8理论力学
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理论力学 第八章
x o ' = x o ' (t ) 牵连运动方程 y o ' = y o ' ( t ) = ( t )
动系与定系之间的坐标变换关系
x = xO′ + x′ cos y′sin y = yO′ + x′ sin + y′ cos
沿半径为r的圆 例8-1 点M相对于动系 Ox′y′ 沿半径为 的圆 相对于动系 周以速度v作匀速圆周运动 圆心为O 作匀速圆周运动(圆心为 周以速度 作匀速圆周运动 圆心为 1 ） ，动系x′y′ O Oxy 以匀角速度ω绕点 作定轴转动， 相对于定系 以匀角速度 绕点O作定轴转动， 绕点 作定轴转动 如图所示。 重合， 重合。 如图所示。初始时x′y′ 与 与 重合 O Oxy 重合，点M与O重合。 的绝对运动方程。 求：点M的绝对运动方程。 的绝对运动方程
. 已知: 已知 ω, OA, = r, OO1 = l, OA水平 求: ω1 = ?
解:
1．动点：滑块A ． 动系：摇杆AB 2. 运动分析 绝对运动:绕O点的圆周运动
相对运动:沿O1B的直线运动 牵连运动:绕O1轴定轴转动
√ √ √
3.
ve = va sin = ωr
r
2 2
l +r ve r2ω ∴ω1 = = 2 2 O A l +r 1
4. 绝对运动方程 vt vt x = x′ cos y′ sin = r1 cos r cosωt r sin r sin ωt y = x′ sin + y′ cos = r1 cos vt sin ωt + r sin vt co-3 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖 M沿水平轴 作往复运动，如图所示。设oxy为定坐 沿水平轴x作往复运动 沿水平轴 作往复运动，如图所示。 为定坐 标系，刀尖的运动方程为 x = bsin (ωt ) 。工件以 标系， 逆时针转向转动。 等角速度 ω逆时针转向转动。 求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。 车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
08-理论力学-第二部分运动学第八章刚体的平面运动
形S在该瞬时的位置也就确定了。
88
运动学/刚体的平面运动
四、平面运动的分解 ——平移和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则
刚体作定轴转动 。
当图形Ｓ上 角不变时，
则刚体作平移。
故刚体平面运动可以看成是 平移和转动的合成运动。
例如：车轮的平面运动可以看成: 车轮随同车厢的平移 和相对车厢的转动的合成。
99
2121
如图示平面图形，某瞬时速度瞬心为P点， 该瞬时平面图形内任一点B速度大小
vB vP vBP vBP
B
大小：vB BP
方向：BP，指向与 转向相一致。
vB
S
vA
C
vC
同理:vA=ω·AP, vC=ω·CP
由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心 位置和角速度 ，就可求出该瞬时图形上各点的速度。
的平面Ⅱ内的运动。
66
运动学/刚体的平面运动
二、平面运动的简化 刚体的平面运动可以简化为
平面图形S在其自身平面内的运动。 即在研究平面运动时，不需考虑 刚体的形状和尺寸，只需研究平 面图形的运动，确定平面图形上 各点的速度和加速度。
三、平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的
平面图形的位置，我们只需确定平 面图形内任意一条线段的位置。
vBA
s
B
vB vA
A
vA
方向： AB, 指向与 转向一致。
即：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随
平面图形绕基点转动的速度的矢量和。 ——基点法
基点法是求解平面图形内一点速度的基本方法。 1414
运动学/刚体的平面运动
二、速度投影法
由于A, B点是任意的，因此
8理论力学
线运动.
D
动系的牵连运动—沿x轴的直线平动. vD
va= ve + vr va = r ve = vD= v
v 解得: va sin
v r sin
16
例题8-7.平底凸轮机构如图
示. 凸轮 O 的半径为R,偏心 距OA = e,以匀角速度 绕 B O 转动,并带动平底从动杆 BCD运动. 试求该瞬时杆 BCD的速度.
