四川省攀枝花市仁和区布德中小学中考数学 第6课 一元二次方程改复习学案(无答案)
第6讲 一元二次方程
第6讲 一元二次方程命题点1 一元二次方程的解及解法1．(2016·攀枝花T7·3分)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为(C)A ．－1或4B ．－1或－4C ．1或－4D ．1或42．(2017·巴中T15·3分)已知x ＝1是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，则a 2＋2ab ＋b 2的值为1． 命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系3．(2017·A ．C ．4．(2017·A ．－1 C ．1 5．(2016·A ．－1 C ．1 6．(2017·A ．a ≤2 C ．a ≤2且a 7．(2017·A ．－8 C ．16 8．(2017·9．(2017·的值是－4． 10．(2015·(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)p 为何值时，方程有整数解？(直接写出三个，不需说明理由) 解：(1)证明：化简方程，得x 2－5x ＋(4－p 2)＝0. ∴Δ＝(－5)2－4(4－p 2)＝9＋4p 2. ∵p 为实数，∴9＋4p 2>0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)当p 为0，2，－2时，方程有整数解．命题点3一元二次方程的应用11．(2017·宜宾T14·3分)经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是50(1－x)2＝32．12．(2015·达州T13·3分)新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1 200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，可列方程为(40－x)(20＋2x)＝1_200．13．(2015·自贡T20·10分)利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地．求矩形的长和宽．解：设垂直于墙的一边为x m．根据题意，得x(58－2x)＝200.解得x1＝25，x2＝4.∴另一边长为8 m或50 m.答：当矩形的长为25 m时，宽为8 m；当矩形的长为50 m时，宽为4 m.第6讲一元二次方程(分值：91分)评分标准：选择题每小题3分，填空题每小题3分．1．(2017·成都二诊)一元二次方程x2－6x－5＝0配方可变形为(A)A．(x－3)2＝14 B．(x－3)2＝4C．(x＋3)2＝14 D．(x＋3)2＝42．(2015·眉山)下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是(B)A．(x－1)2＝0 B．x2＋2x－19＝0C．x2＋4＝0 D．x2＋x＋1＝03．(易错易混)(2017·自贡一模)已知x＝1是关于x的方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根，则常数k的值为(C)A．0 B．1C．0或1 D．0或－14．(2017·苏州)关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值为(A)A．1 B．－1 C．2 D．－25．(2017·成都模拟)已知关于x的方程x2＋2x－(m－2)＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(C)A．m≥1 B．m≤1C．m＞1 D．m＜16．(2016·雅安)已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一个实数根及m的值分别为(D)A．4，－2 B．－4，－2C．4，2 D．－4，27．(2017·白银)如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是(A)A．(32－2x)(20－x)＝570B．32x＋2×20x＝32×20－570C．(32－x)(20－x)＝32×20－570D．32x＋2×20x－2x2＝5708．(2017·广安模拟)一元二次方程x2－2x＝0的解为x1＝0，x2＝2．9．(2017·广安模拟)若一元二次方程ax2－bx－2 017＝0有一根为x＝－1，则a＋b＝2_017．10．(2017·盐城)若方程x2－4x＋1＝0的两根是x1，x2，则x1(1＋x2)＋x2的值为5．11．(2017·成都)已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 21－x 22＝10，则a ＝214． 12．(每小题4分，共16分)解下列方程： (1)x 2－5x ＋1＝0(用配方法)； 解：x 2－5x ＝－1， x 2－5x ＋(52)2＝－1＋(52)2，(x －52)2＝214，xx(4)(y ＋2)2＝(3y －1)2.解：(y ＋2)2－(3y －1)2＝0，(y ＋2＋3y －1)(y ＋2－3y ＋1)＝0， (4y ＋1)(－2y ＋3)＝0， 4y ＋1＝0或－2y ＋3＝0， ∴y 1＝－14，y 2＝32.13．(8分)(2016·巴中)随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶．假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率．解：设该种药品平均每次降价的百分率是x.由题意，得200(1－x)2＝98.解得x1＝1.7(不合题意，舍去)，x2＝0.3＝30%.答：该种药品平均每次降价的百分率是30%.14．(10分(1)(2)m解：(1)∵不论m∴Δ≥0.∴不论m(2)解方程得∴x1＝2m，x2∴m＝1或又∵m＝2∴m＝1.15．(2017·β3α316．(2017·，则b*b －a*a的值为17．(12分ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0.∴a＋c－2b＋a－c＝0.∴a－b＝0.∴a＝b.∴△ABC是等腰三角形．(2)△ABC是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根， ∴(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0. ∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0. ∴a 2＝b 2＋c 2.∴△ABC 是直角三角形． (3)∵△ABC 是等边三角形， ∴a ＝b ＝c.∴x 2＋x ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝－1.18．(实数根，A ．0 B 19．