最大应力； (4)根据材料性质, 选择合适的强度理论,
当
时, 材料屈服
强度条件
－材料的屈服条件
s1 , s2 , s3 － 构件危险点处的工作应力 [s] － 材料单向拉伸时的许用应力
例题 例2-1 铸铁构件危险点处受力如图,
试校核强度，[s]=30 MPa
解： (1) 列出已知条件
(2) 计算应力最大值
(3) 选择强度理论, 进行校核 （压应力 < 拉应力）
承压薄壁圆筒应力分析
三种应力: 轴向x, 周向y, 径向z
承压薄壁圆筒应力分析
(1) 轴向应力 筒底压力
筒壁应力
(2) 周向应力
1
(3) 径向应力
径向应力/周向应力
很小的量
故 s r 很小, 忽略不计
承压薄壁圆筒强度条件
理论力学第9章
转
动,OA=r,AB=l,当 r / l 比较小时,以O 为坐标原点,滑 块B 的运动方程可近似写为
2 x l 1 r cos t cos 2 t 4 4 如滑块的质量为m, 忽略摩擦及连杆AB的质量,试求： π 当 t 0和 时 ,连杆AB所受的力.
Fl sin 2 v 2.1 m s m
属于混合问题。
例9-4 已知：粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的 水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着 上升。为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应 在 0 时才掉下来。
求：滚筒每分钟的转数n。
解： 视铁球为质点。 质点运动微分方程在主 法线上的投影式： v2 m FN mg cos R 质点在未离开筒壁前的 速度等于筒壁的速度，即： n v R 30 当 0 , FN 0 时，解得： 当 n 9.49 g / R 时，θ 0 0 球不脱离筒壁，起 不到粉碎的作用
2
解:
研究滑块
max F cos
其中 a x x
当
rω 2 cos ω t λ cos 2ω t
F mr 2 1
a x r 2
0时, ax r 2 1 , 且 0
2 时, 且 cos l 2 r 2 l
2. 质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组 成的系统。 刚体是一个特殊的质点系。由无数个相互间 保持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。
第九章
质点动力学的基本方程
第九章
§ 9-1
质点动力学的基本方程
动力学的基本定理
§ 9-2
质点的运动微分方程