动系O—x´y´
e x´
y´
A的绝对运动—以B为中心 l 为 半径的园运动.
x A的相对运动—沿凸轮O边缘的曲线运动.
牵连运动—动系随凸轮O且角速度为的定轴转动.
牵连点—凸轮O上被AB杆的A端盖住的A´点且随凸轮
O作角速度为的定轴转动.
va= ve + vr va = l AB
解得:
AB
e l
22
ve = rsin
将它表示成转角的函数.
B
D
C e O A
26
解:取偏心园凸轮的 B
D
中心C为动点.
建立静系O—x y和 动系A—x´y´
y
ve va
C e vr
O
A
y´
x
x´
C的绝对运动—以O为中心为e半径的园运动.
C的相对运动—平行于 y´ 轴的直线运动.
牵连运动—动系沿水平直线作往复平动.
va= ve + vr
长 r,以匀角速1转动.试分析滑
O2
块A的运动.
5
O
例题8-3.曲柄导杆机构
的运动由滑块 A带动,已
B
C
知OA= r且转动的角速
A
度为.试分析滑块 A的
理论力学 第8章 动力学普遍定理
xC
mi
M
xi
,
yC
mi
M
yi
,
zC
mi
M
zi
10
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采 用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质 心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学 意义。 二、质点系的内力与外力 外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。 内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
6
1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、 位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。
7
例1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度 转
只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系 的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。
20
[例3] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另 放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角 形柱体的位移。
解：选两物体组成的系统为研究对象。
受力分析， Fx(e) 0, 水平方向 Px 常量。
l2 r2 l
得 F mr2 2 l 2 r 2
9
质点系的质心，内力与外力
一.质点系的质心 质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的 一个重要概念。
质心 C 点的位置： (M mi )
rC
mi
M
ri
或 MrC mi ri
第八章理论力学哈工大
§8-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
牵连点：在任意瞬时，与动点相重合的动 坐标系上的点，称为动点的牵连点。
讨 论
动坐标系是一个包含与之固连的刚体在内的 运动空间，除动坐标系作平移有牵连点的运动能够给动点以直接的影响。 为此，定义某瞬时，与动点相重合的动坐标 系上的点（牵连点）相对于静坐标系运动的 速度称为动点的牵连速度
已知:
, OA r , OO1 l , OA水平。求 : 1 ?。
解: 1、动点：滑块 A 动系：摇杆 O1B 2、运动分析： 绝对运动－绕O点的圆周运动；相对运动－沿 O1B的直线运动；牵连运动－绕O1轴定轴转动。 3、 √ √ √
ve va sin r sin ve r 2 1 2 2
动点与动系的选取原则（P186思考题）
⒈ 动点与动系不能选在同一物体上，否则无相对运动。
⒉ 动点相对于动系的相对运动轨迹要一目了然，即是一条 简单、明了的已知轨迹曲线 —-圆弧或直线。
绝对、相对和牵连运动之间的关系
可以利用坐标变换来建立绝对、相对和牵连运动之间的关系。
O 动点：M 动系： ' x ' y ' 绝对运动运动方程
MM 1 va lim t 0 t
速度合成定理
MM 1 显然： ve lim t 0 t
M 1M 1 vr lim t 0 t
va ve vr