(m 的取值范围是(A)A.34<m ≤1 C.34≤m ≤”进滚动小专题(二) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1．(2017·玉林)已知关于x 的一元二次方程x 2－(t －1)x ＋t －2＝0. (1)求证：对于任意实数t ，方程都有实数根；(2)当t 为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由． 解：(1)证明：∵Δ＝[－(t －1)]2－4×1×(t －2) ＝t 2－6t ＋9 ＝(t －3)2≥0，∴对于任意实数t ，方程都有实数根． (2)设方程的两个根分别为m ，n. ∵方程的两个根互为相反数， ∴m ＋n ＝t －1＝0，解得t ＝1.∴当t ＝1时，方程的两个根互为相反数．2．(2017·黄冈)已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)设方程的两个实数根分别为x 1，x 2，当k ＝1时，求x 21＋x 22的值． 解：(1)∵x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(2k ＋1)2－4k 2>0. ∴k>－14.(2)当k ＝1时，原方程为x 2＋3x ＋1＝0. ∵x 1，x 2是该方程的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝1.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－3)2－2×1＝7.3．(2016·南充)已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋(2m ＋1)＝0有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)如果方程的两个实数根分别为x 1，x 2，且2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，求m 的取值范围． 解：(1)∵方程x 2－6x ＋(2m ＋1)＝0有实数根， ∴Δ＝(－6)2－4(2m ＋1)≥0. 化简，得32－8m ≥0.解得m ≤4.(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2m ＋1. ∵2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20， ∴2(2m ＋1)＋6≥20. 解得m ≥3.由(1)，得m ≤4，∴m 的取值范围是3≤m ≤4.4．(2016·绵阳一诊)已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求实数m的值．解：(1)∵方程有实数根，∴Δ＝(－4)2－4m＝16－4m≥0.∴m≤4.(2)∵x1＋x2＝4，∴5x1＋2x2＝2(x1＋x2)＋3x1＝2×4＋3x1＝2.∴x1＝－2.∴x2＝6.∴m＝x1x2＝－2×6＝－12.5．(2017·北京)已知关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一根小于1，求k的取值范围．解：(1)证明：∵Δ＝[－(k＋3)]2－4×1×(2k＋2)＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0，∴方程总有两个实数根．(2)∵x2－(k＋3)x＋2k＋2＝(x－2)(x－k－1)＝0，∴x1＝2，x2＝k＋1.∵方程有一根小于1，∴k＋1＜1，解得k＜0.∴k的取值范围为k＜0.6．(2016·南充二诊)已知关于x的方程x2－(2k－3)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)若x1，x2满足|x1|＋|x2|＝2|x1x2|－3，求k的值．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k－3)]2－4(k2＋1)＝4k2－12k＋9－4k2－4＝－12k＋5＞0.解得k＜512.(2)∵k＜512，∴x1＋x2＝2k－3＜0.又∵x1x2＝k2＋1＞0，∴x1＜0，x2＜0.∴|x1|＋|x2|＝－x1－x2＝－(x1＋x2)＝－2k＋3，2|x1x2|－3＝2k2－1.∵|x1|＋|x2|＝2|x1x2|－3，∴－2k＋3＝2k2－1，即k2＋k－2＝0.∴k1＝1，k2＝－2.又∵k＜512，∴k＝－2.7．(2017·鄂州)已知关于x 的方程x 2－(2k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)设方程的两个实数根分别为x 1，x 2，存不存在这样的实数k ，使得|x 1|－|x 2|＝5？若存在，求出这样的k 值；若不存在，说明理由．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－(2k －1)]2－4(k 2－2k ＋3)＝4k －11＞0. 解得k ＞114.(2)存在．∵x 1＋x 2＝2k －1，x 1x 2＝k 2－将|x 1|－|x 2|x 21－2x 1x 2∴(2k －1)2化简，得解得k ＝4.8．(2017·(1)当m (2)解：(1)∴Δ＝(2m 解得m ∴当m (2)a ＋b ＝－∵2a ，2b ∴a 2＋b 2＝解得m ∵a ＞0，b ∴a ＋b ＝－2m －1＞0.∴m ＜－12.∴m ＝－4.。
备战九年级中考数学一轮复习第6课 一元二次方程的解法及应用(全国通用)
解：a＝5，b＝－1，c＝－1
Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×5×(－1)
＝21
1
x
21 1
21
25
10
x1
1 21 10
,
x2
1 21 10
2.一元二次方程根的判别式：Δ＝b2－4ac. (1)Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； (2)Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； (3)Δ＜0⇔方程无实数根； (4)Δ≥0⇔方程有实数根.
第6课 一元二次方程的解法及应用
1．一元二次方程
(1)定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方
程．
(2)解法：
①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：
b b2 4ac x
(b2－4ac≥0)．
2a
1．解一元二次方程： (1)(202X·扬州)(x＋1)2＝9； 直接开方法 解：x＋1＝± 9
解：(1)450＋450×12%＝504(万元)． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x， 依题意，得：350(1＋x)2＝504， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%.
