理论力学第9章 刚体的平面运动
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理论力学-刚体的平面运动
表示为
ω
O
vB
ψ
B
x
vB = vA+ vBA
其中vA的大小 vA=R ω 。
vBA
例题
刚体的平面运动
由速度合成矢量图可得
例 题 3
vA
y
A
vA
vA vBA vB π π sin( ) sin( ) sin( ) 2 2
ω
O
所以
vB vA
y
π 2 π 2
ω
O φ
A B
刚体的平面运动
作业 9-1
曲柄连杆机构如图所 示，OA= r ， AB 3r 。如 曲柄 OA 以匀角速度 ω 转动， A ω
求当 60，0 和 90 时点 B的速度。 B
刚体的平面运动
vA
ω
作业 9-1
解：
A vA vB
基点法
连杆AB作平面运动，以A为基点，B点
sin( ) sin( ) R cos cos
例题
刚体的平面运动
例 题 4
在图中，杆 AB 长 l ，
B
滑倒时 B 端靠着铅垂墙
壁。已知 A点以速度u沿 水平轴线运动，试求图
ψ u
A
示位置杆端 B 点的速度 及杆的角速度。
O
例题
刚体的平面运动
解： 基点法
B ω A
60
C D
60
E
例题
刚体的平面运动
解 ： 基点法
例 题 2
vDB
B ω A
60
C
vB
60
vD
60
ω
O
vB
ψ
B
x
vB = vA+ vBA
其中vA的大小 vA=R ω 。
vBA
例题
刚体的平面运动
由速度合成矢量图可得
例 题 3
vA
y
A
vA
vA vBA vB π π sin( ) sin( ) sin( ) 2 2
ω
O
所以
vB vA
y
π 2 π 2
ω
O φ
A B
刚体的平面运动
作业 9-1
曲柄连杆机构如图所 示，OA= r ， AB 3r 。如 曲柄 OA 以匀角速度 ω 转动， A ω
求当 60，0 和 90 时点 B的速度。 B
刚体的平面运动
vA
ω
作业 9-1
解：
A vA vB
基点法
连杆AB作平面运动，以A为基点，B点
sin( ) sin( ) R cos cos
例题
刚体的平面运动
例 题 4
在图中，杆 AB 长 l ，
B
滑倒时 B 端靠着铅垂墙
壁。已知 A点以速度u沿 水平轴线运动，试求图
ψ u
A
示位置杆端 B 点的速度 及杆的角速度。
O
例题
刚体的平面运动
解： 基点法
B ω A
60
C D
60
E
例题
刚体的平面运动
解 ： 基点法
例 题 2
vDB
B ω A
60
C
vB
60
vD
60
理论力学课件-刚体平面运动
作速度 vA、vB的垂线，交点P即为该瞬时的
速度瞬心。
③ 已知某瞬时图形上两点A 、B 的速度 vA vB且 ⊥连线 AB， 则连线 AB与速度矢 vA、vB 端点连线的交点P即速度瞬心。 (a)
vA vB (a) 若vA 与vB 同向，则 AB
v A vB (b) 若v A 与vB 反向, 则 AB
但各点的加速度并不相等。 设匀角速度为，则 aB aB n AB 2 () 而 ac 的方向沿AC，故
aB ac ，瞬时平动与平动不同。
４. 速度瞬心法 利用速度瞬心求平面图形上点的速度的方法，称速度瞬心法。 平面图形任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动， 故速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度大小为 vA AP ， 方向 AP，指向与 一致。 5. 注意的问题 ① 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间 不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 ② 速度瞬心处速度为零,但加速度不一定为零，不同于定轴 转动。 ③ 刚体作瞬时平动时，虽然各点速度相同，但各点加速度 不一定相同，不同于刚体作平动。
vB v A / sin
在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。
l / sin 45 2l ()
vBA vActg l ctg45 l
AB vBA / AB l / l （
）
根据速度投影定理 vB AB vA AB vB sin vA vB vA / sin
n 其中 aa aB , ae aA , ar aBA aBA aBA
于是
aB a A aBA aBA
n
aB a A aBA aBA n 其中：aBA AB ，方向 AB，指向与 一致； aBA n AB 2，方向沿AB，指向A点。
哈工大理论力学教案 第9章
解:1, AB作平面运动 作平面运动
基点: 基点: A
2,
vB = vA + vBA ? √ √
大 ? vA 小 方 √ 向
vB = vA cot
vA vBA = sin
vBA vA ωAB = = l l sin
如图所示平面机构中, 例9-2 如图所示平面机构中,AB=BD= DE= l=300mm.在图示位置时,BD‖AE,杆AB的角速度为 .在图示位置时, , 的角速度为 ω=5rad/s. . 此瞬时杆DE的角速度和杆 中点C的速度 的角速度和杆BD中点 的速度. 求:此瞬时杆 的角速度和杆 中点 的速度.