动点的绝对速度等于它 的牵连速度与相对速度 的矢量和
上式为矢量方程，它包含了绝对速度、牵 连速度和相对速度的大小、方向六个量， 已知其中四个量可求出其余的两个量。
得
va ve vr
点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于 它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。 讨论 ⑴ ⑵ ⑶
理论力学第八章点的合成运动和例题讲解
MM ' 为绝对位移 M1M ' 为相对位移
MM' ＝ MM1 ＋ M1M'
MM' ＝ MM1 ＋ M1M' 将上式两边同除以△t， 取△t →0时的极限，得
lim M M lim M M 1 lim M 1 M t 0 t t 0 t t 0 t
va vevr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度 的矢量和，这就是点的速度合成定理。 说明：① 点的速度合成定理适用于牵连运动（动系的运动）为
O1B的角速度1。
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B 为动系，基座为静系。
绝对速度va = r ，方向 OA
相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va vevr作出速度平行四边形 如图所示。
ve vasin r
r r2 l2
r 2 r2 l2
则
1. 绝对运动：动点相对于静系的运动。 2. 相对运动：动点相对于动系的运动。 点的运动 3. 牵连运动：动系相对于静系的运动。 刚体的运动 在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点叫牵连点。
绝对运动中动点的速度与加速度称绝对速度 v a 与绝对加速度 a a 相对运动中动点的速度和加速度称相对速度 v r 与相对加速度 a r
§8-2 点的速度合成定理
点的速度合成定理将建立动点的绝对速度、相对速度和牵连 速度之间的关系。
设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O’x’y’z’ 的曲线AB 运动, 而曲线AB同时又随同动系O’x’y’z’ 相对静系Oxyz运动。
当t t+△t 时 AB A' B' ， M M' 也可看成M M１ M´
MM' ＝ MM1 ＋ M1M'
MM' ＝ MM1 ＋ M1M' 将上式两边同除以△t， 取△t →0时的极限，得
lim M M lim M M 1 lim M 1 M t 0 t t 0 t t 0 t
va vevr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度 的矢量和，这就是点的速度合成定理。 说明：① 点的速度合成定理适用于牵连运动（动系的运动）为
O1B的角速度1。
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B 为动系，基座为静系。
绝对速度va = r ，方向 OA
相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va vevr作出速度平行四边形 如图所示。
ve vasin r
r r2 l2
r 2 r2 l2
则
1. 绝对运动：动点相对于静系的运动。 2. 相对运动：动点相对于动系的运动。 点的运动 3. 牵连运动：动系相对于静系的运动。 刚体的运动 在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点叫牵连点。
绝对运动中动点的速度与加速度称绝对速度 v a 与绝对加速度 a a 相对运动中动点的速度和加速度称相对速度 v r 与相对加速度 a r
§8-2 点的速度合成定理
点的速度合成定理将建立动点的绝对速度、相对速度和牵连 速度之间的关系。
设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O’x’y’z’ 的曲线AB 运动, 而曲线AB同时又随同动系O’x’y’z’ 相对静系Oxyz运动。
当t t+△t 时 AB A' B' ， M M' 也可看成M M１ M´
理论力学8章分析解析
2018/10/20
理论力学第8章
22
补充例题。圆轮纯滚动的运动特点。 1. 圆轮在水平面上作纯滚动。轮心A作水平直 线运动。 无滑动条件：轮心A的 水平位移OC等于轮缘 滚动过的弧长，即 OC=MC。设OC长度为x， MC的圆心角为φ，则