意，可列方程为________12_x_(_x_－__1_)＝__2_1__________．
22．(202X·黔西南州)已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋
2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( D )
A.m＜2
B．m≤2
C．m＜2且m≠1
中考第一轮一元二次方程复习教案
课题----- 中考第一轮复习《一元二次方程》一、【教学目标】（一）知识与技能了解一元二次方程及其相关概念，掌握一元二次方程的一般形式，在经历具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力，会用直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数）.（二）过程与方法1、经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，体会一元二次方程是刻画现实生活中数量关系的一个有效数学模型.2、通过解一元二次方程和列一元二次方程解应用题的过程中体会转化等数学思想方法的运用.（三）情感态度价值观培养学生交流意识和探索精神，培养学生数学感知，让学生体会知识的内在联系价值二、【教学重难点】1、重点：一元二次方程的解法以及应用2、难点：用一元二次方程的知识解实际问题三、教学过程：（一）整体感知（知识结构）：（二）考点知识精讲1．一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）2．一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．③公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a ac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0) ④因式分解法：因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．3．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x 的方程（k 2－1）x 2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a 、b 、c 的值；③求出b 2－4ac 的值；④若b 2－4ac ≥0，则代人求根公式，求出x 1 ,x 2．若b 2－4a ＜0，则方程无解．⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4⑷ 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．4．构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键．5．注重．解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．6．一元二次方程的判别式：运用一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式：a ac b b x 242-±-= )04(2≥-ac b 时，要先计算ac b 42-的值。
九年级数学复习案：第6课时一元二次方程及其应用-doc
【复习目标】1．了解一元二次方程的定义及一般形式．2．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解带有数字系数的一元二次方程．3．会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根和两个实根是否相等．4．了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）．5．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．【知识梳理】1．－元二次方程的定义：只含有_______个未知数，并且未知数的最高次数是_______的_______式方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是________（a_______0），其中ax2叫做_______项，a是_______，bx叫做_______，b是_______，c叫做_______项．3．一元二次方程的解法：(1)直接开平方法：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程的根为________．(2)配方法的步骤：移项，二次项的系数化为1（该步有时可省略），配方，直接开平方．(3)求根公式法：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac_______0时，x＝________．(4)因式分解法：如果一元二次方程可化为a(x－x1)(x－x2)＝0的形式，那么方程的解为________．4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式△＝________．(1)当△>0时，方程有两个_______的实数根．(2)当△＝0时，方程有两个_______的实数根．(3)当△<0时，方程没有实数根．5．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________．6．列一元二次方程解增长率问题可简化为a(1±x)2＝b，其中a为变化前的基础，b为变化后的结果，x为变化率，但要注意：增长率没有单位，且对于连续变化的问题都是以前一个时间段为基础，如2月份产量是在1月份基础上变化的，而不是以任意一个月份为基础的．【反馈练习】1．方程（x－1）(x＋2)＝0的两根为 ( )A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－22．已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ( ) A．k>且k≠2 B．k≥且k≠2C．k>且k≠2 D．k≥且k≠23．湛江市2009年平均房价为每平方米4000元，连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5 500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是 ( )A．5500(1＋x)2＝4000 B．5500(1－x)2＝4000C．4 00(1－x)2＝5500 D．4000(1＋x)2＝55004．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为x＝2，则这个方程的另一个根是________．5．已知m和n是方程2x2－5x－3＝0的两根，则_______．6．解方程：－x2－2x＝2x＋1．7．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？。
新课改2020年中考备考数学总复习分类训练学案系列 -一元二次方程根与系数的关系
新课改2020年中考备考数学总复习分类训练学案系列一元二次方程根与系数的关系例1. 若0是关于x 的方程（m-2）x 2+3x+m 2-2m-8=0的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．例 2.如果关于x 的方程x 2+（2k-3）x+k 2-3=0的两个实数根的和等于这两个根的倒数和． 求；（1）k 的值；（2）方程的两个实数根的平方和．例3. 设x 1、x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：（1）（x 1-x 2）2； （2）122111()()x x x x ++例4．已知关于x 的一元二次方程x 2-（8+k ）x+8k=0（1）求证：无论k 取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长。
