理论力学第8章分析解析
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理论力学 第八章
x o ' = x o ' (t ) 牵连运动方程 y o ' = y o ' ( t ) = ( t )
动系与定系之间的坐标变换关系
x = xO′ + x′ cos y′sin y = yO′ + x′ sin + y′ cos
沿半径为r的圆 例8-1 点M相对于动系 Ox′y′ 沿半径为 的圆 相对于动系 周以速度v作匀速圆周运动 圆心为O 作匀速圆周运动(圆心为 周以速度 作匀速圆周运动 圆心为 1 ） ，动系x′y′ O Oxy 以匀角速度ω绕点 作定轴转动， 相对于定系 以匀角速度 绕点O作定轴转动， 绕点 作定轴转动 如图所示。 重合， 重合。 如图所示。初始时x′y′ 与 与 重合 O Oxy 重合，点M与O重合。 的绝对运动方程。 求：点M的绝对运动方程。 的绝对运动方程
. 已知: 已知 ω, OA, = r, OO1 = l, OA水平 求: ω1 = ?
解:
1．动点：滑块A ． 动系：摇杆AB 2. 运动分析 绝对运动:绕O点的圆周运动
相对运动:沿O1B的直线运动 牵连运动:绕O1轴定轴转动
√ √ √
3.
ve = va sin = ωr
r
2 2
l +r ve r2ω ∴ω1 = = 2 2 O A l +r 1
4. 绝对运动方程 vt vt x = x′ cos y′ sin = r1 cos r cosωt r sin r sin ωt y = x′ sin + y′ cos = r1 cos vt sin ωt + r sin vt co-3 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖 M沿水平轴 作往复运动，如图所示。设oxy为定坐 沿水平轴x作往复运动 沿水平轴 作往复运动，如图所示。 为定坐 标系，刀尖的运动方程为 x = bsin (ωt ) 。工件以 标系， 逆时针转向转动。 等角速度 ω逆时针转向转动。 求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。 车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
理论力学(大学)课件8.1 空间任意力系向一点的简化及结果分析
空间任意力系及重心的计算
c. 简化为合力偶
⑤ FR′= 0, MO≠0
一个合力偶 与简化中心无关。 d. 平衡
⑥ FR′= 0, MO= 0
平衡
平面任意力系简化的最后结果
只能是合力、合力偶、平衡三种情况，不可能出现力螺旋。
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
中心轴过简化中心的力螺旋
力螺旋 由一个力和一个力偶组成的力系, 并且力垂直于力 偶的作用面。
MO O F'R
F'R O
右螺旋
F'R O
F'R O
MO
左螺旋
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
钻头钻孔时施加的力螺旋
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
å å å 方向 cos(FR¢ , i) =
Fix FR¢
cos(FR¢ , j) =
Fix FR¢
cos(FR¢ , k) =
Fiz FR¢
作用点: 一般令其作用于简化中心上
空间任意力系及重心的计算
空间力偶系的合力偶矩
å å MO = Mi = MO (Fi )
主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
空间任意力系及重心的计算
汇交力系的合力
FR¢ = å Fi = å Fxi + å Fy j + å Fzk
主矢
F1¢
M2
M1
FR¢ F2¢
Fn¢ M n
理论力学8-4-拉格朗日方程的首次积分
讨论
2 , T 1 ( J mR 2 sin 2 ) 2 T2 1 mR 2 0 2 2
V mgR g cos
2 1 mR 2 2 mgR cos L 1 ( J mR 2 sin 2 ) 2 2
分析动力学
) 为循环坐标，存在循环积分 为循环坐标 存在循环积分 a)
L J mR 2 sin 2 C 系统动量矩守恒
2 1 ( J mR 2 sin 2 ) 2 L 1 mR 2 2 2 mgR cos
T2 T0 V 1 mR 2 2 1 ( J mR 2 sin 2 ) 2 mgR cos E 2 2
7/21
第 8章
9/21
第 8章
11/21
分析动力学 分析动力学 分析动力学
分析动力学
拉格朗日函数可写为：L T2 T1 T0 V N L q LE 2T2 T1 T2 T1 T0 V E j j j 1 q
T2 T0 V E
T T2 故 T V E 对于定常约束，有 T1 T0 0，
第8章 ri ri (q1 , q2 , , qn , t )
r T 1 mi r 2 i 1 i i
N
i r
ri r j i q t q j j 1
n
0
L C 循环积分 j j q
V与广义速度无关
N n r r n r r i i q l i 1 mi i q 2 i 1 j 1 q j j t t q l 1 l N n N r r r r 1 mi i i mi i i q 2 i 1 t t q j t j j 1 i 1
《理论力学》第八章刚体的平面运动
刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。
第八章理论力学哈工大
§8-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
牵连点：在任意瞬时，与动点相重合的动 坐标系上的点，称为动点的牵连点。
讨 论
动坐标系是一个包含与之固连的刚体在内的 运动空间，除动坐标系作平移有牵连点的运动能够给动点以直接的影响。 为此，定义某瞬时，与动点相重合的动坐标 系上的点（牵连点）相对于静坐标系运动的 速度称为动点的牵连速度
已知:
, OA r , OO1 l , OA水平。求 : 1 ?。
解: 1、动点：滑块 A 动系：摇杆 O1B 2、运动分析： 绝对运动－绕O点的圆周运动；相对运动－沿 O1B的直线运动；牵连运动－绕O1轴定轴转动。 3、 √ √ √
ve va sin r sin ve r 2 1 2 2
动点与动系的选取原则（P186思考题）
⒈ 动点与动系不能选在同一物体上，否则无相对运动。
⒉ 动点相对于动系的相对运动轨迹要一目了然，即是一条 简单、明了的已知轨迹曲线 —-圆弧或直线。
绝对、相对和牵连运动之间的关系
可以利用坐标变换来建立绝对、相对和牵连运动之间的关系。
O 动点：M 动系： ' x ' y ' 绝对运动运动方程
MM 1 va lim t 0 t
速度合成定理
MM 1 显然： ve lim t 0 t
M 1M 1 vr lim t 0 t
va ve vr
动点的绝对速度等于它 的牵连速度与相对速度 的矢量和
上式为矢量方程，它包含了绝对速度、牵 连速度和相对速度的大小、方向六个量， 已知其中四个量可求出其余的两个量。
得
va ve vr
点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于 它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。 讨论 ⑴ ⑵ ⑶
理论力学第八章点的合成运动和例题讲解
MM ' 为绝对位移 M1M ' 为相对位移
MM' ＝ MM1 ＋ M1M'
MM' ＝ MM1 ＋ M1M' 将上式两边同除以△t， 取△t →0时的极限，得
lim M M lim M M 1 lim M 1 M t 0 t t 0 t t 0 t
va vevr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度 的矢量和，这就是点的速度合成定理。 说明：① 点的速度合成定理适用于牵连运动（动系的运动）为
O1B的角速度1。
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B 为动系，基座为静系。
绝对速度va = r ，方向 OA
相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va vevr作出速度平行四边形 如图所示。
ve vasin r
r r2 l2
r 2 r2 l2
则
1. 绝对运动：动点相对于静系的运动。 2. 相对运动：动点相对于动系的运动。 点的运动 3. 牵连运动：动系相对于静系的运动。 刚体的运动 在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点叫牵连点。
绝对运动中动点的速度与加速度称绝对速度 v a 与绝对加速度 a a 相对运动中动点的速度和加速度称相对速度 v r 与相对加速度 a r
§8-2 点的速度合成定理
点的速度合成定理将建立动点的绝对速度、相对速度和牵连 速度之间的关系。
设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O’x’y’z’ 的曲线AB 运动, 而曲线AB同时又随同动系O’x’y’z’ 相对静系Oxyz运动。
当t t+△t 时 AB A' B' ， M M' 也可看成M M１ M´
MM' ＝ MM1 ＋ M1M'
MM' ＝ MM1 ＋ M1M' 将上式两边同除以△t， 取△t →0时的极限，得
lim M M lim M M 1 lim M 1 M t 0 t t 0 t t 0 t
va vevr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度 的矢量和，这就是点的速度合成定理。 说明：① 点的速度合成定理适用于牵连运动（动系的运动）为
O1B的角速度1。
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B 为动系，基座为静系。
绝对速度va = r ，方向 OA
相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va vevr作出速度平行四边形 如图所示。
ve vasin r
r r2 l2
r 2 r2 l2
则
1. 绝对运动：动点相对于静系的运动。 2. 相对运动：动点相对于动系的运动。 点的运动 3. 牵连运动：动系相对于静系的运动。 刚体的运动 在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点叫牵连点。
绝对运动中动点的速度与加速度称绝对速度 v a 与绝对加速度 a a 相对运动中动点的速度和加速度称相对速度 v r 与相对加速度 a r
§8-2 点的速度合成定理
点的速度合成定理将建立动点的绝对速度、相对速度和牵连 速度之间的关系。