x r
2018/10/20 理论力学第8章 23
OA sin AB sin r sin sin l
2018/10/20 理论力学第8章 13
2018/10/20
理论力学第8章
14
用基点法建立A和B的 速度关系。
v B v A v BA vB v A sin vBA sin 0 v A cos vBA cos r cos vBA AB l cos cos sin( ) vB r sin r sin r cos cos cos r , cos
2018/10/20
理论力学第8章
34
轮A的速度和加速度分析：
vA v A r A， A 10rad / s R vC 2 R A 4m / s aA aA r A ， A 10rad / s 2 R t n aC a A aCA aCA
v B v A v BA vB cos30 v A cos30 vB sin 30 v A sin 30 vBA v B v A r vBA 0,
2018/10/20
BA 0
理论力学第8章
19
对于轮B： C为瞬心。
vC v B vCB 0 vB vCB vCB vB r vCB B r
理论力学8
摇杆绕固定轴O1来回摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离OO1 l
求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相
对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
解：
选取动点： OA 上的A点 动系： O1B 定系： 基座
运 绝对运动：圆周运动 动 分 相对运动：直线运动 析 牵连运动：定轴转动 ：
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上
的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和
研究物体的运动。下面先看几个例子。
沿直线轨道纯滚动 的圆轮，研究轮缘上A 点的运动，对于地面上 的观察者，是旋轮线轨 迹，对站在轮心上的观 察者是圆。
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
MM MM1 M1M 将上式两边同时除以t并取 t0得
lim MM lim MM1 t 0 t t 0 t
lim
M1M
t 0 t
va ve vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速
度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
运动学/点的合成运动
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M
以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。 将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动 点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。 设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的 牵连速度分别为
ve1 OM1
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（ 参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。 因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。
求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相
对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
解：
选取动点： OA 上的A点 动系： O1B 定系： 基座
运 绝对运动：圆周运动 动 分 相对运动：直线运动 析 牵连运动：定轴转动 ：
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上
的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和
研究物体的运动。下面先看几个例子。
