《理论力学》第八章 刚体平面运动
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合肥工业大学理论力学答案08刚体平面运动
八、刚体的平面运动8.1 如图所示，O 1A 的角速度为ω1，板ABC 和杆O 1A 铰接。
问图中O 1A 和AC 上各点的速度分布规律对不对？8.2如图所示，板车车轮半径为r ，以角速度ω 沿地面只滚动不滑动，另有半径同为r 的轮A 和B 在板车上只滚动不滑动，其转向如图，角速度的大小均为ω，试分别确定A 轮和B 轮的速度瞬心位置。
[解] 板车作平动，轮A 、B 与板车接触点 E 、F 的速度相同，且r v v v O F E ω=== 对A 轮由基点法求轮心A 的速度 A E AE =+v v v ，r v AE ω=∴ r v A ω2=，且A 轮的速度瞬心在E 点下方r 处。
同理可得B 轮的速度瞬心就在轮心B 处。
8.3直杆AB 的A 端以匀速度v 沿半径为R 的半圆弧轨道运动，而杆身保持与轨道右尖角接触。
问杆AB 作什么运动？你能用几种方法求出杆AB 的角速度？E FPOE v Av Fv Ov[解] AB 杆作平面运动。
(一) 瞬心法AB 杆作平面运动，速度瞬心为P 。
Rv AP v AAB2==ω (二)基点法D A DA =+v v v ，DA v v AB A DA ωθ==sin又 DA ＝2R cos(90o －θ)＝2R sin θ ∴ Rv AB 2=ω(三)自然法： d d AB tϕω=，而R S ϕ2= ∴d d 2d d S R v t t ϕ==， d d 2vt R ϕ= ∴ Rv AB 2=ω 8.4如图所示四连杆机构OABO 1中，OA=O 1B=AB/2，曲柄OA 的角速度ω=3rad/s 。
当OA 转到与OO 1垂直时，O 1B 正好在OO 1的延长线上，求该瞬时AB 杆的角速度ωAB 和曲柄O 1B 的角速度ω1。
[解]取AB 为研究对象，AB 作平面运动。
以A 为基点，画B 点速度合成图 由B A BA =+v v v(rad/s)32230sin o==∴⋅=⋅==ωωωωAB OAAB OA v v AB AB ABABBBvvvDAv Dv Dv111cos3022(rad/s)B BAv v OA O Bωωω=︒=⋅=∴=8.5图示曲柄摇机构中，曲柄OA以角速度oω绕O轴转动，带动连杆AC在摇块B内滑动，摇块及与其固结的BD杆绕B铰转动，杆BD长l；求在图示位置时摇块的角速度及D点的速度。
刚体的平面运动
PAG 13
Northeastern University
§8-2
求平面图形内各点速度的基点法
平面图形内任意A、B两点间速度关系： v ' MO
vB v A vBA
vM
vO '
MB
O' A
vO '
大小 vBA AB 方向 垂直于 AB，朝向图形转动的一方
PAG 9
y'
o'
x'
Northeastern University
§8-1
刚体平面运动的概述和运动分解
y
任意平面运动的分析 在平面图形上任取一点O 做为基点； 在O点假想地做一个平移 参考系Oxy；
y'
x' O'
o
x
平面图形运动时,动坐标轴O'x' 轴、O'y' 轴始终分别 平行于定坐标轴Ox 轴、Oy 轴。 随着基点的平移
用一个平行于固定平面的平面 截割连杆； 截面S ：一个平面图形 过平面图形上任一点作垂直于 图形的直线； 刚体作平面运动 直线作平移
连 杆
平面图形上各点的运动可以代 表刚体内所有点的运动。 刚体的平面运动可简化为平面 图形在它的自身平面内运动。
S
PAG 7
Northeastern University
vO '
M
动系：O'x'y' （平移坐标系）
牵连运动：随O'点的平移 相对运动：绕O'点的圆周运动 绝对运动： 两个运动的合成 vM ve vr vO' vMO'
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§8-2
求平面图形内各点速度的基点法
平面图形内任意A、B两点间速度关系： v ' MO
vB v A vBA
vM
vO '
MB
O' A
vO '
大小 vBA AB 方向 垂直于 AB，朝向图形转动的一方
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y'
o'
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§8-1
刚体平面运动的概述和运动分解
y
任意平面运动的分析 在平面图形上任取一点O 做为基点； 在O点假想地做一个平移 参考系Oxy；