解:1, AB作平面运动 作平面运动 2, vB = vA + vBA
大 ? ωr ? 小 方 √ 向
= 60
基点: 基点:A
√
√
vB = vA cos 30 = 2 3ωr 3
= 0
vB = 0
= 90
vB = vA = ωr, vBA = 0
如图所示的行星轮系中,大齿轮Ⅰ固定, 例9-4 如图所示的行星轮系中,大齿轮Ⅰ固定,半 径为r 行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动,半径为r 径为 1 ,行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动,半径为 2. 系杆OA角速度为 系杆 角速度为 ωO . 的角速度ω 及其上B, 两点的速度. 求:轮Ⅱ的角速度 Ⅱ及其上 ,C 两点的速度.
解:1 , BD作平面运动 作平面运动
2, vD = vB + vDB 大 ? ωl 小 方 √ 向 √ ? √
基点: 基点:B
vD = vDB = vB =ωl
vD vB ωDE = = = ω = 5rad s DE l vDB vB ωBD = = = ω = 5rad s BD l
理论力学第九章刚体的平面运动
O 基点
转角
基点的选取是任意的，平面图形的位置可由O’点 坐标及直线O’M与x’的夹角φ 完全确定。 基点的选择不同，其运动方程9-1a不同，平面图形随基 点平移的速度和加速度也不同。但平面图形绕不同基 点转动的角速度和角加速度却完全相同。证明如下
f (t ) f (t ) 3 3
结 论
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面L上的运动。
6
2、运动分析
思考
刚体平面运动是复杂运动，考虑是否可以用 简单运动合成来分析？
Oxy 平移坐标系(动系) 平面运动=随 Oxy 的平移+绕 O 点的转动
=
+
7
3 运动方程
xO f1 t 9-1a yO f 2 t f3 t 9-1b
vB AB = vA
OA
vD
vB
vB
cos30 2 CD作定轴转动（C）
0.2309 m s
vE
vA
vB vD CD 3vB 0.6928 m s CB
vD vE DE = vD ,vE cos 30 vD , vE cos 30 0.8 m s
第九章 刚体的平面运动
本章重点：刚体平面运动的基本概念，求平面图形上各 点的速度与加速度的基点法，以及求速度的 速度投影法和瞬心法，运动学的综合应用。
1
刚体平面运动举例：行星齿轮中小齿轮运动情况
2
车轮运动情况
3
观察曲柄滑块机构中连杆AB的运动情况
4
§ 9-1
1、概念
刚体平面运动的概述和运动分解
30
刚体平面运动分解为平动和转动
图7-5
对于平面图形 S 对静坐标系Oxy 做平面运动的一般情况，可在平面
图形上任选一点 A，并以 A点为原点作坐标系 Axy 。平面图形 S 运动时，坐标系随之运动，并保持其原点与 S 上的 A 点重合，并且
坐标轴 Ax ，Ay 的方位不变。为明确起见，令 Ax 和 Ay 轴始终分别
与Ox 和 Oy 轴平行，如图7-6所示。因此，Axy 是一平动坐标系，A
点称为基点。这样，平面图形 S 的运动就可以分解成为：
（1）跟随平动坐标系的平动，简称为随基 点的平动； （2）相对平动坐标系绕基点的转动，简称 为绕基点的转动。
图7-6
在平面图形上选 A点为基点，线段 AC 的转角为A ，如取另一 点 B 为基点，线段 BC的转角B ，如图7-7所示。这两个转角只
理论力学
刚体平面运动分解为平动和转动
从平面运动方程式（7-1）可看出，平面图形 S 的运动有两种特殊情况：
（1）若 常数，即平面图形在运动过程中，线段 B 的方位保持 不变。显然，这是平面图形在平面内做运动，平面图形上任一点的 运动与 A 点的运动相同，而 A 点的运动由运动方程式（7-1a）和式 （7-1b）二式给出。 （2）若 xA 和 yA同为常数，说明 A 点不动，平面图形将绕过 A 点且 垂直于平面图形的固定轴转动，其转动规律由运动方程式（7-1c） 给出。
选 B点为基点，则 AB 先随 B 点平动到 A2B1 ，再绕 B1 点转动 到 A1B1 ，转角为1 ，显然有 A1B2 ∥ A2B1 ，从而 1 ，并且
转向相同。
图7-8
平面图形分解的平动部分与基点选择有关，转动部分 与基点选择无关。
理论力学
在一般情况下，刚体的平面运动可以看成是平动和转动这两种 刚体的基本运动合成的结果。也就是说，平面运动可分解成平 动和转动。例如，轮子在地面上滚动，如图7-5所示，轮子从位 置Ⅰ 到位置Ⅱ 的平面运动可以看成是：① 轮子随轮心 O平动到 假想的中间位置Ⅰ；② 再由该中间位置绕 O轴转动到位置Ⅱ 。 当然轮子的平面运动并不是先平动而后转动，它的运动是一个 连续过程，应当看成为同时进行着平动和转动。
