工程力学：第八章 刚体的平面运动
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工程力学8-刚体的平面运动
、与
基点无关
点
运动规律与基 点的选择有关
运动规律与基 点的选择无关
任意选取，通常选取运动情况已知的点作为基点
理论力学
11
§8-2 平面图形内点的速度分析
一、基点法（速度合成法）
已知：图形S内一点A的速度vA ， 图形角速度。求 vB 。
取A为基点, 将动系铰结于A点， 动系随基点作平移。
取B为动点，则B点的运动可视为牵连运动为平移和相对 运动为圆周运动的合成，va vB;ve vA;vr vBA, 其中vBA大小：vBA=BA·； 垂直BA并指向与 转向一致。
cos(
2
)
vB
y
2
B
vA cos
O
vB vA cot
A x
vA
已知：OA匀角速度转动， , OA r, AB 3r
求：当 600 时，点B的速度
解：
AB作平面运动
vA
由速度投影定 理
vB AB vA AB
A
O
B
vB
cos(
2
)
vA
vB
vB vA / sin
2 r
3
三、速度瞬心法 1.问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大
在该瞬时的位置也就确定了。
四、平面运动分解为平移和转动
当图形S 上Ａ点不动时，
则刚体作定轴转动；
当图形 S上角不变时，
则刚体作平移。
故刚体平面运动可以看成是
平移和转动的合成运动。
理论力学
7
例如 车轮的运动
车轮的平面运动可以看 成是车轮随同车厢的平移和 相对车厢的转动的合成。
车轮对于静系的平面运动 （绝对运动）
工程力学—刚体的平面运动
M
刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动。
4.2 刚体平面运动分解
平面图形S在其平面上的位置完 全可由图形内任意线段O'M的位置来
y
确定，而要确定此线段的位置，只需
确 定 线 段 上 任 一 点 O' 的 位 置 和 线 段
S
O'M与固定坐标轴Ox间的夹角即可。 点O'的坐标和角都是时间的函数，
O'
即
O
xO f1(t), yO f2 (t), f3 (t)
M x
这就是刚体的平面运动方程。
如果O’位置不动，则平面图形此时绕O’做定轴转动；如果 O'M方位不变，则平面图形此时做平动。因此刚体的平面运动包 含平动和定轴转动两种情况，但不能说平动和定轴转动是刚体平 面运动的特殊情况。
是相对于各基点处的平动参考
d d
dt dt
系而言的。平面图形相对于各 动参考系(包括固定参考系)其 转动运动都是一样的，因此以
'
后无须标明绕哪一点转动。
4.3 平面图形上各点的速度
1. 基点法
已知O'点的速度及平面图形转动 的角速度，求M点的速度。
r
aO r
r
aO
aCnO
r 2
r ( vO r
)2
vO2 r
O aO vO
aC O
a Cn O aO
C
取如图的投影轴，将各矢量投影到投影轴上得
aC aO aCO aO aO 0
aC
aCnO
vO2 r
aC
第八章刚体的平面运动
其中，i ，j 为x，y 轴的单位矢量。
14
2. 速度投影定理
同一平面图形上任意两点的速度在这两点连
线上的投影相等。
证明：
vB =vA +vBA
vBA vB
∵(vB )AB= (vA )AB+ (vBA) AB
A
B
vA
vA
而vBA 垂直AB，在AB两点连线上的投影为零
∴ (vB )AB= (vA )AB
O
30 A 60 60 B vB 已知方向，可求出连杆CB的速度瞬
vA
心Cv2。
36
例题
刚体的平面运动
例题8
因为
CCv2 CB tan 30
3l 3
故得连杆CB角速度的大小
C
Cv2
Cv1
vC
CB
vC CCv 2
3 l
vA
它的转向沿逆时针。于是滑块B 速
度的大小为
O
30 A
vA
60 60 B vB
M3和M4各点的加速度大小。
39
例题
刚体的平面运动
例题9
解： 因在此瞬时O点的加速度是已知的，
M3
故选O点为基点，则齿轮节圆边缘上任一
点M 的加速度为：
aO vO M4
M2
RO
a O
因为任一瞬时齿轮的角速度 vO ，
R
M1
因此，可对此式求导数，从而求得齿轮
的角加速度
O
ψ
A vB
vA=u
vB
u
tan
,
vBA
u
sin
,
所以
AB
vBA l
u l
工程力学 第八章 刚体的平面运动
例8.1.曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄OA以匀 转动。 求： 当 =45º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。 a.基点法; b.速度投影法 解：机构中,OA作定轴转动, AB作平面运动,滑块B作平移。
基点法
研究 AB，以 A为基点， 且 v A l , 方向如图示。 根据
vB vA vBA ,