y'
x' O'
o
x
平面图形运动时,动坐标轴O'x' 轴、O'y' 轴始终分别 平行于定坐标轴Ox 轴、Oy 轴。 随着基点的平移
用一个平行于固定平面的平面 截割连杆； 截面S ：一个平面图形 过平面图形上任一点作垂直于 图形的直线； 刚体作平面运动 直线作平移
连 杆
平面图形上各点的运动可以代 表刚体内所有点的运动。 刚体的平面运动可简化为平面 图形在它的自身平面内运动。
S
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vO '
M
动系：O'x'y' （平移坐标系）
牵连运动：随O'点的平移 相对运动：绕O'点的圆周运动 绝对运动： 两个运动的合成 vM ve vr vO' vMO'
理论力学-刚体的平面运动案例
大小 0
?
2 AB
AO
?
2evr
方向
沿aet方向投影
0
at e
aC
at e
aC
3v 2 4l
AB
aet AO
3 3v2 8l 2
另解： 1.取坐标系Oxy
2. A点的运动方程
xA l cot
3.速度、加速度
xA l sin 2 v
v sin 2
l
v l
sin
2
v2 l2
aB
aA
at BA
an BA
ar
aC
大小 aB
aA ?
2 AE
AB
?
2 AE vr
方向
沿
a
t B
方A 向投影
aB
cos 30o
aA
sin 30o
at BA
aC
沿 a方r 向投影
aB
sin 30
aA
cos 30
an BA
ar
ar 65 mm s2
AE
at BA
AB
3 rad s2 6
第八章 刚体的平面运动
例8-1 已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。
求：B端的速度以及尺AB的角速度。
解： 1. AB作平面运动 基点： A
2. vB vA vBA 大小 ？ vA ? 方向
vB vA cot
vBA
vA
sin
AB
vBA l
vA
l sin
DE
vD DE
vB l
5rad
s
BD
vDB BD
08-理论力学-第二部分运动学第八章刚体的平面运动
形S在该瞬时的位置也就确定了。
88
运动学/刚体的平面运动
四、平面运动的分解 ——平移和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则
刚体作定轴转动 。
当图形Ｓ上 角不变时，
则刚体作平移。
故刚体平面运动可以看成是 平移和转动的合成运动。
例如：车轮的平面运动可以看成: 车轮随同车厢的平移 和相对车厢的转动的合成。
99
2121
如图示平面图形，某瞬时速度瞬心为P点， 该瞬时平面图形内任一点B速度大小
vB vP vBP vBP
B
大小：vB BP
方向：BP，指向与 转向相一致。
vB
S
vA
C
vC
同理:vA=ω·AP, vC=ω·CP
由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心 位置和角速度 ，就可求出该瞬时图形上各点的速度。
的平面Ⅱ内的运动。
66
运动学/刚体的平面运动
二、平面运动的简化 刚体的平面运动可以简化为
平面图形S在其自身平面内的运动。 即在研究平面运动时，不需考虑 刚体的形状和尺寸，只需研究平 面图形的运动，确定平面图形上 各点的速度和加速度。
三、平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的
平面图形的位置，我们只需确定平 面图形内任意一条线段的位置。
vBA
s
B
vB vA
A
vA
方向： AB, 指向与 转向一致。
即：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随
平面图形绕基点转动的速度的矢量和。 ——基点法
基点法是求解平面图形内一点速度的基本方法。 1414
运动学/刚体的平面运动
二、速度投影法
由于A, B点是任意的，因此
第八章 刚体平面运动(陆)
B
N
vA = vB = ωr
而轮B作纯滚动，I点为瞬心，所以此刻轮B的角 速度为： v r B B
R R
最后
r v N B NI 2 R 2r R
方向如图
★理论力学电子教案
第8章 刚体平面运动
22
例题8-4
如图所示的行星系中，大齿轮Ⅰ固定，半径为r1；行 星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动，半径为r2 。系杆OA角速
即 v A AI v B BI vC CI
相当于定轴转动的计算.