沿直线轨道纯滚动 的圆轮，研究轮缘上A 点的运动，对于地面上 的观察者，是旋轮线轨 迹，对站在轮心上的观 察者是圆。
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
MM MM1 M1M 将上式两边同时除以t并取 t0得
lim MM lim MM1 t 0 t t 0 t
lim
M1M
t 0 t
va ve vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速
度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
运动学/点的合成运动
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M
以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。 将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动 点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。 设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的 牵连速度分别为
ve1 OM1
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（ 参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。 因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。
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此即两自由度空间摆的两个运动微分方程。
10.12上题中，若空间摆的摆长 以 的规律变化，其中 为运动开始时的摆长， 为常值，试建立摆的运动微分方程。
解：将
， ， ， ，
代入球坐标形式运动微分方程得到：
10.13水平圆台上有一光滑导槽BC，槽内有一方块A如图示，今圆台从静止开始，以角加速度 绕铅垂轴转动。求开始转动时A相对于圆台的加速度。图中 ， 。
（单位为m）
若缆车以5m/s的速度沿铁索前进，缆车和乘客总重量为 ，试以 表示缆车作用于铁索的正压力。假定缆车不影响铁索的形状。
解：由铁索轨迹方程 可得
，
其中 。根据几何关系有
，
（m）
对缆绳列写牛顿定律沿 方向的投影式：
，（ ）
导出
10.6一质量为80kg的滑雪运动员在图示位置的下滑速度36km/h。若山坡可视为抛物面，摩擦因数 ，试求运动员作用于雪地的力（在动力学解题时，假定动、静摩擦因数相等）。
。求单摆的相对运动微分方程。
解：取以O为原点的平动坐标系为非惯性系。
单摆：
：
将
代入上式，解得
10.19图示单摆的悬线长 ，悬点O在固定点 附近沿水平线做简谐运动， 。求单摆的相对运动微分方程。
解：取以O为原点的平动坐标系为非惯性系，空间摆相对非惯性系的位置用球坐标系表示。
O点加速度： ，
单摆：
：
：
将 代入上式，整理导出如下运动微分方程：
滑块A： ，
飞球：
：
将 ， 代入上式，得
解出
，
10.8已知物块质量为 ，被限制在直线轨道上运动如图示。若弹簧刚度系数为 ，质量不计，试根据接触面无摩擦和有摩擦（动摩擦因数为 ）两种情况建立物块的运动微分方程。
解：物块：
x： ， ， ，
y：
导出：
，（无摩擦）
，（有摩擦）
10.9小汽车关闭发动机后驶上一半径为200m的圆弧面如图示。设小车可视为质点，小车与落面的动摩擦因数为 ，试以 为广义坐标列出小车上坡的运动微分方程。
解：方块： ，向三轴投影得
， ，
其中 ， 。因此有
（1）
滑动时将 代入式（1），解得 ；
将 代入式（1），解得 。
10.3游乐场一圆柱形旋转厅如图示，游客背对墙而立，当旋转厅达到一定角速度时，让地板下降。求保证游客（允许视为质点）不往下掉落的最小角速度。设人和墙之间的静摩擦因数 。
解：游客： ，向x、y轴投影得
解：汽车：
n： ，
： ，
将 和 代入，得
10.10图示质点P沿光滑的摆线轨道运动，摆线的参数方程为
试建立质点P的运动微分方程。
解：由
，
得
，
由此导出
从而解得
， 。
对质点P列写牛顿定律沿 方向的投影式：
则质点P的运动微分方程为
。
10.11试建立图示两自由度空间摆P的运动微分方程。
解：将
， ， ，
代入球坐标形式运动微分方程得到
解：滑块E为一自由度。以相对平衡位置O为原点建立 坐标系，以曲杆ABCD为非惯性系。在相对平衡位置，由 ，导出
