理论力学第9章刚体的平面运动
理论力学习题册答案
第一章静力学公理与受力分析(1)一．是非题1、加减平衡力系公理不但适用于刚体.还适用于变形体。
（）2、作用于刚体上三个力的作用线汇交于一点.该刚体必处于平衡状态。
（）3、刚体是真实物体的一种抽象化的力学模型.在自然界中并不存在。
（）4、凡是受两个力作用的刚体都是二力构件。
（）5、力是滑移矢量.力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果。
（）二．选择题1、在下述公理、法则、原理中.只适于刚体的有（）①二力平衡公理②力的平行四边形法则③加减平衡力系公理④力的可传性原理⑤作用与反作用公理三．画出下列图中指定物体受力图。
未画重力的物体不计自重.所有接触处均为光滑接触。
多杆件的整体受力图可在原图上画。
b(杆ABa(球A ))d(杆AB、CD、整体)c(杆AB、CD、整体))e(杆AC、CB、整体)f(杆AC、CD、整体四．画出下列图中指定物体受力图。
未画重力的物体不计自重.所有接触处均为光滑接触。
多杆件的整体受力图可在原图上画。
)a(球A、球B、整体)b(杆BC、杆AC、整体第一章 静力学公理与受力分析（2）一．画出下列图中指定物体受力图。
未画重力的物体不计自重.所有接触处均为光滑接触。
多杆件的整体受力图可在原图上画。
WADB CE Original FigureAD B CEWWFAxF AyF BFBD of the entire frame)a (杆AB 、BC 、整体)b (杆AB 、BC 、轮E 、整体)c (杆AB 、CD 、整体 )d (杆BC 带铰、杆AC 、整体)e(杆CE、AH、整体)f(杆AD、杆DB、整体)g(杆AB带轮及较A、整体)h(杆AB、AC、AD、整体第二章平面汇交和力偶系一．是非题1、因为构成力偶的两个力满足F= - F’.所以力偶的合力等于零。
（）2、用解析法求平面汇交力系的合力时.若选用不同的直角坐标系.则所求得的合力不同。
（）3、力偶矩就是力偶。
（）二．电动机重P=500N.放在水平梁AC的中央.如图所示。
理论力学填空选择
第一章 静力学公理和物体的受力分析一、是非判断题1.1 在任何情况下，体内任意两点距离保持不变的物体称为刚体。
( ) 1.2 物体在两个力作用下平衡的必要与充分条件是这两个力大小相等、方向相反，沿同一直线。
( ) 1.3 加减平衡力系公理不但适用于刚体，而且也适用于变形体。
( ) 1.4 力的可传性只适用于刚体，不适用于变形体。
( ) 1.5 两点受力的构件都是二力杆。
( )1.6 只要作用于刚体上的三个力汇交于一点，该刚体一定平衡。
( ) 1.7 力的平行四边形法则只适用于刚体。
( ) 1.8 凡矢量都可以应用平行四边形法则合成。
( ) 1.9 只要物体平衡，都能应用加减平衡力系公理。
( ) 1.10 凡是平衡力系，它的作用效果都等于零。
( ) 1.11 合力总是比分力大。
( ) 1.12 只要两个力大小相等，方向相同，则它们对物体的作用效果相同。
( ) 1.13 若物体相对于地面保持静止或匀速直线运动状态，则物体处于平衡。
( ) 1.14 当软绳受两个等值反向的压力时，可以平衡。
( ) 1.15 静力学公理中，二力平衡公理和加减平衡力系公理适用于刚体。
( ) 1.16 静力学公理中，作用力与反作用力公理和力的平行四边形公理适用于任何物体。
1.17 凡是两端用铰链连接的直杆都是二力杆。
（ ）1.18 如图所示三铰拱，受力F ，F 1作用， 其中F 作用于铰C 的销子上，则AC 、 BC 构件都不是二力构件。
（ ）二、填空题1.1 力对物体的作用效应一般分为 效应和 效应。
1.2 对非自由体的运动所预加的限制条件称为 ；约束力的方向总是与约束所能阻止的物体的运动趋势的方向 ；约束力由 力引起，且随 力的改变而改变。
1.3 图示三铰拱架中，若将作用于构件AC 上的力偶M处的约束力 。