v AI v BI
B
A
vCI
C I
但请注意：I点仅仅此时刻速度为零，一般 情况下，速度瞬心的加速度不等于零，下一瞬 时I的速度也就不再为零了。因此，速度瞬心 在图形本身上和在固定平面上的位置都是随时 间而变的，在不同的瞬时，图形具有不同的速 度瞬心。
△SE
4m
4m
★理论力学电子教案
第8章 刚体平面运动
26
§8-3 平面运动刚体上各点加速度
根据速度基点法的分析，由点的 合成运动方法可以导出平面运动刚 体上各点的加速度计算公式：
ω
a BA n a BA
A α
aB
B
n t a B a A a BA aBA
aA
讨论： 1.φ为常数 2.(xO,yO)为常数 3.O点位置和φ 均变化 刚体作平动
平面图形的位置
定轴转动
平面运动
由此看出，平面运动可以分解为“平动”和“定轴转动”
★理论力学电子教案
第8章 刚体平面运动
4
三、运动分解
平面运动 = “随基点的平动” + “绕基点的转动” 所谓基点，是在平面图形上任意取定的那点。
理论力学---第八章_平面运动
且
v A 不平行于 v B
。
vA // vB , 且不垂直于AB vB v A v AB vBA 0 AB 0 vB v A vM
瞬时平移(瞬心在无穷远处)
纯滚动(只滚不滑)约束
找出下列平面运动刚体的速度瞬心。 A ω O1 B O2 O A B
:
:
v F
v GF cos 45 v C cos 45 v r
v F
v GF
cos
45 v C cos 45 v G 'C
vr 0
v GF 2 r
vG
5 r
26 . 6
平面机构如图所示。曲柄AB以匀角速度 绕轴A转动，使杆CG绕E轴转动。已知： AB=BE=EC=r。在图示位置时，ED=r，杆AB 和杆CG均处于水平。试求该瞬时: （1） 滑块D相对于杆CG的速度;
c
c
vB
v BA
绕O轴转动。求在图示瞬间点C的速度。已知
v CB
vc
B
B
ABC
vB
vA
ABC
o1
o
0
A
vA
o1
o
0
A
vA
在图示齿轮齿条机构中，已知：齿轮 半径R，曲柄OA= 2 R，以匀角速度 0 绕O轴作 定轴转动，OO1=L。试求图示位置 =45°时， 齿轮O1的角速度。
分析：
DE
v A r
vC O 1C
1
AB
vA r
v B r
AB
vC
v D v F r 1
《理论力学》第八章刚体的平面运动
刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。
09 刚体的平面运动--基点法
基点法：用速度合成定理来求平面图形内任一点的速度的方法。
PAG 13
基点法题目： 用速度合成定理
vB v A vBA
PAG 14
基点法求平面图形内各点速度的解题步骤：
1、分析题中各物体的运动：平移，转动，平面运动； 2、分析已知要素：研究作平面运动的物体，分析点的 速度大小和方向；
大小 方向 ？ √ √ √ ？ √
vA
x
A
vBx vAx vBAx
O
vA r
vB vA r
vA vB
vBA
B
vBA 0
当ψ=0°
vA vB
x
B
vBx vAx vBAx
vB 0
PAG 23
vBA
例8-4 图示行星轮系中，半径为r1的齿轮Ⅰ固定，半径为r2的 行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚不滑，杆OA角速度为ω0。求轮Ⅱ的角 速度ωⅡ及其上B，C 两点的速度。
vDA vA (r1 r2 )0
vDA 2 DA
(r1 r2 )0 r2
PAG 25
( r1 r2 ) 0 v A ( r1 r2 ) 0 ; 2 r2
vB v A vBA
? ? √ √ √ √
大小 方向
vA B C vB vBA v A A 11 vA Ⅱ 0 D vDA
O Ⅰ
vC v vCA A
vBA r211 (r1 r2 )0
vB
2vA 2 (r1 r2 )0
vC v A vCA
大小 方向 ? ? √ √ √ √
vCA r211 (r1 r2 )0
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平面运动刚体绕基点转动的角速 度和角加速度与基点的选择无关！
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以蓝点为基点
以红点为基点