设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O’x’y’z’ 的曲线AB 运动, 而曲线AB同时又随同动系O’x’y’z’ 相对静系Oxyz运动。
当t t+△t 时 AB A' B' ， M M' 也可看成M M１ M´
理论力学8章分析解析
2018/10/20
理论力学第8章
22
补充例题。圆轮纯滚动的运动特点。 1. 圆轮在水平面上作纯滚动。轮心A作水平直 线运动。 无滑动条件：轮心A的 水平位移OC等于轮缘 滚动过的弧长，即 OC=MC。设OC长度为x， MC的圆心角为φ，则
x r
2018/10/20 理论力学第8章 23
OA sin AB sin r sin sin l
2018/10/20 理论力学第8章 13
2018/10/20
理论力学第8章
14
用基点法建立A和B的 速度关系。
v B v A v BA vB v A sin vBA sin 0 v A cos vBA cos r cos vBA AB l cos cos sin( ) vB r sin r sin r cos cos cos r , cos
2018/10/20
理论力学第8章
34
轮A的速度和加速度分析：
vA v A r A， A 10rad / s R vC 2 R A 4m / s aA aA r A ， A 10rad / s 2 R t n aC a A aCA aCA
v B v A v BA vB cos30 v A cos30 vB sin 30 v A sin 30 vBA v B v A r vBA 0,
2018/10/20
BA 0
理论力学第8章
19
对于轮B： C为瞬心。
vC v B vCB 0 vB vCB vCB vB r vCB B r
《理论力学Ⅰ》第八版课后习题解析
理论力学Ⅰ第 8 版课后习题答案目录：
第一章静力学公理和物体的受力分析
第二章平面力系
第三章空间力系
第四章摩擦
第五章点的运动学
第六章刚体的简单运动
第七章点的合成运动第
八章刚体的平面运动
第九章质点动力学的基本方程
第十章动量定理
第十一章动量矩定理
第十二章动能定理
第十三章达朗贝尔定理
第十四章虚位移定理
第一章
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第二章
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图形内任一点D的速度：
vD ωAB DC
例8-6 已知：矿石轧碎机的活动夹板长600mm ，由曲柄 OE借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示。曲 柄OE长100 mm，角速度为10rad/s。连杆组由杆BG， GD和GE组成，杆BG和GD各长500mm。 求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。
CD l
2.选D为基点 aD l 2 t n a A aD a AD a AD
大小 ？ l 2 方向 ? l 2
分别沿 轴和 轴投影
n aA cos aD cos π 2 aAD
t n 0 aD sin a AD cos a AD sin
§ 8-3 求平面图形内各点的瞬心法
1.定理
基点：A
v
B
v
A
v
BA
vM v A vMA
vM v A AM
可以找到一点C，此时 vCA vA 即： AC vA ω vC 0 一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地 存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简 称速度瞬心。
dt R dt R
3.选Ｏ为基点
t n aC aO aCO aCO
大小 ？ 方向 ？
由于 和
aO R
R 2
大小相等，方向相反
n aC aCO R 2
[例] 已知O1A=O2B, 图示瞬时 O1A//O2B。试问 1 和 2 是否相等？ (a),(b)两种情况下1 和 2 ，
解： 1. AB作平面运动
（vA） vB AB AB
vB cos 30 OA OA vB 0.2309 m s cos 30
2.CD作定轴转动，转动轴：C
vB vD CD 3vB 0.6928 m s CB
3.DE作平面运动
（vD） vE DE DE vE cos 30 vD vD vE 0.8 m s cos 30
速度瞬心的确定方法 (1) 已知一平面图形在固定面 上作无滑动的滚动（纯滚动）
w
图形与固定面的接触点 C就是图形的速度瞬心
(2) 已知 v A , vB 的方向，且 v A不平行于 vB 。
速度瞬心C的位置必在每一点速度的垂线上
(3) 已知 v A , vB 相互平行，且速度方向垂直于两点 连线
滚子A沿水平面作纯滚动，通 过连杆AB带动滑块B沿铅垂轴向 上滑动。设连杆长l = 0.8m，轮 心速度 v0 3 m/s 。求当A B与铅 垂线成 30 时，滑块B的速度 及连杆的角速度。 解：1.基点法 取A为基点，B点的速度
vB vA vBA
2. 速度投影法
（vA） vB AB AB
[例] 行星齿轮机构
已知: R, r , 0 轮A作纯滚动，求 vM 1 , vM 2
解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点
§ 8-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
基点：A， 牵连运动为平移