1．已知一元二次方程：①x 2+2x+3=0，②x 2﹣2x ﹣3=0．下列说法正确的是（ ） A ．①②都有实数解 B.①无实数解，②有实数解 C. ①有实数解，②无实数解 D. ①②都无实数解2．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A. m ＜﹣1 B. m ＜1 C. m ＞﹣1 D. m ＞13．已知函数y=kx+b 的图象如图所示，则一元二次方程x 2+x+k ﹣1=0根的存在情况是（ ）A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定4．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0，下列说法正确的是（）A. 当k=0时，方程无解B. 当k=1时，方程有一个实数解C. 当k=﹣1时，方程有两个相等的实数解D. 当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解5．在下列方程中，有实数根的是（）A．x2+3x+1=0 B．C．x2+2x+3=0 D．6．正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+（1﹣2a）x+a2=0，则此方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定7．若方程组有一个实数解，则m的值是（）A．B．C．2 D．﹣28．一元二次方程x2+x﹣2=0的解为x1、x2，则x1•x2=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣29．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两根，则x1+x2的值是（）A．﹣2 B．2 C．3 D．110．若m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（）A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣311．点P（a，b）是直线y=﹣x+5与双曲线y=的一个交点．则以a、b两数为根的一元二次方程是（）A．x2﹣5x+6=0 B．x2+5x+6=0C．x2﹣5x﹣6=0 D．x2+5x﹣6=012．一元二次方程x2+2x﹣5=0的两个根的倒数和等于（）A．B．﹣C．D．﹣13．若，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是_________．14．若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是_________．15．关于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1=0有实数根，则k满足的条件是_________．16．已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是_________．17．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是_________．（填上你认为正确结论的所有序号）18．若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是_________．19．设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为_________．20．设x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，则=_________．21．已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则=_________．22．关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根．（1）求a的最大整数值；（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求的值．23．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．24．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．25．当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根？26．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求的值．27．已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．28．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．29．已知：关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）=0（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值．30．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值，并求出此时方程的两根．一元二次方程根与系数的关系答案（2）解方程x2-（8+k）x+8k=0得x1=k，x2=8，①当腰长为5时，则k=5，∴周长=5+5+8=18；②当底边为5时，∴x1=x2，∴k=8，∴周长=8+8+5=21．1．解：方程①的判别式△=4﹣12=﹣8，则①没有实数解；方程②的判别式△=4+12=20，则②有两个实数解．故选B．2．解：根据题意得△=22﹣4m＞0，解得m＜1．故选B．3．解：根据函数y=kx+b的图象可得；k＜0，b＜0，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×（k﹣1）=5﹣4k＞0，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是有两个不相等的实数根，故选：C．4．解：关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0，A、当k=0时，x﹣1=0，则x=1，故此选项错误；B、当k=1时，x2﹣1=0方程有两个实数解，故此选项错误；C、当k=﹣1时，﹣x2+2x﹣1=0，则（x﹣1）2=0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；D、由C得此选项错误．故选：C．5．解：A、△=9﹣4=5＞0，方程有实数根；B、算术平方根不能为负数，故错误；C、△=4﹣12=﹣8＜0，方程无实数根；D、化简分式方程后，求得x=1，检验后，为增根，故原分式方程无解．故选A．6．解：由题意知，（a+1）＜0，解得a＜﹣1，∴﹣4a＞4．因为方程x2+（1﹣2a）x+a2=0的△=（1﹣2a）2﹣4a2=1﹣4a＞5＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选A．7．解：由题意可得方程（2x+m）2=4x整理得4x2+（4m﹣4）x+m2=0即△=（4m﹣4）2﹣16m2=0，解得m=．故选A8．解：根据题意得x1•x2==﹣2．故选D．9. 解：由一元二次方程x2﹣3x+2=0，∴x1+x2=3，故选C．10. 解：∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴m+n=5，mn=﹣2，∴m+n﹣mn=5﹣（﹣2）=7．故选B．11．解：∵点P（a，b）是直线y=﹣x+5与双曲线y=的一个交点．∴﹣a+5=b，b=整理得a+b=5，ab=6．设所求一元二次方程x2+mx+c=0．又∵a、b两数为所求一元二次方程的两根．∴a+b=﹣m，ab=c∴m=﹣5，c=6．因此所求方程为x2﹣5x+6=0．故选A12．解：设α，β是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根．则有α+β=﹣2，αβ=﹣5．∴+==．故选A13．解：∵，∴b﹣1=0，=0，解得，b=1，a=4；又∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，∴△=a2﹣4kb≥0且k≠0，即16﹣4k≥0，且k≠0，解得，k≤4且k≠0；故答案为：k≤4且k≠0．14．解：∵a=k，b=2（k+1），c=k﹣1，∴△=[2（k+1）]2﹣4×k×（k﹣1）=12k+4≥0，解得：k≥﹣，∵原方程是一元二次方程，∴k≠0．故本题答案为：k≥﹣，且k≠0．15．解：①当关于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1=0是一元一次方程时，k﹣2=0，解得，k=2；②当（k﹣2）x2﹣4x+1=0是一元二次方程时，△=16﹣4×（k﹣2）≥0，且k﹣2≠0，解得，k≤6且k≠2；综合①②知，k满足的条件是k≤6．