（1）
其中 为弹簧静伸长。
滑块E：
x： （2）
将（1）代入（2），导出如下运动微分方程：
10.16上题中，若杆CD改为与AB轴成 角如图示，其他条件不变，试建立物体E的运动微分方程。
解：滑块E为一自由度。以相对平衡位置O为原点建立 坐标系，以构件ABCD为非惯性系。在相对平衡位置，由 ，导出
，
由上二式解得
10.4一质量为1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱg的小球A被限制在两滑槽内运动，如图示。若两滑槽的运动规律分别为 和 （其中， 以 计， ， 以cm计），试求在任意时刻小球A所受到的作用力。
解：设
， ，
则有
，
根据牛顿定律，小球A受到得作用力为：
10.5支撑缆车的铁索成悬链线状如图示，相对（Oxy）坐标系的轨迹方程为
解：由图可得抛物线方程为 ，则
，
由几何关系得
，
对运动员列写牛顿定律沿 方向的投影式：
，（ ）
导出
运动员作用于雪地的力即为 和 。
10.7图示一离心调速器，表示小球位置的角度坐标 取决于调速器的角速度及作用于轴承A的力 。若小球质量为10kN， ，各杆长20cm（不计重量），求 时调速器的角速度 。
解：
（1）、（2）中消去 ，并将 ， ， ， 代入，导出
若C右滑、B上滑，将两图比较可知只要改变 的符号即可，即
因此B、C相对平台静止的 的范围
10.15轴AB以角速度 匀速转动，质量为 的物体E可在垂直于AB轴并与之相固接的光滑杆CD上滑动如图示。若C，E之间弹簧的刚度系数为 ，试建立物体E的运动微分方程。
（1）
其中 为弹簧静伸长。
滑块E：
：
将式（1）代入上式，导出如下运动微分方程：
10.17一炮弹以初速 、倾角 在地球表面北纬 处向北发射如图示。不计空气阻力。（1）忽略地球自转的影响，求炮弹的运动微分方程及运动规律；（2）考虑地球自转的影响，求炮弹的相对运动微分方程，并计算经过时间 后炮弹东偏的距离。
解：A（以圆台为非惯性系）：
，（ ）
：
10.14一平台以 的角速度匀速转动如图示。物体C重450N，物体B重225N，由不可伸长、不计质量的绳索相互连接。若B，C与平台接触面的静摩擦因数均为0.4，求保证B，C相对平台静止的 范围。
解：以平台为非惯性系：
C（左滑）：
y：
x： （1）
B（下滑）：
x：
y： （2）
解：
（1）炮弹： （ ）
， ，
， ，
（2）
炮弹（地球为非惯性系）：
忽略具有 的微量项，即不计 ，则导出
（*）
具有初始条件：
， ，
将 视作小参数，用摄动法求解上述方程。令 。得到零次方程与情况（1）相同，将其解代入式（*），得
解出 。表明炮弹东偏。
10.18图示单摆的悬线长 ，悬点O在固定点 附近沿铅垂线做简间谐运动，
10.1一质量为10kg的小球置于倾斜 的光滑斜面上，并用平行于斜面的软绳拉住如图示。求当斜面以 的加速度向左运动时，绳子中的拉力以及斜面上的压力，并问当斜面的加速度达到多大时绳子中的拉力为零？
解：小球：
： ，
： ，
令第一式中得 ，解得：
10.2一重20N的小方块放于绕铅垂轴转动的水平圆台上如图示， ，今圆台从静止开始以 的匀角加速度转动。设方块与台面间的静摩擦因数为0.25，问经过多少时间后，方块开始在台面上滑动？又问当 时，方块与台面间的摩擦力多大？
10.12上题中，若空间摆的摆长 以 的规律变化，其中 为运动开始时的摆长， 为常值，试建立摆的运动微分方程。
解：将
， ， ， ，
代入球坐标形式运动微分方程得到：
10.13水平圆台上有一光滑导槽BC，槽内有一方块A如图示，今圆台从静止开始，以角加速度 绕铅垂轴转动。求开始转动时A相对于圆台的加速度。图中 ， 。
（单位为m）
若缆车以5m/s的速度沿铁索前进，缆车和乘客总重量为 ，试以 表示缆车作用于铁索的正压力。假定缆车不影响铁索的形状。
解：由铁索轨迹方程 可得
，
其中 。根据几何关系有
，
（m）
对缆绳列写牛顿定律沿 方向的投影式：
，（ ）
导出
10.6一质量为80kg的滑雪运动员在图示位置的下滑速度36km/h。若山坡可视为抛物面，摩擦因数 ，试求运动员作用于雪地的力（在动力学解题时，假定动、静摩擦因数相等）。
。求单摆的相对运动微分方程。
解：取以O为原点的平动坐标系为非惯性系。
单摆：
：
将
代入上式，解得
10.19图示单摆的悬线长 ，悬点O在固定点 附近沿水平线做简谐运动， 。求单摆的相对运动微分方程。
解：取以O为原点的平动坐标系为非惯性系，空间摆相对非惯性系的位置用球坐标系表示。
O点加速度： ，
单摆：
：
：
将 代入上式，整理导出如下运动微分方程：
滑块A： ，
飞球：
：
将 ， 代入上式，得
解出
，