t n a B ae a r a r t n a B a A a BA a BA
解：
1. AB作平面运动
基点：A
（1） 60
vB v A cos 30 2 3r 3
（2） 0 vB 0
（3） 90
vB v A r ,
vBA 0
解题步骤： （1）分析题中各物体的运动 平移、转动、平面运动 （2）研究作平面运动的物体上哪一点的速度大小 和方向是已知的，哪一点的速度的某一要素是已 知的 （3）选定基点，而另一点可应用公式作速度平行 四边形 v v v
O
I
A
解:
1.轮Ⅰ作平面运动，瞬心为 C。
轮Ⅰ的角速度和角加速度为：
vO 1l r r 2.选基点为Ｏ
2
d2 0 dt
B
C O1 II
O
A
I
（1）点A：
点A的加速度的方向沿OA，指向中心O，它的大小为：
（2）点B：
点B的加速度大小为：
aB a a
2 O
2 n BO 2
A
v
BA
其中 vBA
大小 vBA AB
方向垂直于 AB ，指向同
平面图形内任一点的速度等于基点的速 度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
例8-1 已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。
求：B端的速度以及尺AB的角速度。
解：
1. AB作平面运动 基点： A
解得 a A l 2
t a AD 0 AB
t a AD 0 AD
例8-9 已知：车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心 O的速度为 vO ，加速度为 aO ，车轮与地面接触无相 对滑动。 求：车轮上速度瞬心的加速度。
解： 1. 车轮作平面运动，瞬心为 C。
vO 2. R d 1 dvO aO
t a BA
n aBA
t 大小 a BA AB
方向垂直于 AB ，指向同
n 2 AB 大小 aBA
方向由 B指向 A
平面图形内任一点的加速度等于基点的加 速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和 法向加速度的矢量和。
例8-7 已知：如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速 度ω1绕O1转动。大齿轮固定，行星轮半径为r，在大轮上只 滚不滑。设A和B是行星轮缘 上的两点，点A在O1O的延长线 上，而点B在垂直于O1O的半径上。 求：点A和B的加速度。 B C O1 II
基点：B
vD vDB vB l
vD vB DE 5 rad s DE l vDB vB BD 5 rad s BD l
2 2 vC vB vCB 1.299 m s
方向沿BD杆向右
例8-3
已知：曲柄滑块机构如图所示，OA =r, AB= 3r 。如曲柄 OA以匀角速度ω转动。 求：当 0,60,90 时，点B 的速度。
l
2 1
l 1 r
与半径OB间的夹角为： aO r arctan n arctan aBO l
例8-8 已知：如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以
匀角速度ω绕O 轴转动。OD＝AD＝BD＝l。
求：当 60时，尺AB的角加速度和点A的加速 度。
解： 1. AB作平面运动，瞬心为 C。 vD l AB
xO f1 t yO f 2 t f3 t
刚体平面运动方程
O 基点 转角
运动分析
=
+
平面运动 = 随 Oxy 的平移+绕 O 点的转动 平面运动可取任意基点而分解为平移和转 动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有 关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速 度与基点的选择无关。
2.平面图形内各点的速度分布 基点：瞬心C vA vC vAC vAC vB vC vBC vBC vD vC vDC vDC 平面图形内任意点的速度 等于该点随图形绕瞬时速度 中心转动的速度。
vA ω AC
vB vA cot
vA vBA sin vBA vA AB l l sin
例8-2 已知：如图所示平面机构中，AB=BD= DE= l=300mm。在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角 速度为ω=5rad/s。 求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。
解： 1.BD 作平面运动
B A BA
（4）利用几何关系，求解平行四边形中的未知量
速度投影定理
同一平面图形上任意两点的速度在这两点 连线上的投影相等
vB vA vBA
沿AB连线方向上投影，得到：
vB AB vA AB
例8-4
如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速 度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E 沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置时A， B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。 求：此瞬时点E的速度。
2.杆BG作平面运动，瞬心为C vG BG GC BC vB BG BC vG GC vG cos 60