平移的速度与加速度与基点选择有关不同，而绕 基点转动的角速度与角加速度与基点的选择无关
例1: 已知曲柄－滑块机构中OA=r , AB=l;曲柄OA 以匀角速度绕O轴转动。求连杆AB的运动方程。 解： 建立图示参考坐标系，
已知图形上两点的速度平行，但两点 连线与速度方位不垂直 可以认为速度
0
瞬心在无穷远
平面 运动
平动图形上各点 的速度和加速度 是相同的，但瞬 时平动其上各点 的速度相同而各 点的加速度一般 不同
作平面运动的刚体上求各点速度的方法的适 用范围 1、基点法：已知基点速度和作平面运动刚体
的角速度。是基本方法，可求平面图形的速度 和角加速度，图形上一点的速度。
例2：曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA以匀角速度 ω转动。已知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。当曲柄 在任意位置 = ωt时，求滑块B的速度。
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解： 一、基点法
因为A点速度 vA已知，故选A为基点
vA
AB
v B v A v BA
平动方程 y
称O为基点
y
P
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f3 ( t )
讨论：
1. 为常数
刚体平 面运动 方程
y0 转动方程 O1 x 0
O
S x
x 刚体随基点平移 (随同动系平移)
2. (xO,yO)为常数
3. O点位置和 均变化
刚体绕基点转动 (相对动系转动)
刚体平面运动
由此看出，平面运动可以分解为“平移”和
“转动”
平面运动 = 随基点的平移 + 绕基点的转动
绝对运动
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=
牵连运动
+
相对运动
y y P O
平面图形随基点平移
的速度和加速度与基点的
选择有关。
S x x
y0
O1 x 0
第八章
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刚体的平面运动
§8-1 刚体平面运动的运动方程
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刚体的平面运动可看成是平移和转动的合成 一、运动特征
平面运动：刚体在运动过程中，其上各点都
始终保持在与某一固定平面相平行的平面内。
y A r sint
r arcsin( sint ) l
§8-2 平面图形内各点的速度 速度瞬心
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一、速度基点法 根据前面的分析，下面应用点 的合成运动方法来导出平面运动 刚体上任意一点的运动公式
y y
vBA
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瞬时平移
(４) 平面图形沿某一固定面 作纯滚动（只滚动不滑动）， 如图所示。则每一瞬时图形与 固定面相接触的一点Ｉ的速度 为零，这接触点就是该瞬时的 速度瞬心。
I
瞬时“平动”
平动
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例5：桥由三部分组成，当C支座有一水平微小位移。 试确定D，E点的位移的方向及它们的大小与SC比 值。 解：当C有微小水平位移时，系统各部分的位置都 将有微小改变。根据所受的约束，可知ACD、 BE均发生微小转动。
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s D 2 sC
I
△SC D C
a
E
△SE a
a
A
a
B
DE作平面运动，其速度瞬心在I，
△SD
s E s D
§8-3 平面运动刚体上各点加速度 aB y a BA a ae a r 一般公式 B ω n aA n a BA
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径为R，在地面作纯滚动。求图示两种状态下，轮缘最右端 点的速度。
解： 1）AB杆的瞬心在B点， （ 说明此时B点速度为零。 即vB=0 对于轮B，它的速度瞬心为I vB B 0 R 所以此刻M点的速度为零。