故答案是：k≤6．16．解：设方程另一个根为x1，根据题意得﹣2•x1=﹣6，所以x1=3．故答案为3．17．解：①∵方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0中，△=（a+b）2﹣4（ab﹣1）=（a﹣b）2+4＞0，∴x1≠x2故①正确；②∵x1x2=ab﹣1＜ab，故②正确；③∵x1+x2=a+b，即（x1+x2）2=（a+b）2，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（a+b）2﹣2ab+2=a2+b2+2＞a2+b2，即x12+x22＞a2+b2．故③错误；综上所述，正确的结论序号是：①②．18．解：由题意知，m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则m+n=2，mn=﹣1．所以，m2+n2=（m+n）2﹣2mn=2×2﹣2×（﹣1）=6．故答案是：6．19．解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，∴x1+x2=，x1x2=﹣，则原式= = = = =﹣．故答案为：﹣20．解：∵x2﹣x﹣2013=0，∴x2=x+2013，x=x2﹣2013，又∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，∴x1+x2=1，∴=x1•+2013x2+x2﹣2013，=x1•（x1+2013）+2013x2+x2﹣2013，=（x1+2013）+2013x1+2013x2+x2﹣2013，=x1+x2+2013（x1+x2）+2013﹣2013，=1+2013，=2014，故答案是：201421．解：∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，∴m+n=﹣=﹣=，m•n==﹣，∴+===﹣故答案为﹣．22．解：（1）根据题意△=64﹣4×（a﹣6）×9≥0且a﹣6≠0，解得a≤且a≠6，所以a的最大整数值为7；（2）①当a=7时，原方程变形为x2﹣8x+9=0，△=64﹣4×9=28，∴x=，∴x1=4+，x2=4﹣；②∵x2﹣8x+9=0，∴x2﹣8x=﹣9，所以原式=2x2﹣，=2x2﹣16x+，=2（x2﹣8x）+，=2×（﹣9）+，=﹣．23.（1）根据题意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0，解得：k＜；（2）由k为正整数，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1±，∵方程的解为整数，∴5﹣2k为完全平方数，则k的值为2．24．1）证明：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m+2﹣1=2+1=3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；该直角三角形的周长为1+3+=4+；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2．25．解：∵一元二次方程2x2+tx+2=0的二次项系数a=2，一次项系数b=t，常数项c=2，∴△=t2﹣4×2×2=t2﹣16=0，解得，t=±4，∴当t=4或t=﹣4时，原方程有两个相等的实数根．26. 解：∵ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，即b2﹣4a=0，b2=4a，∵===∵a≠0，∴===4．27．解：∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m，∴，解得，，即m，n的值分别是1、﹣2．28．解：（1）不是，解方程x2+x﹣12=0得，x1=3，x2=﹣4．|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．∵3.5不是整数，∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程；（2）存在．理由如下：∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，∴假设c=mb2+n，当b=﹣6，c=﹣27时，﹣27=36m+n．∵x2=0是偶系二次方程，∴n=0时，m=﹣，∴c=﹣b2．∵是偶系二次方程，当b=3时，c=﹣×32．∴可设c=﹣b2．对于任意一个整数b，c=﹣b2时，△=b2﹣4ac，=4b2．x=，∴x1=﹣b，x2=b．∴|x1|+|x2|=2|b|，∵b是整数，∴对于任何一个整数b，c=﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”29．（1）证明：①当k=0时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠0时，方程是一元二次方程，∵△=（3k﹣1）2﹣4k×2（k﹣1）=（k+1）2≥0，∴无论k为何实数，方程总有实数根．（2）解：∵此方程有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=，x1x2=，∵|x1﹣x2|=2，∴（x1﹣x2）2=4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，即﹣4×=4，解得：=±2，即k=1或k=﹣．30．（1）证明：∵△=（m+3）2﹣4（m+1）=（m+1）2+4∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0∴原方程总有两个不相等的实数根（2）∵x1，x2是原方程的两根∴x1+x2=﹣（m+3），x1•x2=m+1∵|x1﹣x2|=2∴（x1﹣x2）2=（2）2∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）=8∴m2+2m﹣3=0解得：m1=﹣3，m2=1…10分当m=﹣3时，原方程化为：x2﹣2=0解得：x1=，x2=﹣当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣11。
四川省攀枝花市仁和区布德中小学九年级数学复习学案：第16课 特殊的平行四边形
⎪⎩⎪⎨⎧1、性质 FE D AB C班级 姓名一、中考要求：掌握几种特殊的平行四边形的性质与判定 二、知识要点： （一）矩形1．性质(1)(2)(3)(4)⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩对边 四角 对角线 对称性既是 2．判定(1)()(2)(3)⎧⎪⎨⎪⎩ 的 平行四边形是矩形定义识别 的 四边形是矩形 的 平行四边形是矩形 （二）菱形(1)四边(2)对角 邻角(3)对角线(4)对称性 (5)面积（三）正方形(1)从边看 (2)四个角(3)对角线 (4)对称性三、典例剖析：例1． 如图 在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，点F 在边BC 上．如果FE=AE 你能证明FE ⊥AE 吗？例2．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AD 是角平分线，点E 、F 分别在AC 、AD 上，且AE=AB ，EF ∥BC 。
求证：四边形CDEF 是菱形。