A. 都不变；B. 只有C 处的不改变；C. 都改变；D. 只有C 处的改变。
第二章 一、 是非判断题1.1当刚体受三个不平行的力作用时，只要这三个力的作用线汇交于同一点，则刚体一定处于平衡状态。
理论力学课件-刚体平面运动
作速度 vA、vB的垂线，交点P即为该瞬时的
速度瞬心。
③ 已知某瞬时图形上两点A 、B 的速度 vA vB且 ⊥连线 AB， 则连线 AB与速度矢 vA、vB 端点连线的交点P即速度瞬心。 (a)
vA vB (a) 若vA 与vB 同向，则 AB
v A vB (b) 若v A 与vB 反向, 则 AB
但各点的加速度并不相等。 设匀角速度为，则 aB aB n AB 2 () 而 ac 的方向沿AC，故
aB ac ，瞬时平动与平动不同。
４. 速度瞬心法 利用速度瞬心求平面图形上点的速度的方法，称速度瞬心法。 平面图形任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动， 故速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度大小为 vA AP ， 方向 AP，指向与 一致。 5. 注意的问题 ① 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间 不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 ② 速度瞬心处速度为零,但加速度不一定为零，不同于定轴 转动。 ③ 刚体作瞬时平动时，虽然各点速度相同，但各点加速度 不一定相同，不同于刚体作平动。
vB v A / sin
在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。
l / sin 45 2l ()
vBA vActg l ctg45 l
AB vBA / AB l / l （
）
根据速度投影定理 vB AB vA AB vB sin vA vB vA / sin
n 其中 aa aB , ae aA , ar aBA aBA aBA
于是
aB a A aBA aBA
n
aB a A aBA aBA n 其中：aBA AB ，方向 AB，指向与 一致； aBA n AB 2，方向沿AB，指向A点。
哈工大理论力学教案 第9章
解:1, AB作平面运动 作平面运动
基点: 基点: A
2,
vB = vA + vBA ? √ √
大 ? vA 小 方 √ 向
vB = vA cot
vA vBA = sin
vBA vA ωAB = = l l sin
如图所示平面机构中, 例9-2 如图所示平面机构中,AB=BD= DE= l=300mm.在图示位置时,BD‖AE,杆AB的角速度为 .在图示位置时, , 的角速度为 ω=5rad/s. . 此瞬时杆DE的角速度和杆 中点C的速度 的角速度和杆BD中点 的速度. 求:此瞬时杆 的角速度和杆 中点 的速度.
解:1, AB作平面运动 作平面运动 2, vB = vA + vBA
大 ? ωr ? 小 方 √ 向
= 60
基点: 基点:A
√
√
vB = vA cos 30 = 2 3ωr 3
= 0
vB = 0
= 90
vB = vA = ωr, vBA = 0
如图所示的行星轮系中,大齿轮Ⅰ固定, 例9-4 如图所示的行星轮系中,大齿轮Ⅰ固定,半 径为r 行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动,半径为r 径为 1 ,行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动,半径为 2. 系杆OA角速度为 系杆 角速度为 ωO . 的角速度ω 及其上B, 两点的速度. 求:轮Ⅱ的角速度 Ⅱ及其上 ,C 两点的速度.