10.8已知物块质量为 ，被限制在直线轨道上运动如图示。若弹簧刚度系数为 ，质量不计，试根据接触面无摩擦和有摩擦（动摩擦因数为 ）两种情况建立物块的运动微分方程。
解：物块：
x： ， ， ，
y：
导出：
，（无摩擦）
，（有摩擦）
10.9小汽车关闭发动机后驶上一半径为200m的圆弧面如图示。设小车可视为质点，小车与落面的动摩擦因数为 ，试以 为广义坐标列出小车上坡的运动微分方程。
解：方块： ，向三轴投影得
， ，
其中 ， 。因此有
（1）
滑动时将 代入式（1），解得 ；
将 代入式（1），解得 。
10.3游乐场一圆柱形旋转厅如图示，游客背对墙而立，当旋转厅达到一定角速度时，让地板下降。求保证游客（允许视为质点）不往下掉落的最小角速度。设人和墙之间的静摩擦因数 。
解：游客： ，向x、y轴投影得
解：汽车：
n： ，
： ，
将 和 代入，得
10.10图示质点P沿光滑的摆线轨道运动，摆线的参数方程为
试建立质点P的运动微分方程。
解：由
，
得
，
由此导出
从而解得
， 。
对质点P列写牛顿定律沿 方向的投影式：
则质点P的运动微分方程为
。
10.11试建立图示两自由度空间摆P的运动微分方程。
解：将
， ， ，
代入球坐标形式运动微分方程得到
解：滑块E为一自由度。以相对平衡位置O为原点建立 坐标系，以曲杆ABCD为非惯性系。在相对平衡位置，由 ，导出
（1）
其中 为弹簧静伸长。
滑块E：
x： （2）
将（1）代入（2），导出如下运动微分方程：
10.16上题中，若杆CD改为与AB轴成 角如图示，其他条件不变，试建立物体E的运动微分方程。
解：滑块E为一自由度。以相对平衡位置O为原点建立 坐标系，以构件ABCD为非惯性系。在相对平衡位置，由 ，导出
，
由上二式解得
10.4一质量为1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱg的小球A被限制在两滑槽内运动，如图示。若两滑槽的运动规律分别为 和 （其中， 以 计， ， 以cm计），试求在任意时刻小球A所受到的作用力。
解：设
， ，
则有
，
根据牛顿定律，小球A受到得作用力为：
10.5支撑缆车的铁索成悬链线状如图示，相对（Oxy）坐标系的轨迹方程为
解：由图可得抛物线方程为 ，则
，
由几何关系得
，
对运动员列写牛顿定律沿 方向的投影式：
，（ ）
导出
运动员作用于雪地的力即为 和 。
10.7图示一离心调速器，表示小球位置的角度坐标 取决于调速器的角速度及作用于轴承A的力 。若小球质量为10kN， ，各杆长20cm（不计重量），求 时调速器的角速度 。
解：
（1）、（2）中消去 ，并将 ， ， ， 代入，导出
若C右滑、B上滑，将两图比较可知只要改变 的符号即可，即
因此B、C相对平台静止的 的范围
10.15轴AB以角速度 匀速转动，质量为 的物体E可在垂直于AB轴并与之相固接的光滑杆CD上滑动如图示。若C，E之间弹簧的刚度系数为 ，试建立物体E的运动微分方程。
（1）
其中 为弹簧静伸长。
滑块E：
：
将式（1）代入上式，导出如下运动微分方程：
10.17一炮弹以初速 、倾角 在地球表面北纬 处向北发射如图示。不计空气阻力。（1）忽略地球自转的影响，求炮弹的运动微分方程及运动规律；（2）考虑地球自转的影响，求炮弹的相对运动微分方程，并计算经过时间 后炮弹东偏的距离。
解：A（以圆台为非惯性系）：
，（ ）
：
10.14一平台以 的角速度匀速转动如图示。物体C重450N，物体B重225N，由不可伸长、不计质量的绳索相互连接。若B，C与平台接触面的静摩擦因数均为0.4，求保证B，C相对平台静止的 范围。
解：以平台为非惯性系：
C（左滑）：
y：
x： （1）
B（下滑）：
x：
y： （2）
解：
（1）炮弹： （ ）
， ，
， ，
（2）
炮弹（地球为非惯性系）：
忽略具有 的微量项，即不计 ，则导出
（*）
具有初始条件：
， ，
将 视作小参数，用摄动法求解上述方程。令 。得到零次方程与情况（1）相同，将其解代入式（*），得
解出 。表明炮弹东偏。
10.18图示单摆的悬线长 ，悬点O在固定点 附近沿铅垂线做简间谐运动，
10.1一质量为10kg的小球置于倾斜 的光滑斜面上，并用平行于斜面的软绳拉住如图示。求当斜面以 的加速度向左运动时，绳子中的拉力以及斜面上的压力，并问当斜面的加速度达到多大时绳子中的拉力为零？
解：小球：
： ，
： ，
令第一式中得 ，解得：
10.2一重20N的小方块放于绕铅垂轴转动的水平圆台上如图示， ，今圆台从静止开始以 的匀角加速度转动。设方块与台面间的静摩擦因数为0.25，问经过多少时间后，方块开始在台面上滑动？又问当 时，方块与台面间的摩擦力多大？