对于平面图形 S 对静坐标系Oxy 做平面运动的一般情况，可在平面
图形上任选一点 A，并以 A点为原点作坐标系 Axy 。平面图形 S 运动时，坐标系随之运动，并保持其原点与 S 上的 A 点重合，并且
坐标轴 Ax ，Ay 的方位不变。为明确起见，令 Ax 和 Ay 轴始终分别
与Ox 和 Oy 轴平行，如图7-6所示。因此，Axy 是一平动坐标系，A
点称为基点。这样，平面图形 S 的运动就可以分解成为：
（1）跟随平动坐标系的平动，简称为随基 点的平动； （2）相对平动坐标系绕基点的转动，简称 为绕基点的转动。
图7-6
在平面图形上选 A点为基点，线段 AC 的转角为A ，如取另一 点 B 为基点，线段 BC的转角B ，如图7-7所示。这两个转角只
理论力学
刚体平面运动分解为平动和转动
从平面运动方程式（7-1）可看出，平面图形 S 的运动有两种特殊情况：
（1）若 常数，即平面图形在运动过程中，线段 B 的方位保持 不变。显然，这是平面图形在平面内做运动，平面图形上任一点的 运动与 A 点的运动相同，而 A 点的运动由运动方程式（7-1a）和式 （7-1b）二式给出。 （2）若 xA 和 yA同为常数，说明 A 点不动，平面图形将绕过 A 点且 垂直于平面图形的固定轴转动，其转动规律由运动方程式（7-1c） 给出。
选 B点为基点，则 AB 先随 B 点平动到 A2B1 ，再绕 B1 点转动 到 A1B1 ，转角为1 ，显然有 A1B2 ∥ A2B1 ，从而 1 ，并且
转向相同。
图7-8
平面图形分解的平动部分与基点选择有关，转动部分 与基点选择无关。
理论力学
在一般情况下，刚体的平面运动可以看成是平动和转动这两种 刚体的基本运动合成的结果。也就是说，平面运动可分解成平 动和转动。例如，轮子在地面上滚动，如图7-5所示，轮子从位 置Ⅰ 到位置Ⅱ 的平面运动可以看成是：① 轮子随轮心 O平动到 假想的中间位置Ⅰ；② 再由该中间位置绕 O轴转动到位置Ⅱ 。 当然轮子的平面运动并不是先平动而后转动，它的运动是一个 连续过程，应当看成为同时进行着平动和转动。
理论力学第七版答案--第九章
9-10 在瓦特行星传动机构中，平衡杆O 1A 绕O 1轴转动，并借连杆AB 带动曲柄OB ；而曲柄OB 活动地装置在O 轴上，如图所示。
在O 轴上装有齿轮Ⅰ，齿轮Ⅱ与连杆AB 固连于一体。
已知：r 1＝r 2＝0.33m ，O 1A ＝0.75m ，AB ＝1.5m ；又平衡杆的角速度ωO 1＝6rad/s 。
求当γ＝60°且β＝90°时，曲柄OB 和齿轮Ⅰ的角速度。
题9－10图【知识要点】 Ⅰ、Ⅱ两轮运动相关性。
【解题分析】 本题已知平衡杆的角速度，利用两轮边缘切向线速度相等，找出ωAB ,ωOB 之间的关系，从而得到Ⅰ轮运动的相关参数。
【解答】 A 、B 、M 三点的速度分析如图所示，点C 为AB 杆的瞬心，故有 ABA O CA v A AB ⋅⋅==21ωω ωω⋅=⋅=A O CD v AB B 123所以 s rad r r v BOB /75.321=+=ωs rad r v CM v MAB M /6,1==⋅=I ωω 9-12 图示小型精压机的传动机构，OA ＝O 1B ＝r ＝0.1m ，EB ＝BD ＝AD ＝l ＝0.4m 。
在图示瞬时，OA ⊥AD ，O 1B ⊥ED ，O 1D 在水平位置，OD 和EF 在铅直位置。
已知曲柄OA 的转速n ＝120r/min ，求此时压头F 的速度。
题9－12图【知识要点】 速度投影定理。
【解题分析】 由速度投影定理找到A 、D 两点速度的关系。
再由D 、E 、F 三者关系，求F 速度。
【解答】 速度分析如图，杆ED 与AD 均为平面运动，点P 为杆ED 的速度瞬心，故 v F = v E = v D由速度投影定理，有A D v v =⋅θcos可得 s ll r n r v v A F /30.1602cos 22m =+⋅⋅==πθ 9-16 曲柄OA 以恒定的角速度ω＝2rad/s 绕轴O 转动，并借助连杆AB 驱动半径为r 的轮子在半径为R 的圆弧槽中作无滑动的滚动。
理论力学_刚体的平面运动
①以A为基点: 随基点A平动到A'B''后, 绕基点转1 角到A'B'
②以B为基点: 随基点B平动到A''B'后, 绕基点转2 角到A'B'
图中看出：AB A'B'' A''B' ，1 2 于是有
lim
t0
1 t
lim
t0
2 t
,1 2
;
d1
dt
d2
dt
,1
2
10
所以，平面图形随基点平动与基点的选择有 关，而绕基点的转动与基点的选取无关．(即在