解:1 , BD作平面运动 作平面运动
2, vD = vB + vDB 大 ? ωl 小 方 √ 向 √ ? √
基点: 基点:B
vD = vDB = vB =ωl
vD vB ωDE = = = ω = 5rad s DE l vDB vB ωBD = = = ω = 5rad s BD l
理论力学第九章刚体的平面运动
O 基点
转角
基点的选取是任意的，平面图形的位置可由O’点 坐标及直线O’M与x’的夹角φ 完全确定。 基点的选择不同，其运动方程9-1a不同，平面图形随基 点平移的速度和加速度也不同。但平面图形绕不同基 点转动的角速度和角加速度却完全相同。证明如下
f (t ) f (t ) 3 3
结 论
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面L上的运动。
6
2、运动分析
思考
刚体平面运动是复杂运动，考虑是否可以用 简单运动合成来分析？
Oxy 平移坐标系(动系) 平面运动=随 Oxy 的平移+绕 O 点的转动
=
+
7
3 运动方程
xO f1 t 9-1a yO f 2 t f3 t 9-1b
vB AB = vA
OA
vD
vB
vB
cos30 2 CD作定轴转动（C）
0.2309 m s
vE
vA
vB vD CD 3vB 0.6928 m s CB
vD vE DE = vD ,vE cos 30 vD , vE cos 30 0.8 m s
第九章 刚体的平面运动
本章重点：刚体平面运动的基本概念，求平面图形上各 点的速度与加速度的基点法，以及求速度的 速度投影法和瞬心法，运动学的综合应用。
1
刚体平面运动举例：行星齿轮中小齿轮运动情况
2
车轮运动情况
3
观察曲柄滑块机构中连杆AB的运动情况
4
§ 9-1
1、概念
刚体平面运动的概述和运动分解
30
理论力学_刚体的平面运动
①以A为基点: 随基点A平动到A'B''后, 绕基点转1 角到A'B'
②以B为基点: 随基点B平动到A''B'后, 绕基点转2 角到A'B'
图中看出：AB A'B'' A''B' ，1 2 于是有
lim
t0
1 t
lim
t0
2 t
,1 2
;
d1
dt
d2
dt
,1
2
10
所以，平面图形随基点平动与基点的选择有 关，而绕基点的转动与基点的选取无关．(即在
待求点 基点 即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法， 也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．
二．速度投影法 将上式在AB上投影：
vB AB vA AB 或 vB cos vA cos
即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影等．这 就是 速度投影定理．利用这以定理求平面图形上点的速度的 方法称为速度投影法。速度投影定理反映了刚体上任意两点间 的距离保持不变的特性。
aB
/
O2 B;
而 O AO Bl
1
2
1 2 ;1 2.
30
(b) AB作平面运动, 图示瞬时作瞬时平动, 此时 AB 0, vA vB
O A O B l,
1
2
1 vA / O1A,
23
例3：图示机构，曲柄OA以ω0转动。设 OA=AB=r，图示瞬时O、B、C在同一铅直
线上，求此瞬时点B和C的速度。
解：（1）以OA为研究对象：
南航理论力学习题答案9(1)
第九章刚体的平面运动1．平面运动刚体相对其上任意两点的（ ）。
① 角速度相等，角加速度相等② 角速度相等，角加速度不相等③ 角速度不相等，角加速度相等④ 角速度不相等，角加速度不相等正确答案：①2．在图示瞬时，已知O 1A = O 2B ，且O 1A 与O 2 B 平行，则（ ）。
① ω1 = ω2，α1 = α2② ω1≠ω2，α1 = α2③ ω1 = ω2，α1 ≠α2④ ω1≠ω2，α1 ≠α2正确答案：③3．设平面图形上各点的加速度分布如图①~④所示，其中不可能发生的是（ ）。
正确答案：②4．刚体平面运动的瞬时平动，其特点是（ ）。
① 各点轨迹相同；速度相同，加速度相同② 该瞬时图形上各点的速度相同③ 该瞬时图形上各点的速度相同，加速度相同④ 每瞬时图形上各点的速度相同正确答案：②5．某瞬时，平面图形上任意两点A 、B 的速度分别v A 和v B ，如图所示。
则此时该两点连线中点C 的速度v C 和C 点相对基点A的速度v CA 分别为（ ）和（ ）。
① v C = v A + v B ② v C = ( v A + v B )/2③ v C A = ( v A - v B )/2 ④ v C A = ( v B - v A )/2正确答案：② ④α1α2 ①②③④6．平面图形上任意两点A 、B 的加速度a A 、a B 与连线AB 垂直，且a A ≠ a B ，则该瞬时，平面图形的角速度ω和角加速度α应为（ ）。