ω AB vB AB vG cos 60 0 .888 rad s AB
由此可看出： 1.机构的运动都是通过各部件的连接点来传递的； 2. 在每一瞬时，机构中作平面运动的各刚体有各自的 速度瞬心和角速度
例8-5
已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。 求：用瞬心法求B端的速度以及尺AB的角速度。
解： AB作平面运动， 速度瞬心为点C。 图形的角速度：
AB
vA vA AC l sin
B点的速度：
vD
D
C
vB AB BC vA cot
第八章
刚体的平面运动
第八章
§ 8-1 § 8-2
刚体的平面运动
刚体平面运动的概述和运动分解 求平面图形内各点速度的基点法
§ 8-3
§ 8-4
求平面图形内各点速度的瞬心法
用基点法求平面图形内各点的加速度
§ 8-5
运动学综合应用举例
引言
刚体的平动与定轴转动是最常见的、最简单的刚体 运动。刚体还可以有更复杂的运动形式。其中，刚体的 平面运动是工程机械中较为常见的一种刚体运动。它可 以看作为平动与转动的合成，也可以看作为绕不断运动 的轴的转动。
本章将分析刚体平面运动的分解、平面运动刚体的 角速度、角加速度，以及刚体上各点的速度和加速度。
vD ωAB DC
例8-6 已知：矿石轧碎机的活动夹板长600mm ，由曲柄 OE借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示。曲 柄OE长100 mm，角速度为10rad/s。连杆组由杆BG， GD和GE组成，杆BG和GD各长500mm。 求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。
CD l
2.选D为基点 aD l 2 t n a A aD a AD a AD
大小 ？ l 2 方向 ? l 2
分别沿 轴和 轴投影
n aA cos aD cos π 2 aAD
t n 0 aD sin a AD cos a AD sin
§ 8-3 求平面图形内各点的瞬心法
1.定理
基点：A
v
B
v
A
v
BA
vM v A vMA
vM v A AM
可以找到一点C，此时 vCA vA 即： AC vA ω vC 0 一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地 存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简 称速度瞬心。
dt R dt R
3.选Ｏ为基点
t n aC aO aCO aCO
大小 ？ 方向 ？
由于 和
aO R
R 2
大小相等，方向相反
n aC aCO R 2
[例] 已知O1A=O2B, 图示瞬时 O1A//O2B。试问 1 和 2 是否相等？ (a),(b)两种情况下1 和 2 ，
解： 1. AB作平面运动
（vA） vB AB AB
vB cos 30 OA OA vB 0.2309 m s cos 30
2.CD作定轴转动，转动轴：C
vB vD CD 3vB 0.6928 m s CB
3.DE作平面运动
（vD） vE DE DE vE cos 30 vD vD vE 0.8 m s cos 30
速度瞬心的确定方法 (1) 已知一平面图形在固定面 上作无滑动的滚动（纯滚动）
w
图形与固定面的接触点 C就是图形的速度瞬心
(2) 已知 v A , vB 的方向，且 v A不平行于 vB 。
速度瞬心C的位置必在每一点速度的垂线上
(3) 已知 v A , vB 相互平行，且速度方向垂直于两点 连线
滚子A沿水平面作纯滚动，通 过连杆AB带动滑块B沿铅垂轴向 上滑动。设连杆长l = 0.8m，轮 心速度 v0 3 m/s 。求当A B与铅 垂线成 30 时，滑块B的速度 及连杆的角速度。 解：1.基点法 取A为基点，B点的速度
vB vA vBA
2. 速度投影法
（vA） vB AB AB
[例] 行星齿轮机构
已知: R, r , 0 轮A作纯滚动，求 vM 1 , vM 2
解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点
§ 8-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
基点：A， 牵连运动为平移
t n a B ae a r a r t n a B a A a BA a BA
解：
1. AB作平面运动
基点：A
（1） 60
vB v A cos 30 2 3r 3
（2） 0 vB 0
（3） 90
vB v A r ,
vBA 0
解题步骤： （1）分析题中各物体的运动 平移、转动、平面运动 （2）研究作平面运动的物体上哪一点的速度大小 和方向是已知的，哪一点的速度的某一要素是已 知的 （3）选定基点，而另一点可应用公式作速度平行 四边形 v v v
O
I
A
解:
1.轮Ⅰ作平面运动，瞬心为 C。
轮Ⅰ的角速度和角加速度为：
vO 1l r r 2.选基点为Ｏ
2
d2 0 dt
B
C O1 II
O
A
I
（1）点A：
点A的加速度的方向沿OA，指向中心O，它的大小为：
（2）点B：
点B的加速度大小为：
aB a a
2 O
2 n BO 2
A
v
BA
其中 vBA
大小 vBA AB
方向垂直于 AB ，指向同
平面图形内任一点的速度等于基点的速 度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
例8-1 已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。