待求点 基点 即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法， 也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．
二．速度投影法 将上式在AB上投影：
vB AB vA AB 或 vB cos vA cos
即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影等．这 就是 速度投影定理．利用这以定理求平面图形上点的速度的 方法称为速度投影法。速度投影定理反映了刚体上任意两点间 的距离保持不变的特性。
aB
/
O2 B;
而 O AO Bl
1
2
1 2 ;1 2.
30
(b) AB作平面运动, 图示瞬时作瞬时平动, 此时 AB 0, vA vB
O A O B l,
1
2
1 vA / O1A,
23
例3：图示机构，曲柄OA以ω0转动。设 OA=AB=r，图示瞬时O、B、C在同一铅直
线上，求此瞬时点B和C的速度。
解：（1）以OA为研究对象：
南航理论力学习题答案9(1)
第九章刚体的平面运动1．平面运动刚体相对其上任意两点的（ ）。
① 角速度相等，角加速度相等② 角速度相等，角加速度不相等③ 角速度不相等，角加速度相等④ 角速度不相等，角加速度不相等正确答案：①2．在图示瞬时，已知O 1A = O 2B ，且O 1A 与O 2 B 平行，则（ ）。
① ω1 = ω2，α1 = α2② ω1≠ω2，α1 = α2③ ω1 = ω2，α1 ≠α2④ ω1≠ω2，α1 ≠α2正确答案：③3．设平面图形上各点的加速度分布如图①~④所示，其中不可能发生的是（ ）。
正确答案：②4．刚体平面运动的瞬时平动，其特点是（ ）。
① 各点轨迹相同；速度相同，加速度相同② 该瞬时图形上各点的速度相同③ 该瞬时图形上各点的速度相同，加速度相同④ 每瞬时图形上各点的速度相同正确答案：②5．某瞬时，平面图形上任意两点A 、B 的速度分别v A 和v B ，如图所示。
则此时该两点连线中点C 的速度v C 和C 点相对基点A的速度v CA 分别为（ ）和（ ）。
① v C = v A + v B ② v C = ( v A + v B )/2③ v C A = ( v A - v B )/2 ④ v C A = ( v B - v A )/2正确答案：② ④α1α2 ①②③④6．平面图形上任意两点A 、B 的加速度a A 、a B 与连线AB 垂直，且a A ≠ a B ，则该瞬时，平面图形的角速度ω和角加速度α应为（ ）。
① ω≠0，α ≠0② ω≠0，α = 0③ ω = 0，α ≠0④ ω = 0，α = 0正确答案：③7．平面机构在图示位置时，AB 杆水平，OA 杆鉛直。
若B 点的速度v B ≠0，加速度τB a = 0，则此瞬时OA 杆的角速度ω和角加速度α为（ ）。
① ω = 0，α ≠0② ω≠0，α = 0③ ω = 0，α = 0④ ω≠0，α ≠0正确答案：②8．在图示三种运动情况下，平面运动刚体的速度瞬心：（a ）为（ ）；（b ）为（ ）；（c ）为（ ）。
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§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-4
2. 求轮Ⅱ上B点的速度。
行星轮Ⅱ作平面运动，A点的速度可由系杆OA的转动求得
v A O OA O ( r1 r2 )
vA
vB vBA
ωO O Ⅰ B
以A为基点，B点的速度为
v B v A v BA
vA
A D Ⅱ
C
其中
B ω A
60
vCB vC C
vB vB
的速度可表示为
D
60
vC vB vCB
其中vB大小和方向均为已知，vCB 方向与BD
E 杆垂直，大小为 l vCB BD 0.75 m s－1 2
由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时vC
的方向恰好沿杆BD，大小为
vc vB vCB 1.3 m s－1
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-3
ω vA vA vBA A vA vB B ⑵ 当 0 时， vA与vBA均垂 B
直OB，由速度合成矢量图可得
O
A
vB = 0
当 时， vA与vB彼此平行，方向一致， 90 ⑶
vA ω O
故有
vB v A r
从而可知杆AB处于瞬时平动状态。
A
vA