① ω≠0，α ≠0② ω≠0，α = 0③ ω = 0，α ≠0④ ω = 0，α = 0正确答案：③7．平面机构在图示位置时，AB 杆水平，OA 杆鉛直。
若B 点的速度v B ≠0，加速度τB a = 0，则此瞬时OA 杆的角速度ω和角加速度α为（ ）。
① ω = 0，α ≠0② ω≠0，α = 0③ ω = 0，α = 0④ ω≠0，α ≠0正确答案：②8．在图示三种运动情况下，平面运动刚体的速度瞬心：（a ）为（ ）；（b ）为（ ）；（c ）为（ ）。
理论力学—刚体平面运动
试求：该瞬时滑块B的速度和AB杆的角速度。
B
O
A
R
O1
解：用速度合成法（基点法）求解。
取A 为基点，B 点的速度为
vB v A vBA
式中：vA r 方向与OA相垂直。
vBA方向与AB杆垂直，大小未知
第二章 刚体的平面运动
§２.1. 刚体平面运动的简化 §２.2. 用分析方法研究平面图形的运动 §2.2.1. 运动方程
§2.2.２.平面图形的角位移、角速度 角加速度
§2.2.3. 平面图形上点的运动分析
*§2.3. 用矢量方法研究平面图形的运动 §2.3.1 平面平动 §2.3.2 定轴转动 *§ 2.3.3 平面图形上点的速度关系 *§2.3.4. 平面图形上点的加速度关系
Z
Y A1
S
A
A2
X
简化
Y
S A
X
§2.2 分析法研究平面图形的运动
2.2.1.运动方程
一、确定图形位置
自由的平面图形S,其位置的确定 可由其上任一线段AB 的位置来确定。
AB 位置由下述方法确定：
y
建立与参考空间固连
B
直角坐标Oxy
x A
A
A点坐标：xA, yA
O
y
A
x
方位角（AB与固定线 Ox夹角）
求解B 点的速度、加速度。
§2.3. 矢量法研究平面图形的运动
2.3.1、平面平动
平面平动特征
刚体上任意线段AB在移动
B
B'
过程中方向不变。
平动刚体上点的速度与加速度 rB A
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二、刚体平面运动的简化
对于刚体所作的平面运动的研究，可以不必考虑它的 厚度，而简化为以一个截面代表的平面图形在其自身平面 内的运动来研究。研究刚体的平面运动，就是要确定代表 刚体的平面图形的运动，确定图形上各点的速度和加速度。
动画
刚体平面运动实例
动画
刚体平面运动实例
动画
刚体平面运动实例
动画
刚体平面运动简化
动画
刚体平面运动简化实例
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
三、刚体平面运动的方程
为了确定平面图形的运动，取静系OX，Y 在图形 上S任取 一点 （O称 为基点），并取任一线段 ，O只M要确定了 的O位M 置， 的位S 置也就确定了
y
B O
ω
φ x
A
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-1
运动演示
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-1
解 ： 基点法
y
vB
vBA
vA
B
O
规尺AB作平面运动 。以A点为基点，应用速度 合成定理，B点的速度可表示为
vB v A vBA
ω
φ vA
A
其中， vA的大小已知。由速度合成矢量图可
C B
ω
D
A 60
E 60
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-2
运动演示
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-2
解： 基点法
B ω
A 60
vDB
vD
C
60
60
vB D vB
E 60
1. 求杆DE的角速度。
杆BD作平面运动， vB大小为 vB l 1.5 m s－1
取A为基点, 将动系铰接于A点,牵连运动是随同基点A的
平动，相对运动是绕基点A的转动。所以B点的牵连速
度等于基点A的速度，B点的相对运动是以基点A为圆心AB， 为半径的圆周运动，则动点B点的运动可视为牵连运动
为平动和相对运动为圆周运动的合成。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
求平面图形内任一点速度的基点法
动画
刚体平面运动分解
动画
平面运动
动画
平面运动
动画
平面运动分解
动画
平面运动
动画
平面运动分解
动画
平面运动分解
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
一．基点法（合成法）
已一知点求A：：的图某速形瞬度上时vv任平A 一面，点运图B动形的平角速面速度图度vv形B S内
A vvA
方向与AB垂直。 以B点为基点，应用速度合成定理，D点的
速度可表示为 vD vB vDB