例3． 已知：如图，O 正方形ABCD 的中心，BE 平分∠DBC ，交DC 于点E ，延长BC 到点F ，使CF ＝CE ，连结DF ，交BE 的延长线于点G ，连结OG ．（1）求证：△BCE ≌△DCF ；（2）OG 与BF 有什么数量关系？证明你的结论；（3）若GE ·GB ＝4－22，求 正方形ABCD 的面积．1．性质DC B AE F例4．如图，已知OA ⊥OB ，OA ＝4，OB ＝3，以AB 为边作矩形ABCD ，使AD ＝a ，过点D 作DE 垂直OA 的延长线交于点E ．（1）证明：△OAB ∽△EDA ；（2）当a 为何值时，△OAB 与△EDA 全等？请说明理由；并求出此时点C 到OE 的距离．随堂演练：1．如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、 A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ） A ．41cm 2 B ．4n cm 2 C ．41 n cm 2 D ．n )41( cm 22．顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A .等腰梯形 B .正方形 C .平行四边形D .矩形OA BCDEEDC BA O(第4题图)(第4题备用图)3. 如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片上的点H 处，连接AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．14．如图，正方形ABCD 的面积为1，M 是AB 的中点，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．310B ．13C ．25D ．495.如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，若再补充一个条件能使菱形ABCD 成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）．6.如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 ． 7．如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ， 则∠FPC = 度．8．如图，AC ，BD 是矩形ABCD 的对角线，过点D 作DE ／／AC 交BC 的延长线于E ，则图中与△ABC 全等的三角形共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．下列命题中是真命题的是（ ）A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．两条对角线相等的平行四边形是矩形D ．两边相等的平行四边形是菱形10.如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．A DE P CBFBAGCDHEDACBMADCBOBCDAP11．正方形ABCD与正方形CEFG的位置如图所示，点G在线段CD或CD的延长线上，分别连接BD、BF、FD，得到△BFD。
【中考专题复习】2018中考数学学案精华 第6讲 一元二次方程
第6讲 一元二次方程,知识清单梳理)一元二次方程的概念、解法1．一元二次方程的概念：只含有__一__个未知数，并且未知数的最高次数是__2__，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__．2．一元二次方程的解法(1)解一元二次方程的基本思想是__降次__．(2)主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方法、公式法． ①用因式分解法解方程的原理是：若a·b ＝0，则a ＝0或__b ＝0__．②配方法：能通过配方把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)变形为(x ＋b 2a )2＝__b 2－4ac 4a 2__的形式，再利用直接开平方法求解．③公式法：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，x ＝2a__．一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的根的判别式为Δ＝b 2－4ac. 1．b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__不相等__的实数根． 2．b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__相等__的实数根． 3．b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__没有__实数根．一元二次方程的根与系数的关系1．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__－ba __，x 1x 2＝__ca__．2．使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b 2－4ac ≥0.,云南省近五年高频考点题型示例)一元二次方程的解法【例1】(2013普洱中考)一元二次方程x2－2x＝0的解是() A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝0，x2＝1C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝12，x2＝2【解析】题目中只有二次项和一次项，可采用提公因式法分解因式．【答案】C1．(2014云南中考)一元二次方程x2－x－2＝0的解是(D)A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝－1，x2＝2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【例2】(2016云南中考)如果关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个相等的实数根，那么实数a的值为________．【解析】因为关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个相等的实数根，则Δ＝(2a)2－4(a＋2)＝0，解出方程即可．【答案】－1或22．(2015云南中考)下列一元二次方程中，没有实数根的是(A)A．4x2－5x＋2＝0 B．x2－6x＋9＝0C．5x2－4x－1＝0 D．3x2－4x＋1＝03．(2016昆明中考)一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(B)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定4．(2014曲靖中考)已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为__x＝－1__．5．(2015曲靖中考)一元二次方程x2－5x＋c＝0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c＝__1(或2或3或4或5或6)__．(只需填一个)一元二次方程的实际运用【例3】(2014昆明中考)某果园2011年水果产量为100 t，2013年水果产量为144 t，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为()A．144(1－x)2＝100 B．100(1－x)2＝144C．144(1＋x)2＝100 D．100(1＋x)2＝144【解析】如果设a为原有的量，m为平均增长率，n为增长的次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，所以列出方程100(1＋x)2＝144，故选D.【答案】D6．(2013昆明中考)如图，在长为100 m，宽为80 m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644 m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m，则可列方程为(C)A．100×80－100x－80x＝7 644B．(100－x)(80－x)＋x2＝7 644C．(100－x)(80－x)＝7 644D．100x＋80x＝356,近五年遗漏考点及社会热点与创新题)1.遗漏考点一元二次方程的解的概念【例1】已知m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，则2m2－4m＝________．【解析】根据m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，代入可得m2－2m－3＝0，通过变形可以得到2m2－4m的值，本题得以解决．【答案】6一元二次方程的概念【例2】方程(m－1)xm2＋2m－1＋3x－m＝0是关于x的一元二次方程，则m＝________．【解析】根据一元二次方程的定义可得m2＋2m－1＝2且m－1≠0就可解得．【答案】－32．创新题【例3】已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为() A．7 B．10 C．11 D．10或11【解析】把x＝3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即可求等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【答案】D【例4】若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为( )A ．