A
ω
O
vA
A B M
IB v I ω
O
B
N
vM = 0
例4：曲柄OA长为r，以匀角速度ω转动。AB长2r， 轮B半径为R，在地面作纯滚动。求图示两种状态下， 轮缘最右端点的速度。
解： 三、速度瞬心法
A、B两点的速度大小分别为：
I
v A AB AI v B AB BI
AB v A R cos AI l cos
vA 900--
AB
2
sin( ) v B R cos
vB
例3：车轮沿直线滚动，已知车轮半径为R，中心O的速度
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相对 y
y
vBA
B
vB
vA
x
如将上式投影到A、B两点的连 A 线上，并注意到vBA垂直于AB连线， ω O 在连线上的投影为零，可得
vA
x
[vB ]AB [vA ]AB
平面图形上任意两点的速度（绝对速度）在这 两点连线上的投影相等，这称为速度投影定理。
0
vB
同样可得
注意：vA与vB都是绝对速度
sin( ) vB R cos
三、速度瞬心法
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v B v A v BA
vA
d
我们称某瞬时速度为零的点 为平面图形在此瞬时的速度中
A I
曲柄连杆机构
行星机构
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一、运动特征
y y′ y O1 x x′ S O1 x
vA
vB
其中vA的大小 vA=R ω 由速度合成矢量图可得
vA vBA vB π π sin( ) sin( ) sin( ) 2 2 vBA R sin( ) vB R AB cos
vBA
vA v
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2、投影法：已知一点绝对速度（包括大小和方向）
和另一点绝对速度的方向，可求该点速度的大小。 但不能求图形的角速度
3、速度瞬心法：速度瞬心已知或容易确定。
可求平面图形的速度和角速度，图形上一点的 速度。
画出图示机构中作平面运动的构件在图示瞬时的
例2：曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA以匀角速度ω 转动。已知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。当曲柄在 任意位置 = ωt时，求滑块B的速度。
vA
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二、速度投影法 解： 应用速度投影定理，有
900--
v A cos 90 vB cos
a B a A a BA a BA
n a BA 2 AB 方向由B指向基点
A
aA
a AB 方向垂直于AB连线 BA 平面图形内任一点的加速度，等于基点的加 速度与该点随图形绕基点转动的加速度的矢量和。
1. 速度瞬心的加速度一般不为零；计算加速度时，
α
x
通常只用基点法。
2. 刚体平面运动中，转动的角速度ω和角加速 度α与基点的选取无关。
例6：车轮沿直线滚动，已知车轮半径为R，中心O 的速度为vO，加速度为aO。设车轮与地面接触无相 对滑动。求车轮上速度瞬心的加速度。
解：一、先确定轮的角加速度 ω M O
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vO R
aO R 以I为瞬心
vO
n aIO
aO
y
x
二、求I点加速度
取中心O为基点
a
t IO
aO
I
n
n a I aO a IO a IO
a IO R aO
n a IO 2 vO 2R R
a Ix a O a IO 0
向y方向投影
vA
A
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B
解： （2）AB为瞬时平移
ω
O
vN
vB
I
B
N
vA = vB = ωr
轮子B作平面运动,瞬心在I点 轮子的角速度 vB r B R R r v N B NI 2 R 2r R
心，简称“速度瞬心”，一
般用 I 表示之。 一般情形下 ，刚体作平 面运动时速度瞬心确实是存 在且唯一。 v v 以I为基点，则有
vA