va ve vr vB vA vBA
所以，任意A，B两点，若A为基点，则：
v
B
v
A
v
BA
v
B
v
A
v
BA
平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动速度的矢量和。这种求解速度的方法称为基点法．
其中
vBA
大小
vBA AB
方向垂直于 AB ，指向同
2 l ( )
在Ｂ点做速度平行四边形，如图示。
vB v A / sin l / sin 45 vBA v A /tg l / tg 45 l AB vBA / AB l / l
（
）
速度投影法
研究AB, vA l ,
方向OA, vB方向沿BO直线
因此，图形S 的位置决定于x A , y A , 三个独立的参变量．
平面运动方程
x A f1 (t ) yA f2 ( t ) f 3 (t )
1)当图形S上A点固定不动，则刚体将作定轴转动； 2)当图形S上角不变时（ =常数），则刚体将作平移。
故刚体平面的运动可以看成是平移和转动的合成运动。
根据速度投影定理 vB AB vA AB
vB sin vA
vB v A / sin l / sin 45 2l( )
第八章 刚体平面运动(陆)
B
N
vA = vB = ωr
而轮B作纯滚动，I点为瞬心，所以此刻轮B的角 速度为： v r B B
R R
最后
r v N B NI 2 R 2r R
方向如图
★理论力学电子教案
第8章 刚体平面运动
22
例题8-4
如图所示的行星系中，大齿轮Ⅰ固定，半径为r1；行 星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动，半径为r2 。系杆OA角速
即 v A AI v B BI vC CI
相当于定轴转动的计算.
v AI v BI
B
A
vCI
C I
但请注意：I点仅仅此时刻速度为零，一般 情况下，速度瞬心的加速度不等于零，下一瞬 时I的速度也就不再为零了。因此，速度瞬心 在图形本身上和在固定平面上的位置都是随时 间而变的，在不同的瞬时，图形具有不同的速 度瞬心。
△SE
4m
4m
★理论力学电子教案
第8章 刚体平面运动
26
§8-3 平面运动刚体上各点加速度
根据速度基点法的分析，由点的 合成运动方法可以导出平面运动刚 体上各点的加速度计算公式：
ω
a BA n a BA
A α
aB
B
n t a B a A a BA aBA
aA
讨论： 1.φ为常数 2.(xO,yO)为常数 3.O点位置和φ 均变化 刚体作平动
平面图形的位置
定轴转动
平面运动
由此看出，平面运动可以分解为“平动”和“定轴转动”
★理论力学电子教案
第8章 刚体平面运动
4
三、运动分解
平面运动 = “随基点的平动” + “绕基点的转动” 所谓基点，是在平面图形上任意取定的那点。
工程力学第八章刚体的平面运动
vA
P
例8.4、行星齿轮机构,大齿轮固定不动。已知: R, r , o 轮A作 纯滚动。求 vM 1, vM 2
解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点
vA (Rr)o r
R r
ro
(
）
vM1 PM1 2r Rrro 2(Rr)o,
vM 2
PM2
所以，任意A，B两点，若A为基点，则：
v v v
B A BA
v v v
B A BA
平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动速度的矢量和。这种求解速度的方法称为基点法．
其中 vBA
大小 vBA AB
方向垂直于 AB ，指向同
二.速度投影定理
由 vB vA vBA
二、刚体平面运动的力学模型－平面图形
平面图形－在刚体上作平行于固定平面的平面，这样的平面 刚体轮廓的交线所构成的图形。
刚体运动过程中，任选一点A，A代表了A1A2线段的 运动。由于A点任意性，S面代表了整个刚体的运动。
平面运动
平面图形的运动
三、刚体平面运动方程
任意线段AB的位置可代表平面运动刚体的平面图形的位置， 即:用A点的坐标和AB与x轴夹角表示．
平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随 图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
说明：上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求
出其余两个。其中
a
BA
,
aBnA
方位总是已知。
例8-5
已知：如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速度ω绕O 轴转动。OD＝AD＝BD＝l。
2l( )
《理论力学》第八章刚体的平面运动
刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。
第八章 刚体的平面运动概论
大小 ？ l ?