x 1＝0，x 2＝6B ．x 1＝1，x 2＝7C ．x 1＝1，x 2＝－7D ．x 1＝－1，x 2＝7【解析】先根据二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴是x ＝3求出m 的值，再把m 的值代入方程x 2＋mx ＝7，求出x 的值即可．【答案】D【例5】(南宁中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)和正比例函数y ＝23x 的图象如图所示，则方程ax 2＋⎝⎛⎭⎫b －23x ＋c ＝0(a ≠0)的两根之和( )A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定【解析】设ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，由二次函数的图象可知x 1＋x 2＞0，a ＞0，设方程ax 2＋⎝⎛⎭⎫b －23x ＋c ＝0(a ≠0)的两根为m ，n ，再根据根与系数的关系即可得出结论．【答案】A,课内重难点真题精练及解题方法总结)1．一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( D ) A ．－1 B ．2 C ．1或2 D ．－1或22．已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根为( C ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【方法总结】一元二次方程的解有两种用处：(1)代入原方程；(2)利用根与系数的关系．3．(安顺中考)已知命题“关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋1＝0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b 的值可以是( C )A ．b ＝－3B ．b ＝－2C ．b ＝－1D ．b ＝2【方法总结】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果……那么……”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．4．(2017咸宁中考)已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是( B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断5．(2017常德中考)一元二次方程3x 2－4x ＋1＝0的根的情况为( D ) A ．没有实数根 B ．只有一个实数根C ．两个相等的实数根D ．两个不相等的实数根 6．(2017遵义中考)关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为( B )A ．m ≤94B ．m<94C ．m ≥49D ．m ＞497．(2017齐齐哈尔中考)若关于x 的方程kx 2－3x －94＝0有实数根，则实数k 的取值范围是( C )A ．k ＝0B ．k ≥－1或k ≠0C ．k ≥－1D ．k ＞－18．(2017通辽中考)若关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2＋2(k ＋1)x ＋k －2＝0有实数根，则k 的取值范围在数轴上表示正确的是( A )ABCD9．(2017呼和浩特中考)关于x 的一元二次方程x 2＋(a 2－2a)x ＋a －1＝0的两个实数根互为相反数，则a 的值为( B )A ．2B ．0C ．1D ．2或010．(2017六盘水中考)三角形的两边a ，b 的夹角为60°且满足方程x 2－32x ＋4＝0，则第三边的长是( A )A . 6B ．2 2C ．2 3D ．3 2【方法总结】确定三角形的边长通常借助勾股定理，如果没有直角三角形就需要构建．11．(2017张家界中考)已知一元二次方程x 2－3x －4＝0的两根是m ，n ，则m 2＋n 2＝__17__．12．(内江中考)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30 m 的篱笆围成．已知墙长为18 m (如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m .(1)若苗圃园的面积为72 m 2，求x ；(2)若平行于墙的一边长不小于8 m ，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于100 m 2时，直接写出x 的取值范围．解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)m . 依题意可列方程：x(30－2x)＝72， 即x 2－15x ＋36＝0， 解得x 1＝3，x 2＝12；(2)依题意，得8≤30－2x ≤18， 解得6≤x ≤11， 面积S ＝x(30－2x)＝－2⎝⎛⎭⎫x －1522＋2252(6≤x ≤11)， ①当x ＝152时，S 有最大值，S 最大＝2252；②当x ＝11时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－22)＝88；(3)5≤x ≤10.13．(西宁中考)青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2 205辆公共自行车．(1)请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？(2)请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率． 解：(1)设每个站点造价是x 万元，自行车单价为y 万元．根据题意可得⎩⎨⎧40x ＋720y ＝112，120x ＋2 205y ＝340.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.1.答：每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元；(2)设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a. 根据题意可得：720(1＋a)2＝2 205， 解此方程：(1＋a)2＝4916，即：a 1＝34＝75%，a 2＝－114(不符合题意，舍去)．答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%.14．(2017绥化中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－4＝0. (1)当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m 的值． 解：(1)∵方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－4＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(2m ＋1)2－4(m 2－4)＝4m ＋17＞0， 解得：m ＞－174.∴当m ＞－174时，方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根分别为a ，b ，根据题意得：a ＋b ＝－2m －1，ab ＝m 2－4， ∵2a ，2b 为边长为5的菱形的两条对角线的长，∴a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(－2m －1)2－2(m 2－4)＝2m 2＋4m ＋9＝52＝25， 解得：m ＝－4或m ＝2.∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＝－2m －1＞0，∴m ＝－4.若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m 的值为－4. 【方法总结】应用一元二次方程解决实际问题要检验方程的解是否符合客观实际或题意，注意取舍．请完成精练本第6页作业。
中考数学复习教案 第六讲 一元二次方程及其应用人教版
第六讲 一元二次方程及其应用撰写人：jgy017一、中考要求1、理解配方法、会用因式分解法、公式法、配方法解简单的一元二次方程。