求：B端的速度以及尺AB的角速度。
解：
1. AB作平面运动 基点： A
解得 a A l 2
t a AD 0 AB
t a AD 0 AD
例8-9 已知：车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心 O的速度为 vO ，加速度为 aO ，车轮与地面接触无相 对滑动。 求：车轮上速度瞬心的加速度。
解： 1. 车轮作平面运动，瞬心为 C。
vO 2. R d 1 dvO aO
t a BA
n aBA
t 大小 a BA AB
方向垂直于 AB ，指向同
n 2 AB 大小 aBA
方向由 B指向 A
平面图形内任一点的加速度等于基点的加 速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和 法向加速度的矢量和。
例8-7 已知：如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速 度ω1绕O1转动。大齿轮固定，行星轮半径为r，在大轮上只 滚不滑。设A和B是行星轮缘 上的两点，点A在O1O的延长线 上，而点B在垂直于O1O的半径上。 求：点A和B的加速度。 B C O1 II
基点：B
vD vDB vB l
vD vB DE 5 rad s DE l vDB vB BD 5 rad s BD l
2 2 vC vB vCB 1.299 m s
方向沿BD杆向右
例8-3
已知：曲柄滑块机构如图所示，OA =r, AB= 3r 。如曲柄 OA以匀角速度ω转动。 求：当 0,60,90 时，点B 的速度。
l
2 1
l 1 r
与半径OB间的夹角为： aO r arctan n arctan aBO l
例8-8 已知：如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以
匀角速度ω绕O 轴转动。OD＝AD＝BD＝l。
求：当 60时，尺AB的角加速度和点A的加速 度。
解： 1. AB作平面运动，瞬心为 C。 vD l AB
xO f1 t yO f 2 t f3 t
刚体平面运动方程
O 基点 转角
运动分析
=
+
平面运动 = 随 Oxy 的平移+绕 O 点的转动 平面运动可取任意基点而分解为平移和转 动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有 关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速 度与基点的选择无关。
2.平面图形内各点的速度分布 基点：瞬心C vA vC vAC vAC vB vC vBC vBC vD vC vDC vDC 平面图形内任意点的速度 等于该点随图形绕瞬时速度 中心转动的速度。
vA ω AC
vB vA cot
vA vBA sin vBA vA AB l l sin
例8-2 已知：如图所示平面机构中，AB=BD= DE= l=300mm。在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角 速度为ω=5rad/s。 求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。
解： 1.BD 作平面运动
B A BA
（4）利用几何关系，求解平行四边形中的未知量
速度投影定理
同一平面图形上任意两点的速度在这两点 连线上的投影相等
vB vA vBA
沿AB连线方向上投影，得到：
vB AB vA AB
例8-4
如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速 度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E 沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置时A， B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。 求：此瞬时点E的速度。
2.杆BG作平面运动，瞬心为C vG BG GC BC vB BG BC vG GC vG cos 60
ω AB vB AB vG cos 60 0 .888 rad s AB
由此可看出： 1.机构的运动都是通过各部件的连接点来传递的； 2. 在每一瞬时，机构中作平面运动的各刚体有各自的 速度瞬心和角速度
例8-5
已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。 求：用瞬心法求B端的速度以及尺AB的角速度。
解： AB作平面运动， 速度瞬心为点C。 图形的角速度：
AB
vA vA AC l sin
B点的速度：
vD
D
C
vB AB BC vA cot
第八章
刚体的平面运动
第八章
§ 8-1 § 8-2
刚体的平面运动
刚体平面运动的概述和运动分解 求平面图形内各点速度的基点法
§ 8-3
§ 8-4
求平面图形内各点速度的瞬心法
用基点法求平面图形内各点的加速度
§ 8-5
运动学综合应用举例
引言
刚体的平动与定轴转动是最常见的、最简单的刚体 运动。刚体还可以有更复杂的运动形式。其中，刚体的 平面运动是工程机械中较为常见的一种刚体运动。它可 以看作为平动与转动的合成，也可以看作为绕不断运动 的轴的转动。
本章将分析刚体平面运动的分解、平面运动刚体的 角速度、角加速度，以及刚体上各点的速度和加速度。