取A为基点, 将动系铰接于A点,牵连运动是随同基点A的 平动，相对运动是绕基点A的转动。所以B点的牵连速度 等于基点A的速度，B点的相对运动是以基点A为圆心，AB 为半径的圆周运动，则动点B点的运动可视为牵连运动 为平动和相对运动为圆周运动的合成。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
求平面图形内任一点速度的基点法
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-5
图所示平面机构中，曲柄OA=100 mm，以角速度ω = 2 rad· s－1转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E 沿水平面
滚动。已知CD = 3CB，图示位置时A，B，E 三点恰在一
水平线上，且CD⊥ED，试求此瞬时E点的速度。
D
E
30
60
vD
60
vD vDB vB 1.5 m s－1
vDB 为D点绕B的转动速度，应有
vB
vB
60
E
vDB BD BD
于是可得此瞬时杆BD的角速度为
BD vBD l 5 rad s－1
转向为逆时针
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-2
2. 求杆BD中点C的速度。 仍以B点为基点，应用速度合成定理，C点
2
2
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-3
曲柄连杆机构如图所 A 示，OA= r ，AB 3r 。如 曲柄 OA 以匀角速度 ω 转动，
ω
B
求当 速度。
， 90B的 和 60 0 时点
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-3
运动演示
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-3
y
S
O
M
o
x
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
刚体平面运动方程
xo xo (t ) yo yo (t ) (t )
刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。 四、刚体的平面运动分解为平动和转动 刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点 的转动，平面图形随同基点平动的速度和加速度与基点 的选取的有关。绕基点转动的角速度和角加速度则与基 点的选择无关。
第九章 刚体的平面运动
主要内容
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 §9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
§9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度
§9.5 运动学综合应用举例
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
一、刚体平面运动的概念 在运动过程中，刚体上所有各点到某一固定平面的距 离始终保持不变，刚体的这种运动称为刚体的平面运动。 二、刚体平面运动的简化 对于刚体所作的平面运动的研究，可以不必考虑它的 厚度，而简化为以一个截面代表的平面图形在其自身平面 内的运动来研究。研究刚体的平面运动，就是要确定代表 刚体的平面图形的运动，确定图形上各点的速度和加速度。
ve vA
vr vBA rAB
vB
vBA
A B
vB va ve vr vA vBA
vA
vA
定理：刚体作平面运动时，其上任一点的速度等于该瞬 时基点的速度与该点随图形绕基点作圆周运动时的速度 的矢量和。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
二、速度投影定理
vBA 总是垂直于AB连线，即 vBA 在AB连线上的投影等于零。
§9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
一、问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的 计算会大大简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图 形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何 确定？ 二、速度瞬心 每一瞬时，任何平面图形内部或其扩大部分内总 存在一点其绝对速度为零，该点称为平面图形在该瞬 时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。