其中，D 点绕 B 的转动速度 vDB 的方向与BD垂直，D点的速度 vD与 DE 垂直。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-2
由速度合成矢量图可得
vDB
ωBD
B
C
60
vD
60
ω
D
vB
vB
A 60
vvBA 总是垂直于AB连线，即vvBA在AB连线上的投影等于零。
所以
vvB AB vvA AB
速度投影定理：刚体上任意两点的速度在过这两点的直线 上的投影相等。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-1
椭圆规尺的A端以速度vA沿 x 轴的负向运动，如图 所示，AB=l。试求B端的速度以及规尺AB的角速度。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例，OA= r ，AB 3r 。如
曲柄OA以匀角速度ω转动，
B
求当
， 和60 0 时点90B的
速度。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-3
运动演示
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-3
解： 基点法
得
vB vA cot
v BA
vA
sin
x
故规尺AB的角速度
vBA vBA v A AB l l sin
（顺时针）
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-2
如图所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300 mm。在图示位置时， BD∥AE。杆AB的角速度为ω=5 rad·s－1。试求此瞬时杆DE的角速度 和杆BD中点C 的速度。
vA
A
ω
连杆AB作平面运动，以A为基点，B点
vA B vB
vBA
的速度为
vB = vA+ vBA
其中，vA方向与OA垂直， vB沿BO方向， vBA与AB垂直。
⑴ 当 60 时， AB 3r
此时OA恰与AB垂直，由速度合成矢量图可得
vB vA
cos 30 2 3 r
vve vvA vvr vvBA v rvAB
vvB vva vve vvr vvA vvBA
vvB
vvBA B vvA
A vvA
定理：刚体作平面运动时，其上任一点的速度等于该瞬 时基点的速度与该点随图形绕基点作圆周运动时的速度 的矢量和。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
二、速度投影定理
y
SM
O
o
x
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
刚体平面运动方程
xo xo (t )
yo
yo (t )
(t)
刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。
四、刚体的平面运动分解为平动和转动
刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点 的转动，平面图形随同基点平动的速度和加速度与基点 的选取的有关。绕基点转动的角速度和角加速度则与基 点的选择无关。
vB vB
60
仍以B点为基点，应用速度合成定理，C点 的速度可表示为
vC vB vCB
其中vB大小和方向均为已知，vCB 方向与BD
E 杆垂直，大小为
vCB
BD
l 2
0.75
m s－1
由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时vC
的方向恰好沿杆BD，大小为
vc vB2 vCB2 1.3 m s－1
E 60
vD vDB vB 1.5 m s－1
vDB 为D点绕B的转动速度，应有
vDB BD BD
于是可得此瞬时杆BD的角速度为
BD vBD l 5 rad s－1
转向为逆时针
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-2
2. 求杆BD中点C的速度。
B ω
A 60
vCB C vC D
主要内容
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解 §9.2 求平面图形内各点速度的基点法 §9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法 §9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度 §9.5 运动学综合应用举例
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
一、刚体平面运动的概念 在运动过程中，刚体上所有各点到某一固定平面的距