方向
BD
vDB BD
vB l
5rad s
vC vB2 vC2B 1.299 m s 方向沿BD杆向右
vD vDB vB 1.5 m/s
§8-２ 求平面图形内各点速度的基点法
解：1. AB作平面运动,基点: A
2
vB vA vBA
大小 ？ vA ?
vBA
方向
vB vA cot
vBA
vA
sin
AB
vBA l
vA
l sin
§8-２ 求平面图形内各点速度的基点法
例8-2 图所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。
§8-２ 求平面图形内各点速度的基点法
一．基点法
已知：图形S内一点A的速度 vA ， 图形角速度 ，求：vB
取A为基点, 将动系铰接于A点, 动系作平移。则动点B点的运动 可视为牵连运动为平移和相对 运动为圆周运动的合成：
va vB ; ve vA ; vr vBA ,
其中：vBA 大小vBA= ·AB，方位：⊥AB，指向与 转向一致． 根据速度合成定理 va ve vr , 则Ｂ点速度为：
只需确定线段O ' A上O '点的位 置和线段O ' A与固定坐标轴Ox间的
夹角 即可。当平面图形运动时，
它们是时间t的单值连续函数。所以
刚体平面运动方程
xo' f1(t) yo' f2 (t)
f3 (t)
§8-1 刚体平面运动的概述和运动分解
四、平面运为常量，则平面图形作
vB vA vBA
§8-２ 求平面图形内各点速度的基点法
即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点 法．它是求解平面图形内任一点速度的基本方法．
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大小
at BA
AB
方向垂直于 AB，指向同
大小 aBnA 2 AB
aBnA 方向由 B指向 A
动力学
研究受力物体的运动与作用力之间的关系
➢质点动力学的基本方程 ➢动量定理 ➢动量矩定理 ➢动能定理
质点动力学
牛顿三定律：
第一定律（惯性定律）
第二定律（力与加速度之间的关系的定律）
第三定律（作用与反作用定律）
刚体绕定轴的转动微分方程
主动力: F1, F2 , , Fn
Jz
d
dt
M z (Fi )
或 J z M z (F )
或
Jz
d2
dt 2
Mz(F)
转动微分方程
简单形状物体的转动惯量计算
(1)均质细直杆对一端的转动惯量
Jz
1 3
ml 2
均质细直杆对中心轴 ml 2
的转动惯量
12
（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量
质点和质点系的动量矩
质点Q对点 O 的动量矩
MO (mv) r mv
对 z 轴的动量矩 M z (mv) MO (mv)xy
z
MO(mv) Mz(mv)
q
O
r
A mv
Q y
A
x
Q
[M O (mv )]z M z (mv )
质点系的动量矩
z
vi
m2
O ri
mi m1
y
x m3 mn
二者关系
求平面图形内各点速度
基点法
已知平面图形内A 点的速度和图形 的角速度，则另一点B 点的速度:
vB vA vBA
其中 vBA AB
速度投影定理
沿AB连线方向上投影
vB AB vA AB
同一平面图形上任意两点的速度在这两点连 线上的投影相等。
瞬心法
速度瞬心：C
vM vMC CM
平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速 度中心转动的速度。
确定速度瞬心位置的方法
vA B
A
vB
A
vA A
vA
B vB
vB
B
（a）
（b）
A
vA A
vA
B
B
vB
vB
瞬时平移
（c）
（d）
用基点法求平面图形内各点的加速度
基点 ：A
平移坐标系：Ax ' y '
aB
aA
aBt A
aBnA
aBt A
[LO ]z Lz
刚体对轴的动量矩
定轴转动刚体：
Lz (ri mivi ) (ri miri) miri2 Jz
JZ —— 刚体对轴 z 的转动惯量
Jz miri2
➢定轴转动刚体对轴的动量矩等于刚 体对轴的转动惯量与角速度的乘积。
Lz Jz
动量矩定理
质点的动量矩定理