刚体平面运动实例
动画
刚体平面运动实例
动画
刚体平面运动实例
动画
刚体平面运动简化
动画
刚体平面运动简化实例
动画
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
三、刚体平面运动的方程 为了确定平面图形的运动，取静系OXY ，在图形 S 上任 O M ，只要确定了 O M 取一点 O （称为基点），并取任一线段 的位置，S 的位置也就确定了
vBA Ⅱ BA O r1 r2 v A
方向与vA垂直，如图所示。 因此， vB 与 vA 的夹角为45o，指向如图， 大小为
ωⅡ
vB 2v A 2O r1 r2
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-4
3. 求轮Ⅱ上C点的速度。 行星轮Ⅱ作平面运动，A点的速度可由系杆OA的转动求得
B A D O Ⅰ Ⅱ ωⅡ
vA
ωO
vA
C
vD v A vDA
由于齿轮Ⅰ固定不动，接触点D不滑动，所以 vD=0 ，因而有 v DA v A O r1 r2
vDA
vDA为D点绕基点A的转动速度，应有
v DA Ⅱ DA
因此
Ⅱ
vDA O ( r1 r2 ) （逆时针） DA r2
§9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
在任一瞬时，平面图形上各点的速度分布情况与该瞬时图形 以角速度 绕通过速度瞬心，且与平面图形垂直的轴转动 一样。这种情况称为瞬时转动。以速度瞬心为基点来求作平 面运动的刚体上各点的速度的方法称为速度瞬心法。 注意：速度瞬心的加速度不为于零。 四、确定速度瞬心位置的方法 1、已知图形上一点A的速度 vA 和图形角速度，则从 vA开始， 沿的方向转过90º，作直线PA ， /点 PA, vA PA v 使 则 AP 即为该瞬时的速度瞬心。
此时杆AB 的角速度为零。A，B两点的速度
大小与方向都相同。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-4
如图所示的行星系中，大齿轮Ⅰ固定，半径为r1；行
星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动，半径为 r2 。系杆 OA 角速 度ωO。试求轮Ⅱ的角速度ωⅡ及上B，C两点的速度。
B A ωO O Ⅰ D Ⅱ ωⅡ C
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-4
运动演示
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-4
解： 基点法
1. 求轮Ⅱ的角速度ωⅡ 。 行星轮Ⅱ作平面运动，A点的速度 v A O OA O ( r1 r2 ) 以A为基点，则轮Ⅱ上与轮Ⅰ接触的点 D的速度可表示为
B ω A
60
C D
60
E
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-2
运动演示
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-2
解： vDB B ω A
60
基点法
1. 求杆DE的角速度。
60
C
vB
vD
60
杆BD作平面运动， vB大小为
D
vB
60
vB l 1.5 m s－1
解：
vA ω
基点法
A vA vB B vBA ⑴
当
连杆AB作平面运动，以A为基点，B点
的速度为
vB = vA+ vBA
其中，vA方向与OA垂直， vB沿BO方向，
vBA与AB垂直。
60 时， AB 3r
2 3 r 3
此时OA恰与AB垂直，由速度合成矢量图可得
vB v A
cos 30
vCA
B
vC
v A O OA O ( r1 r2 )
C
vA
ωO O Ⅰ D
vA
A Ⅱ
以A为基点，C点的速度
vC v A vCA
vCA Ⅱ CA O r 1 r 2 vA
方向vA与一致，由此
ωⅡ
vC v A vCA 2O r 1 r 2
vA
P A
§9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
2、当一个图形沿另一个固定不动的图形轮廓作无滑动的滚 动（即纯滚动）时，图形上的接触点P即为图形的速度瞬心。
A
vA
B
E
30
B vB
vE 60
C
O
摇杆 CD绕C点作定轴转动 vB v CD 3vB 0.693 m s－1 A vA D CB 轮E沿水平面滚动，轮心E的速度