2、会根据实际的生活情景，建立一元二次方程的数学模型（也就是说成立方程），解决实际问题。
二、考点知识归纳考点1、一元二次方程的概念及相关问题。
例1：⑴、一元二次方程032=+x x的解是 。
⑵、已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的a 的值为 。
⑶、已知方程20x bx a ++=有一个根是()0a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）A 、abB 、ab C 、a b + D 、a b - 考点2、一元二次方程的解法（是本节课的重点）。
例2：⑴、2620xx --=。
⑵、260x x --=． ⑶、用配方法解方程：26120x x --=．考点3、一元二次方程根的判别式。
例3：⑴、如果关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围是 。
⑵、已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a + b )x 2 + 2cx + (a + b )＝0的根的情况是（ ）A ．没有实数。
B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根 。
D ．有两个不相等的实数根。
⑶、如果关于x 的一元二次方程22(21)10kx k x -++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围？考点4、一元二次方程的应用（是本节课的难点）。
例4：⑴、某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%,则平均每次降价（ ）A.10%B.19%C.9.5%D.20%⑵、三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，则三角形的周长是 ．⑶、在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。
三、最新考题训练1、如果2是方程02=-c x 的一个根，那么c 的值是 。
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班级 姓名
第6课 一元二次方程改
一、中考要求：
1. 理解一元二次方程的概念，掌握它们的解法；
2．掌握一元二次方程根的判别式,并能运用它解决相应问题；
3．掌握一元二次方程根与系数的关系；
二、知识要点：
1．只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程叫做一元二次方程。
2．一元二次方程的一般形式是 。
（1）从概念分析应具备三个条件：“一元”、“二次”、“整式”方程
（2）从形式上看，应先将一个方程进行整理，看是否符合一般形式。
其中尤其注意0a ≠的条件，
若不能确定0a ≠时，则需分类讨论：当0a ≠时，它是一元二次方程；当0a =，0b ≠时，它是
一元一次方程。
3．一元二次方程的解法有四种：直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法。
求根公式为x= 。
4．一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的根的判别式△= 。
当△＞0时，方程 实数根；当△=0时，方程 实数根；当△＜0时，方程 实数根。
5．判别式性质的应用
（1）不解方程判断方程根的情况；
（2）求方程中字母系数的值、范围或者相互关系。
6. 一元二次方程根与系数的关系：若关于x 的一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .
7. 以1x ，2x 为二根的一元二次方程为 .
8.一元二次方程常与分式、根式、一元一次不等式(组)、函数等知识相联系，解决综合性问题。
三、典例剖析：
例1．解方程：（1）)4(5)4(2+=+x x ； （2）x x 4)1(2=+； （3）31022
=-x x .
（4） 用配方法解方程x 2+4x-5=0。
例2． 已知一元二次方程
0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值.
例3. 当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒
数.
例4. 关于x 的方程(a －5) x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足
例5. 已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程0
42=+-b x x 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状。
例6.已知关于x 的函数21y ax x =++（a 为常数）（1）若函数的图象与x 轴恰有一个交点，求a
的值； （2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x 轴上方，求a 的取值范围．
四、课后练习：
1．方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
2．如果非零实数a 、b 、c 满足a+b+c=0，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为
3．一元二次方程2230x x --=的根是 .
4. 一元二次方程x 2=2x 的根是 .
5．一元二次方程230x mx ++=的一个根为1-，则另一个根为 ．
6.若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是
7. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 .
8．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则x 1+x 2= x 1.x 2=
9．已知一元二次方程0562=--x x 的两根为a 、b ，则
b a 11+的值是____________． 10. 两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程0342=+-x x 的两个根，则两圆的位置关系
是 。
11．某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，
则可以列出方程为 .
12．当c __________时，关于x 的方程2
280x x c ++=有实数根．
13.已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是
( )
A.a<2 B,a>2 C.a<2且a ≠1 D.a<－2·
14.一元二次方程2
210x x --=的根的情况为（ ）
Ａ．有两个相等的实数根
Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 15. 方程(x +1)(x －2)=x +1的解是（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）－1，2 （D ）－1，3
16. 已知一元二次方程x 2
－4x +3=0两根为x 1、x 2, 则x 1·x 2=（ ）.
A. 4
B. 3
C. －4
D. －3
17．函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示, 那么关于x 的方程ax 2＋bx ＋c －2=0的根的情况是( )
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个异号实数根
C ．有两个相等实数根
D ．无实数根
18.关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是
A ．1
B ．－1
C ．1或－1
D ． 2
19. 解方程（1）x 2－4x ＋5=0 ； （2）x 2
＋3x ＋1=0
20.已知：关于x 的二次三项式102)42(22+-++-a a x a x 是完全平方式，求a 的值。
20.已知关于x 的方程2x -2(m+1)x+2m =0,当m 取什么值时,原方程没有实数根.
21.已知．关于x 的方程m 2x ―(2m ―1)x+m-2=0(m>0)○1求证：这个方程有两个不相等的实数根○
2如果这个方程的两个实数根分别是1x 和2x ,且（1x ―3）（2x ―3）=5m,求m 的值。