质点对某一固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用在 质点上的力对同一点的矩——质点对定点的动量矩定理。
d
mv
F
dt
动量定理
（Theory of Momentum）
质点和质点系的动量/冲量 动量定理 质点系的质心运动定理
一、质点系的动量
质点系内各质点的动量的矢量和称为该质点系
的动量。用 p 表示，即有
n
p mivi
i 1
rC
1 m
mi ri
p mvc
二、冲 量
I Ft
I
力的功 质点和质点系的动能 动能定理 功率•功率方程•机械效率 势力场• 势能•机械能守恒定律
W F dr
W12 mi gzi1 zi2 mgzC1 zC2
平面运动刚体上力系的功
C2 2
W FR drC MCd
C1
1
平面运动刚体的动能
T
1 2
mvC2
1 2
JC 2
质点系的动能定理
d(
1 2mi
vi
2
)
δWi
T
1 2
mi
vi
2
T2 T1 Wi －－质点系动能定理的积分形式
质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动能改变量, 等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和.
功率方程
dT
dt
n i 1
δWi dt
n i 1
Pi
功率方程:即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点 系的所有力的功率的代数和.
mvC
maC
F e
质点系的总质量与其质心加速度的乘积，等于作用在该质点 系所有外力的矢量和(主矢)--质心运动定理
xC
mi xi m
yC
mi yi m
maC
F e
zC
mi zi m
动量矩定理
质点和质点系的动量矩 动量矩定理 刚体对轴的转动惯量 刚体定轴转动的微分方程 刚体平面运动微分方程
车床
dT dt
P输入 P有用 P无用
P
F dr dt
F v
Ft v
P
δW dt
Mz
d
dt
M z
功率等于切向力与力作用点速度的乘积.
机械能守恒定律
机械能:质点系在某瞬时动能和势能的代数和.
T1 V1 T2 V2
质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒.此 类系统称保守系统.
非保守系统的机械能是不守恒的.
工程力学(2)
复习
第八章 刚体的平面运动
刚体的平面运动可以分解为： 随基点的平动和绕基点的转动。
平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关， 而绕基点转动的运动规律与基点选取无关 （即在同一瞬间，平面图形绕任一基点转动的
与都是相同的）。
基点的选取是任意的 （通常选取运动情况已知的点作为基点）。
Jz mR2
回转半径（惯性半径）
J m （3）均质圆板对中心轴的转动惯量
2
z
z
JO
1 2
mR2
J z J zC md 2
对质心的动量矩 LC LO rC mvC LC
M
C
mi
vi
ri
rimi
'mivir
vi
d
dt
LC
ri
'Fie
MC Fie
质点系相对于质心的动量矩定理：
质点系相对于质心的动量矩对 时间的一阶导数等于作用于质点系 的外力对质心的主矩。
刚体的平面运动微分方程
随质心平移
平面运动 绕质心转动
投影式：
maC
JC
F e
M
C
(
F
e
)
maCx Fxe maCy Fye
JC
M C
(
F
e
)
maCt Fte maCn F
e
)
动能定理
材料力学: 基本概念与理论 材料力学的任务与研究对象
强度
（抵抗破坏）
刚度
（抵抗变形）
安全基本要求稳定性（（载保荷持不原大有，平变衡形形却式很）大，如铁丝受压）
合理设计
矛盾
经济
基本概念与理论
材料力学的基本假设:
连续性假设;均匀性假设;各向同性假设
t2
Fdt
t1
dp
d
mi
vi
Fiedt
dI ie
➢质点系动量定理：质点系动量的增量等于作用于质点系上的
外力元冲量之矢量和
t
p p0 Fidt Ii
0
➢若作用于质点系的外力主矢恒等于零，质点系的动量保
持不变：
p p0 mivi const.
dp dt
d dt